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 title: 'Mecánica del punto material'
-published: false
-routable: false
+published: true
+routable: true
 visible: false
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-
-![](img\media\image1.jpg){width="2.310416666666667in"
-height="1.5118055555555556in"} Département STPI
-
-1^ère^ année
-
-1^er^ semestre
-
+<!--
+Première année
+Premier semestre
 UF Physique (I1ANPH21)
+-->
 
-**Mecánica del punto material**
+### Mecánica del punto material
 
-**EJERCICIOS**
+<!--*AÑO ACADEMICO 2016-2017*-->
 
-**AÑO ACADEMICO 2016-2017**
+##### **EJERCICIOS**
 
 Para más ejercicios consultar los libros especializados disponibles a la
 Bib'INSA.
@@ -30,462 +26,479 @@ Mécanique du point aux éditions DUNOD d'A. Gibaud et M. Henry
 
 Mécanique fondements et applications aux éditions MASSON de J-P. Pérez
 
-**\
-**
 
-**Ejercicio 1: Análisis Vectorial**
+##### *Ejercicio 1 :* **Análisis Vectorial**
+
+<!--   ![](img\media\image2.png)
+{width="3.609722222222222in" height="3.692361111111111in"}-->
 
-![](img\media\image2.png){width="3.609722222222222in"
-height="3.692361111111111in"}Consideramos un espacio tridimensional
+Consideramos un espacio tridimensional
 descrito por un sistema de referencia cartesiano
-$'\mathcal{R}(0,{\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y},{\overrightarrow{e}}_{z},t)'$.
-El vector $'{\overrightarrow{e}}_{r}\'$es unitario y su dirección está
-definida por los ángulos $'\theta'$ et $'\text{φ\ }'$(ver la figura). Los
-vectores $'\overrightarrow{r}'$ y $'{\overrightarrow{e}}_{r}'$ son
+$`\mathcal{R}(0,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z},t)`$.
+El vector $`\overrightarrow{e_r}`$ es unitario y su dirección está
+definida por los ángulos $`\theta`$ et $`\varphi`$ (ver la figura). Los
+vectores $`\overrightarrow{r}`$ y $`\overrightarrow{e_r}`$ son
 paralelos. El vector
-$'{\overrightarrow{r}}^{'} = r'{\overrightarrow{e}}_{r}'$ es la
-proyección de $'\overrightarrow{r}'$ en el plano (0,x,y).
+$`\overrightarrow{r'}= r'\,\overrightarrow{e_r}`$ es la
+proyección de $`\overrightarrow{r}`$ en el plano $`(0,x,y)`$.
 
-1)  Expresar la proyección del vector $\overrightarrow{\text{r\ }}$en
-    dirección $'{\overrightarrow{e}}_{z}'$ et $'{\overrightarrow{e}}_{r}'$
-    en función de *r* et $'\theta$'.
+1. Expresar la proyección del vector $`\overrightarrow{r}`$ en
+    dirección $`\overrightarrow{e_z}`$ y $`\overrightarrow{e_r}`$
+    en función de $`r`$ et $`\theta`$.
 
-2)  Expresar la proyección del vector$'\ \overrightarrow{\text{r\ }}'$ en
+2.  Expresar la proyección del vecto $`\overrightarrow{r}`$ en
     dirección
-    $'{\overrightarrow{\text{\ e}}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y},{\overrightarrow{e}}_{z}\ '$en
-    función de *r,* $'\theta'$ et $'\varphi'$.
+    $`\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z}`$ en
+    función de $`r`$, $`\theta`$ et $`\varphi`$.
 
-3\) Calcular el producto escalar
-$'{\overrightarrow{e}}_{x}.{\overrightarrow{e}}_{r}'$ utilizando un
+3. Calcular el producto escalar
+$`\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{e_r}`$ utilizando un
 método geométrico. Obtener el mismo resultado utilizando las componentes
-de los dos vectores.
-
-4)  ¿En el caso $'\theta = \frac{\pi}{4}'$ et $'\varphi = \frac{\pi}{3}'$
-    cuál es el ángulo $'\text{\ γ}'$, en grados, entre los vectores
-    $'{\overrightarrow{e}}_{x}'$ y $'{\overrightarrow{e}}_{r}'$?
-
-5)  Calcular los productos vectoriales siguientes:
-
-$'{\overrightarrow{e}}_{x} \land {\overrightarrow{e}}_{z}'$ ;
-$'{\overrightarrow{e}}_{z} \land {\overrightarrow{e}}_{x}'$ ;
-$'{\overrightarrow{e}}_{y} \land {\overrightarrow{e}}_{x}\ '$;
-$'{\overrightarrow{e}}_{x} \land {\overrightarrow{r}}^{'}\ '$y
-$'\overrightarrow{r} \land {\overrightarrow{r}}^{'}\ '$
-
-6)  Consideramos que el ángulo $\varphi$ es función del tiempo
-    $\varphi = 2.t + 1$ y que el ángulo $\theta$ y la distancia *r* son
+de los dos vectores.`
+
+4.  ¿En el caso $`\theta = \dfrac{\pi}{4}`$ y $`\varphi = \dfrac{\pi}{3}`$,
+    cuál es el ángulo $`\gamma`$, en grados, entre los vectores
+    $`\overrightarrow{e_x}`$ y $`\overrightarrow{e_r}`$?
+   
+
+5. Calcular los productos vectoriales siguientes :   
+$`\overrightarrow{e_x} \land \overrightarrow{e_z}\quad`$ ; 
+$`\quad\overrightarrow{e_z} \land \overrightarrow{e_x}\quad`$ ; 
+$`\quad\overrightarrow{e_y} \land \overrightarrow{e_x}\quad`$ ; 
+$`\quad\overrightarrow{e_x} \land \overrightarrow{r'}\quad`$ , 
+$`\quad\overrightarrow{r} \land \overrightarrow{r'}`$
+
+6. Consideramos que el ángulo $`\varphi`$ es función del tiempo
+    $`\varphi = 2.t + 1`$ y que el ángulo $`\theta`$ y la distancia $`r`$ son
     constantes. Calcular la expresión
-    $\frac{d{\overrightarrow{e}}_{r}'\ }{\text{dt}}$ analíticamente,
+    $`\dfrac{d \overrightarrow{e_r}'}{dt}`$ analíticamente,
     utilizando las componentes cartesianas de los vectores.
 
