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Commit 57e482a4 authored by Claude Meny's avatar Claude Meny
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    title: 'Mecánica del punto material' title: 'Mecánica del punto material'
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    --- ---
    <!--
    ![](img\media\image1.jpg){width="2.310416666666667in" Première année
    height="1.5118055555555556in"} Département STPI Premier semestre
    1^ère^ année
    1^er^ semestre
    UF Physique (I1ANPH21) UF Physique (I1ANPH21)
    -->
    **Mecánica del punto material** ### Mecánica del punto material
    **EJERCICIOS** <!--*AÑO ACADEMICO 2016-2017*-->
    **AÑO ACADEMICO 2016-2017** ##### **EJERCICIOS**
    Para más ejercicios consultar los libros especializados disponibles a la Para más ejercicios consultar los libros especializados disponibles a la
    Bib'INSA. Bib'INSA.
    ...@@ -30,462 +26,479 @@ Mécanique du point aux éditions DUNOD d'A. Gibaud et M. Henry ...@@ -30,462 +26,479 @@ Mécanique du point aux éditions DUNOD d'A. Gibaud et M. Henry
    Mécanique fondements et applications aux éditions MASSON de J-P. Pérez Mécanique fondements et applications aux éditions MASSON de J-P. Pérez
    **\
    **
    **Ejercicio 1: Análisis Vectorial** ##### *Ejercicio 1 :* **Análisis Vectorial**
    ![](img\media\image2.png){width="3.609722222222222in" <!-- ![](img\media\image2.png)
    height="3.692361111111111in"}Consideramos un espacio tridimensional {width="3.609722222222222in" height="3.692361111111111in"}-->
    Consideramos un espacio tridimensional
    descrito por un sistema de referencia cartesiano descrito por un sistema de referencia cartesiano
    $'\mathcal{R}(0,{\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y},{\overrightarrow{e}}_{z},t)'$. $`\mathcal{R}(0,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z},t)`$.
    El vector $'{\overrightarrow{e}}_{r}\'$es unitario y su dirección está El vector $`\overrightarrow{e_r}`$ es unitario y su dirección está
    definida por los ángulos $'\theta'$ et $'\text{φ\ }'$(ver la figura). Los definida por los ángulos $`\theta`$ et $`\varphi`$ (ver la figura). Los
    vectores $'\overrightarrow{r}'$ y $'{\overrightarrow{e}}_{r}'$ son vectores $`\overrightarrow{r}`$ y $`\overrightarrow{e_r}`$ son
    paralelos. El vector paralelos. El vector
    $'{\overrightarrow{r}}^{'} = r'{\overrightarrow{e}}_{r}'$ es la $`\overrightarrow{r'}= r'\,\overrightarrow{e_r}`$ es la
    proyección de $'\overrightarrow{r}'$ en el plano (0,x,y). proyección de $`\overrightarrow{r}`$ en el plano $`(0,x,y)`$.
    1) Expresar la proyección del vector $\overrightarrow{\text{r\ }}$en 1. Expresar la proyección del vector $`\overrightarrow{r}`$ en
    dirección $'{\overrightarrow{e}}_{z}'$ et $'{\overrightarrow{e}}_{r}'$ dirección $`\overrightarrow{e_z}`$ y $`\overrightarrow{e_r}`$
    en función de *r* et $'\theta$'. en función de $`r`$ et $`\theta`$.
    2) Expresar la proyección del vector$'\ \overrightarrow{\text{r\ }}'$ en 2. Expresar la proyección del vecto $`\overrightarrow{r}`$ en
    dirección dirección
    $'{\overrightarrow{\text{\ e}}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y},{\overrightarrow{e}}_{z}\ '$en $`\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z}`$ en
    función de *r,* $'\theta'$ et $'\varphi'$. función de $`r`$, $`\theta`$ et $`\varphi`$.
    3\) Calcular el producto escalar 3. Calcular el producto escalar
    $'{\overrightarrow{e}}_{x}.{\overrightarrow{e}}_{r}'$ utilizando un $`\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{e_r}`$ utilizando un
    método geométrico. Obtener el mismo resultado utilizando las componentes método geométrico. Obtener el mismo resultado utilizando las componentes
    de los dos vectores. de los dos vectores.`
    4) ¿En el caso $'\theta = \frac{\pi}{4}'$ et $'\varphi = \frac{\pi}{3}'$ 4. ¿En el caso $`\theta = \dfrac{\pi}{4}`$ y $`\varphi = \dfrac{\pi}{3}`$,
    cuál es el ángulo $'\text{\ γ}'$, en grados, entre los vectores cuál es el ángulo $`\gamma`$, en grados, entre los vectores
    $'{\overrightarrow{e}}_{x}'$ y $'{\overrightarrow{e}}_{r}'$? $`\overrightarrow{e_x}`$ y $`\overrightarrow{e_r}`$?
    5) Calcular los productos vectoriales siguientes:
    $'{\overrightarrow{e}}_{x} \land {\overrightarrow{e}}_{z}'$ ; 5. Calcular los productos vectoriales siguientes :
    $'{\overrightarrow{e}}_{z} \land {\overrightarrow{e}}_{x}'$ ; $`\overrightarrow{e_x} \land \overrightarrow{e_z}\quad`$ ;
    $'{\overrightarrow{e}}_{y} \land {\overrightarrow{e}}_{x}\ '$; $`\quad\overrightarrow{e_z} \land \overrightarrow{e_x}\quad`$ ;
    $'{\overrightarrow{e}}_{x} \land {\overrightarrow{r}}^{'}\ '$y $`\quad\overrightarrow{e_y} \land \overrightarrow{e_x}\quad`$ ;
    $'\overrightarrow{r} \land {\overrightarrow{r}}^{'}\ '$ $`\quad\overrightarrow{e_x} \land \overrightarrow{r'}\quad`$ ,
    $`\quad\overrightarrow{r} \land \overrightarrow{r'}`$
    6) Consideramos que el ángulo $\varphi$ es función del tiempo 6. Consideramos que el ángulo $`\varphi`$ es función del tiempo
    $\varphi = 2.t + 1$ y que el ángulo $\theta$ y la distancia *r* son $`\varphi = 2.t + 1`$ y que el ángulo $`\theta`$ y la distancia $`r`$ son
    constantes. Calcular la expresión constantes. Calcular la expresión
    $\frac{d{\overrightarrow{e}}_{r}'\ }{\text{dt}}$ analíticamente, $`\dfrac{d \overrightarrow{e_r}'}{dt}`$ analíticamente,
    utilizando las componentes cartesianas de los vectores. utilizando las componentes cartesianas de los vectores.
