@@ -49,59 +49,53 @@ Soit une *distribution de courants constants* dans l'espace, décrite par un cha
Le **Théorème d'Ampère intégral** démontre que la circulation $`\mathcal{C}_B`$
du vecteur champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$ le long de toute
*ligne fermée orientée $`\Gamma`$* dans l'espace est égal la constante magnétique
du vide $`\mu_0`$ multipliée par la somme algébrique des intensités des courants électriques
$`\displaystyle\sum_{S\leftrightarrow\Gamma}\,\overline{I}`$ qui traversent toute
*surface ouverte orientée $`S`$ qui s'appuie sur $`\Gamma_A`$*,
et telle que les *orientations de $`\Gamma_A`$ et $`S_A`$*
soient *liées par la règle d'orientation de l'espace*.
du vide $`\mu_0`$ multipliée par la somme algébrique des intensités des courants électriques $`\displaystyle\sum_{S\leftrightarrow\Gamma}\,\overline{I}`$
qui traversent toute *surface ouverte orientée $`S`$ qui s'appuie sur $`\Gamma`$*,
et telle que les *orientations de $`\Gamma`$ et $`S`$*
soient *liées par la règle de la main droite* d'orientation de l'espace.
**Le théorème de Gauss intégral s'applique** quelque soit le niveau de modélisation et d'approximation des distributions de charge :
* avec une *densité volumique de charge $`\dens^{3D}`$*.
**Le théorème d'Ampère' intégral s'applique** quelque soit le niveau de modélisation et d'approximation des distributions de courants :
* avec un*vecteur densité volumique de courants $`\overrightarrow{j}^{3D}`$*.
mais aussi
* avec une *densité surfacique de charge $`\dens^{2D}`$*, lorsque les charges sont réparties en surface sur une profondeur que la modélisation 2D néglige.
* avec une *densité linéïque de charge $`\dens^{1D}`$*, lorsque les charges sont réparties sur une ligne dont la modélisation 1D néglige la section droite.
* avec un *vecteur densité surfacique de courants $`\overrightarrow{j}^{2D}`$*, lorsque les courants sont confinés en surface sur une profondeur que la modélisation 2D néglige.
* avec un vecteur densité linéïque de courants $`\dens^{1D}`$, lorsque les courants sont confinés dans un circuit dont la modélisation 1D néglige la section droite.
Dans ce cas, ce *courant* linéïque est représenté par un simple nombre réel *$`\overline{I}`$* de signe positif si il traverse la surface $`S`$ dans son sens d'orientation
positif, et de signe négatif dans le cas contraire.
!!! *Terminologie* : une section droite est une section perpendiculaire à la direction longitudinale.
C'est d'ailleurs ce théorème de Gauss intégral qui **démontre les discontinuités du champ électrostatique***à la traversée d'une surface chargée* à cette étape contrefort, et que seront démontrés les discontinuités des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{D}`$ à l'étape suivante de montagne, en électromagnétisme dans le vide et dans la matière.
C'est d'ailleurs ce théorème d'Ampère intégral qui **démontre les discontinuités du champ magnétostatique**
*à la traversée d'une nappe de courants* à cette étape contrefort, et que seront démontrés
les discontinuités des champs d'induction $`\overrightarrow{B}`$ et d'excitation $`\overrightarrow{H}`$
magnétiques à l'étape suivante de montagne, en électromagnétisme dans le vide et dans la matière.
Ces **résultats concernant la discontinuité** du champ électrostatique à la traversée d'une surface chargée sont *nécessaires si le théorème de Gauss local est utilisé* pour calculer le champ $`\overrightarrow{E}`$ en tout point de l'espace *avec modélisation 2D* de la distribution de charge.
Ces **résultats concernant la discontinuité** du champ magnétostatique à la traversée
d'une nappe de courants sont *nécessaires si le théorème d'Ampère local est utilisé*
pour calculer le champ $`\overrightarrow{B}`$ en tout point de l'espace *avec modélisation 2D* de la distribution de courants.
!! *Pour aller plus loin* :
!! *Théorème de Gauss intégral et réflexion/transmission des ondes électromagnétiques*.
!!
!! Lorsque lors de sa propagation *une onde électromagnétique $`(\overrightarrow{E}, \overrightarrow{B})`$ rencontre une surface* séparant deux milieux différents (entre deux milieux matériels comme des conducteurs, des isolants, ou entre le vide et un milieu matériel), *une partie de l'onde est réfléchie et l'autre est transmise*.
!!
!! *Les relations de Fresnel précisent les propriétés des ondes réflechies et transmises* (amplitude, déphasage, polarisation, direction) . Elles permettent de retrouver en les relations Snell-Descartes $`(n_1\,\sin\, i_1=n_2\,\sin\, i_2)`$ et de la réflexion $`(i_1 = i_2)`$ de l'optique géométrique, tout en révélant toute une réalité hors d'atteinte de l'optique géométrique (polarisation des ondes, part de l'énergie réflechie et part de l'énergie transmise, ...).
!!
!! Les propriétés de conduction de l'électricité, de polarisation et d'aimantation des milieux matériels nécessite l'usage de deux nouveaux champs, champ d'induction électrique $`\overrightarrow{D}`$ et champ d'excitation magnétique $`\overrightarrow{H}`$ en comp^lément des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$.
!!
!! Le *théorème de Gauss intégral*, dans sa forme et sa notation présente et appliqué à certains de ces champs, *intervient directement dans l'établissement des relations de Fresnel*.
#### 2° étape : Choix de la surface de Gauss et calcul du flux
#### 2° étape : Choix du contour d'Ampère et calcul de la circulation
Le théorème de Gauss permet de calculer le champ électrique en un point $`M`$ quelconque, donc en tout point $`M`$ de l'espace.
Le théorème d'Ampère permet de calculer le champ magnétique en un point $`M`$ quelconque, donc en tout point $`M`$ de l'espace.
À cette étape 2, l'intérêt se porte sur le *premier terme du théorème de Gauss*. Il s'agit d'**identifier la surface de Gauss** $`\mathcal{S}_G`$ puis de **calculer le flux** de $`\overrightarrow{E}`$ à travers cette surface.
À cette étape 2, l'intérêt se porte sur le *premier terme du théorème d'Ampère*. Il s'agit d'**identifier le contour d'Ampère**
$`\mathcal{\Gamma}_A`$, de *l'orienter* puis de **calculer la circulation** de $`\overrightarrow{b}`$ le long de ce contour.
Si le théorème de Gauss est vraie quelque-soit la surface fermée considérée, aussi complexe soit-elle, il ne peux nous aider à calculer le champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ dans tout l'espace que si chacun de ses termes est facile à calculer.
Si le théorème d'Ampère est vrai quelque-soit le contour fermé considéré, aussi complexe soit-il,
il ne peut nous aider à calculer le champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$ dans tout l'espace
que si chacun de ses termes est facile à calculer.
C'est l'**expression du champ magnétique** déduite de l'étude des symétries et invariances qui *permet de déterminer le contour d'Ampère* adapté.
C'est l'**expression du champ électrique**, réduite par l'étude des symétries et invariances qui *permet de déterminer la surface de Gauss* adaptée.
@@@@@@@@@@la suite est encore à modifier@@@@@@@@@@@@
Supposons que *dans un repère de l'espace
$`(O, \overrightarrow{e_{\alpha}},\overrightarrow{e_{\beta}},\overrightarrow{e_{\gamma}})`$*, les symétries et invariances nous indiquent que le champ électrique est de la forme **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\beta}\,(\beta)\,\overrightarrow{e_{\beta}}}`$**.
