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@@ -842,9 +842,10 @@ C'est le **point de vue d'un super-observateur**, qui aurait une connaissance in
 <br>
 
 ![](https://m3p2.com/fr/temporary-m3p2/waves/images-sounds/interferences-diffraction/1D-interf-AA-D180_v2_L1200.gif)
-_Superposition de deux ondes harmoniques 1D de même fréquence, se propageant dans le même sens, de déphasage stationnaire_ 
-_$`\Delta\varphi=\varphi_2^0 -\varphi_1^0=0`$. La somme de ces deux ondes harmonique donne un champ stationniare nul :_ 
-_l'interférence entre des deux ondes est destructive_
+_Superposition en un point de l'espace de deux ondes harmoniques de même fréquence et de déphasage stationnaire_ 
+_$`\Delta\varphi=\varphi_2^0 -\varphi_1^0=0`$_.
+_La somme de ces deux ondes harmonique donne un champ stationniare nul :_ 
+_l'interférence entre ces deux ondes est destructive_
 
 <br>
 
@@ -884,6 +885,8 @@ _l'interférence entre des deux ondes est destructive_
   <br>
   *$`\,\boldsymbol{\mathbf{\hspace{0.8cm}= \dfrac{\varphi_1^0 - \varphi_2^0}{2}}}`$*
 
+<br>
+
 *  Les *phases des deux ondes* s'écrivent alors sous la forme
   *$`\boldsymbol{\mathbf{\alpha_{moyen} + \dfrac{\Delta\varphi}{2}}}\;`$* et *$`\;\boldsymbol{\mathbf{\alpha_{moyen} - \dfrac{\Delta\varphi}{2}}}`$*   
   <br>
@@ -892,8 +895,27 @@ _l'interférence entre des deux ondes est destructive_
   **$`\boldsymbol{\mathbf{ U(x,t) = A\cdot cos\left(\alpha_{moyen} + \dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)}}`$**
   **$`\boldsymbol{\mathbf{\hspace{3cm}+ A\cdot cos\left(\alpha_{moyen} - \dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)}}`$**
 
+<br>
+
+* En appliquant les relations de trigonométrie   
+  <br>
+ $`cos(a+b)\;=\;cos\,a\,cos\,b\;-\;sin\,a\,sin\,b`$   
+ et
+ $`,cos(a-b)\;=\;cos\,a\,cos\,b\;+\;sin\,a\,sin\,b`$   
+ <br>
+ Tu obtiens alors :   
+ <br>
+ **$`\boldsymbol{\mathbf{ U(x,t)`$** =
+ $`\begin{align} 
+\quad = A\;\big[\,cos\Big(\alpha_{moyen} + \dfrac{\Delta\varphi}{2}\Big) \\
+&\quad\quad\quad\quad + \,cos\Big(\alpha_{moyen} - \dfrac{\Delta\varphi}{2}\Big)\,\Big]\\
+&\\
+&=A\;\big[\,\underbrace{cos(\alpha)\,cos\Big(\dfrac{\Delta\varphi}{2}\Big)\,-\,sin(\alpha)\,sin\Big(\dfrac{\Delta\varphi}{2}\Big)}_{\color{blue}{\text{car   }cos(a+b)\;=\;cos\,a\,cos\,b\;-\;sin\,a\,sin\,b}}\big)\\
+&\quad + \underbrace{cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,+\,sin(\alpha ')\,sin\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{\text{car   }cos(a-b)\;=\;cos\,a\,cos\,b\;+\;sin\,a\,sin\,b}}\big)\,\Big]\\
+&\\
+&=2\,A\cdot cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)
+\end{align}`$   
 
-      à continuer
   
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