-7)  Obtener geométricamente el mismo resultado. ¿Qué podemos deducir
-    sobre $\frac{d{\overrightarrow{e}}_{r}'\ }{\text{dt}}$ et
-    ${\overrightarrow{e}}_{r}'$ considerando el hecho que el modulo de
-    ${\overrightarrow{e}}_{r}'$ es unitario? Utilizar estas
+7. Obtener geométricamente el mismo resultado. ¿Qué podemos deducir
+    sobre $`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}'}{dt}`$ et
+    $`\overrightarrow{e_r}`$ considerando el hecho que el modulo de
+    $`\overrightarrow{e_r}`$ es unitario? Utilizar estas
     consideraciones para calcular geométricamente el valor de
-    $\frac{d{\overrightarrow{e}}_{r}'\ }{\text{dt}}$.
+    $`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}'}{dt}`$.
 
-8)  Calcular el producto vectorial
-    $\overrightarrow{\omega} \land {\overrightarrow{e}}_{r}^{'}\ $con
-    $\overrightarrow{\omega} = \frac{\text{dφ}}{\text{dt}}{\overrightarrow{e}}_{z}$ .
+8. Calcular el producto vectorial
+    $`\overrightarrow{\omega} \land \overrightarrow{e_r}'`$, con
+    $`\overrightarrow{\omega} = \dfrac{d\varphi}{dt} \overrightarrow{e_z}`$.   
     ¿Cómo podemos explicar este resultado?
 
-9)  Calcular $\frac{d\overrightarrow{r}\ }{\text{dt}}$ utilizando uno de
+9. Calcular $`\dfrac{d\overrightarrow{r}}{dt}`$ utilizando uno de
     los métodos posibles.
 
-10) Definimos el vector
-    $\overrightarrow{v} = 3.f\left( t \right).{\overrightarrow{e}}_{x} + 5.g\left( t \right)\text{.t.}{\overrightarrow{e}}_{y} - \frac{k}{f\left( t \right)}.{\overrightarrow{e}}_{z}\ \text{con\ }f\left( t \right) = 3.t,\ g\left( t \right) = 2.t\text{\ y\ }k\  = \  - 2\ $.
-    Calcular la forma diferencial de $\overrightarrow{v}$
-    ($d\overrightarrow{v})\ $y su derivada respecto al tiempo
-    $\frac{d\overrightarrow{v}\ }{\text{dt}}$.
+10. Definimos el vector
+    $`\overrightarrow{v} = 3.f \left( t \right).\overrightarrow{e_x} + 5.g\left( t \right) \text{.t.}\overrightarrow{e_y} - \dfrac{k}{f\left( t \right)}.\overrightarrow{e_z}\ \text{con\ }f\left( t \right) = 3.t,\ g\left( t \right) = 2.t \gamma k\  = \  - 2\ `$.
+    
+    Calcular la forma diferencial $`d\overrightarrow{v}`$ de $`\overrightarrow{v}`$, y su derivada respecto al tiempo
+    $`\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}`$.
 
-**Ejercicio 2: El movimiento circular, las coordenadas cilíndricas y el
-triedro de Frenet**
+##### *Ejercicio 2 :* **El movimiento circular, las coordenadas cilíndricas y el triedro de Frenet**
 
-![](img\media\image3.png){width="2.6527777777777777in"
-height="2.6527777777777777in"}Un punto M en un sistema de coordenadas
+<!--   ![](img\media\image3.png){width="2.6527777777777777in"
+height="2.6527777777777777in"}-->
+
+Un punto M en un sistema de coordenadas
 $\mathcal{R}$ ${(O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y}$)
 describe un movimiento circular. La posición del punto M esta descrita
-por el ángulo $\theta(t)\ $entre el eje \[*Ox*) y el vector
+por el ángulo $`\theta(t)`$ entre el eje $`Ox`$ y el vector
 $\overrightarrow{\text{OM}}$ (ver figura). El rayo del círculo tiene el
-valor *r*.
+valor $`r`$.
 
-1)  Calcular la expresión del vector $\overrightarrow{\text{OM}}$
+1. Calcular la expresión del vector $\overrightarrow{\text{OM}}$
     respecto de la base
-    ${\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y}$ en función de
-    *r* y $\theta(t)$ y, en seguida, respecto de la base
-    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$.
+    $`\left(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}\right)`$ en función de
+   $`r`$, $`\theta(t)`$, y, en seguida, respecto de la base
+    $`\left(\overrightarrow{e_\rho},\overrightarrow{e_\theta}\right)`$.
 
-2)  Estudiar el movimiento en$\mathcal{\text{\ R}}$. Derivar el vector
-    $\overrightarrow{\text{OM}}$ respecto al tiempo y calcular la
+2. Estudiar el movimiento en $\mathcal{R}$. Derivar el vector
+    $`\overrightarrow{OM}`$ respecto al tiempo y calcular la
     expresión del vector velocidad
-    ${\overrightarrow{v}}_{M\mathcal{/R}}\ $respecto de la base
-    ${\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y}$, en fonction de
-    *r* et $\theta(t)$ et $\frac{\text{dθ}(t)}{\text{dt}}$. Efectuar el
+    $`\overrightarrow{v}_{M\mathcal{/R}}`$ respecto de la base
+    $`\left(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}\right)`$, en fonction de
+   $`r`$ et $`\theta(t)`$ y $`\dfrac{d\theta (t)}{dt}$. Efectuar el
     mismo cálculo utilizando la base
-    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$.
+    $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
 
-3)  Calcular la expresión del vector aceleración
-    ${\overrightarrow{a}}_{M\mathcal{/R}}\ $ respecto de la base
-    ${\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y}$ en función de
-    *r,* $\theta(t)$, $\frac{\text{dθ}(t)}{\text{dt}}$ et
-    $\frac{d^{2}\theta(t)}{\text{dt}^{2}}$. Efectuar el mismo cálculo
+3. Calcular la expresión del vector aceleración
+    $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{R}}`$ respecto de la base
+    $`\left(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}\right)`$ en función de
+   $`r, \theta(t), d\frac{d\theta (t)}{dt}`$ y
+    $`\dfrac{d^{2}\theta(t)}{dt^2}`$. Efectuar el mismo cálculo
     utilizando la base
-    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$.
+    $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
 
-4)  Calcular la norma del vector velocidad en función de *r* et
-    $\theta(t)$.
+4. Calcular la norma del vector velocidad en función de $`r`$ y
+    $`\theta(t)`$.
 
