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@@ -1467,22 +1467,34 @@ $`\quad\quad \;\; = \cdots`$
 ##### Le phénomène des battements sonores
 
 * Le **tympan** de l'oreille est situé en une *position $`\overrightarrow{r}_0`$* fixe de l'espace.   
-*  L'ouïe humain perçoit deux notes comme séparées par une octave, deux notes dont le rapport de fréquence est 2.
-  la musique occidentale contemporaine divise l'octave en 12 intervalles dont le rapport de fréquence est identique,
-  et donc égale à la racine douzième de deux : $`|\nu_1 - \nu_2| = \sqrt[12]{2} = 2^{\frac{1}{12}}`$.   
+<br>
+*  L'ouïe humain perçoit deux notes comme séparées par **une octave**, deux notes dont le *rapport des fréquences* fondamentales est **2**.
+
+* La **musique occidentale** contemporaine utilise la gamme tempérée qui *divise l'octave en 12 intervalles égaux*, 
+  donc de *rapport de fréquence* égale à la racine douzième de deux : *$`|\nu_1\,/\,\nu_2| = \sqrt[12]{2} = 2^{\frac{1}{12}}`$*.   
+  <br>
   Ceci assure bien que monter de 12 demi-tons permet d'atteindre l'octave, la fréquence double de celle du départ :  
   $`\big(\sqrt[12]{2}\big)^{12} = \big(2^{\frac{1}{12}}\big)^{12} = 2^{\frac{12}{12}} = 2`$   
+  <br>
 * Le **comma** est un intervalle entre deux sons sinusoïdaux (sons purs) de fréquences
    $`\nu_1`$ et $`\nu_2`$ de fréquences très proches, de façon que la *différence de hauteur* correspondante
    perçue par l'ouïe humain soit *à la limite de perception*. Il correspond environ à *un cinquième de demi-ton*, soit
-   un rapport de fréquence $`|\nu_1 - \nu_2| \approx \frac{1}{5}\sqrt[12]{2} = 2^{\frac{1}{12}}`$
+   un rapport de fréquence $`|\nu_1 - \nu_2| \approx \frac{1}{5}\sqrt[12]{2} = 2^{\frac{1}{12}}\approx 1,0595`$
 
-* Le phénomène de battement nécessite deux conditions :
+* Le **phénomène de battement** nécessite *deux conditions* :
    * Que les deux vibrations sonores qui vont interférer au niveau du tympan soient 
-     d'amplitudes comparables, afin q'un son perçu ne domine pas l'autre.   
-     $`\Longrightarrow`$ nous prendrons $`A_1=A_2=\color{brown}{A}`$
-   * Que la différence de hauteur entre les deux sons perçus soit inférieure au comma,
+     d'*amplitudes comparables*, afin q'un son perçu ne domine pas l'autre.   
+     $`\Longrightarrow`$ nous prendrons **$`A_1=A_2=\color{brown}{A}`$**
+   * Qu'entre les deux notes qui interfèrent, la *différence de hauteur soit inférieure au comma*,
      afin qu'une seule hauteur de son soit perçue.
+     $`\Longrightarrow`$ nous prendrons **$`|\dfrac{\nu_1}{\nu_2}\le\dfrac{\sqrt[12]{2}}{5}=0,0032`$**
+
+*  Écoutons ce phénomène :
+
+ * Prenons comme son de base, le **la médium**, donné par les *diapasons* standards, de fréquence **$`\nu_1=440\,Hz`$**.   
+   L'**écart de fréquence** ne doit pas dépasser *$`\Delta\nu \le (440\times 0,0032) = 1,4 \,Îz`$*   
+   Choisissons **$`\nu_2=441\,Hz`$**
+