    7) Obtener geométricamente el mismo resultado. ¿Qué podemos deducir 7. Obtener geométricamente el mismo resultado. ¿Qué podemos deducir
    sobre $\frac{d{\overrightarrow{e}}_{r}'\ }{\text{dt}}$ et sobre $`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}'}{dt}`$ et
    ${\overrightarrow{e}}_{r}'$ considerando el hecho que el modulo de $`\overrightarrow{e_r}`$ considerando el hecho que el modulo de
    ${\overrightarrow{e}}_{r}'$ es unitario? Utilizar estas $`\overrightarrow{e_r}`$ es unitario? Utilizar estas
    consideraciones para calcular geométricamente el valor de consideraciones para calcular geométricamente el valor de
    $\frac{d{\overrightarrow{e}}_{r}'\ }{\text{dt}}$. $`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}'}{dt}`$.
    8) Calcular el producto vectorial 8. Calcular el producto vectorial
    $\overrightarrow{\omega} \land {\overrightarrow{e}}_{r}^{'}\ $con $`\overrightarrow{\omega} \land \overrightarrow{e_r}'`$, con
    $\overrightarrow{\omega} = \frac{\text{dφ}}{\text{dt}}{\overrightarrow{e}}_{z}$ . $`\overrightarrow{\omega} = \dfrac{d\varphi}{dt} \overrightarrow{e_z}`$.
    ¿Cómo podemos explicar este resultado? ¿Cómo podemos explicar este resultado?
    9) Calcular $\frac{d\overrightarrow{r}\ }{\text{dt}}$ utilizando uno de 9. Calcular $`\dfrac{d\overrightarrow{r}}{dt}`$ utilizando uno de
    los métodos posibles. los métodos posibles.
    10) Definimos el vector 10. Definimos el vector
    $\overrightarrow{v} = 3.f\left( t \right).{\overrightarrow{e}}_{x} + 5.g\left( t \right)\text{.t.}{\overrightarrow{e}}_{y} - \frac{k}{f\left( t \right)}.{\overrightarrow{e}}_{z}\ \text{con\ }f\left( t \right) = 3.t,\ g\left( t \right) = 2.t\text{\ y\ }k\ = \ - 2\ $. $`\overrightarrow{v} = 3.f \left( t \right).\overrightarrow{e_x} + 5.g\left( t \right) \text{.t.}\overrightarrow{e_y} - \dfrac{k}{f\left( t \right)}.\overrightarrow{e_z}\ \text{con\ }f\left( t \right) = 3.t,\ g\left( t \right) = 2.t \gamma k\ = \ - 2\ `$.
    Calcular la forma diferencial de $\overrightarrow{v}$
    ($d\overrightarrow{v})\ $y su derivada respecto al tiempo Calcular la forma diferencial $`d\overrightarrow{v}`$ de $`\overrightarrow{v}`$, y su derivada respecto al tiempo
    $\frac{d\overrightarrow{v}\ }{\text{dt}}$. $`\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}`$.
    **Ejercicio 2: El movimiento circular, las coordenadas cilíndricas y el ##### *Ejercicio 2 :* **El movimiento circular, las coordenadas cilíndricas y el triedro de Frenet**
    triedro de Frenet**
    ![](img\media\image3.png){width="2.6527777777777777in" <!-- ![](img\media\image3.png){width="2.6527777777777777in"
    height="2.6527777777777777in"}Un punto M en un sistema de coordenadas height="2.6527777777777777in"}-->
    Un punto M en un sistema de coordenadas
    $\mathcal{R}$ ${(O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y}$) $\mathcal{R}$ ${(O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y}$)
    describe un movimiento circular. La posición del punto M esta descrita describe un movimiento circular. La posición del punto M esta descrita
    por el ángulo $\theta(t)\ $entre el eje \[*Ox*) y el vector por el ángulo $`\theta(t)`$ entre el eje $`Ox`$ y el vector
    $\overrightarrow{\text{OM}}$ (ver figura). El rayo del círculo tiene el $\overrightarrow{\text{OM}}$ (ver figura). El rayo del círculo tiene el
    valor *r*. valor $`r`$.
    1) Calcular la expresión del vector $\overrightarrow{\text{OM}}$ 1. Calcular la expresión del vector $\overrightarrow{\text{OM}}$
    respecto de la base respecto de la base
    ${\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y}$ en función de $`\left(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}\right)`$ en función de
    *r* y $\theta(t)$ y, en seguida, respecto de la base $`r`$, $`\theta(t)`$, y, en seguida, respecto de la base
    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$. $`\left(\overrightarrow{e_\rho},\overrightarrow{e_\theta}\right)`$.
    2) Estudiar el movimiento en$\mathcal{\text{\ R}}$. Derivar el vector 2. Estudiar el movimiento en $\mathcal{R}$. Derivar el vector
    $\overrightarrow{\text{OM}}$ respecto al tiempo y calcular la $`\overrightarrow{OM}`$ respecto al tiempo y calcular la
    expresión del vector velocidad expresión del vector velocidad
    ${\overrightarrow{v}}_{M\mathcal{/R}}\ $respecto de la base $`\overrightarrow{v}_{M\mathcal{/R}}`$ respecto de la base
    ${\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y}$, en fonction de $`\left(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}\right)`$, en fonction de
    *r* et $\theta(t)$ et $\frac{\text{dθ}(t)}{\text{dt}}$. Efectuar el $`r`$ et $`\theta(t)`$ y $`\dfrac{d\theta (t)}{dt}$. Efectuar el
    mismo cálculo utilizando la base mismo cálculo utilizando la base
    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$. $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
    3) Calcular la expresión del vector aceleración 3. Calcular la expresión del vector aceleración
    ${\overrightarrow{a}}_{M\mathcal{/R}}\ $ respecto de la base $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{R}}`$ respecto de la base
    ${\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y}$ en función de $`\left(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}\right)`$ en función de
    *r,* $\theta(t)$, $\frac{\text{dθ}(t)}{\text{dt}}$ et $`r, \theta(t), d\frac{d\theta (t)}{dt}`$ y
    $\frac{d^{2}\theta(t)}{\text{dt}^{2}}$. Efectuar el mismo cálculo $`\dfrac{d^{2}\theta(t)}{dt^2}`$. Efectuar el mismo cálculo
    utilizando la base utilizando la base
    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$. $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
    4) Calcular la norma del vector velocidad en función de *r* et 4. Calcular la norma del vector velocidad en función de $`r`$ y
    $\theta(t)$. $`\theta(t)`$.