-5)  Calcular el valor de los vectores de Frenet
-    ${\overrightarrow{e}}_{T}$ y ${\overrightarrow{e}}_{N}$ en función
-    de ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$.
+5. Calcular el valor de los vectores de Frenet
+    $`\overrightarrow{e_T}`$ y $`\overrightarrow{e_N}`$ en función
+    de  $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
 
-6)  Calcular las componentes de la aceleración respecto a la base
+6. Calcular las componentes de la aceleración respecto a la base
     formada por el triedro Frenet.
 
-**Ejercicio 3: La espiral.**
+##### *Ejercicio 3 :* **La espiral**
 
-![](img\media\image4.png){width="2.1486111111111112in"
+<!--   ![](img\media\image4.png){width="2.1486111111111112in"
 height="1.6409722222222223in"}![](img\media\image4.png){width="3.060416666666667in"
-height="2.3375in"}Un punto *M* describe en el plano (O,x,y) una espiral
-de ecuaciones paramétricas:
-
-$x = b.\theta.\cos\left( \theta \right)$;
-$y = b.\theta.\sin\left( \theta \right)$
-
-Donde
-$b = C.\text{te};\ \theta = \left( \widehat{O_{x},\text{OM}} \right)$
-;$\omega = \frac{d\theta}{\text{dt}} = C.\text{te}$
-
-Al principio del movimiento el ángulo teta tiene valor nulo (
-$\theta(t\  = \ 0) = 0$). El sistema de coordenadas
-(${O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y}$) constituye un
-sistema de observación para el sistema de referencia $\mathcal{R}$ que
-será utilizado para estudiar el movimiento de *M
-(*($\mathcal{R}\left( {O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y} \right)$en
-notación abreviada).
-
-1)  Calcular la expresión del vector position
+height="2.3375in"}-->
+
+Un punto *M* describe en el plano (O,x,y) una espiral
+de ecuaciones paramétricas :   
+$`x = b.\theta.\cos\left( \theta \right)\quad`$;
+$`\quad y = b.\theta.\sin\left( \theta \right)`$ ,   
+donde    
+$`b =cst\quad,\quad\theta = \widehat{O_{x},\text{OM}}\quad,`$ 
+$`\quad\omega = \dfrac{d\theta}{dt} = cste`$
+
+Al principio del movimiento el ángulo teta tiene valor nulo 
+$`(\;\theta_{t=0} = 0\;)`$. El sistema de coordenadas
+$`(\left( O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}\right)`$ constituye un
+sistema de observación para el sistema de referencia $`\mathcal{R}`$
+$`\left( \mathcal{R}= (O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, t) \right)`$ 
+en notación abreviada), que será utilizado para estudiar el movimiento de $`M`$.
+
+1. Calcular la expresión del vector position
     $\overrightarrow{\text{OM}}$, (ii) del vector velocidad
-    ${\overrightarrow{v}}_{M\mathcal{/R}}\ $ y (iii) del vector
-    aceleración ${\overrightarrow{a}}_{M\mathcal{/R}}\ $ en el sistema
-    de coordenadas polares
-    $\left( O{,\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta} \right)$.
+    $`\overrightarrow{v}_{M\mathcal{/R}}`$ y (iii) del vector
+    aceleración $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{/R}}`$ en el sistema
+    de coordenadas polares $`\left( O,\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\theta}} \right)`$.
 
-2)  Calcular la expresión del módulo del vector velocidad.
+2. Calcular la expresión del módulo del vector velocidad.
 
-3)  Demonstrar que la expresión del vector tangencial
-    ${\overrightarrow{e}}_{T}$ y normal ${\overrightarrow{e}}_{N}$ à la
-    trayectoria tienen las expresiones siguientes.
+3. Demonstrar que la expresión del vector tangencial
+    $`\overrightarrow{e_T}`$ y normal $`\overrightarrow{e_N}`$ a la
+    trayectoria tienen las expresiones siguientes :   
+$`\overrightarrow{e_T} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + (\omega t)^{2}}} \overrightarrow{e_{\rho}}`$ $` + \dfrac{\omega t}{\sqrt{1 + (\omega t)^{2}}} \overrightarrow{e_{\theta}}`$   
+$`\overrightarrow{e_{N}} = \dfrac{-\omega t}{\sqrt{1 + \left( \omega t \right)^{2}}}\overrightarrow{e_{\rho}} + \dfrac{1}{\sqrt{1 + \left( \omega t\right)^{2}}}\overrightarrow{e_{\theta}}`$
 
-> $\ {\overrightarrow{e}}_{T} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \text{ωt} \right)^{2}}}{\overrightarrow{e}}_{\rho} + \frac{\text{ωt}}{\sqrt{1 + \left( \text{ωt} \right)^{2}}}{\overrightarrow{e}}_{\theta}$
-> ${\overrightarrow{e}}_{N} = \frac{- \text{ωt}}{\sqrt{1 + \left( \text{ωt} \right)^{2}}}{\overrightarrow{e}}_{\rho} + \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \text{ωt} \right)^{2}}}{\overrightarrow{e}}_{\theta}$
+4. Calcular la expresión del vector aceleración
+    $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{/R}}`$ por respecto a los vectores
+    de Frenet $`\overrightarrow{e_T}`$ ,$`\overrightarrow{e_N}`$
+    (o sea calcular $`a_T`$ et $`a_N`$ utilizando la relación
+    $`\overrightarrow{a} = a_T \overrightarrow{e_T}+a_N\overrightarrow{e_N}`$.
 
