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12.temporary_ins/02.arithmetic-number-theory/10.n1/10.integers-and-their-representation/20.overview/cheatsheet.en.md

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+title: 'Les nombres entiers et leurs représentations'
+published: true
+routable: true
+visible: false
+lessons:
+    -
+        slug: numbers-and-their-representations
+        order: 2
+    -
+        slug: write-numbers-in-different-bases
+        order: 2
+---
+
+!!!!  <details>
+!!!! <summary> Cours en construction, non validé à ce stade </summary>  
+!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.   
+!!!!  Ce cours est en phase très préliminaire, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.   
+!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
+!!!! </details>
+
+Très, très, très préliminaire ! C'est juste un brainstorming.
+
+##### Randonnée Plaine : &nbsp; _conseillée_
+
+---------------------
+
+<!--------------------------------
+Égalité, bases, nombres en mathématique.
+
+Pour un affichage en parallèle avec Égalité, nombres et natures des choses, caractériser et mesurer, 
+pour échanger. Avec pour objectif : pour que les enfants indiens de ce reportage, 
+qui ne se trompent jamais pour compter et rendre la monnaie sur le marché et qui 
+pourtant ne réussissent pas à compter à l'école, puissent faire le lien. Et pour 
+cette proportion importante d'étudiants entrant à l'université, pour qui les unités
+de mesure et l'homogénéïté des équations ne sont pas importantes... Thème à poursuivre 
+dans des arborescences aux niveaux supérieurs.
+
+
+Idées pour ce niveau, dans le désordre :
+
+* distinguer un nombre d'objets de la nature des objets    
+$`\Longrightarrow`$ la mathématique ne s'intéresse qu'aux nombres.
+
+* Quel nombre maximum d'objets pouvons-nous identifier et distinguer intuitivement, sans compter?
+Au-delà de ce nombre, nous voyons seulement une multitude d'objets que nous devrons apprendre à compter.   
+    * travailler avec 3, compter et écrire les nombres en base 3.
+    * travailler avec 5, compter et écrire les nombres en base 5.
+    * travailler avec 10, compter et écrire les nombres dans notre base 10 usuelle.
+    * indiquer la base 2 (avec quelques exercices) : base de travail des ordinateurs classiques actuels.
+    * point culturel : la base hexadécimale.
+    * vers de nouveau ordinateurs classiques mais non binaires.
+
+Puis, exclusivement en base 10 :
+
+* Egalité entre nombres entiers naturels.
+* Inégalité entre nombres entiers naturels.
+
+
+* addition, soustraction, multiplication, division, puissance n de 10, racine n d'un nombre.... (à réflechir)
+* point "au-delà" : retour sur la décomposition d'un nombre entier en somme de puissances de 3 : base 3
+
+* fractions, les nombres décimaux
+* les entiers relatifs, les nombres décimaux relatifs.
+
+Hyper-important :
+
+* les tables d'addition et de multiplication.   
+mémoriser, beaucoup de tests.   
+Un test de type des "chiffres et des lettres" côté chiffres en exo js?
+
+
+Premières figures stockées dans le désordre.
+
+
+#### L'unique et le multiple.
+
+_(donc, pour la suite, et affichable dans un mode parallèle, une idée est de faire "L'unique et la fraction".
+Parler de partie non fractionnaire, donc de nombre irrationnel à ce niveau un ? Je ne sais pas.
+A voir avec les programmes français de collège, et des mathématiciens...)_
+
+--------------------->
+
+
+
+#### Quelle différence entre chaque case du tableau A et chaque case du tableau B ?
+
+##### *Tableau A*
+
+![](integer-single-from-things_L1000.jpg)
+
+* Les différentes cases représentent :
+   * un chapeau.
+   * un pot.
+   * un crayon.
+   * un citron.
+   * une voiture.
+
+##### *Tableau B*
+
+![](integer-multiple-from-things_L1000.jpg)
+
+* Les différentes cases représentent :
+   * des chapeaux.
+   * des choses (une plante, un pot, un citron).
+   * des crayons.
+   * des fruits.
+   * des voitures.
+
+Une **différence** vient naturellement :
+
+* Chaque case du **tableau A** represente une *chose unique*.
+* Claque case du **tableau B** représente *plusieurs choses*.
+
+Que j'observe des chapeaux, des crayons, des fruits, de voitures, ou tout autre chose, 
+je conçois le un et le plusieurs, le singulier et le pluriel.
