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@@ -310,7 +310,7 @@ _2 - dipose d'une règle mesure des longueurs avec une règle rigide immobile pa
 ------------->
 
 
-#### Un hyper-espace à 4 dimensions
+## <p style="font-size:70%;text-align: center;">Un hyper-espace euclidien euclidien<br> à 4 dimensions</p>
 
 à faire
 
@@ -331,20 +331,39 @@ unité de longueur,
 
 <br>
 
+## <p style="font-size:70%;text-align: center;">Un espace-temps euclidien<br> à 4 dimensions</p>
+
+à faire,
+
+(le rôle distinct pour un observateur de l'espace et du temps ; un temps contraint unidimensionnel qui
+s'écoule continument du passé ver le futur, un espace libre à 3 dimensions,
+l'axe $`\Delta`$ est la direction temporelle pour l'observateur
+dans hyper-espace, l'invariant est une longueur, nécessité de concertir une durée en une longueur
+=>entraine une constante fondamentale ayant la dimension d'un vitesse
+$`\Delta`$  devaint axe ct et non t
+unité de longueurs temporelles : l'année lumière (les étudiants se trompent souvant), la seconde lumière
+sont des unité de longueurs
+expression de l'invariant dans cet espace-temps euclidien
+
+<br>
+
 ## <p style="font-size:70%;text-align: center;">Corps matériels et observateurs galiléens</p>
 
+à faire
+
 <br>
 
 
-#### L'espace-temps euclidien
+#### La ligne d'univers d'un observateur ou d'un corps galiléen
 
 a faire
 
-notion de distance => multiplier les durées par une constante c ayant la grandeur physique d'une vitesse
-pour convertir les durées dt en distance cdt => ace du temps ct  eu axes spatiaux même grnadeurs physique 
-possibilité de mesurer des distance dans l'espace-temps,
-théorème de Pythagore étendu à tout plan de l'espace-temps,
-définition d'un espace euclidien, il existe système de coordonnées tel que formule à mettre)
+
+#### Lignes d'univers de 2 observateurs ou d'un corps galiléens
+
+
+#### Représentation de la ligne d'univers d'un observateur ou corps non galiléen
+
 
 #### Existence d'une vitesse infranchissable