    5) Calcular el valor de los vectores de Frenet 5. Calcular el valor de los vectores de Frenet
    ${\overrightarrow{e}}_{T}$ y ${\overrightarrow{e}}_{N}$ en función $`\overrightarrow{e_T}`$ y $`\overrightarrow{e_N}`$ en función
    de ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$. de $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
    6) Calcular las componentes de la aceleración respecto a la base 6. Calcular las componentes de la aceleración respecto a la base
    formada por el triedro Frenet. formada por el triedro Frenet.
    **Ejercicio 3: La espiral.** ##### *Ejercicio 3 :* **La espiral**
    ![](img\media\image4.png){width="2.1486111111111112in" <!-- ![](img\media\image4.png){width="2.1486111111111112in"
    height="1.6409722222222223in"}![](img\media\image4.png){width="3.060416666666667in" height="1.6409722222222223in"}![](img\media\image4.png){width="3.060416666666667in"
    height="2.3375in"}Un punto *M* describe en el plano (O,x,y) una espiral height="2.3375in"}-->
    de ecuaciones paramétricas:
    Un punto *M* describe en el plano (O,x,y) una espiral
    $x = b.\theta.\cos\left( \theta \right)$; de ecuaciones paramétricas :
    $y = b.\theta.\sin\left( \theta \right)$ $`x = b.\theta.\cos\left( \theta \right)\quad`$;
    $`\quad y = b.\theta.\sin\left( \theta \right)`$ ,
    Donde donde
    $b = C.\text{te};\ \theta = \left( \widehat{O_{x},\text{OM}} \right)$ $`b =cst\quad,\quad\theta = \widehat{O_{x},\text{OM}}\quad,`$
    ;$\omega = \frac{d\theta}{\text{dt}} = C.\text{te}$ $`\quad\omega = \dfrac{d\theta}{dt} = cste`$
    Al principio del movimiento el ángulo teta tiene valor nulo ( Al principio del movimiento el ángulo teta tiene valor nulo
    $\theta(t\ = \ 0) = 0$). El sistema de coordenadas $`(\;\theta_{t=0} = 0\;)`$. El sistema de coordenadas
    (${O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y}$) constituye un $`(\left( O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}\right)`$ constituye un
    sistema de observación para el sistema de referencia $\mathcal{R}$ que sistema de observación para el sistema de referencia $`\mathcal{R}`$
    será utilizado para estudiar el movimiento de *M $`\left( \mathcal{R}= (O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, t) \right)`$
    (*($\mathcal{R}\left( {O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y} \right)$en en notación abreviada), que será utilizado para estudiar el movimiento de $`M`$.
    notación abreviada).
    1. Calcular la expresión del vector position
    1) Calcular la expresión del vector position
    $\overrightarrow{\text{OM}}$, (ii) del vector velocidad $\overrightarrow{\text{OM}}$, (ii) del vector velocidad
    ${\overrightarrow{v}}_{M\mathcal{/R}}\ $ y (iii) del vector $`\overrightarrow{v}_{M\mathcal{/R}}`$ y (iii) del vector
    aceleración ${\overrightarrow{a}}_{M\mathcal{/R}}\ $ en el sistema aceleración $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{/R}}`$ en el sistema
    de coordenadas polares de coordenadas polares $`\left( O,\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\theta}} \right)`$.
    $\left( O{,\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta} \right)$.
    2) Calcular la expresión del módulo del vector velocidad.
    3) Demonstrar que la expresión del vector tangencial 2. Calcular la expresión del módulo del vector velocidad.
    ${\overrightarrow{e}}_{T}$ y normal ${\overrightarrow{e}}_{N}$ à la
    trayectoria tienen las expresiones siguientes.
    > $\ {\overrightarrow{e}}_{T} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \text{ωt} \right)^{2}}}{\overrightarrow{e}}_{\rho} + \frac{\text{ωt}}{\sqrt{1 + \left( \text{ωt} \right)^{2}}}{\overrightarrow{e}}_{\theta}$ 3. Demonstrar que la expresión del vector tangencial
    > ${\overrightarrow{e}}_{N} = \frac{- \text{ωt}}{\sqrt{1 + \left( \text{ωt} \right)^{2}}}{\overrightarrow{e}}_{\rho} + \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \text{ωt} \right)^{2}}}{\overrightarrow{e}}_{\theta}$ $`\overrightarrow{e_T}`$ y normal $`\overrightarrow{e_N}`$ a la
    trayectoria tienen las expresiones siguientes :
    $`\overrightarrow{e_T} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + (\omega t)^{2}}} \overrightarrow{e_{\rho}}`$ $` + \dfrac{\omega t}{\sqrt{1 + (\omega t)^{2}}} \overrightarrow{e_{\theta}}`$
    $`\overrightarrow{e_{N}} = \dfrac{-\omega t}{\sqrt{1 + \left( \omega t \right)^{2}}}\overrightarrow{e_{\rho}} + \dfrac{1}{\sqrt{1 + \left( \omega t\right)^{2}}}\overrightarrow{e_{\theta}}`$
    4) Calcular la expresión del vector aceleración 4. Calcular la expresión del vector aceleración
    ${\overrightarrow{a}}_{M\mathcal{/R}}\ $ por respecto a los vectores $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{/R}}`$ por respecto a los vectores
    de Frenet ${\overrightarrow{e}}_{T}$ ,$\ {\overrightarrow{e}}_{N}$ de Frenet $`\overrightarrow{e_T}`$ ,$`\overrightarrow{e_N}`$
    (o sea calcular $a_{T}$ et $a_{N}\ $utilizando la relación (o sea calcular $`a_T`$ et $`a_N`$ utilizando la relación
    $\overrightarrow{a} = a_{T}{\overrightarrow{e}}_{T}$ $`\overrightarrow{a} = a_T \overrightarrow{e_T}+a_N\overrightarrow{e_N}`$.