+
+
+#### Qu'est-ce qu'un nombre ?
+
+Je distingue facilement l'unité (le un) du mulitple (le plusieurs).
+
+Je suis ainsi sensible à une **quantité, ndépendante de la classe d'objet** à laquelle elle s'applique, que j'appelle un *nombre*.
+
+Dans chacune des cases du *tableau A* je distingue facilement l'**unité**, le **nombre "un"**,
+
+![](integer-single-from-things-to-numbers_L1000.gif)   
+_Je perçois bien l'"unité", la "quantité 1" seule, je peux facilement la découpler de l'objet réel auquel elle se réfère._
+
+et dans les cases du *tableau B* je vois du multiple, le plusieurs : des **nombres plus grands que l'unité**.
+
+![](integer-multiple-from-things-to-numbers_L1000.gif)   
+_Les diverses "quantités", appelées "nombres", existent par elles-mêmes. C'est une existence abstraite,_
+_&nbsp;le lien avec les objets réels que je "quantifie" (que je "dénombre") est ignoré ou rompu.<br>_
+_(Lire le Point culturel "De la bulle-enveloppe à la naissance du nombre")_
+
+
+#### Quelle est ma maîtrise intuitive des nombres ?
+
+J'ai conscience que les nombres sont plus ou moins grands.
+
+* Je peux classer intuitivement du plus petit à gauche au plus grand à droite   
+des petits nombres, et des grands nombres très différents.
+
+![](numbers-classification_L1000.gif)    
+_Je peux facilement classer les nombres des tableaux A et B du plus petit au plus grand._
+
+* Le symbole $`<`$ qui signifie "plus petit que" appliqué à deux nombres,... à terminer.
+
+* Mais je ne peux pas classer intuitivement des nombres grands et proches :
+
+figure à faire.
+
+
+#### Quels sont les nombres que je reconnais intuitivement ?
+
+À terminer de mettre au point.
+
+* J'ai trop l'habitude de compter, je suis *piégé par mon aptitude à compter*.   
+  **Comment savoir les nombres que je reconnais** intuitivement, sans compter?
+
+* Une **idée** : *ne pas me laisser le temps* de compter.   
+  Une **expérience** : comparer deux nombres à *comparer en un temps limité* (une demi seconde).
+
+* Le **protocole** de l'expérience :   
+  *J'observe* les images suivantes, et à chaque image  
+  *je réponds à la question* :   
+  **Les nombres de droite et de gauche sont-ils les mêmes ?**   
+  Je note dans l'ordre mes réponses ("O" pour oui, "N" pour non, "I" pour "je ne sais pas")
+
+Image gif à faire et implémenter.
+
+* Je fais l'expérience et **je devrais constater** que :   
+   * Pour les nombres correspondant à **quelques unités**, je sais toujours et *je ne me trompe jamais*.   
+   Mes réponses oui ou non sont juste, 
+   * Pour des **nombres plus grands**, *je me trompe plus ou moins souvent* 
+    dans mes réponses "oui" et "non",   
+     et *souvent je ne sais pas*.
+
+* Dans des expériences de même type, il est généralement admis que l'être humain
+  a une perception intuitive des nombres de 1 à 5 (nombre à changer?).   
+  Au-delà, il doit compter, donc s'appuyer sur une représentation écrite ou orale
+  du nombre pour se le représenter.
+
+Image de conclusion à faire.   
+_et dans sa légende, écrire que l'être humain est classé dans le règne animal, et_
+_pointer vers la question scientifique "Les animaux savent-ils compter ?" de la partie_
+_&nbsp; pour aller au-delà._
+
+
+
+#### Que signifie une égalité ?
+
+à faire
+
+
+#### Comment comparer deux grands multiples ?
