**$`(\rho, \phi, z)`$** (or $`(r, \phi, z)`$ if there is an ambiguity with $`\rho`$,
for example if $`\rho`$ is used for (electric) charge density).<br>
\-*spherical* : **$`(r, \theta, \phi)`$**
<!--Commentaire----------------
Par exemple à l'INSA au GP, on utilise $`(r, \theta, z)`$ et $`(r, \theta, \phi)`$, ce qui
fait que l'angle $`\theta`$ en coordonnées cylindriques est définit comme l'angle $`\phi`$
en sphériques. C'est l'occasion de changer cela pour nous conformer aux normes, et pour redonner
de la simplicité dans l'apprentissage des systèmes de coordonnées.
-------------------------------->
### Coordonnées cartésiennes
#### Définition des coordonnées et domaines de définition
* C0OSYS-S100*
Système de coordonnées cartésiennes :<br>
\-**1 punto $`\mathbf{O}`$** de l'espace, choisi comme **origine** des coordonnées cartésiennes.<br>
\-**3 axes** appelés **$`\mathbf{Ox , Oy , Oz}`$**, se coupant en $`O`$ et **orthogonaux deux à deux**.<br>
\-**1 unité de longueur**.
---------------------
**C0OSYS-110*
Coordonnées cartésiennes : $`( x, y, z)`$
Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ conduisant au point $`m_{xy}`$,
et sur l'axe $`Oz`$ conduisant au point $`m_z`$. Le point $`m_{xy}`$ est projeté orthogonalement sur les axes $`Ox`$ et $`Oy`$, conduisant respectivement aux points $`m_x`$ et $`m_y`$ (voir figure ...). <br>
ou, pour un équivalent d'écriture plus simple, mais moins visuel :<br>
Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur chacun des axes $`Ox , Oy , Oz`$ conduisant respectivement aux points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$.
---------------------
**C0OSYS-120*
Les **coordonnées cartésiennes $`\mathbf{x_M , y_M , z_M}`$** du point $`M`$ sont les
distances algébriques $`\overline{Om_x}`$, $`\overline{Om_y}`$ et $`\overline{Om_z}`$ mesurées depuis le point origine $`O`$ jusqu'à chacun des points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$.
Les coordonnées $`x , y , z`$ sont des **longueurs** algébriques, dont l'**unité** dans le système international d'unité **S.I.** est le **mètre**, de symbole **$`\mathbf{m}`$**.
**Unidades S.I. / Unités S.I. / S.I. units : $`\mathbf{x(m)\;,\;y(m)\;,\;z(m)}`$**
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**C0OSYS-130*
Chaque point $`M`$ de l'espace est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cartésiennes. On écrit : $`M=M(x_M,y_M,z_M)`$.
Si le point est un point quelconque, on simplifie :
$`M(x,y,z)`$, **$`\mathbf{M(x,y,z)}`$**
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**C0OSYS-140*
**Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cartésiennes lorsque chacune varie de façon indépendante des autres dans son propre domaine de variation. Leurs domaines de variation sont :
!!!! Attention : Cette propriété que les longueurs élémentaires $`dl_{\alpha}`$ s'identifie à la variation infinitésimale de la coordonnée $`d\alpha`$ correspondante est une propriété des systèmes de coordonnées cartésiennes :
!!!! Mais lorsque nous passons aux coordonnées cylindriques et sphériques, et en généralisant aux coordonnées curvilignes, cette identité n'est plus systématiquement vraie.
!!!!
!!!! En général : $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha} \ne d\alpha`$
!!!!
!!!! Il est donc important de *distinguer la distance infinitésimal $`dl_{\alpha}`$* parcourue par un $`M`$ lors d'une variation infinitésimale d'une seule de ses coordonnées $`\alpha`$, *de la variation $`d\alpha`$* de cette même coordonnée.
<!--
**C60* :
[ES] Característica de los sistemas de coordenadas "cartesianos" : si un punto $`M(x,y,z)`$
hace un desplazamiento infinitesimal hasta el punto $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>
el Elemento escalar de línea $`dl`$ se escribe simplement :
[FR] Caractéristique des systèmes de coordonnées "cartésiennes" : si un point $`M(x,y,z)`$
fait un déplacement infinitésimal jusqu'au point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>
l'élément scalaire de longueur $`dl`$ s'écrit simplement :
[EN] Characteristic of "Cartesian" coordinate systems : if a point $`M(x,y,z)`$ makes
an infinitesimal displacement up to point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>
Les vecteurs déplacement élémentaire $`d\overrightarrow{OM}_x , d\overrightarrow{OM}_y , d\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--,etformentuntrièdredirect-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$.
Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$
forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cartésiennes.
En coordonnées cartésiennes, les **vecteurs de base** gardent la
**même direction et le même sens quelque-soit la position du point $`M`$**.
base orthogonale indépendante de la position de $`M`$
---------------------
**C0OSYS-190*
[FR] Un repère cartésien, noté $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$,
est l'ensemble formé par un point $`O`$ origine des coordonnées et une base vectorielle cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.
En coordonnées cartésiennes, tout point $`M`$ de l'espace peut se repérer :<br>
\- soit par ses coordonnées cartésiennes $`(x, y, z)`$ dans le système d'axes cartésien $`(Ox, Oy, Oz)`$.<br>
\- soit par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ d'expression
$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ dans le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.<br>
Les composantes d'un vecteur position sont appelées coordonnées, $`x, y, z`$ sont les coordonnées cartésiennes du point $`M`$.
