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12.temporary_ins/05.coordinates-systems/40.spherical-coordinates/10.main/textbook.es.md

+---
+title: Coordenadas esféricas
+published: true
+routable: false
+visible: false
+lessons:
+    - slug: 
+      order: 
+    - slug: spherical-coordinates-linear
+      order: 1 
+---
+
+!!!! *CURSO EN CONSTRUCCIÓN :* <br>
+!!!! Publicado pero invisible: no aparece en la estructura de árbol del sitio m3p2.com. Este curso está *en construcción*, *no está aprobado por el equipo pedagógico* en esta etapa. <br>
+!!!! Documento de trabajo destinado únicamente al equipo pedagógico.
+
+<!--MetaDato : ... -->
+
+<!-- Partie principale $`\longleftarrow`$ Coordonnées cylindriques N3 -->
+
+---------------------------------
+
+<!--travail commun :
+https://gitlab.m3p2.com/m3p2/courses/blob/master/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/20.reference-frames-coordinate-systems/textbook.es.md
+-->
+
+
+### Les coordonnées sphériques
+
+#### Définition des coordonnées et domaines de définition
+
+* *CS550* 
+
+Les coordonnées sphériques s'écrivent $`(r, \theta, \varphi)`$,
+
+avec :
+
+$`r\in [0;\infty[`$ ,  $`\theta\in[0,\pi]`$ et $`\varphi\in [0;2\pi[`$.
+
+**$`\mathbf{ r\in [0;\infty[}`$  ,  $`\mathbf{\theta\in[0,\pi]}`$  ,  $`\mathbf{\varphi\in [0;2\pi[ }`$**
+
+Coordonnées sphériques d'un point $`M`$ :
+
+$`(r_M, \theta_M, \varphi_M)`$ :
+
+on écrit :
+
+$`M(r_M, \theta_M, \varphi_M)`$
+
+Si le point est un point quelconque, on simplifie
+
+$`M(r, \theta, \varphi)`$ , **$`\mathbf{M=M(\rho, \theta, \varphi)}`$**
+
+
+#### Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée
+
+* *CS560* 
+
+[FR] élément scalaire de longueur :
+
+$`dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}`$ ,
+**$`\mathbf{dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}}`$**
+
+--------------------------
+
+* *CS570*
+
+Vecteur position d'un point $`M(r,\theta,\varphi)`$ en coordonnées sphériques :
+
+<br>$`\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}}`$**
+
+-----------------------------
+
+* *CS580* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+
+Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées sphériques :
+
+$`d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi}`$**.
+
+---------------------------
+
+* *CS590* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+
+Lorsque seule la coordonnées $`r`$ d'un point $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon 
+continue entre les valeurs $`r`$ et $`r+\Delta r`$, le point $`M`$ parcourt un sègment
+de droite de longueur $`\Delta l_r=\Delta r`$. Lorsque $`\Delta r`$ tend vers $`0`$,
+la longueur infinitésimale $`dl_r`$ parcourue pour le point $`M`$ est :
+
+$`\displaystyle dr=\lim_{\Delta r\rightarrow 0 \\ \Delta r>0} \Delta r`$
+$`\quad\Longrightarrow\quad dl_r=dr`$ , **$`\mathbf{dl_r=dr}`$**
+
+Lorsque seule la coordonnées $`\theta`$ d'un point  $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon 
+continue entre les valeurs $`\theta`$ et $`\theta +\Delta \theta`$, le point $`M`$ parcourt un 
+arc de cercle de longueur $`\Delta l_{\theta}=r\;\Delta \theta`$. Lorsque $`\Delta \theta`$ tend vers $`0`$,
+la longueur infinitésimale $`dl_{\theta}`$ parcourue pour le point $`M`$ est :
+
+$`\displaystyle d\theta=\lim_{\Delta \theta\rightarrow 0 \\ \Delta \theta>0} \Delta\theta`$
+$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\theta}=r\,d\theta`$ , **$`\mathbf{dl_{\theta}=r\,d\theta}`$**   
+
+Lorsque seule la coordonnées $`\varphi`$ d'un point  $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon 
+continue entre les valeurs $`\varphi`$ et $`\varphi +\Delta \varphi`$, le point $`M`$ parcourt un 
+arc de cercle de longueur $`\Delta l_{\varphi}=r \;sin\,\theta\;\Delta \varphi`$. Lorsque $`\Delta \varphi`$ tend vers $`0`$,
+la longueur infinitésimale $`dl_{\varphi}`$ parcourue pour le point $`M`$ est :
+
+$`\displaystyle d\varphi=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0 \\ \Delta \varphi>0} \Delta\varphi`$
+$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi}`$** 
+
+---------------------------
+
+* *CS600* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+
+Les vecteurs $`\overrightarrow{e_r}`$, $`\overrightarrow{e_{\theta}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+forment une **base orthonormée** de l'espace. La base $`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ 
+est la base associée aux coordonnées sphériques.
