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@@ -50,6 +50,56 @@ valeurs et vecteurs propres
 
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+#### Puissance entiète d'une matrice carré
+
+Soit $`M`$ une matrice réelle carré de dimension $`m\times m`$.
+
+Par définition : $`\forall k\in \mathbb{N}^{\*}\,,\,`$ **$`\mathbf{M^k = \underbrace{M \times M \times \cdots \times M}_{\color{blue}{\text{k fois}}}`$**
+
+##### $`M`$ est diagonale`$
+
+*$`\mathbf{M^2}`$* $`\; = M\times M`$
+
+$`\quad \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_m\\ \end{pmatrix}\;\times\;\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_m\\ \end{pmatrix}`$
+
+*$`\mathbf{\quad \begin{pmatrix} \lambda_1^2 & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_m^2\\ \end{pmatrix}}`$*
+
+Et par récurrence,
+
+$`\forall k \in \mathbb{N}^{\*}\setminus \{1}`$
+
+**$`\mathbf{M^k}`$** $`\; = M^{k-1}\times M`$
+
+$`\quad = \begin{pmatrix} \lambda_1^{k-1} & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_m^{k-1} \\ \end{pmatrix}\;\times\; \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_m\\ \end{pmatrix}`$
+
+**$`\mathbf{\quad = \begin{pmatrix} \lambda_1^k & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_m^k\\ \end{pmatrix}}`$
+
+
+##### $`M`$ est non diagonale, mais diagonalisable`$
+
+*$`\mathbf{M^2}`$* $`\; = M\times M`$
+
+$`\quad P\,\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_m\\ \end{pmatrix}\,\underbrace{P^{-1}\;\times\; 
+\; P}_{\color{blue}{= I_m}}\,\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_m\\ \end{pmatrix}\,P^{-1}`$
+
+$`\quad P\,\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_m\\ \end{pmatrix}^{\,2}\,\underbrace{P^{-1}`$
+
+*$`\mathbf{\quad P\,\begin{pmatrix} \lambda_1^2 & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_m^2\\ \end{pmatrix}\,\underbrace{P^{-1}}`$*
+
+Et par récurrence :   
+
+$`\forall k \in \mathbb{N}^{\*}\setminus \{1}`$
+
+**$`\mathbf{M^k}`$** $`\; = M^{k-1}\times M`$
+
+$`\quad = P\,\begin{pmatrix} \lambda_1^{k-1} & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_m^{k-1} \\ \end{pmatrix}\,\underbrace{P^{-1}\;\times\;  P}_{\color{blue}{= I_m}}\,\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_m\\ \end{pmatrix}\,P^{-1}`$
+
+**$`\mathbf{\quad P\,\begin{pmatrix} \lambda_1^k & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_m^k\\ \end{pmatrix}\,\underbrace{P^{-1}}`$**
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+<br>
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 #### Fonction exponentielle de matrice
 
 écriture d'éléments bruts, les compléments, liens et cours associé sont à faire après.