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**C0OSYS-200*
Des grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associées à un point $`M`$ autres que sa position $`\overrightarrow{OM}`$ peuvent s'exprimer avec les vecteurs de la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$: <br>
$`G_x, G_y, G_z`$ sont appelées composantes de la grandeur physique $`G`$ dans la base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.<br>
Exemples grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associée à un point $`M`$ :<br>
\- le vecteur vitesse $`V`$, dont les composantes cartésiennes $`V_x, V_y, V_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-1}`$ dans le S.I. <br>
\- le vecteur accélération $`a`$, dont les composantes cartésiennes $`a_x, a_y, a_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-2}`$ dans le S.I. <br>
\- la force totale appliquée $`F`$, dont les composantes cartésiennes $`F_x, F_y, F_z`$ s'expriment en $`N`$ (newton) dans le S.I. <br>
\- Tout point $`M `$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ conduisant au point $`m_{xy}`$,
et sur l'axe $`Oz`$ conduisant au point $`m_z`$.
\- La **coordonnée $`\rho_M`$** du point $`M`$ est la *distance non algébrique $`Om_{xy}`$* entre le point $`O`$ et le point $`m_{xy}`$.<br>
\- La **coordonnée $`\varphi_M`$** du point $`M`$ est l'*angle non algébrique $`\widehat{xOm_{xy}}`$* entre l'axe $`Ox`$ et la demi-droite $`Om_{xy}`$,
le sens de rotation étant tel que le trièdre *$`(Ox , Om_{xy}, Oz)`$* est un *trièdre direct*.<br>
\- La **coordonnée $`z_M`$** du point $`M`$ est la *distance algébrique $`\overline{Om_z}`$* entre le point $`O`$ et le point $`m_z`$.
! *Remarque :* Les deux premières coordonnées cylindriques d'un point $`M`$ sont les coordonnées polaires du point $`m_{xy}`$ dans le plan $`xOy`$ (plan $`z=0`$). Ce sont aussi les coordonnées polaires du point $`M`$ dans le plan $`z=z_M`$.
\- Les coordonnées **$`\rho`$ **et **$`z`$** sont des *longueurs*, dont l'*unité S.I.* est le mètre, de symbole *$`m`$*.<br>
\- La coordonnée **$`\varphi`$** est un angle, dont l'*unité S.I.* est le radian, de symbole *$`rad`$*.
\- Tout point $`M`$ de l'espace, excepté le point origine $`O`$, est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cylindriques.<br>
\- Au point origine $`O`$ est attribué les coordonnées cylindriques $`(0 , 0 , 0)`$.
\- Escribimos / on écrit / we write : $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$
\- Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify :
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartesiana *directa* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ base cilíndrica asociada *directa*.
<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartésienne *directe* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ base cylindrique associée *directe*.
<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* Cartesian base $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* associated cylindrical base.
[ES] ? En el marco de referencia $`\mathcal{R}(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ del observador, es decir cuando la origen del espacio $`O`$ es fija y los tres vectores base verifican
[FR] Dans le référentiel $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ est fixe, donc tel que l'origine $`O`$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient
[EN] In the reference frame $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ of the observer, i.e.when the origin $`O`$ is fixed and the three base vectors satisfy
$`\quad\Longrightarrow\quad`$ pour une variation infinitésimale $`d\varphi`$, $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ varient de :
[ES] En la mecánica clásica, las interacciones entre cuerpos materiales se traducen en términos de fuerza $`\vec{F}`$ y conducen a una aceleración $`\vec{a}`$ de cada cuerpo en interacción proporcional a la inversa de su masa de inercia $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (o $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , ver capítulo mecánico). Como el vector de aceleración es la segunda derivada temporal del vector de posición, es posible que necesitemos conocer la segunda derivada temporal de los vectores base para el estudio del movimiento.
[FR] En mécanique classique, les interactions entre les corps matériels se traduisent en terme de force $`\vec{F}`$, et conduisent à une accélération $`\vec{a}`$ de chaque corps en interaction proportionnelle à l'inverse de sa masse d'inertie $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (ou $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , voir chapitre mécanique). Dans l'étude du mouvement, nous aurons besoin d'étendre l'étude à la dérivée seconde des vecteurs de base. Comme le vecteur accélaration est la dérivée seconde du vecteur position, nous pourrions avoir besoin de connaître la dérivée seconde par rapport au temps des vecteurs de base pour l'étude du mouvement.
[EN] In classical mechanics, the interactions between material bodies are expressed in terms of force $`\vec{F}`$ , and lead to an acceleration of each interacting body proportional to the inverse of its mass of inertia $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (or $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , see mechanical chapter). As the acceleration vector is the second time derivative of the position vector, when studying the motion we might need to know the second time derivative of the base vectors.
[FR] Base cartésien de référence $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ directe $`\Longrightarrow`$ base cylindrique $`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ directe $`\Longrightarrow`$ :
[FR] Base cartésien de référence $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ indirecte $`\Longrightarrow`$ base cylindrique $`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ indirecte $`\Longrightarrow`$ :<br>
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartesiana *directa* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base esférica asociada *directa*.
<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartésienne *directe* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base sphérique associée *directe*.
<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* Cartesian base $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ *direct* associated spherical base.
dans la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ :
$`\overrightarrow{e_r}(t)=
\left| \begin{array}{l}
sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\
sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\
cos\,\theta(t) \\
\end{array} \right.\quad`$ ,
$`\quad\overrightarrow{e_{\theta}}(t)=
\left|\begin{array}{l}
cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\
cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\
-\,sin\,\theta(t) \\
\end{array}\right.\quad`$ ,
$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=
\left|\begin{array}{l}
-\,sin\,\varphi(t) \\
cos\,\varphi(t) \\
0 \\
\end{array}\right.`$
Dans le référentiel $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ est fixe, donc tel que l'origine $`O`$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient
