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-title: "Metallic waveguides"
+title: "Propagation-in-LHI-materials"
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-#### Chapter 2
+#### Chapter 2 : Propagation-in-LHI-materials
 
-### Exercices solved during
-tutorials
+### Exercices solved during tutorials
 
 <br>
 
@@ -307,273 +306,3 @@ de traverser la ionosph\`ere ?
     d'´electrons dans l'espace interstellaire est de 3×104m−3,
     calculer la distance du pulsar
 
-chap4 Propagation dans un di´electrique
-
-On peut consid´erer le milieu di´electrique comme ´etant constitu´e
-d'ions im- mobiles (charge +*e*) et d'´electrons (charge *e*, masse
-*m*), ces derniers restant toujours li´es aux ions. Les densit´es *n*
-des ions et des ´electrons, par unit de vol- ume, sont suppos´ees
-´egales. On adopte un mod\`ele dans lequel chaque ´electron est
-consid´er´e "libre" (comme pour un conducteur), mais rappel´e vers un
-ion par une force de rappel qu'on supposera ´elastique et de la forme
-*K_r~e~* pour un petit d´eplacement *\_r~e~* de l'´electron par
-rappo[rt]{.underline} \`a l'ion. Concernant les
-
-´electrons, on posera leur pulsation propre *ω*~0~ = / *[K]{.underline}*
-et leur pulsation plasma
-
-*m* 2 2 2
->
-est d´efinie comme dans l'exercice pr´ec´edent. On posera aussi Ω =
-*ω*~0~ + *ωp* .
-
-1.  On part du principe fondamental de la dynamique appliqu´e \`a un
-    ´electron dont on n´egligera le poids. Indiquer la d´emarche du
-    calcul qu'il convient d'effectuer pour ´etablir l'´equation de
-    dispersion du milieu. D´eterminer cette ´equation.
-
-2.  On augmente progressivement la fr´equence de l'onde incidente aux
-    valeurs les plus ´elev´ees possibles. Donner alors les
-    caract´eristiques successives de la propagation de l'onde dans ce
-    milieu. Combien y a-t-il de bandes passantes ? de bandes non
-    passantes ? Tracer la courbe de dispersion du milieu.
-
-3.  Exprimer l'indice de r´efraction *n~opt~* du milieu et tracer sa
-    variation en fonction de *ω*.
-
-4.  Quelles information peut-on extraire \`a partir d'une mesure de
-    r´eflectivit´e d'un di´electrique?
-
-5.  Dans un di´electrique r´eel les ´electrons sont soumis \`a une force
-    de frot- tement *F\_* = *ma_v* (qui d´ecrit les pertes par
-    irradiation). Qu'est-ce que l'on peut conclure sur la nature de la
-    propagation dans ce cas?
-
-![](media/image241.png){width="5.18375in" height="3.0147911198600177in"}
-
-Figure 4.10: *Haut: partie r´eelle et imaginaire de la function
-di´electrique d'un conducteur selon le mod\`ele utilis´e dans
-l'exercice avec ω~p~* = 1016 *rad/s et τ* = 10−14 *s. Bas: partie
-r´eelle et imaginaire du vecteur d'onde correspondant.*
->
-![](media/image242.png){width="5.191874453193351in"
-height="1.5131244531933508in"}
->
-Figure 4.11: *Gauche: partie r´eel et imaginaire de l'indice de
-refraction du conducteur consid´er´e dans la figure pr´ec´edente.
-Droite: le pouvoir r´eflecteur correspondant.*
-
-chap4 Propagation dans un conducteur m´etallique
-
-Dans un mod\`ele simple, un m´etal (le cuivre notamment) peut
-s'assimiler un milieu L.H.I., de constantes di´electrique et
-magn´etique *E*~0~ et *µ*~0~, ´electriquement neutre, constitu´e de
-*n* ions (charge +*e*) fixes et de *n* ´electrons mobiles (charge *e*,
-masse *m*). Ces derniers subissent des collisions. A l'´echelle
-m´esoscopique, les collisions sont ´equivalentes une force de
-frottement visqueux oppose leur vitesse *\_v* telle que *F\_* =
-*ma_v*, ou\` *a* repr´esente la fr´equence des collisions lie au
->
-temps de relaxation *τ* du m´etal par *a* = [1]{.underline} . On
-posera qu'en r´egime permanent
-
-*τ* 2
-
-la conductivit´e du conducteur est *σ*~0~ = *ne τ* .
-
-*m*
-
-1.  En appliquant le principe fondamental de la dynamique \`a un
-    ´electron (on n´egligera son poids), exprimer la conductivit´e *σ*
-    en r´egime variable du mat´eriau en fonction de *σ*~0~ et du
-    produit *ωτ* et donner les expressions de sa partie r´eelle *σ*^t^
-    et imaginaire *σ*^tt1^.