-4)  Calcular la expresión del vector aceleración
-    ${\overrightarrow{a}}_{M\mathcal{/R}}\ $ por respecto a los vectores
-    de Frenet ${\overrightarrow{e}}_{T}$ ,$\ {\overrightarrow{e}}_{N}$
-    (o sea calcular $a_{T}$ et $a_{N}\ $utilizando la relación
-    $\overrightarrow{a} = a_{T}{\overrightarrow{e}}_{T}$
-    +$a_{N}{\overrightarrow{e}}_{N}$ )
+5. Encontrar un método alternativo para calcular $`a_T`$ et
+    $`a_N`$ sin conocer el valor de $`\overrightarrow{e_T}`$
+    y $`\overrightarrow{e_N}`$ *(Pregunta facultativa)*.
 
-5)  Encontrar un método alternativo para calcular $a_{T}$ et
-    $a_{N}\ $[sin conocer el valor de]{.ul} ${\overrightarrow{e}}_{T}$
-    et $\ {\overrightarrow{e}}_{N}$? **(Pregunta facultativa)**
+6. Calcular, utilizando dos métodos diferentes, la expresión del rayo
+    de curvatura $`R`$ de la trayectoria para un instante cualquiera $`t`$.
 
-6)  Calcular, utilizando dos métodos diferentes, la expresión del rayo
-    de curvatura *R* de la trayectoria para un instante cualquiera *t*.
+##### *Ejercicios 4 :* **El esquiador**
 
-**Ejercicios 4 : El esquiador**
+<!--   ![](img\media\image5.png){width="2.2534722222222223in"
+height="2.1486111111111112in"}-->
 
-![](img\media\image5.png){width="2.2534722222222223in"
-height="2.1486111111111112in"}
-
-Un esquiador de masa *m* esquía siguiendo una line recta en una pista de
+Un esquiador de masa $`m`$ esquía siguiendo una line recta en una pista de
 inclinación$\ \theta$. El esquiador ésta sometido a una fuerza de
 rozamiento al contacto de la pista (que no tendremos en cuenta al
 principio) y a la fricción de contacto con el aire que es caracterizada
 por el coeficiente $\alpha$. El esquiador será aproximado como un punto
 material M. El movimiento será descrito en el sistema de referencia
 $\mathcal{R}$ y con las coordenadas de observación
-${(O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y})$. En el instante
-t = 0 el esquiador tiene una velocidad nula y está en el punto (0, 0).
+$`(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, t)`$. En el instante
+$`t = 0`$ el esquiador tiene una velocidad nula y está en el punto $`(0, 0)`$.
 
-1)  Determinar en el
-    sistema${\ (O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y})$ las
-    expresiones de la velocidad ${\overrightarrow{v}}_{M\mathcal{/R}}\ $
-    et de aceleración ${\overrightarrow{a}}_{M\mathcal{/R}}\ $ del
+1. Determinar en el
+    sistema $`(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y})`$ las
+    expresiones de la velocidad $`\overrightarrow{v}_{M\mathcal{/R}}`$ 
+    et de aceleración $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{/R}}`$ del
     esquiador.
 
-2)  Hacer la suma de las fuerzas aplicadas al esquiador en el sistema de
-    referencia $\mathcal{R}$ y calcular sus expresiones en el sistema de
-    coordenadas${\ (O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y})$.
+2. Hacer la suma de las fuerzas aplicadas al esquiador en el sistema de
+    referencia $`\mathcal{R}`$ y calcular sus expresiones en el sistema de
+    coordenadas $`(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y})`$.
 
-3)   ? Que fuerzas son aplicadas por el esquiador a la pista?
+3. ? Que fuerzas son aplicadas por el esquiador a la pista?
 
-4)  Aplicando la ley fundamental de la dinámica (LFD), calcular **las
-    componentes de la velocidad** del esquiador en función del tiempo.
+4. Aplicando la ley fundamental de la dinámica (LFD), calcular *las componentes de la velocidad* del esquiador en función del tiempo.
     ¿Que información podemos deducir de la LFD?
 
-5)  Calcular las coordenadas x(t) et y(t) en función del tiempo.
+5. Calcular las coordenadas $`x(t)`$ et $`y(t)`$ en función del tiempo.
 
-6)  ¿Qué parámetros podemos modificar para aumentar la velocidad del
+6. ¿Qué parámetros podemos modificar para aumentar la velocidad del
     esquiador?
 
-7)  ¿Qué pasaría si no hubiera ningún tipo de rozamiento?
+7. ¿Qué pasaría si no hubiera ningún tipo de rozamiento?
 
-> **Comentario:** El record el mundo de velocidad (252 km.h^-1^) ha sido
+> *Comentario :* El record el mundo de velocidad $`(252 km.h^{-1})`$ ha sido
 > obtenido por el Italiano Simone Origone que ha obtenido esta velocidad
 > en una pista de 1km con una inclinación media de 52%.
 
-**Ejercicio 5 : El espectrómetro de masa; el movimiento de una partícula
-cargada sometida a un campo eléctrico y a un campo magnético.**
+##### *Ejercicio 5 :* **El espectrómetro de masa; el movimiento de una partícula cargada sometida a un campo eléctrico y a un campo magnético.**
 
-Consideramos una partícula de masa *m*$= 9.1 \times 10^{- 31}\text{kg}$
-que lleva una carga *q =* $1.6 \times 10^{- 19}C\ $y que se mueve en un
+Consideramos una partícula de masa $`m= 9.1 \times 10^{- 31} kg`$
+que lleva una carga $`q = 1.6 \times 10^{- 19}C `$ y que se mueve en un
 sistema inercial
-$\mathcal{R(}{O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y},{\overrightarrow{e}}_{z})$.
+$`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$.   
 Para empezar consideramos separadamente el efecto de un campo eléctrico
-$\overrightarrow{E}$ y el efecto de un campo magnético
-$\overrightarrow{B}$ sobre la partícula. Por eso utilizaremos la
+$`\overrightarrow{E}`$ y el efecto de un campo magnético
+$`\overrightarrow{B}`$ sobre la partícula. Por eso utilizaremos la
 expresión de la fuerza de Lorentz
-$\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \land \overrightarrow{B}\ )$
+$`\overrightarrow{F} = q\,(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \land \overrightarrow{B})`$
 y ignoraremos el efecto de la fuerza de gravedad.
 