    +$a_{N}{\overrightarrow{e}}_{N}$ )
    5) Encontrar un método alternativo para calcular $a_{T}$ et 5. Encontrar un método alternativo para calcular $`a_T`$ et
    $a_{N}\ $[sin conocer el valor de]{.ul} ${\overrightarrow{e}}_{T}$ $`a_N`$ sin conocer el valor de $`\overrightarrow{e_T}`$
    et $\ {\overrightarrow{e}}_{N}$? **(Pregunta facultativa)** y $`\overrightarrow{e_N}`$ *(Pregunta facultativa)*.
    6) Calcular, utilizando dos métodos diferentes, la expresión del rayo 6. Calcular, utilizando dos métodos diferentes, la expresión del rayo
    de curvatura *R* de la trayectoria para un instante cualquiera *t*. de curvatura $`R`$ de la trayectoria para un instante cualquiera $`t`$.
    **Ejercicios 4 : El esquiador** ##### *Ejercicios 4 :* **El esquiador**
    ![](img\media\image5.png){width="2.2534722222222223in" <!-- ![](img\media\image5.png){width="2.2534722222222223in"
    height="2.1486111111111112in"} height="2.1486111111111112in"}-->
    Un esquiador de masa *m* esquía siguiendo una line recta en una pista de Un esquiador de masa $`m`$ esquía siguiendo una line recta en una pista de
    inclinación$\ \theta$. El esquiador ésta sometido a una fuerza de inclinación$\ \theta$. El esquiador ésta sometido a una fuerza de
    rozamiento al contacto de la pista (que no tendremos en cuenta al rozamiento al contacto de la pista (que no tendremos en cuenta al
    principio) y a la fricción de contacto con el aire que es caracterizada principio) y a la fricción de contacto con el aire que es caracterizada
    por el coeficiente $\alpha$. El esquiador será aproximado como un punto por el coeficiente $\alpha$. El esquiador será aproximado como un punto
    material M. El movimiento será descrito en el sistema de referencia material M. El movimiento será descrito en el sistema de referencia
    $\mathcal{R}$ y con las coordenadas de observación $\mathcal{R}$ y con las coordenadas de observación
    ${(O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y})$. En el instante $`(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, t)`$. En el instante
    t = 0 el esquiador tiene una velocidad nula y está en el punto (0, 0). $`t = 0`$ el esquiador tiene una velocidad nula y está en el punto $`(0, 0)`$.
    1) Determinar en el 1. Determinar en el
    sistema${\ (O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y})$ las sistema $`(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y})`$ las
    expresiones de la velocidad ${\overrightarrow{v}}_{M\mathcal{/R}}\ $ expresiones de la velocidad $`\overrightarrow{v}_{M\mathcal{/R}}`$
    et de aceleración ${\overrightarrow{a}}_{M\mathcal{/R}}\ $ del et de aceleración $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{/R}}`$ del
    esquiador. esquiador.
    2) Hacer la suma de las fuerzas aplicadas al esquiador en el sistema de 2. Hacer la suma de las fuerzas aplicadas al esquiador en el sistema de
    referencia $\mathcal{R}$ y calcular sus expresiones en el sistema de referencia $`\mathcal{R}`$ y calcular sus expresiones en el sistema de
    coordenadas${\ (O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y})$. coordenadas $`(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y})`$.
    3)  ? Que fuerzas son aplicadas por el esquiador a la pista? 3. ? Que fuerzas son aplicadas por el esquiador a la pista?
    4) Aplicando la ley fundamental de la dinámica (LFD), calcular **las 4. Aplicando la ley fundamental de la dinámica (LFD), calcular *las componentes de la velocidad* del esquiador en función del tiempo.
    componentes de la velocidad** del esquiador en función del tiempo.
    ¿Que información podemos deducir de la LFD? ¿Que información podemos deducir de la LFD?
    5) Calcular las coordenadas x(t) et y(t) en función del tiempo. 5. Calcular las coordenadas $`x(t)`$ et $`y(t)`$ en función del tiempo.
    6) ¿Qué parámetros podemos modificar para aumentar la velocidad del 6. ¿Qué parámetros podemos modificar para aumentar la velocidad del
    esquiador? esquiador?
    7) ¿Qué pasaría si no hubiera ningún tipo de rozamiento? 7. ¿Qué pasaría si no hubiera ningún tipo de rozamiento?
    > **Comentario:** El record el mundo de velocidad (252 km.h^-1^) ha sido > *Comentario :* El record el mundo de velocidad $`(252 km.h^{-1})`$ ha sido
    > obtenido por el Italiano Simone Origone que ha obtenido esta velocidad > obtenido por el Italiano Simone Origone que ha obtenido esta velocidad
    > en una pista de 1km con una inclinación media de 52%. > en una pista de 1km con una inclinación media de 52%.
    **Ejercicio 5 : El espectrómetro de masa; el movimiento de una partícula ##### *Ejercicio 5 :* **El espectrómetro de masa; el movimiento de una partícula cargada sometida a un campo eléctrico y a un campo magnético.**
    cargada sometida a un campo eléctrico y a un campo magnético.**
    Consideramos una partícula de masa *m*$= 9.1 \times 10^{- 31}\text{kg}$ Consideramos una partícula de masa $`m= 9.1 \times 10^{- 31} kg`$
    que lleva una carga *q =* $1.6 \times 10^{- 19}C\ $y que se mueve en un que lleva una carga $`q = 1.6 \times 10^{- 19}C `$ y que se mueve en un
    sistema inercial sistema inercial
    $\mathcal{R(}{O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y},{\overrightarrow{e}}_{z})$. $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$.
    Para empezar consideramos separadamente el efecto de un campo eléctrico Para empezar consideramos separadamente el efecto de un campo eléctrico
    $\overrightarrow{E}$ y el efecto de un campo magnético $`\overrightarrow{E}`$ y el efecto de un campo magnético
    $\overrightarrow{B}$ sobre la partícula. Por eso utilizaremos la $`\overrightarrow{B}`$ sobre la partícula. Por eso utilizaremos la
    expresión de la fuerza de Lorentz expresión de la fuerza de Lorentz
    $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \land \overrightarrow{B}\ )$ $`\overrightarrow{F} = q\,(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \land \overrightarrow{B})`$
    y ignoraremos el efecto de la fuerza de gravedad. y ignoraremos el efecto de la fuerza de gravedad.
