##### Application of the **Local Gauss** theorem to
### **Cylindrical symmetry charge distributions**
#### Comment sont-elles définies ?
* Ici définie, une distribution de charge à symétrie cylindrique *possède* deux symétries,
* une *symétrie de révolution*
* une **symétrie de translation**
*autour* et **selon** un même axe, *l'axe de révolution*.
! *rappel* : un axe de *révolution* est un axe de *rotation d'ordre infini*.
* Tout **plan contenant l'axe de révolution** est *plan de symétrie* pour la charge électrique.
#### Quel système de coordonnées spatiales choisir ?
* Le système de coordonnées *le mieux adapté* est le système de **coordonnées cylindriques $`(O,\rho,\varphi,z)`$**,
avec **$`Oz =\;`$ axe de révolution**, et où :
* $`O`$ est le point de l'espace pris comme origine des coordonnées.
* $`(\rho,\varphi,z)`$ sont les coordonnées cylindriques.
et de repère orthonormé associé le *repère cylindrique $`\mathbf{(O, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})}`$*.
#### Comment caractériser un distribution de charges à symétrie cylindrique ?
* La distribution de charges est décrite par une **densité de charge $`\dens=\dens(\rho,\varphi,z)`$**.
_Un cylindre infini est, lorsqu'il est chargé uniformément en volume, l'exemple le plus simple de distribution de charge à symétrie cylindrique. Corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
#### De quelles coordonnées dépend $`\overrightarrow{E}`$ ?
***L'effet** possède les *invariances de sa cause* :
$`\Longrightarrow`$**$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$** possède les *invariances de $`\dens`$*
_figure temporaire à réviser : corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$. _Remplacer_ $`\mathscr{P}_2`$ _par_ $`\mathscr{P}_0`$. _En effet, pour le point suivant, nous réserverons la notation_ $`\mathscr{P}_i`$ _avec_ $`i\in\mathbb{N}^*`$ _aux plans contenant l'axe_ $`Oz`$. _Rajouter la notation $`\Delta`$ pour l'axe_ $`Oz`$.
***$`\overrightarrow{E}`$** est un *vecteur polaire*.
**$`\mathbf{\mathcal{P}_1=}`$***$`\mathbf{\mathcal{P}_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})}`$** est *plan de symétrie* pour $`\dens`$.
**$`\mathbf{\mathcal{P}_2=}`$***$`\mathbf{\mathcal{P}_2\,(M, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_{\rho}})}`$** est *plan de symétrie* pour $`\dens`$.
#### Qu'implique la direction de $`\overrightarrow{E}`$ ?
* L'étude des symétries de la distribution de charge implique en tout point de l'espace : **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
* $`\Longrightarrow`$ les autres composantes de champ *$`\mathbf{E_{\varphi} \text{ et } E_z}`$ sont nulles* en tout point de l'espace :
* Si $`\mathbf{E_{\varphi}=E_z=0}`$ en tout point de l'espace $`\mathscr{E}`$, alors leur valeur nulle ne varie pas d'un point à un autre point voisin par translation élémentaire $`dz`$ ou variation élémentaire d'angle $`d\varphi`$. Donc *les dérivées partiellles de $`\mathbf{E_{\varphi}\text{ et }E_z}`$ par rapport à $`\mathbf{z\text{ et }\varphi}`$ sont nulles*.
$`\mathbf{\forall M \in \mathscr{E}\, , E_{\varphi}=E_z=0}`$
**$` \Longrightarrow\left\{
\begin{array}{l}
\mathbf{\dfrac{\partial E_{\varphi}}{\partial\varphi}=0 \;\;\text{ et } \;\;\dfrac{\partial E_{\varphi}}{\partial z}=0} \\
\mathbf{\dfrac{\partial E_z}{\partial\varphi}=0 \;\;\text{ et } \;\;\dfrac{\partial E_z}{\partial z}=0}
\end{array}
\right.`$**
* $`\Longrightarrow`$ l'expression de *la divergence de $`\overrightarrow{E}`$ se simplifie* en tout point de l'espace :
#### Qu'impliquent les invariances de $`\overrightarrow{E}`$ ?
* L'étude des invariances de la distribution de charge implique en tout point de l'espace : **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(\rho)}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{E_\rho}`$**
* Dans l'espression $`\dfrac{\partial\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{\partial\,\rho}`$, le terme **$`\rho\,E_{\rho}(\rho)`$** est une **fonction de la seule coordonnée $`\rho`$**. l'opérateur de *dérivée partielle* $`\dfrac{\partial}{\partial\,\rho}`$ peut être *remplacée par* l'opérateur de *dérivée totale* $`\dfrac{d}{d\rho}`$.
* $`\Longrightarrow`$ la divergence de $`\overrightarrow{E}`$ se réécrit :
#### Comment remonter à l'expression de $`\overrightarrow{E}`$ ?
* $`div\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{d\rho}`$ permet l'*écriture de la différentiel $`d\left(\rho\,E_{\rho}\right)`$* de la fonction $`\rho\,E_{\rho}`$ sous la forme :
* L'*intégration de $`d\left(\rho\,E_{\rho}\right)`$ entre $`\rho=0`$ et $`\rho_M`$*, $`M=M(\rho_M\,,\varphi_M\,, z_M)`$ étant un point quelconque de l'espace donne :
#### Comment faire le lien avec la distribution de charges puis en déduire $`\overrightarrow{E}`$ ?
* Calculer la champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ revient à calculer une intégrale dont l'intégrande est la différentielle $`d\left(\rho\,E_{\rho}\right)`$ :
* Cette différentielle s'exprime simplement en fonction de la divergence de $`\overrightarrow{E}`$, et le théorème de Gauss local relie cette divergence à la densité volumique de charge $`\dens^{3D}`$. Nous obtenons une *expression de $`d\left(\rho\,E_{\rho}\right)`$ en fonction de $`\dens^{3D}`$* :
sont *commun à toutes les distributions* de charge à symétrie cylindrique invariantes par translation selon $`Oz`$.
* Le **calcul final de $`\overrightarrow{E}`$** nécessite de *connaître l'expression mathématique pour $`\mathbf{\dens^{3D}}`$* en chaque point de l'espace.
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$`\Longrightarrow`$ **différentes distributions de charge sont étudiées***dans la suite de cette page*.
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#### **1 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en volume
##### Description de $`\dens`$ :
***$`\left\{\begin{array}{ll}
\rho\le R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_0 = cste\gt 0 \\
\rho\gt R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)= 0
\end{array}\right.`$**
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* Nombre de sous-espaces complémentaires à prendre en compte : 2
* sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}_0`$ et tel que $`\rho\le R`$.
* sous-espace $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=0`$ et tel que $`\rho \gt R`$
* L'*objectif final* est de calculer le champ électrique **$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ en tout point $`\mathbf{M=(\rho_M\,\varphi_M\,z_M)}`$** de l'espace.
***2 cas sont à prendre en compte**, selon que le point *$`M`$ est situé à l'intérieur* $`(\rho_M\le R)`$ ou *à l'extérieur* $`(\rho_M\gt R)`$ du cylindre chargé de rayon $`R`$.
**Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,\varphi_M\, z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :
(ne pas oublier le facteur $`1\,/\,\epsilon_0`$)
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**$`\large\text{Pour }\mathbf{\rho_M = 0}`$** :
L'étude des symétries nous a permis d'affirmer précédemment que :