+En coordonnées sphériques, les vecteurs de base associés 
+changent de direction lorsque le point $`M`$ se déplace.
+
+$`||\overrightarrow{e_r}||=||\overrightarrow{e_{\theta}}||=||\overrightarrow{e_{\varphi}}||=1`$
+
+$`\overrightarrow{e_r}\perp\overrightarrow{e_{\theta}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\theta}}\perp\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}\perp\overrightarrow{e_r}`$
+
+$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartesiana *directa* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base esférica asociada *directa*.
+<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartésienne *directe* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base sphérique associée *directe*.
+<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* Cartesian base $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ *direct* associated spherical base.
+
+$`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$<br>
+<br>$`\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$<br>
+<br>$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$<br>
+
+---------------------------
+
+* *CS610* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>
+
+Méthode 1 pour le calcul de $`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ 
+
+$`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ 
+base ortogonal dependiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale dépendante
+de la position de $`M`$ / orthogonal basis dependent of the position of $`M`$.<br>
+<br>$`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l}
+\overrightarrow{e_r} = \overrightarrow{e_r}(t) \\
+\overrightarrow{e_{\theta}}  = \overrightarrow{e_{\theta}}(t) \\
+\overrightarrow{e_{\varphi}}  = \overrightarrow{e_{\varphi}}(t) \\
+\end{array} \right.`$
+
+$`\overrightarrow{e_r}(t)=sin\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}`$<br>
+<br>$`\overrightarrow{e_{\theta}}(t)=cos\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;-\;sin\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}`$<br>
+<br>$`\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=- sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$
+
+dans la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ :
+
+$`\overrightarrow{e_r}(t)=
+\left| \begin{array}{l}
+sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\
+sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\
+cos\,\theta(t) \\
+\end{array} \right.\quad`$ , 
+$`\quad\overrightarrow{e_{\theta}}(t)=
+\left|\begin{array}{l}
+cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\
+cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\
+-\,sin\,\theta(t) \\
+\end{array}\right.\quad`$ , 
+$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=
+\left|\begin{array}{l}
+-\,sin\,\varphi(t) \\
+cos\,\varphi(t) \\
+0 \\
+\end{array}\right.`$
+
+Dans le référentiel $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ est fixe, donc tel que l'origine $`O`$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient 
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_y}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=0`$ :
+
+en se rappelant : $`(fg)'=f'g+fg'`$  
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=
+\left| \begin{array}{l}
+\dfrac{d}{dt} [\,sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\
+\\
+\dfrac{d}{dt} [\, sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\
+\\
+\dfrac{d}{dt} [\,  cos\,\theta(t)\, ] \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`\quad =
+\left| \begin{array}{l}
+\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\
+\\
+\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\
+\\
+\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt} \\
+\end{array} \right.\quad`$
+
+et en se rappelant  : $`(f \circ g)'=(f' \circ g)\,g'`$ , 
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=
+\left| \begin{array}{l}
+cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; sin\,\theta\cdot sin\,\varphi  \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\
+\\
+cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; sin\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\
+\\
+-\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\
+\end{array} \right.\quad`$
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=
+\dfrac{d\theta}{dt}\cdot 
+\left| \begin{array}{l}
+cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
+cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
+-\,sin\,\theta \\
+\end{array} \right.`$
+$`\;+\;
+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot 
+\left| \begin{array}{l}
+-\,sin\,\varphi \\
+cos\,\varphi \\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+
+**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
+
+de même :
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_\theta}}{dt}=
+\left| \begin{array}{l}
+\dfrac{d}{dt} [\,cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\
+\\
+\dfrac{d}{dt} [\, cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\
+\\
+\dfrac{d}{dt} [-\,  sin\,\theta(t)\, ] \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`\quad =
+\left| \begin{array}{l}
+\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\
+\\
+\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\
+\\
+-\,\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt} \\
+\end{array} \right.\quad`$
+
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=
+\left| \begin{array}{l}
+-\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; cos\,\theta\cdot sin\,\varphi  \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\
+\\
+-\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; cos\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\
+\\
+-\,cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\
+\end{array} \right.\quad`$<br>
+<br>
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=
+\dfrac{d\theta}{dt}\cdot 
+\left| \begin{array}{l}
+-\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
+-\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
+-\,cos\,\theta \\
+\end{array} \right.`$
+$`\;+\;
+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot 
+\left| \begin{array}{l}
+-\,sin\,\varphi \\
+cos\,\varphi \\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$<br>