    **1 : Efecto del campo eléctrico** **1 : Efecto del campo eléctrico**
    ![](img\media\image6.png){width="2.6041666666666665in" <!-- ![](img\media\image6.png){width="2.6041666666666665in"
    height="2.4208333333333334in"}La particula *M* esta (en t = 0) en el height="2.4208333333333334in"}-->
    La particula $`M`$ esta (en $`t = 0`$) en el
    punto (0, y~0~, 0). Su velocidad inicial es igual à cero. Un campo punto (0, y~0~, 0). Su velocidad inicial es igual à cero. Un campo
    eléctrico uniforme $\overrightarrow{E} = E_{0}{\overrightarrow{e}}_{x}$ eléctrico uniforme $`\overrightarrow{E} = E_{0}\overrightarrow{e_x}`$
    es aplicado en la región x = 0, x = 50cm. es aplicado en la región $`x = 0 y x = 50cm`$.
    1) Aplicar la LFD en el sistema de referencia 1. Aplicar la LFD en el sistema de referencia
    $\mathcal{\text{R\ }}$para determinar las componentes de la $`\mathcal{R}`$ para determinar las componentes de la
    velocidad de la particula. velocidad de la particula.
    2) Déterminar la posicion de la particula en funcion del tiempo. 2. Déterminar la posicion de la particula en funcion del tiempo.
    3) Calcular el trabajo efectuado por el campo eléctrico entre x = 0 y 3. Calcular el trabajo efectuado por el campo eléctrico entre x = 0 y
    50cm. 50cm.
    4) Utilizando el teorema del energía cinética, determinar la velocidad 4. Utilizando el teorema del energía cinética, determinar la velocidad
    de la partícula a la salida de la zona donde el campo eléctrico es de la partícula a la salida de la zona donde el campo eléctrico es
    diferente de cero. diferente de cero.
    5) Calcular la suma de las fuerzas aplicadas por x \> 50cm. Como 5. Calcular la suma de las fuerzas aplicadas por x \> 50cm. Como
    evoluciona la velocidad de la partícula por x \> 50cm ? evoluciona la velocidad de la partícula por x \> 50cm ?
    **2 : Efecto del campo magnético** **2 : Efecto del campo magnético**
    La particula *M* en el istante t = 0 est en el punto (0, y~0~, 0). Su La particula $`M`$ en el instante $`t = 0`$ est en el punto $`(0, y_0, 0)`$. Su
    velocidad inicial es velocidad inicial es
    $\overrightarrow{v} = v_{0}{\overrightarrow{e}}_{x}$. Un campo magnetico $`\overrightarrow{v} = v_{0}\overrightarrow{e_x}`$. Un campo magnetico
    uniforme $\overrightarrow{B} = B_{0}{\overrightarrow{e}}_{z}\ $es uniforme $`\overrightarrow{B} = B_0\,\overrightarrow{e_z}`$ es
    aplicado en todo el espacio. aplicado en todo el espacio.
    1) ![](img\media\image7.png){width="2.4923611111111112in" 1. <!-- ![](img\media\image7.png){width="2.4923611111111112in"
    height="2.410416666666667in"}Expresar las componentes *F~x~, F~y~, height="2.410416666666667in"}-->
    F~z~* de la fuerza aplicada a la partícula en función del tiempo *t*
    de *E*, *B*, *q* y de las componentes de la velocidad *v~x~* y Expresar las componentes $`F_x, F_y, F_z`$ de la fuerza aplicada a la partícula en función del tiempo $`t`$,
    *v~y~*. de $`E, B, q`$ y de las componentes de la velocidad $`v_x, v_y`$.
    2) Demonstrar que le movimiento de la partícula se efectúa en el plano 2. Demonstrar que le movimiento de la partícula se efectúa en el plano
    (x0y). $`(x0y)`$.
    3) Utilizando la LFD, escribir las ecuaciones diferenciales de 3. Utilizando la LFD, escribir las ecuaciones diferenciales de
    evolución temporal de las componentes de la velocidad. evolución temporal de las componentes de la velocidad.
    4) Calcular la dependencia temporal de las componentes de la velocidad 4. Calcular la dependencia temporal de las componentes de la velocidad
    y, en seguida, las coordenadas *x(t)* et *y(t)* de la partícula en y, en seguida, las coordenadas $`x(t)`$ et $`y(t)`$ de la partícula en
    función del tiempo. Para simplificar los cálculos utilizaremos la función del tiempo. Para simplificar los cálculos utilizaremos la
    constante $\omega_{c} = \frac{\text{qB}}{m}$. constante $`\omega_{c} = \dfrac{\text{qB}}{m}`$.
    5) ¿Calcular la norma de la velocidad de la partícula. Cómo evoluciona 5. ¿Calcular la norma de la velocidad de la partícula. Cómo evoluciona
    esta magnitud en función del tiempo? esta magnitud en función del tiempo?
    6) Demonstrar que el resultado precedente puede ser obtenido utilizando 6. Demonstrar que el resultado precedente puede ser obtenido utilizando
    el teorema del energía cinética. el teorema del energía cinética.
    7) ¿Qué tipo de trayectoria efectúa el punto M? Para contestar utilizar 7. ¿Qué tipo de trayectoria efectúa el punto M? Para contestar utilizar
    la expresión de la aceleración con respecto al triedro de Frenet. la expresión de la aceleración con respecto al triedro de Frenet.
    ![](img\media\image8.png){width="2.7756944444444445in" <!-- ![](img\media\image8.png){width="2.7756944444444445in"
    height="2.1506944444444445in"}**3 : Espectrometría** height="2.1506944444444445in"}-->
    La partícula M, en el instante t = 0, está en el punto (0, y~0~, 0) con **3 : Espectrometría**
    y~0~ = 5cm. Su velocidad inicial es igual a cero. Un campo electirco
    uniforme $\overrightarrow{E} = E_{0}{\overrightarrow{e}}_{x}$
    ${(E}_{0} = 2 \times 10^{4}V.m^{- 1})\ $est aplicado en la region x = 0,
    x = 50cm y un campo magnético
    $\overrightarrow{B} = B_{0}{\overrightarrow{e}}_{z}\ (B_{0} = 10\text{mT})$
    es aplicado a partir de x = 100cm.