-
-Exprimer ensuite la conductivit´e en fonction de la pulsation de
-plasma
-
-*ω* = *ne*2 . Donner l'expression de la relation de dispersion du milieu
-
-en fonction de *σ* et en d´eduire la nature de la propagation de
-l'onde
->
-´electromagn´etique susceptible de se trouver dans le conducteur.
-
-2.  On suppose que la fr´equence de l'onde est suffisamment faible pour
-    que *ωτ* 1. Donner l'expression approch´ee de la conductivit´e. En
-    con- sid´erant que la conductivit´e en r´egime permanent des
-    conducteurs est de l'ordre de 107 S/m, et que *τ* 10−14,
-    simplifier la relation de dispersion, en d´eduire la nature de la
-    propagation dans le milieu et la
-
-1Comme pour l'exercice pr´ec´edent, on peut calculer la relation de
-dispersion en utilisant deux m´ethodes: 1) On consid\`ere que *Er* = 1
-et on calcul la conductivit´e *σ*. 2) On consid\`ere que *σ* = 0 et on
-calcul la fonction di´electrique relative. Les deux m´ethodes donnes
-le mˆeme r´esultat.
->
-r´egion spectrale ou\` la condition *ωτ* 1 est satisfaite. Exprimer
-ensuite l'indice de r´efraction *n~opt~* du m´etal et sa valuer.
-Qu'est-ce que l'on peut conclure sur le pouvoir r´eflecteurs des
-m´etaux dans ce domain spectral?
-
-3.  On suppose maintenant la fr´equence de l'onde est telle que *ωτ* 1.
-
-Donner l'expression approch´ee de la relation de dispersion et
-determiner la nature de la propagation dans les deux cas suivants:
-
-i.  Cas *ω \< ω~p~*.
-
-ii. Cas *ω \ω~p~*. A\` quel domain spectrale correspondents ces
-    pulsations?
-
-![](media/image243.png){width="4.752498906386702in"
-height="1.9049989063867017in"}
-
-Figure 4.12: *Some critical frequency values (from "Born and Wolf,
-Principle of Optics")*
-
-chap4 3.5 Ecran pour t´el´ecommunications (extrait examen 2012-2013)
-
-On se propose d'´etudier la possibilit´e d'empˆecher les
-communications des t´el´ephones portables dans une salle de cours. La
-strat´egie c'est d'appliquer aux fenˆetres une fine couche d'un
-mat´eriau absorbant la radiation centr´ee sur l'´emission des
-t´el´ephones portable (ft´el=1GHz=109 Hz) mais non absorbant dans le
-spectre du visible (*λ^vis^*=500nm=5x10−7m). Ce mat´eriau est
-consid´er´e comme un milieu LHI globalement neutre (*ρ~tot~*=0) et non
-magn´etique (*µ*=*µ*~0~). Pour les fr´equences t´el´ephoniques sa
-permittivit´e relative et sa conductivit´e sont respectivement :
->
-*E*^t´el^=100 et *σ*^t´el^=107 S/m.
->
-Pour les fr´equences visibles sa permittivit´e relative et sa
-conductivit´e sont respectivement :
->
-*E^vis^*=10 et *σ^vis^*=102 S/m.
-
-1.  Ecrire les ´equations de Maxwell dans ce milieu, en supposant valide
-    la loi d'Ohm locale (j=*σ*E).
-
-2.  En d´eduire l'´equation de propagation, du champ ´electrique en
-    fonction de *µ*~0~,c, *E~r~* et *σ*.
-
-3.  En supposant pour *E\_* la forme suivante *E[\_]{.underline}* =
-    *E\_*0*e^i^*^(*kz*−*ωt*)^, ou\` *k* est le
-
-vecteur d'onde et *ω* la pulsation, donner l'´equation de dispersion
-du milieu.
-
-4.  Faire une ´evaluation num´erique des diff´erents termes apparaissant
-    dans la relation de dispersion pour les fr´equences
-    t´el´ephoniques et visibles.
-
-    -   Partie fr´equences t´el´ephoniques :
-
-5.  Pour les fr´equences t´el´ephoniques, donn[er un]{.underline}e
-    formule approch´ee de
-
-la relation de dispersion en fonction de *α* = [2]{.underline} .
-Comment qualifier ce mat´eriau dans le domaine des fr´equences
-t´el´ephoniques ? Quel est le type de
->
-propagation ? (on rappelle que
->
-√*i* =
->
-[1+*i*]{.underline}
->
-√2
-
-6.  Ecrire l'expression d'un OPPM se propageant dans ce mat´eriau aux
-
-fr´equences t´el´ephoniques selon Oz dans les sens de z positifs.
