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@@ -237,6 +237,22 @@ RÉSUMÉ
     *$`\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=-\sin\varphi(t)\,\overrightarrow{e_x}`$*
      *$`\;+\,\cos\varphi(t)\,\overrightarrow{e_y}+0\,\overrightarrow{e_z}`$*   
     <br>
+
+    *$`\begin{align}
+     \overrightarrow{e_r}(t)=\;&+\sin\theta(t)\cos\varphi(t)\,\overrightarrow{e_x}\\
+     &+\sin\theta(t)\sin\varphi(t),\overrightarrow{e_y}+\cos\theta(t)\,\overrightarrow{e_z}
+     \end{align}`$*   
+     <br>
+    *$`\begin{align}
+     \overrightarrow{e_{\theta}}(t)=\;&+\cos\theta(t)\cos\varphi(t)\,\overrightarrow{e_x}\\
+     &+\cos\theta(t)\sin\varphi(t),\overrightarrow{e_y}-\sin\theta(t)\,\overrightarrow{e_z}
+     \end{align}`$*    
+     <br>
+    *$`\begin{align}
+    \overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=\;&-\sin\varphi(t)\,\overrightarrow{e_x}\\
+     &+\,\cos\varphi(t)\,\overrightarrow{e_y}+0\,\overrightarrow{e_z}
+    \end{align}`$*    
+    <br>
     ce qui entraîne   
     <br>
     **$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d(\sin\theta\,\cos\varphi)}{dt}\,\overrightarrow{e_x}`$**
@@ -251,15 +267,36 @@ RÉSUMÉ
     **$`\;+\,\dfrac{d(\cos\varphi)}{dt}\,\overrightarrow{e_y}`$**
     **$`\;+\,0\,\overrightarrow{e_z}`$**   
 
+    <br>
+    **$`\begin{align}
+    \dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\;&\dfrac{d(\sin\theta\,\cos\varphi)}{dt}\,\overrightarrow{e_x}\\
+    &+\dfrac{d(\sin\theta\,\sin\varphi)}{dt}\,\overrightarrow{e_y}+\dfrac{d(\cos\theta)}{dt}\,\overrightarrow{e_z}
+    \end{align}`$**   
+    <br>
+    **$`\begin{align}
+    \dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\;&\dfrac{d(\cos\theta\,\cos\varphi)}{dt}\,\overrightarrow{e_x}\\
+    &+\dfrac{d(\cos\theta\,\sin\varphi)}{dt}\,\overrightarrow{e_y}+\dfrac{d(-\sin\theta)}{dt}\,\overrightarrow{e_z}
+    \end{align}`$**   
+    <br>
+    **$`\begin{align}
+    \dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\;&\dfrac{d(-\sin\varphi)}{dt}\,\overrightarrow{e_x}\\
+    &+\dfrac{d(\cos\varphi)}{dt}\,\overrightarrow{e_y}+0\,\overrightarrow{e_z}`$**   
+    \end{align}`$**   
 
 
 #### Pourquoi simplifier l'écriture des dérivées temporelles ?
 
-à faire
-
-*$`\large{\dfrac{dx}{dt}=\;}`$* **$`\large{\dpt{x}}`$**
+* En cinématique, chaque *calcul de vitesse et d'accélération* peuvent utiliser un 
+  **nombre important de dérivées premières ou secondes**. 
+  La lecture d'un calcul utilisant les opérateurs $`\dfrac{d}{dt}`$
+  et $`\dfrac{d^2}{dt^2}`$ peut être rendue *plus aisée en simplifiant l'écriture* de ces opérateurs.
 
-*$`\large{\dfrac{d^2x}{dt^2}=\;}`$* **$`\large{\ddpt{x}}`$**
+* Les *dérivées premières et secondes* s'écrivent en mettant **respectivement un point et deux points au-dessus**
+  de la cordonnée ou de composante qui est dérivée :   
+  <br>
+  *$`\large{\dfrac{dx}{dt}=\;}`$* **$`\large{\dpt{x}}`$**   
+  <br>
+  *$`\large{\dfrac{d^2x}{dt^2}=\;}`$* **$`\large{\ddpt{x}}`$**
 
 * Cette écriture simplifiée s'applique à toute coordonnées.   
   $`\Longrightarrow`$ selon les systèmes de coordonnées choisis, nous ferons les équivalences :   
@@ -273,7 +310,9 @@ RÉSUMÉ
   $`\dfrac{dr}{dt}=\;\dpt{r}\quad,\quad\dfrac{d\theta}{dt}=\;\dpt{\theta}\quad,\quad\dfrac{d\varphi}{dt}=\;\dpt{\varphi}`$   
   $`\dfrac{d^2r}{dt^2}=\;\ddpt{r}\quad,\quad\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=\;\ddpt{\theta}\quad,\quad\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}=\;\ddpt{\varphi}`$   
 
-#### Quelles différence entre la vitesse, le vecteur vitesse $`\overrightarrow{\mathscr{v}}`$, une composante de ses composantes$`\mathscr{v}_{\alpha}`$ ?
+* Cette écriture peut s'appliquer aussi à tout vecteur dépendant du temps.
+
+#### Quelles différence entre la vitesse, le vecteur vitesse $`\overrightarrow{\mathscr{v}}`$, une de ses composantes $`\mathscr{v}_{\alpha}`$ ?
 
 à faire