    1) Trazar cualitativamente la trayectoria de la partícula utilizando La partícula $`M`$, en el instante $`t = 0`$, está en el punto $`(0, y_0, 0)`$ con
    $`y_0 = 5cm`$. Su velocidad inicial es igual a cero. Un campo electirco
    uniforme $`\overrightarrow{E} = E_{0}\,\overrightarrow{e_x}`$
    $`(E_0 = 2 \times 10^4 V.m^{- 1})`$ est aplicado en la region $`x = 0`$,
    $`x = 50cm`$ y un campo magnétic
    $`\overrightarrow{B} = B_0 \overrightarrow{e_z}`$ con $`B_0 = 10 mT`$
    es aplicado a partir de $`x = 100cm`$.
    1. Trazar cualitativamente la trayectoria de la partícula utilizando
    los resultados de las partes 1 ey 2. los resultados de las partes 1 ey 2.
    2) Porque podemos decir que este sistema es un espectrómetro de masa 2. Porque podemos decir que este sistema es un espectrómetro de masa
    (sistema que puede separar las partículas en función de sus masa). (sistema que puede separar las partículas en función de sus masa).
    **Ejercicio 6 : El péndulo** ##### *Ejercicio 6 :* **El péndulo**
    <!-- ![](img\media\image9.png){width="2.7152777777777777in"
    height="2.245833333333333in"}-->
    ![](img\media\image9.png){width="2.7152777777777777in" Un punto material $`M`$ está suspendido à un
    height="2.245833333333333in"}Un punto material *M* está suspendido à un hilo de longitud *$`l`$ y de masa despreciable. La position de $`M`$ es
    hilo de longitud *l* y de masa despreciable. La position de *M* es definida utilizando el ángulo $`\theta`$. $`\overrightarrow{u}`$ es un
    definida utilizando el ángulo $\theta$. $\overrightarrow{u}$ es un
    vector unitario perpendicular al plano de movimiento (ver la figura). vector unitario perpendicular al plano de movimiento (ver la figura).
    Después de haber desplazado *M* de su position de equilibrio de un Después de haber desplazado $`M`$ de su position de equilibrio de un
    ángulo $\theta_{0}$ lo dejamos moverse sin darle ninguna velocidad ángulo $`\theta_{0}`$ lo dejamos moverse sin darle ninguna velocidad
    inicial. Consideraremos el principio del movimiento come el instante inicial. Consideraremos el principio del movimiento come el instante
    inicial (t=0). El movimiento será calculado en el sistema de referencia inicial $`(t=0)`$. El movimiento será calculado en el sistema de referencia
    inercial inercial
    $\mathcal{R(}{O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y})$. $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y})`$.
    1) Calcular la expresión de $\overrightarrow{\text{OM}}$, 1. Calcular la expresión de $`\overrightarrow{OM}`$,
    ${\overrightarrow{v}}_{M\mathcal{/R}}\ $y $`\overrightarrow{v}_{M\mathcal{/R}}`$ y
    ${\overrightarrow{a}}_{M\mathcal{/R}}$ en el sistema de referencia $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{/R}}`$ en el sistema de referencia
    ${(O,\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta})$. $`(O,\overrightarrow{e_{rho}},\overrightarrow{e_{\theta}},t)`$.
    2) Hacer la suma de las fuerzas aplicadas en el punto M en el sistema 2. Hacer la suma de las fuerzas aplicadas en el punto M en el sistema
    de referencias $\mathcal{R}$ y calcular las expresiones de las de referencias $`\mathcal{R}`$ y calcular las expresiones de las
    fuerzas en el sistema de coordenadas fuerzas en el sistema de coordenadas
    ${(O,\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta})$. $`(O,\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}})`$.
    3) Escribir las ecuaciones diferenciales del movimiento utilizando el 3. Escribir las ecuaciones diferenciales del movimiento utilizando el
    teorema del momento cinético. teorema del momento cinético.
    4) Solucionar esta ecuación en la aproximación de pequeñas 4. Solucionar esta ecuación en la aproximación de pequeñas
    oscilaciones. oscilaciones.
    5) Utilizar el teorema de energía cinética para determinar la velocidad 5. Utilizar el teorema de energía cinética para determinar la velocidad
    en función de $\theta$ sin hacer ninguna aproximación sobre la en función de $`\theta`$ sin hacer ninguna aproximación sobre la
    magnitud de las oscilaciones. magnitud de las oscilaciones.
    ![](img\media\image10.png){width="2.15in" <!-- ![](img\media\image10.png){width="2.15in"
    height="2.234027777777778in"}**Ejercicio7 : El skate-boarder** height="2.234027777777778in"}*-->
    ![](img\media\image11.png){width="2.775in" ##### *Ejercicio 7 :* **El skate-boarder**
    height="1.9479166666666667in"}
    Un skate-boarder quiere realizar una acrobacia muy peligrosa: bajar sin <!-- ![](img\media\image11.png){width="2.775in"
    velocidad inicial de una rampa de altitud *h*, y terminar con un rizo height="1.9479166666666667in"}-->
    (looping) de rayo*ρ*. ¡Más el altitud inicial *h* es pequeña, mas su
    Un skate-boarder quiere realizar una acrobacia muy peligrosa : bajar sin
    velocidad inicial de una rampa de altitud $`h`$, y terminar con un rizo
    (looping) de rayo $`\rho`$. ¡Más el altitud inicial $`h`$ es pequeña, mas su
    figura será impresionante! Sin embargo el skate-boarder no está figura será impresionante! Sin embargo el skate-boarder no está
    completamente loco: quiere calcular antes la altitud *h* mínima para completamente loco : quiere calcular antes la altitud $`h`$ mínima para
    estar seguro de poder terminar el looping\... estar seguro de poder terminar el looping...