 **1 : Efecto del campo eléctrico**
 
-![](img\media\image6.png){width="2.6041666666666665in"
-height="2.4208333333333334in"}La particula *M* esta (en t = 0) en el
+<!--   ![](img\media\image6.png){width="2.6041666666666665in"
+height="2.4208333333333334in"}-->
+
+La particula $`M`$ esta (en $`t = 0`$) en el
 punto (0, y~0~, 0). Su velocidad inicial es igual à cero. Un campo
-eléctrico uniforme $\overrightarrow{E} = E_{0}{\overrightarrow{e}}_{x}$
-es aplicado en la región x = 0, x = 50cm.
+eléctrico uniforme $`\overrightarrow{E} = E_{0}\overrightarrow{e_x}`$
+es aplicado en la región $`x = 0 y x = 50cm`$.
 
-1)  Aplicar la LFD en el sistema de referencia
-    $\mathcal{\text{R\ }}$para determinar las componentes de la
+1. Aplicar la LFD en el sistema de referencia
+    $`\mathcal{R}`$ para determinar las componentes de la
     velocidad de la particula.
 
-2)  Déterminar la posicion de la particula en funcion del tiempo.
+2. Déterminar la posicion de la particula en funcion del tiempo.
 
-3)  Calcular el trabajo efectuado por el campo eléctrico entre x = 0 y
+3. Calcular el trabajo efectuado por el campo eléctrico entre x = 0 y
     50cm.
 
-4)  Utilizando el teorema del energía cinética, determinar la velocidad
+4. Utilizando el teorema del energía cinética, determinar la velocidad
     de la partícula a la salida de la zona donde el campo eléctrico es
     diferente de cero.
 
-5)  Calcular la suma de las fuerzas aplicadas por x \> 50cm. Como
+5. Calcular la suma de las fuerzas aplicadas por x \> 50cm. Como
     evoluciona la velocidad de la partícula por x \> 50cm ?
 
 **2 : Efecto del campo magnético**
 
-La particula *M* en el istante t = 0 est en el punto (0, y~0~, 0). Su
+La particula $`M`$ en el instante $`t = 0`$ est en el punto $`(0, y_0, 0)`$. Su
 velocidad inicial es
-$\overrightarrow{v} = v_{0}{\overrightarrow{e}}_{x}$. Un campo magnetico
-uniforme $\overrightarrow{B} = B_{0}{\overrightarrow{e}}_{z}\ $es
+$`\overrightarrow{v} = v_{0}\overrightarrow{e_x}`$. Un campo magnetico
+uniforme $`\overrightarrow{B} = B_0\,\overrightarrow{e_z}`$ es
 aplicado en todo el espacio.
 
-1)  ![](img\media\image7.png){width="2.4923611111111112in"
-    height="2.410416666666667in"}Expresar las componentes *F~x~, F~y~,
-    F~z~* de la fuerza aplicada a la partícula en función del tiempo *t*
-    de *E*, *B*, *q* y de las componentes de la velocidad *v~x~* y
-    *v~y~*.
+1. <!--    ![](img\media\image7.png){width="2.4923611111111112in"
+    height="2.410416666666667in"}-->
+    
+    Expresar las componentes $`F_x, F_y, F_z`$ de la fuerza aplicada a la partícula en función del tiempo $`t`$,
+    de $`E, B, q`$ y de las componentes de la velocidad $`v_x, v_y`$.
 
-2)  Demonstrar que le movimiento de la partícula se efectúa en el plano
-    (x0y).
+2. Demonstrar que le movimiento de la partícula se efectúa en el plano
+    $`(x0y)`$.
 
-3)  Utilizando la LFD, escribir las ecuaciones diferenciales de
+3. Utilizando la LFD, escribir las ecuaciones diferenciales de
     evolución temporal de las componentes de la velocidad.
 
-4)  Calcular la dependencia temporal de las componentes de la velocidad
-    y, en seguida, las coordenadas *x(t)* et *y(t)* de la partícula en
+4. Calcular la dependencia temporal de las componentes de la velocidad
+    y, en seguida, las coordenadas $`x(t)`$ et $`y(t)`$ de la partícula en
     función del tiempo. Para simplificar los cálculos utilizaremos la
-    constante $\omega_{c} = \frac{\text{qB}}{m}$.
+    constante $`\omega_{c} = \dfrac{\text{qB}}{m}`$.
 
-5)  ¿Calcular la norma de la velocidad de la partícula. Cómo evoluciona
+5. ¿Calcular la norma de la velocidad de la partícula. Cómo evoluciona
     esta magnitud en función del tiempo?
 
-6)  Demonstrar que el resultado precedente puede ser obtenido utilizando
+6. Demonstrar que el resultado precedente puede ser obtenido utilizando
     el teorema del energía cinética.
 
-7)  ¿Qué tipo de trayectoria efectúa el punto M? Para contestar utilizar
+7. ¿Qué tipo de trayectoria efectúa el punto M? Para contestar utilizar
     la expresión de la aceleración con respecto al triedro de Frenet.
 