+<br>
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$<br>
+<br>
+**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**<br>
+
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=
+\left| \begin{array}{l}
+\dfrac{d\,[-\,sin\,\varphi(t)]}{dt} \\
+\dfrac{d\cos\,\varphi(t)}{dt} \\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`\quad=
+\left| \begin{array}{l}
+-\,cos\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\
+-\,sin\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$
+
+$`\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$
+
+**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$**<br>
+
+avec $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ vecteur de la base cylindrique :
+
+$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$. 
+
+---------------------------------
+
+* *CS620* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+
+Méthode 2 pour le calcul de 
+$`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ 
+
+$`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$
+$`\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$
+$`=\overrightarrow{e_r}(\theta, \varphi)`$<br>
+$`\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$
+$`\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$
+$`\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$
+$`=\overrightarrow{e_{\theta}}(\theta, \varphi)`$<br>
+$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$
+$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$
+$`=\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\theta, \varphi)`$
+
+$`d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$ <br>
+$`d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$ <br>
+$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$
+
+$`\theta=\theta(t)`$ , $`\varphi=\varphi(t)\quad\Longrightarrow\quad`$ pour un même $`dt`$ infinitésimal, $`\theta`$ et $`\varphi`$ varient de :
+
+$`d\theta=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt`$ et $`d\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$
+
+$`\Longrightarrow\quad`$ pour un même $`dt`$ infinitésimal :
+
+$`d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ <br>
+$`d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ <br>
+$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ <br>
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ <br>
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$
+
+$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}=
+\left|\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\
+\dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\
+\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta) \\
+\end{array} \right.\quad`$ 
+$`=\left|\begin{array}{l}
+cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
+cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
+-\,sin\,\theta \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`=\overrightarrow{e_{\theta}}`$
+
+$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}=
+\left|\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\
+\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\
+\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta) \\
+\end{array} \right.\quad`$ 
+$`=\left|\begin{array}{l}
+-\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
+sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`=sin\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+
+$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}=
+\left|\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\
+\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\
+\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\theta) \\
+\end{array} \right.\quad`$ 
+$`=\left|\begin{array}{l}
+-\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
+-\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
+-\,cos\,\theta \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`=-\,\overrightarrow{e_r}`$
+
+$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}=
+\left|\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\
+\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi)] \\
+\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\theta) \\
+\end{array} \right.\quad`$ 
+$`=\left|\begin{array}{l}
+-\,cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
+cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`=cos\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+
+$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}=
+\left|\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\varphi) \\
+\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\varphi) \\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`=
+\left|\begin{array}{l}
+0 \\
+0 \\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`=\overrightarrow{0}`$
+
+$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}=
+\left|\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\varphi) \\
+\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\varphi) \\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`=
+\left|\begin{array}{l}
+-\,cos\,\varphi \\
+-\,sin\,\varphi \\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`=-\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$
+
+où $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ est le vecteur de la base cylindrique  :
+$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$. 
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\quad`$
+$`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\sin\,\theta\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$
+$`=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\cos\,\theta\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$
+$`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{0}\,-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$
+
+------------------
+
+* *CS630*
+
+$`\overrightarrow{v}(t)=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left[\,r(t)\cdot\overrightarrow{e_r}(t)\,\right]`$$`=\dfrac{dr(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r(t)}\;+\;r(t)\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}(t)}{dt}`$
+$`=\dfrac{dr}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\;+\;r\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}`$
\ No newline at end of file