    En un primer tiempo, vamos a estudiar el movimiento del skate-boarder, En un primer tiempo, vamos a estudiar el movimiento del skate-boarder,
    que vamos a considerar como un punto *M* de masa *m* que se mueve que vamos a considerar como un punto $`M`$ de masa $`m`$ que se mueve
    siguiendo un círculo de rayo*ρ*. El movimiento se hace sin rozamiento. siguiendo un círculo de rayo $`\rho`$. El movimiento se hace sin rozamiento.
    El sistema de referencia, en que la rampa no es fija, es inercial y será El sistema de referencia, en que la rampa no es fija, es inercial y será
    indicado por $\mathcal{R}$. indicado por $`\mathcal{R}`$.
    1) Calcular la expresión de la aceleración, exprimiéndola en los 1. Calcular la expresión de la aceleración, exprimiéndola en los
    vectores de base vectores de base
    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$. $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
    2. Demonstrar que el módulo de la aceleración tangencial
    $`\overrightarrow{a_{\theta}}`$ se puede escribir en la forma
    $`\overrightarrow{a_{\theta}} = \dfrac{\lVert\overrightarrow{v} \rVert}{\rho}\dfrac{d \lVert\overrightarrow{v}\rVert} {d\theta}`$
    2) Demonstrar que el módulo de la aceleración tangencial <!--pas bonnes écritures :----------------
    ${\overrightarrow{a}}_{\theta}$ se puede escribir en la forma $`\overrightarrow{a_{\theta}} = \dfrac{\left\| \overrightarrow{v} \right\|}{\rho}\dfrac{d\left\| \overrightarrow{v} \right\|} {d\theta}`$
    ${\overrightarrow{a}}_{\theta} = \frac{\left\| \overrightarrow{v} \right\|}{\rho}\frac{d\left\| \overrightarrow{v} \right\|}{\text{dθ}}$ $`\overrightarrow{a_{\theta}} = \dfrac{|| \overrightarrow{v} ||}{\rho}\cdot\dfrac{d || \overrightarrow{v} ||} {d\theta}`$
    -------------------------------------------->
    3) Indicar y estudiar la(s) fuerza(s) aplicada(s) en el skate-boarder. 3. Indicar y estudiar la(s) fuerza(s) aplicada(s) en el skate-boarder.
    4) Escribir la ecuación fundamental de la dinámica. Como se escribe 4. Escribir la ecuación fundamental de la dinámica. Como se escribe
    esta equacion si la proyectamos en los vectores de base esta equacion si la proyectamos en los vectores de base
    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$ ? $`\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\theta}}`$ ?
    5) Determinar la velocidad *v* en un punto cualquiera de la trayectoria 5. Determinar la velocidad $`v`$ en un punto cualquiera de la trayectoria
    si *v~0~* es la velocidad en el punto más bajo del circulo si $`v_0`$ es la velocidad en el punto más bajo del circulo.
    6) Cuál es la reacción $\overrightarrow{\text{N\ }}$de la rampa sobre 6. Cuál es la reacción $`\overrightarrow{R}`$de la rampa sobre
    el skate-boarder ? el skate-boarder ?
    7) ¿Cuál es la altitud mínima *h* para empezar el looping sin velocidad 7. ¿Cuál es la altitud mínima $`h`$ para empezar el looping sin velocidad
    inicial y que nos asegura que el skater no se destaque nunca de la inicial y que nos asegura que el skater no se destaque nunca de la
    rampa durante su trayectoria? rampa durante su trayectoria?
    **Ejercicio 8: El Tobogán** ##### *Ejercicio 8 :* **El Tobogán**
    ![](img\media\image12.png){width="3.5548611111111112in" <!-- ![](img\media\image12.png){width="3.5548611111111112in"
    height="2.484027777777778in"}Las ecuaciones en coordenadas polares de height="2.484027777777778in"}-->
    una trayectoria helicoidal de eje vertical \[Oz) son:
    $$\rho = a\ et\ z = h\theta$$ Las ecuaciones en coordenadas polares de
    una trayectoria helicoidal de eje vertical \[Oz) son :
    $`\rho = a\quad,\quad z = h\theta`$
    Un niño se lanza si velocidad inicial de una altura $H = 2\pi h$ y baja Un niño se lanza si velocidad inicial de una altura $`H = 2\pi h`$ y baja
    en el tobogán helicoidal. Haremos la aproximación que el niño sea un en el tobogán helicoidal. Haremos la aproximación que el niño sea un
    punto material que se mueve sin rozamiento en el sistema de referencia punto material que se mueve sin rozamiento en el sistema de referencia
    inercial inercial
    $\mathcal{R(}{O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y},{\overrightarrow{e}}_{z})$. $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$.
    1) Calcular la suma de las fuerzas aplicadas en el punto *M* utilizando 1. Calcular la suma de las fuerzas aplicadas en el punto $`M`$ utilizando
    la base la base
    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta},\ {\overrightarrow{e}}_{z}$. $`\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{z}}`$.
    2) Utilizando el teorema de la energía cinética, calcular la evolución 2. Utilizando el teorema de la energía cinética, calcular la evolución
    temporal de la variable $\theta$. temporal de la variable $`\theta`$.
    3) Calcular el tiempo necesario porque el niño llegue hasta al fundo 3. Calcular el tiempo necesario porque el niño llegue hasta al fundo
    del tobogán (z = 0). del tobogán $`(z = 0)`$.
    **Ejercicio 9: Velocidad de liberación** ##### *Ejercicio 9 :* **Velocidad de liberación**
    La aceleración de gravedad varía en función de la distancia de le La aceleración de gravedad varía en función de la distancia de le
    superficie de la tierra siguiendo la ley: superficie de la tierra siguiendo la ley :
    $\overrightarrow{g} = - \frac{GM_{\text{Terre}}}{\left( R_{\text{Terre}} + r \right)^{2}}{\overrightarrow{e}}_{\text{r\ }}$donde
    *G* es la constante universal de gravitación, *M~tierra\ ~*y *R~tierra~* $`\overrightarrow{g} = - \dfrac{G\,M_{Tierra}}{\left( R_{Tierra} + r \right)^{2}}\overrightarrow{e_r}`$,
    son respectivamente la masa y el rayo de la Tierra. Llamaremos la
    «velocidad de liberación » *v~lib~(r)* a un altitud *r* la velocidad donde $`G`$ es la constante universal de gravitación, $`M_{Tierra}`$ y $`R_{Tierra}`$
    son respectivamente la masa y el rayo de la Tierra.