-![](img\media\image8.png){width="2.7756944444444445in"
-height="2.1506944444444445in"}**3 : Espectrometría**
+<!--   ![](img\media\image8.png){width="2.7756944444444445in"
+height="2.1506944444444445in"}-->
 
-La partícula M, en el instante t = 0, está en el punto (0, y~0~, 0) con
-y~0~ = 5cm. Su velocidad inicial es igual a cero. Un campo electirco
-uniforme $\overrightarrow{E} = E_{0}{\overrightarrow{e}}_{x}$
-${(E}_{0} = 2 \times 10^{4}V.m^{- 1})\ $est aplicado en la region x = 0,
-x = 50cm y un campo magnético
-$\overrightarrow{B} = B_{0}{\overrightarrow{e}}_{z}\ (B_{0} = 10\text{mT})$
-es aplicado a partir de x = 100cm.
+**3 : Espectrometría**
 
-1)  Trazar cualitativamente la trayectoria de la partícula utilizando
+La partícula $`M`$, en el instante $`t = 0`$, está en el punto $`(0, y_0, 0)`$ con
+$`y_0 = 5cm`$. Su velocidad inicial es igual a cero. Un campo electirco
+uniforme $`\overrightarrow{E} = E_{0}\,\overrightarrow{e_x}`$
+$`(E_0 = 2 \times 10^4 V.m^{- 1})`$ est aplicado en la region $`x = 0`$,
+$`x = 50cm`$ y un campo magnétic
+$`\overrightarrow{B} = B_0 \overrightarrow{e_z}`$ con $`B_0 = 10 mT`$
+es aplicado a partir de $`x = 100cm`$.
+
+1. Trazar cualitativamente la trayectoria de la partícula utilizando
     los resultados de las partes 1 ey 2.
 
-2)  Porque podemos decir que este sistema es un espectrómetro de masa
+2. Porque podemos decir que este sistema es un espectrómetro de masa
     (sistema que puede separar las partículas en función de sus masa).
 
-**Ejercicio 6 : El péndulo**
+##### *Ejercicio 6 :* **El péndulo**
+
+<!--   ![](img\media\image9.png){width="2.7152777777777777in"
+height="2.245833333333333in"}-->
 
-![](img\media\image9.png){width="2.7152777777777777in"
-height="2.245833333333333in"}Un punto material *M* está suspendido à un
-hilo de longitud *l* y de masa despreciable. La position de *M* es
-definida utilizando el ángulo $\theta$. $\overrightarrow{u}$ es un
+Un punto material $`M`$ está suspendido à un
+hilo de longitud *$`l`$ y de masa despreciable. La position de $`M`$ es
+definida utilizando el ángulo $`\theta`$. $`\overrightarrow{u}`$ es un
 vector unitario perpendicular al plano de movimiento (ver la figura).
-Después de haber desplazado *M* de su position de equilibrio de un
-ángulo $\theta_{0}$ lo dejamos moverse sin darle ninguna velocidad
+Después de haber desplazado $`M`$ de su position de equilibrio de un
+ángulo $`\theta_{0}`$ lo dejamos moverse sin darle ninguna velocidad
 inicial. Consideraremos el principio del movimiento come el instante
-inicial (t=0). El movimiento será calculado en el sistema de referencia
+inicial $`(t=0)`$. El movimiento será calculado en el sistema de referencia
 inercial
-$\mathcal{R(}{O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y})$.
+$`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y})`$.
 
-1)  Calcular la expresión de $\overrightarrow{\text{OM}}$,
-    ${\overrightarrow{v}}_{M\mathcal{/R}}\ $y
-    ${\overrightarrow{a}}_{M\mathcal{/R}}$ en el sistema de referencia
-    ${(O,\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta})$.
+1. Calcular la expresión de $`\overrightarrow{OM}`$,
+    $`\overrightarrow{v}_{M\mathcal{/R}}`$ y
+    $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{/R}}`$ en el sistema de referencia
+    $`(O,\overrightarrow{e_{rho}},\overrightarrow{e_{\theta}},t)`$.
 
-2)  Hacer la suma de las fuerzas aplicadas en el punto M en el sistema
-    de referencias $\mathcal{R}$ y calcular las expresiones de las
+2. Hacer la suma de las fuerzas aplicadas en el punto M en el sistema
+    de referencias $`\mathcal{R}`$ y calcular las expresiones de las
     fuerzas en el sistema de coordenadas
-    ${(O,\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta})$.
+    $`(O,\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}})`$.
 
-3)  Escribir las ecuaciones diferenciales del movimiento utilizando el
+3. Escribir las ecuaciones diferenciales del movimiento utilizando el
     teorema del momento cinético.
 
-4)  Solucionar esta ecuación en la aproximación de pequeñas
+4. Solucionar esta ecuación en la aproximación de pequeñas
     oscilaciones.
 
-5)  Utilizar el teorema de energía cinética para determinar la velocidad
-    en función de $\theta$ sin hacer ninguna aproximación sobre la
+5. Utilizar el teorema de energía cinética para determinar la velocidad
+    en función de $`\theta`$ sin hacer ninguna aproximación sobre la
     magnitud de las oscilaciones.
 
-![](img\media\image10.png){width="2.15in"
-height="2.234027777777778in"}**Ejercicio7 : El skate-boarder**
+<!--   ![](img\media\image10.png){width="2.15in"
+height="2.234027777777778in"}*-->
 
-![](img\media\image11.png){width="2.775in"
-height="1.9479166666666667in"}
+##### *Ejercicio 7 :* **El skate-boarder**
 
-Un skate-boarder quiere realizar una acrobacia muy peligrosa: bajar sin
-velocidad inicial de una rampa de altitud *h*, y terminar con un rizo
-(looping) de rayo*ρ*. ¡Más el altitud inicial *h* es pequeña, mas su
+<!--   ![](img\media\image11.png){width="2.775in"
+height="1.9479166666666667in"}-->
+
+Un skate-boarder quiere realizar una acrobacia muy peligrosa : bajar sin
+velocidad inicial de una rampa de altitud $`h`$, y terminar con un rizo
+(looping) de rayo $`\rho`$. ¡Más el altitud inicial $`h`$ es pequeña, mas su
 figura será impresionante! Sin embargo el skate-boarder no está
-completamente loco: quiere calcular antes la altitud *h* mínima para
-estar seguro de poder terminar el looping\...
+completamente loco : quiere calcular antes la altitud $`h`$ mínima para
+estar seguro de poder terminar el looping...
 
 En un primer tiempo, vamos a estudiar el movimiento del skate-boarder,
-que vamos a considerar como un punto *M* de masa *m* que se mueve
-siguiendo un círculo de rayo*ρ*. El movimiento se hace sin rozamiento.
+que vamos a considerar como un punto $`M`$ de masa $`m`$ que se mueve
+siguiendo un círculo de rayo $`\rho`$. El movimiento se hace sin rozamiento.
 El sistema de referencia, en que la rampa no es fija, es inercial y será
-indicado por $\mathcal{R}$.
+indicado por $`\mathcal{R}`$.
 
