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@@ -380,7 +380,7 @@ Soit au final :
 
 --------------------------------------------
 
-#### Quel est le champ électrique créé en un point de son axe par une spire circulaire chargé uniformément ?
+#### Quel est le champ électrique créé en un point de son axe par un anneau circulaire chargé uniformément ?
 
 <!--MAGST-400-->
 
@@ -388,63 +388,72 @@ Soit au final :
 
 ##### Description de la distribution de charges
 
-* Une **spire circulaire $`\mathcal{C}`$** de **rayon $`R`$** porte une *charge électrique $`Q`$* non nulle, *répartie uniformément* sur son paurtour.
+figure
+
+* Un **anneau circulaire $`\mathcal{C}`$** de **rayon $`R`$** porte une *charge électrique $`Q`$* non nulle, *répartie uniformément* sur son paurtour.
 
 * Pour décrire la situation et réaliser les calculs, choisissons le point **origine $`O`$** et le système de **coordonnées cylindrique $`(\rho, \varphi, z)`$**, tel que le *cercle $`\mathcal{C}`$* soit de *centre $`O`$*
 et s'inscrive *dans le plan perpendiculaire à l'axe $`Oz`$*.
 
-* La *spire $`\mathcal{C}`$*, de circonférence $`L=2\pi\,R`$, se décompose mentalement en ses 
-**éléments d'arc de longueur   
+* L'a '*anneau $`\mathcal{C}`$*, de circonférence $`L=2\pi\,R`$, se décompose mentalement en ses 
+**éléments d'arc de longueur**   
 <br>
-$`dl_p = R\,d\varphi`$**    
+**$`dl_p = R\,d\varphi`$**    
 <br>
-situés en tout *point $`P`$ de la spire* de coordonnées cylindriques   
+situés en tout *point $`P`$ de l'anneau'* de coordonnées cylindriques   
 *$`P = (\rho_P=R, \,\varphi_P, z_P=0)`$*. 
 
-* La *charge totale $`Q`$* (C) étant *répartie uniformément* sur le pourtour de la spire, la distribution spatiale de charge
+* La *charge totale $`Q`$* (C) étant *répartie uniformément* sur le pourtour de l'anneau', la distribution spatiale de charges
 peut être totalement décrite par une **densité linéïque de charge $`\dens^{1D}_0`$** de valeur **constante**
-en tout point $`P`$ de la spire, telle que :   
+en tout point $`P`$ de l'anneau, telle que :   
 <br>
 **$`\dens^{1D}_0 = \dfrac{Q}{L} = \dfrac{Q}{2\pi\,R}\quad`$**(C&nbsp;m<sup>-1</sup>)
 
-* Chaque *élément d'arc $`dl_P`$* porte la **charge élémentaire   
+* Chaque *élément d'arc $`dl_P`$* porte la **charge élémentaire**   
 <br>
-$`dq_P = \dens^{1D}_0\;dl_P = \dens^{1D}_0\,R\,d\varphi\quad`$**(C)
+**$`dq_P = \dens^{1D}_0\;dl_P = \dens^{1D}_0\,R\,d\varphi\quad`$**(C)
+
+
+figure
+
 
-* Selon la loi de Coulomb, la charge élémentaire $`dq_P`$ en tout point $`P`$ du cercle chargé créé
+##### Expression du champ électrique élémentaire
+
+* Selon la loi de Coulomb, la charge élémentaire $`dq_P`$ en tout point $`P`$ de l'anneau chargé créé
 *en tout point $`M`$* de l'espace, le **champ électrique élémentaire**    
 <br>
  **$`\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}=\dfrac{dq_P}{4\pi\epsilon_0}\cdot \dfrac{\overrightarrow{PM}}{\lVert \overrightarrow{PM}\rVert^3}\quad`$**
 (V&nbsp;m<sup>-1</sup>)
 
-* Le calcul de $`\overrightarrow{E}_M`$ se limitant à l'axe $`Oz`$, les coordonnées de tout
-*point $`M`$ situé sur l'axe $`Oz`$* s'expriment     
+* Le calcul de $`\overrightarrow{E}`$ se limitant aux points de l'axe $`Oz`$, les coordonnées de tout
+*point $`M`$ de l'axe $`Oz`$* s'expriment     
 *$`M = (\rho_M = 0, \,\varphi_M = 0, \, z_M)`$*
 
 
-figure
-
-
-* **Paramétrons le problème** avec les *grandeurs physiques intermédiaires utiles* 
-
-figure
-
-   * la distance $`d=||\,\overrightarrow{PM}\,||`$ qui intervient dans la loi de Coulomb.
-   * le vecteur $`\overrightarrow{e_d}`$ tel que le vecteur $`\overrightarrow{PM}`$ s'écrive $`\overrightarrow{PM}=d\cdot \overrightarrow{e_d}`$
-   * l'angle $`\alpha =\widehat{OMP}`$
-
+* **Exprimons $`\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}`$** *en fonction des données de base de l'étude*, soit 
+  la densité linéïque de charges $`\dens^{1D}`$, 
+  le rayon $`R`$ de la spire, la coordonnée $`z_M`$, et les vecteurs
+  $`\overrightarrow{e_{\rho}},\,\overrightarrow{e_{\varphi}},\,\overrightarrow{e_z}`$ de la base cylindrique choisie :
 