-
-7.  On suppose que le signal des antennes relais des t´el´ephones ait
-    une amplitude du champ ´electrique E~antenne~=1V/m proches de la
-    salle, et que un t´el´ephone peut r´epondre s'il rec¸oit un signal
-    d'au moins 1*µ*V/m. En n´egligeant les effet de r´eflexion aux
-    surfaces, calculer l'´epaisseur minimal du milieu \`a d´eposer sur
-    les fenˆetres afin d'empˆecher tout communication t´el´ephonique.
-
-8.  Montrer que l'indice de r´efraction complexe *[N]{.underline}* du
-    milieu peut s'´ecrire
-
-*[N]{.underline}* = *n*(*i*) + *i n*(*ii*) avec *n*(*i*) = *n*(*ii*).
-
-9.  On consid\`ere maintenant l'effet de la r´eflexion air (indice
-    n*~air~*=1) -- milieu. Evaluer en forme approch´ee le pouvoir
-    r´eflecteur. Conclure.
-
-    -   Partie fr´equences du visible :
-
-10. Pour le visible (*λ^vis^*=500nm), donner une formule approch´ee de
-    la relation de dispersion. Comment qualifier ce mat´eriau dans le
-    domaine du visible? Quel est le type de propagation ?
-
-11. Evaluer l'impact pour la vue.
-
-chap2 Exercice 4: R´eflexion m´etallique d'une onde polarise circulairement
-
-Une onde plane poss´edant une polarisation circulaire gauche, se
-propageant dans l'air dans le demi-espace *z* 0, dans la direction
-(*Oz*) a pour expression du champ ´electrique r´eel:
-
-*E\_* (*z, t*) = *E*~0~ \[cos (*kz* − *ωt*) *\_e~x~* − sin (*kz* − *ωt*)
-*\_e~y~*\]
-
-1.  D´eterminer l'expression du champ magn´etique *B\_* (*z, t*). Donner
-    les ex- pressions des champs complexes *E\_ , B\_* associ´e au
-    champ ´electro-magn´etique.
-
-2.  Calculer le vecteur de Poynting associ´e cette onde. Commenter le
-    r´esultat.
-
-3.  L'onde se r´efl´echit sous incidence normale sur un miroir plan
-    m´etallique de conductivit´e infinie, plac´e dans le plan *z* = 0.
-
-    a.  D´eterminer l'´etat de polarisation de l'onde r´efl´echie (*E\_*
-        t(*z, t*)*, B\_* t(*z, t*)).
-
-    b.  D´eterminer les expressions du champ ´electromagn´etique
-        r´esultant
-
-(*E_T* (*z, t*)*, B\_ T* (*z, t*)) dans la r´egion *z* ≤ 0. En d´eduire
-la valeur du
-
-vecteur de Poynting Π*\_* total de l'onde r´esultante. Commenter.
-
-c.  D´eterminer les densit´es surfaciques de charge *σ~S~*(*t*) et de
-    courant
-
-*\_j~S~*(*t*) dans le plan du miroir.
-
-4.  L'onde plane, polarise circulaire gauche, arrive maintenant sous une
-    in- cidence *θ* avec la normale au miroir m´etallique. D´eterminer
-    *σ~S~*(*x, y, t*) dans cette nouvelle configuration.
-
-chap2 Exercice 5: Cas pratiques de la propagation guid´ee
-
-1.  Un guide d'onde, suppos´e parfait, doit pouvoir fonctionner en mode
-    TE~*m,*0~ jusqu'\`a un ordre *p* mais aussi transmettre une bande de
-    fr´equence comprise entre *f*~1~ et *f*~2~, avec *f*~1~ *\f*~2~.
-    Quelles doivent ˆetre les dimensions
-
-*a* et *b* du guide ? (Rappel: *a* est la dimension du guide suivant
-(*Ox*) et
->
-*b* celle suivant (*Oy*)).
-
-2.  A partir d'un guide d'onde rectangulaire de dimensions connues (*a
-    \b*), d´eterminer sa bande passante pour le mode TE~*m,*0~.
-
-3.  Un guide d'onde carr´e, rempli d'air, a pour dimension *a* = *b* =
-    2*,* 4 *cm*. Il est excit´e par deux petites antennes
-    perpendiculaires aux faces or- thogonales, c'est dire
-    parall\`element (*Ox*), et (*Oy*). Ecrire la condition de
-    propagation des modes fondamentaux TE~1*,*0~, et TE~0*,*1~. En
-    d´eduire la bande passante, et application num´erique pour les modes
-    fondamentaux.
-
-4.  Trouver le premier mode sup´erieur et ´ecrire la condition de non
-    propa- gation de ce mode.