-1)  Calcular la expresión de la aceleración, exprimiéndola en los
+1. Calcular la expresión de la aceleración, exprimiéndola en los
     vectores de base
-    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$.
-
-2)  Demonstrar que el módulo de la aceleración tangencial
-    ${\overrightarrow{a}}_{\theta}$ se puede escribir en la forma
-    ${\overrightarrow{a}}_{\theta} = \frac{\left\| \overrightarrow{v} \right\|}{\rho}\frac{d\left\| \overrightarrow{v} \right\|}{\text{dθ}}$
-
-3)  Indicar y estudiar la(s) fuerza(s) aplicada(s) en el skate-boarder.
-
-4)  Escribir la ecuación fundamental de la dinámica. Como se escribe
+    $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
+
+2. Demonstrar que el módulo de la aceleración tangencial
+    $`\overrightarrow{a_{\theta}}`$ se puede escribir en la forma
+     $`\overrightarrow{a_{\theta}} = \dfrac{\lVert\overrightarrow{v} \rVert}{\rho}\dfrac{d \lVert\overrightarrow{v}\rVert} {d\theta}`$
+     
+<!--pas bonnes écritures :----------------
+$`\overrightarrow{a_{\theta}} = \dfrac{\left\| \overrightarrow{v} \right\|}{\rho}\dfrac{d\left\| \overrightarrow{v} \right\|} {d\theta}`$   
+$`\overrightarrow{a_{\theta}} = \dfrac{|| \overrightarrow{v} ||}{\rho}\cdot\dfrac{d || \overrightarrow{v} ||} {d\theta}`$
+-------------------------------------------->
+    
+3. Indicar y estudiar la(s) fuerza(s) aplicada(s) en el skate-boarder.
+
+4. Escribir la ecuación fundamental de la dinámica. Como se escribe
     esta equacion si la proyectamos en los vectores de base
-    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$ ?
+    $`\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\theta}}`$ ?
 
-5)  Determinar la velocidad *v* en un punto cualquiera de la trayectoria
-    si *v~0~* es la velocidad en el punto más bajo del circulo
+5. Determinar la velocidad $`v`$ en un punto cualquiera de la trayectoria
+    si $`v_0`$ es la velocidad en el punto más bajo del circulo.
 
-6)  Cuál es la reacción $\overrightarrow{\text{N\ }}$de la rampa sobre
+6. Cuál es la reacción $`\overrightarrow{R}`$de la rampa sobre
     el skate-boarder ?
 
-7)  ¿Cuál es la altitud mínima *h* para empezar el looping sin velocidad
+7. ¿Cuál es la altitud mínima $`h`$ para empezar el looping sin velocidad
     inicial y que nos asegura que el skater no se destaque nunca de la
     rampa durante su trayectoria?
 
-**Ejercicio 8: El Tobogán**
+##### *Ejercicio 8 :* **El Tobogán**
 
-![](img\media\image12.png){width="3.5548611111111112in"
-height="2.484027777777778in"}Las ecuaciones en coordenadas polares de
-una trayectoria helicoidal de eje vertical \[Oz) son:
+<!--   ![](img\media\image12.png){width="3.5548611111111112in"
+height="2.484027777777778in"}-->
 
-$$\rho = a\ et\ z = h\theta$$
+Las ecuaciones en coordenadas polares de
+una trayectoria helicoidal de eje vertical \[Oz) son :   
+$`\rho = a\quad,\quad z = h\theta`$
 
-Un niño se lanza si velocidad inicial de una altura $H = 2\pi h$ y baja
+Un niño se lanza si velocidad inicial de una altura $`H = 2\pi h`$ y baja
 en el tobogán helicoidal. Haremos la aproximación que el niño sea un
 punto material que se mueve sin rozamiento en el sistema de referencia
 inercial
-$\mathcal{R(}{O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y},{\overrightarrow{e}}_{z})$.
+$`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$.
 
-1)  Calcular la suma de las fuerzas aplicadas en el punto *M* utilizando
+1. Calcular la suma de las fuerzas aplicadas en el punto $`M`$ utilizando
     la base
-    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta},\ {\overrightarrow{e}}_{z}$.
+    $`\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{z}}`$.
 
-2)  Utilizando el teorema de la energía cinética, calcular la evolución
-    temporal de la variable $\theta$.
+2. Utilizando el teorema de la energía cinética, calcular la evolución
+    temporal de la variable $`\theta`$.
 
-3)  Calcular el tiempo necesario porque el niño llegue hasta al fundo
-    del tobogán (z = 0).
+3. Calcular el tiempo necesario porque el niño llegue hasta al fundo
+    del tobogán $`(z = 0)`$.
 
-**Ejercicio 9: Velocidad de liberación**
+##### *Ejercicio 9 :*  **Velocidad de liberación**
 