+
+Hypothèse, je ne distingue intuitivement que $`\color{grey}{\Large\,\bullet}\;`$ , 
+$`\color{grey}{\Large\;\bullet\bullet\;}`$, $`\color{grey}{\Large\;\bullet\bullet\bullet\;}`$, 
+$`\color{grey}{\Large\;\bullet\bullet\bullet\bullet\;}`$ et $`\color{grey}{\Large\;\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\;}`$
+
+
+<!----propablement à supprimer, pour ne garder que l'égalité fauuse---
+##### Première égalité 
+
+![](true-equality-2_v2_L1200.jpg)   
+![](true-or-false-equality-fr_L1200.jpg)
+
+![](true-equality-2_v2_L1200.jpg)   
+![](true-or-false-equality-es_L1200.jpg)
+
+![](true-equality-2_v2_L1200.jpg)   
+![](true-or-false-equality-en_L1200.jpg)
+
+----------------------->
+
+Je prends comme exemple l'égalité suivante :
+
+![](false-equality-2_v2_L1200.jpg)  
+![](true-or-false-equality-fr_L1200.jpg)
+
+<!----------------------------
+![](false-equality-2_v2_L1200.jpg)   
+![](true-or-false-equality-es_L1200.jpg)
+
+![](false-equality-2_v2_L1200.jpg)   
+![](true-or-false-equality-en_L1200.jpg)
+------------------------------>
+
+Si je ne compte pas, je ne peux pas dire intuitivement si il y a le même nombre d'unité de par et d'autre du symbole $`\Large =`$.   
+
+Comment savoir si cette égalité est vraie ou fausse ?
+
+
+##### Je mets en correspondance chaque unité à gauche avec une unité à droite.
+
+à faire
+
+Parler un peu ici... bijection sans le dire.   
+Inconvénient de la méthode dans la réalité, il faut que les deux ensembles d'unités soient côte à côte.
+
+##### J'invente un symbole pour chaque multiple.
+
+à faire
+
+Parler un peu ici ... demance de mémoriser et de savoir écrire beaucoup de symboles différents (chiffres),   
+et cela limite la maîtrise de la multitude à quelques dizaines d'unités.
+
+
+##### J'utilise le système très performant des bases numériques.
+
+
+--------------------
+
+
+#### Base 3
+
+##### Un système n'utilisant que $`\color{grey}{\Large\;\;\bullet\bullet\bullet}`$ symboles.
+
+*  $`\quad\color{grey}{\Large\bullet\,\bullet}`$ symboles sont :
+   * le **$`\large{1}`$**, se dit *$`\,\large{un}\,`$* et correspond à l'unité *$`\color{grey}{\Large\bullet}`$.
+   * le **$`\large{2}`$**, se dit *$`\,\large{deux}\,`$* et correspond au multiple *$`\color{grey}{\Large\bullet\,\bullet}`$*.
+
+* Quand je compte les unités, j'ai donc :  
+   * $`\quad\color{grey}{\Large\bullet}\;=\; 1`$ 
+   * $`\quad\color{grey}{\Large\bullet\,\bullet}\;=\; 2`$
+
+* *Quand j'observe le nombre $`\quad\color{grey}{\Large\bullet\bullet\bullet}`$*,   
+  je ne lui associe *pas de symbole*,   
+  mais **je regroupe** les $`\quad\color{grey}{\Large\bullet\bullet\bullet}`$
+  **dans un ensemble $`\color{green}{\LARGE\circ}`$**.
+
+
+<!----------------------------
+![](false-equality-2_v2_L1200.jpg)   
+![](true-or-false-equality-es_L1200.jpg)
+
+![](false-equality-2_v2_L1200.jpg)   
+![](true-or-false-equality-en_L1200.jpg)
+------------------------------>
+
+##### Comment maîtriser premier terme de l'égalité ?
+
+![](premier-terme-egale-deuxieme-terme_L1200.jpg)   
+![](false-equality-member1_v5_L1200.jpg)
+
+J'entoure chaque $`\color{grey}{\Large\bullet\,\bullet\,\bullet}`$ avec un $`\color{green}{\LARGE\circ}`$
+
+![](base-3-nombre-1term-1-equality-true_v5_L1200.gif)
+
+Il y a au moins $`\color{green}{\LARGE\circ\,\circ\,\circ}`$.   
+J'entoure chaque $`\color{green}{\LARGE\circ\,\circ\,\circ}`$ avec un $`\color{blue}{\huge\circ}`$
+
+![](base-3-nombre-1term-2-equality-true_v5_L1200.gif)
+
+Il y a au moins $`\color{blue}{\huge\circ\,\circ\,\circ}`$.   
+J'entoure chaque $`\color{blue}{\huge\circ\,\circ\,\circ}`$ avec un $`\color{magenta}{\Huge\circ}`$
+
+![](base-3-nombre-1term-3-equality-true_v5_L1200.gif)
+
+Il n'y a pas $`\color{magenta}{\Huge\circ\,\circ\,\circ}`$.   
