Update cheatsheet.fr.md

12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/20.causes-stationary-electric-field/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -744,11 +744,11 @@ figure à faire
   <br>
   *$`\boldsymbol{\mathbf{\displaystyle E_M=\int_{P\in\mathcal{D}} dE_{P\rightarrow M,z}}}`$*
    
-*  L'ensemble des points $`P`$ constituant le disque, de coordonnées  $`P=(\rho_M,\,\varphi_M,\,0)`$, s'obtient 
+*  L'*ensemble des points $`P`$* du disque, de coordonnées  $`P=(\rho_M,\,\varphi_M,\,0)`$, s'obtient 
    en faisant varier 
-   * *$`\varphi_P`$ entre $`0`$ et  $`2\pi`$*
-   * *$`\rho_P`$ entre $`0`$ et $`R`$*   
-   Il s'agira donc de réaliser une **intégrale double**, dont les variables d'intégration
+   * **$`\varphi_P`$ entre $`0`$ et  $`2\pi`$**
+   * **$`\rho_P`$ entre $`0`$ et $`R`$**   
+   Il s'agira donc de réaliser une *intégrale double*, dont les variables d'intégration
    $`d\varphi`$ et $`d\rho`$ varient indépendamment l'une de l'autre.
 
 * Pour conduire la plus difficile des intégrations, celle relative à la variable $`\rho`$,
@@ -773,7 +773,32 @@ figure à faire
 
 * L'intégration sur la variable $`d\rho`$ donne :   
 
+   $`\scriptsize{\text{La dérivée de } u^n \text{ (avec u fonction de variable réelle x)}}`$
+   $`\scriptsize{\text{étant } u'\cdot u^{n-1}\;\text{, alors}}`$   
+   $`\scriptsize{\text{la primitive de } u'\cdot u^{n-1} \text{ est } u^n}`$   
+   $`\scriptsize{\text{soit encore }}`$   
+   $`\scriptsize{\text{la primitive de } u'\cdot u^n \text{ est } \dfrac{1}{n+1}\,u^{n+1}}`$   
 
+   *$`\mathbf{\boldsymbol{E_M}}`$*
+    $`\displaystyle\;=\dfrac{\dens^{2D}\,z_M}{2\,\epsilon_0}
+    \times
+    \int_{\rho=0}^{R} \rho\,(\rho^2+z_M^2)^{\,-3/2}\,d\rho`$    
+    <br>
+    $`\displaystyle \hspace{1cm} =  \dfrac{\dens^{2D}\,z}{2\epsilon_0} \int_{\rho = 0}^R\dfrac{1}{2}\times
+    \underbrace{2\rho}_{u^{\,'}}\,\underbrace{(\rho^2+z^2)^{-\,3/2}}_{u^n}\,d\rho`$   
+    <br>
+    $`\displaystyle \hspace{1cm} =  \dfrac{\dens^{2D}\,z}{2\epsilon_0} \big[\underbrace{\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{-3/2+1}}
+    _{=\frac{1}{2}\,\times \,(-2) \,=\, -1}(\rho^2+z^2)^{-\,1/2}\big]_0^R`$   
+    <br>
+    $`\displaystyle \hspace{1cm} =  \dfrac{\dens^{2D}\,z}{2\epsilon_0} \left(\dfrac{1}{|z|} - \dfrac{1}{\sqrt{\rho^2+z^2}}\right)`$   
+    <br>
+    Ainsi le champ électrique s'exprime plus simplement :   
+    <br>
+    Pour $`z>0`$ :   
+    $`\overrightarrow{E}(z) =  \dfrac{\dens^{2D}\,z}{2\epsilon_0} \left(1 - \dfrac{z}{\sqrt{\rho^2+z^2}}\right)\,\overrightarrow{e_z}`$   
+    <br>
+    Pour $`z>0`$ :   
+    $`\overrightarrow{E}(z) =  \dfrac{\dens^{2D}\,z}{2\epsilon_0} \left(- 1 - \dfrac{z}{\sqrt{\rho^2+z^2}}\right)\,\overrightarrow{e_z}`$