 La aceleración de gravedad varía en función de la distancia de le
-superficie de la tierra siguiendo la ley:
-$\overrightarrow{g} = - \frac{GM_{\text{Terre}}}{\left( R_{\text{Terre}} + r \right)^{2}}{\overrightarrow{e}}_{\text{r\ }}$donde
-*G* es la constante universal de gravitación, *M~tierra\ ~*y *R~tierra~*
-son respectivamente la masa y el rayo de la Tierra. Llamaremos la
-«velocidad de liberación » *v~lib~(r)* a un altitud *r* la velocidad
+superficie de la tierra siguiendo la ley :
+
+$`\overrightarrow{g} = - \dfrac{G\,M_{Tierra}}{\left( R_{Tierra} + r \right)^{2}}\overrightarrow{e_r}`$,    
+
+donde $`G`$ es la constante universal de gravitación, $`M_{Tierra}`$ y $`R_{Tierra}`$
+son respectivamente la masa y el rayo de la Tierra.   
+Llamaremos la «velocidad de liberación» $`v_{lib}(r)`$ a un altitud $`r`$ la velocidad
 mínima necesaria para que una partícula se aleje de la superficie
-terrestre hasta al infinito. Valores numéricos:
-$G = 6.67 \times 10^{- 11}m^{3}\text{kg}^{- 1}s^{- 2}$,
-$\text{\ M}_{\text{tierra}} = 6 \times 10^{24}kg,\ \text{\ M}_{\text{luna}} = 7.3 \times 10^{24}kg,\ \ R_{\text{tierra}} = 6400km\ et\ R_{\text{tierra}} = 1700km$.
-
-1)  Demonstrar que la fuerza de gravitación deriva de una energía
-    potencial *U* y calcularla (definiendo la origen de la energía
-    potencial *U = 0* al infinito).
-
-2)  Deducir el trabajo mínimo para traer la masa *m* à un altura *r\'*.
-
-3)  Calcular la expresión de *v~lib~(r)*, y su valor numérico por r=0 y
-    r=300 km.
-
-4)  ¿Cuál es la velocidad de liberación en la superficie de la luna?
-
-**Ejercicio 10: El girómetro**
-
-![](img\media\image13.png){width="2.5965277777777778in"
-height="3.5083333333333333in"}Un anillo de masa *m* esta puesto en una
-varilla que se mueve con una rotación constante alrededor de eje *z* con
-una velocidad angular constante $\omega$. El anillo es mantenido por un
-resorte de constante elastica *k*. La longitud de equilibrio del resorte
-es $\rho_{0}$. Vamos a calcular el movimiento del anillo aproximándolo à
-une masap puntual en el sistema de referencia non inercial
-$\mathcal{R}^{'}$ que gira alrededor del eje z con una velocidad angular
-$\omega$. Hay una fuerza de rozamiento entre el anillo y la varilla que
-se puede expresar de la forma siguiente
-$\overrightarrow{f} = - \alpha{\overrightarrow{v}}_{M\mathcal{/R'}}$. El
-eje z representa la vertical.
-
-1)  Calcular $\overrightarrow{\text{OM}}$,
-    ${\overrightarrow{v}}_{M\mathcal{/R'}}\ $et
-    ${\overrightarrow{a}}_{M\mathcal{/R'}}$ en la base
-    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$.
-
-2)  Calcular la suma de las fuerzas aplicadas en el anillo en el sistema
-    $\mathcal{R}^{'}$ utilizando la base
-    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$.
-
-3)  Utilizar la ecuación fundamental de la dinámica para determinar las
+terrestre hasta al infinito.   
+
+Los valores numéricos son :    
+$`G = 6.67 \times 10^{- 11}m^{3}kg^{-1}s^{- 2}`$,    
+$`M_{Tierra} = 6 \times 10^{24}kg\quad ,\quad M_{Luna} = 7.3 \times 10^{24}kg,`$    
+$`R_{Tierra} = 6400\,km\quad ,\quad R_{Luna} = 1700\,km`$.
+
+1. Demonstrar que la fuerza de gravitación deriva de una energía
+   potencial $`U`$ y calcularla (definiendo la origen de la energía
+    potencial $`U=0`$ al infinito).
+
+2. Deducir el trabajo mínimo para traer la masa $`m`$ à un altura $`r'`$.
+
+3. Calcular la expresión de $`v_{lib}(r)`$, y su valor numérico por $`r=0`$ y
+   $` r=300\,km`$.
+
+4. ¿Cuál es la velocidad de liberación en la superficie de la luna?
+
+##### **Ejercicio 10: El girómetro**
+
+<!--   ![](img\media\image13.png){width="2.5965277777777778in"
+height="3.5083333333333333in"}-->
+
+Un anillo de masa $`m`$ esta puesto en una
+varilla que se mueve con una rotación constante alrededor de eje $`Oz`$ con
+una velocidad angular constante $`\omega`$.    
+El anillo es mantenido por un resorte de constante elastica $`k`$.    
+La longitud de equilibrio del resorte es $`\rho_{0}`$. 
+
+Vamos a calcular el movimiento del anillo aproximándolo à
+une masa puntual en el sistema de referencia non inercial $`\mathcal{R}'`$ que gira alrededor del eje $`Oz`$ con una velocidad angular
+$`\omega`$.    
+Hay una fuerza de rozamiento $`\overrightarrow{f}`$ entre el anillo y la varilla que se puede expresar de la forma siguiente
+$`\overrightarrow{f} = - \alpha \overrightarrow{v}_{M\mathcal{R'}}$.    
+El eje $`Oz`$ representa la vertical.
+
+1. Calcular $\overrightarrow{OM}$,
+    $`\overrightarrow{v}_{M\mathcal{R'}}`$ y 
+    $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{R'}}`$ en la base
+    $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
+
+2. Calcular la suma de las fuerzas aplicadas en el anillo en el sistema
+    $`\mathcal{R}'`$ utilizando la base
+    $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
+
+3. Utilizar la ecuación fundamental de la dinámica para determinar las
     ecuaciones diferenciales del movimiento.
 
-4)  Calcular $\rho(t)$ en el caso
-    $\frac{\alpha}{m} = 2\sqrt{\left( \frac{k}{m} - \omega^{2} \right)}$
+4. Calcular $`\rho(t)`$ en el caso
+    $`\dfrac{\alpha}{m} = 2\sqrt{\left(\dfrac{k}{m} - \omega^{2} \right)}`$
 
-5)  ¿Come se puede utilizar este sistema para medir una velocidad de
+5. ¿Come se puede utilizar este sistema para medir una velocidad de
     rotación?
 
-6)  Calcular el trabajo efectuado por el resorte y por las fuerzas
-    inerciales entre la posición inicial y una posición $\rho$ que
+6. Calcular el trabajo efectuado por el resorte y por las fuerzas
+    inerciales entre la posición inicial y una posición $`\rho`$ que
     elegiremos para poder calcular toda la energía disipada por el
     rozamiento utilizando el teorema de la energía cinética (por eso hay
-    que contestar a la pregunta: ¿Cuando tenemos rozamiento?).
+    que contestar a la pregunta : ¿Cuando tenemos rozamiento?).