    Llamaremos la «velocidad de liberación» $`v_{lib}(r)`$ a un altitud $`r`$ la velocidad
    mínima necesaria para que una partícula se aleje de la superficie mínima necesaria para que una partícula se aleje de la superficie
    terrestre hasta al infinito. Valores numéricos: terrestre hasta al infinito.
    $G = 6.67 \times 10^{- 11}m^{3}\text{kg}^{- 1}s^{- 2}$,
    $\text{\ M}_{\text{tierra}} = 6 \times 10^{24}kg,\ \text{\ M}_{\text{luna}} = 7.3 \times 10^{24}kg,\ \ R_{\text{tierra}} = 6400km\ et\ R_{\text{tierra}} = 1700km$. Los valores numéricos son :
    $`G = 6.67 \times 10^{- 11}m^{3}kg^{-1}s^{- 2}`$,
    1) Demonstrar que la fuerza de gravitación deriva de una energía $`M_{Tierra} = 6 \times 10^{24}kg\quad ,\quad M_{Luna} = 7.3 \times 10^{24}kg,`$
    potencial *U* y calcularla (definiendo la origen de la energía $`R_{Tierra} = 6400\,km\quad ,\quad R_{Luna} = 1700\,km`$.
    potencial *U = 0* al infinito).
    1. Demonstrar que la fuerza de gravitación deriva de una energía
    2) Deducir el trabajo mínimo para traer la masa *m* à un altura *r\'*. potencial $`U`$ y calcularla (definiendo la origen de la energía
    potencial $`U=0`$ al infinito).
    3) Calcular la expresión de *v~lib~(r)*, y su valor numérico por r=0 y
    r=300 km. 2. Deducir el trabajo mínimo para traer la masa $`m`$ à un altura $`r'`$.
    4) ¿Cuál es la velocidad de liberación en la superficie de la luna? 3. Calcular la expresión de $`v_{lib}(r)`$, y su valor numérico por $`r=0`$ y
    $` r=300\,km`$.
    **Ejercicio 10: El girómetro**
    4. ¿Cuál es la velocidad de liberación en la superficie de la luna?
    ![](img\media\image13.png){width="2.5965277777777778in"
    height="3.5083333333333333in"}Un anillo de masa *m* esta puesto en una ##### **Ejercicio 10: El girómetro**
    varilla que se mueve con una rotación constante alrededor de eje *z* con
    una velocidad angular constante $\omega$. El anillo es mantenido por un <!-- ![](img\media\image13.png){width="2.5965277777777778in"
    resorte de constante elastica *k*. La longitud de equilibrio del resorte height="3.5083333333333333in"}-->
    es $\rho_{0}$. Vamos a calcular el movimiento del anillo aproximándolo à
    une masap puntual en el sistema de referencia non inercial Un anillo de masa $`m`$ esta puesto en una
    $\mathcal{R}^{'}$ que gira alrededor del eje z con una velocidad angular varilla que se mueve con una rotación constante alrededor de eje $`Oz`$ con
    $\omega$. Hay una fuerza de rozamiento entre el anillo y la varilla que una velocidad angular constante $`\omega`$.
    se puede expresar de la forma siguiente El anillo es mantenido por un resorte de constante elastica $`k`$.
    $\overrightarrow{f} = - \alpha{\overrightarrow{v}}_{M\mathcal{/R'}}$. El La longitud de equilibrio del resorte es $`\rho_{0}`$.
    eje z representa la vertical.
    Vamos a calcular el movimiento del anillo aproximándolo à
    1) Calcular $\overrightarrow{\text{OM}}$, une masa puntual en el sistema de referencia non inercial $`\mathcal{R}'`$ que gira alrededor del eje $`Oz`$ con una velocidad angular
    ${\overrightarrow{v}}_{M\mathcal{/R'}}\ $et $`\omega`$.
    ${\overrightarrow{a}}_{M\mathcal{/R'}}$ en la base Hay una fuerza de rozamiento $`\overrightarrow{f}`$ entre el anillo y la varilla que se puede expresar de la forma siguiente
    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$. $`\overrightarrow{f} = - \alpha \overrightarrow{v}_{M\mathcal{R'}}$.
    El eje $`Oz`$ representa la vertical.
    2) Calcular la suma de las fuerzas aplicadas en el anillo en el sistema
    $\mathcal{R}^{'}$ utilizando la base 1. Calcular $\overrightarrow{OM}$,
    ${\overrightarrow{e}}_{\rho},{\overrightarrow{e}}_{\theta}$. $`\overrightarrow{v}_{M\mathcal{R'}}`$ y
    $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{R'}}`$ en la base
    3) Utilizar la ecuación fundamental de la dinámica para determinar las $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
    2. Calcular la suma de las fuerzas aplicadas en el anillo en el sistema
    $`\mathcal{R}'`$ utilizando la base
    $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
    3. Utilizar la ecuación fundamental de la dinámica para determinar las
    ecuaciones diferenciales del movimiento. ecuaciones diferenciales del movimiento.
    4) Calcular $\rho(t)$ en el caso 4. Calcular $`\rho(t)`$ en el caso
    $\frac{\alpha}{m} = 2\sqrt{\left( \frac{k}{m} - \omega^{2} \right)}$ $`\dfrac{\alpha}{m} = 2\sqrt{\left(\dfrac{k}{m} - \omega^{2} \right)}`$
    5) ¿Come se puede utilizar este sistema para medir una velocidad de 5. ¿Come se puede utilizar este sistema para medir una velocidad de
    rotación? rotación?
    6) Calcular el trabajo efectuado por el resorte y por las fuerzas 6. Calcular el trabajo efectuado por el resorte y por las fuerzas
    inerciales entre la posición inicial y una posición $\rho$ que inerciales entre la posición inicial y una posición $`\rho`$ que
    elegiremos para poder calcular toda la energía disipada por el elegiremos para poder calcular toda la energía disipada por el
    rozamiento utilizando el teorema de la energía cinética (por eso hay rozamiento utilizando el teorema de la energía cinética (por eso hay
    que contestar a la pregunta: ¿Cuando tenemos rozamiento?). que contestar a la pregunta : ¿Cuando tenemos rozamiento?).
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