-##### Expression du champ électrique élémentaire
+   * le vecteur $`,\overrightarrow{PM}`$ se décompose en   
+     <br>
+     **$`\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OM}=-R\,\overrightarrow{e_{\rho}}+z_m\,\overrightarrow{e_z}`$**. 
+   * Les coordonnées cylindriques sont orthonormées ($`\overrightarrow{e_{\rho}}\perp\overrightarrow{e_z}`$) donc
+     l'angle $`\alpha =\widehat{OMP}`$ est droit, le triangle (OMP) est rectangle en $`O`$.   
+     Ainsi la *distance $`d=||\,\overrightarrow{PM}\,||`$* qui intervient dans la loi de Coulomb, 
+     grâce au *théorème de Pythagore* appliqué au triangle (OMP), s'exprime :     
+     <br>
+     **$`d = \sqrt{(-R)^2+z_M^2}=(R^2+z_M^2)^{1/2}`$**
 
-* Calculons le **champ électrique élémentaire** au point $`M`$ créé par la charge en $`P`$ :<br>
+* Le **champ électrique élémentaire** au point $`M`$ créé par la charge en $`P`$ se réécrit donc :<br>
 <br>
-*$`\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}`$* 
-$`\quad=\quad\dfrac{\dens^{1D}\cdot dl_P}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{\overrightarrow{PM}}{||\,\overrightarrow{PM}\,||^{\,3}}`$   
+**$`\mathbf{\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}}`$** 
+$`\quad=\quad\dfrac{\dens^{2D}\cdot dl_P}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{\overrightarrow{PM}}{||\,\overrightarrow{PM}\,||^{\,3}}`$   
 <br>
-*$`\hspace{2.3cm}=\quad\dfrac{\dens^{1D}\cdot R\,d\varphi}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{d\,\overrightarrow{e_d}}{d^3}`$*   
-
-* Décomposons le vecteur $`\overrightarrow{PM} = d\,\overrightarrow{e_d}`$ en fonction des vecteurs de la base cylindrique choisie. Nous obtenons :<br>
-*$`\quad d\,\overrightarrow{e_d}=-\,R\,\overrightarrow{e_{\rho}}\,+\,z_M\,\overrightarrow{e_z}`$*
+$`\hspace{2.3cm}=\quad\dfrac{\dens^{1D}\cdot R\,d\varphi}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{\overrightarrow{PM}}{d^3}`$   
+<br>
+**$`\hspace{2.3cm}\boldsymbol{\mathbf{=\quad\dfrac{\dens^{1D}\,R }{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{-R\,\overrightarrow{e_{\rho}}+z_m\,
+\overrightarrow{e_z}}{(R^2+z_M^2)^{3/2}}\;d\varphi}}`$**
 
 
 *  Nous obtenons alors :<br>
@@ -553,21 +562,23 @@ figure
 
 ##### Expression du champ électrique élémentaire
 
-* Exprimons $`\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}`$ en fonction des données de l'étude, soit 
+* **Exprimons $`\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}`$** *en fonction des données de base de l'étude*, soit 
   le rayon $`R`$ de la spire, la coordonnée $`z_M`$, et les vecteurs
-  $`\overrightarrow{e_{\rho}},\,\overrightarrow{e_{\varphi}},\,\overrightarrow{e_z}`$ de la base d'étude :
+  $`\overrightarrow{e_{\rho}},\,\overrightarrow{e_{\varphi}},\,\overrightarrow{e_z}`$ de la base cylindrique choisie :
 
    * le vecteur $`,\overrightarrow{PM}`$ se décompose en   
+     <br>
      **$`\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OM}=-R\,\overrightarrow{e_{\rho}}+z_m\,\overrightarrow{e_z}`$**. 
    * Les coordonnées cylindriques sont orthonormées ($`\overrightarrow{e_{\rho}}\perp\overrightarrow{e_z}`$) donc
      l'angle $`\alpha =\widehat{OMP}`$ est droit, le triangle (OMP) est rectangle en $`O`$.   
      Ainsi la *distance $`d=||\,\overrightarrow{PM}\,||`$* qui intervient dans la loi de Coulomb, 
      grâce au *théorème de Pythagore* appliqué au triangle (OMP), s'exprime :     
+     <br>
      **$`d = \sqrt{(-R)^2+z_M^2}=(R^2+z_M^2)^{1/2}`$**
 
 * Le **champ électrique élémentaire** au point $`M`$ créé par la charge en $`P`$ se réécrit donc :<br>
 <br>
-*$`\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}`$* 
+**$`\mathbf{\overrightarrow{dE}_{P\rightarrow M}}`$** 
 $`\quad=\quad\dfrac{\dens^{2D}\cdot dS_P}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{\overrightarrow{PM}}{||\,\overrightarrow{PM}\,||^{\,3}}`$   
 <br>
 $`\hspace{2.3cm}=\quad\dfrac{\dens^{2D}\cdot \rho_M\,d\varphi\,d\rho}{4\pi\epsilon_0}\cdot\dfrac{\overrightarrow{PM}}{d^3}`$