+Je m'arrête là.
+
+<br>
+
+##### Comment écrire ce nombre de $`\color{grey}{\Large\bullet}`$ ?
+
+Je vais **compter** le nombre de $`\color{grey}{\Large\bullet}`$, de $`\color{green}{\LARGE\circ}`$,
+de $`\color{blue}{\huge\circ}`$ et de $`\color{magenta}{\Huge\circ}`$ (*avec les chiffres $`1`$ et $`2`$*).
+<br>
+Puis j'écris ces **résultats dans le tableau** :
+
+![](base-nombre-ecriture-sens-base-tableau_v5_L1200.jpg)   
+![](du-plus-petit-au-plus-grand_v5_L1200.jpg)
+
+<!------------------------------------
+
+![](base-nombre-ecriture-sens-base-tableau_L1200.gif)   
+![](de-mas-paqueno-a-mas-grande_L1200.jpg)
+
+![](base-nombre-ecriture-sens-base-tableau_L1200.gif)   
+![](from-least-to-greatest_L1200.jpg)
+
+-------------------------------------->
+
+<br>
+
+##### Il n'y a pas de $`\color{grey}{\Large\bullet}`$ isolée ... Comment écrire ce résultat?   
+
+J'invente un **nouveau chiffre** qui **signifie l'absence**, que j'appelle "*\,\large{zéro}\,*" et que je note *$`\large{0}`$*.
+
+![](integer-30a-base3-writing_v5_L1200.gif)
+
+Dans cette **base** qui n'utilise que les **chiffres   
+$`\Large 1\,,\,2\,\text{ et }\,0`$**,   
+le nombre qui représente de *terme de gauche* de l'égalité s'écrit *$`\Large1110`$*.
+
+![](true-equality-2_a_L1200.gif)
+
+
+##### Quelle différence entre un chiffre et un nombre ?
+
+
+##### Le zéro est-il un nombre?
+
+à commenter... dans ce type de numération, le zéro est nécessaire... devient un  chiffre et devient un nombre.
+
+![](numbers-classification-with-zero.gif)   
+
+
+##### Comment maîtriser le second terme ?
+
+![](premier-terme-egale-deuxieme-terme_L1200.jpg)   
+![](false-equality-member2_v5_L1200.jpg)
+
+J'utilise la **même technique**.
+
+J'entoure chaque $`\color{grey}{\Large\bullet\,\bullet\,\bullet}`$ avec un $`\color{green}{\LARGE\circ}`$
+
+![](base-3-nombre-2term-1-equality-false_v5_L1200.gif)
+
+Je peux déjà dire :
+
+![](false-equality-1-b_L1200.jpg)
+
+Si seule cette égalité m'intéresse, je peux m'arrêter ici.  
+
+Mais peut-être j'aurais à comparer plus tard ce terme de droite dans une autre égalité.
+Je souhaite donc écrire le nombre correspondant à ce terme :
+
+![](base-3-nombre-2term-2-equality-false_v5_L1200.gif)
+
+![](base-3-nombre-2term-3-equality-false_v5_L1200.gif)
+
+##### J'écris ce deuxième terme
+
+![](integer-30b-base3-writing_v5_L1200.gif)
+
+Dans cette **base** qui n'utilise que les **chiffres    
+$`\mathbf{\large 1\,,\,2\,\text{ et }\,0}`$**,   
+l'*égalité* s'écrit   
+*$`\mathbf{\large 1110=1102}`$*.   
+
+Je peux l'écrire, je peux la lire, mais c'est une égalité qui *est fausse*.
+
+![](final-false-equality-base3_v5_L1200.gif)
+
+Il est toujours **possible d'exprimer les nombres** de chaque côté du signe égal *dans une autre base*,
+ou *dans tout autre système de numération*. 
+
+Les **nombres existent** *indépendamment du système de numération* dans lequel ils sont exprimés.
+
+Une **égalité** entre deux nombres est **vraie ou fausse**, *indépendamment du système de numération* utilisé pour écrire les nombres.
+
+
+Une **égalité entre deux nombres a du sens**,    
+car c'est une *égalité entre deux choses de même nature* : des nombres.
+
+Alors elle *peut être vraie*, comme $`2=2`$,   
+ou elle *peut être fausse*, comme $`2=3`$.
+