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@@ -250,6 +250,7 @@ y revolucionó así la física.*
 
 
 ##### Sous forme intégrale
+
 _(savoir redémontrer)_
 
 
@@ -501,9 +502,6 @@ contenida en el volumen $`\tau`$, obtenemos la **expresión integral de la ley d
 
 <br>
 
-Voici la traduction en espagnol latino-américain de la suite de ton texte, en respectant la mise en forme Markdown, les équations LaTeX et les détails techniques :
-
-```markdown
 #### ¿Puede el campo electromagnético ceder energía a la materia?
 
 ##### Potencia cedida a un portador de carga
@@ -986,967 +984,49 @@ donde $`d\mathcal{P}`$ es la *potencia elemental* de la onda electromagnética
 
 <br>
 
-#### Comment calculer le puissance traversée par une surface d'aire et d'orientation quelconque ?
+#### ¿Cómo calcular la potencia que atraviesa una superficie de área y orientación cualquiera?
 
-* La **puissance**  se calcule simplement par l'expression :   
+* La **potencia** se calcula simplemente mediante la expresión:
 <br>
 **$`\displaystyle\mathcal{P}=\iint_S \overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}`$**
 
-* Soit une **onde électromagnétique monochromatique** de période temporelle $`\mathbf{T_{onde}}`$.
-   * **$`\mathbf{T_{onde}}`$** est la *période temporelle de $`\overrightarrow{E}`$*, champ électrique de l'onde.
-   * L'énergie électrique étant proportionnelle à $`E^2`$, <br>
-     la *période des variations énergétiques* de l'onde est **$`\mathbf{T_{énergie}}`$** *$`\mathbf{\,=\dfrac{T_{onde}}{2}}`$*
+* Sea una **onda electromagnética monocromática** de período temporal $`\mathbf{T_{onda}}`$.
+  * **$`\mathbf{T_{onda}}`** es el *período temporal de $`\overrightarrow{E}`*, campo eléctrico de la onda.
+  * La energía eléctrica es proporcional a $`E^2`$, <br>
+    el *período de las variaciones energéticas* de la onda es **$`\mathbf{T_{energía}}`** *$`\mathbf{=\dfrac{T_{onda}}{2}}`$*.
 
-* Tout **capteur** est caractérisé par un **temps de réponse $`\mathbf{\Delta t_{réponse}}`$** qui quantifie sa *rapidité*.  
+* Todo **sensor** se caracteriza por un **tiempo de respuesta $`\mathbf{\Delta t_{respuesta}}`** que cuantifica su *rapidez*.
   <br>
-  Soit un capteur sensible à l'énergie électromégnétique :
-   * Si *$`\mathbf{\Delta t_{réponse}\ll T_{énerg.}}`$* alors le capteur est sensible à la *puissance instantanée* :   
-     <br>
-    *$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{P}(t)=\iint_S \overrightarrow{\Pi}(t)\cdot\overrightarrow{dS}}}`$*  
-   <br>
-   * Si **$`\mathbf{\Delta t_{réponse}\gg T_{énerg.}}`$** alors le capteur ne peut suivre les variations temporelles de
-     la puissance instantanée, et ne mesure que la **valeur moyenne de la puissance** estimée sur $`\Delta t_{réponse}`$ :   
-     <br>
-    **$`\displaystyle\large{\mathbf{<\mathcal{P}(t)>\;=\iint_S <\overrightarrow{\Pi}(t)>\cdot\overrightarrow{dS}}}`$**  
-
-!!! *Exemple :*  
-!!!
-!!! Le *domaine visible* correspond à :
-!!! * une *longueur d'onde* dans le vide de l'ordre de 500 nanomètres : *$`\mathbf{\lambda = 5\cdot 10^{-7}\,m}`$* <br>
-!!!   <br>
-!!!   Cela correspond à une période temporelle du champ électrique $`T_{onde}`$ de :<br>
-!!!   $`T_{onde}=\dfrac{\lambda}{c}=\dfrac{5\cdot 10^{-7}}{3\cdot 10^{8}} = 1.7\times 10^{-15}\,s`$,<br>
-!!!   soit<br>    
-!!!   $`T_{énerg.}=8.5\times 10^{-16}\,s`$<br>
-!!!   <br>
-!!!   Dans les deux cas, l'ordre de grandeur de la *période* est de $`\mathbf{T\approx 10^{-15}\,s}`$*.
-!!! 
-!!! Aucun capteur n'arrive à suivre les variations instantanées de puissance de la lumière visible.
-
-
-#### Comment émettre une onde électromagnétique ?
-
-* Il suffit d'**accélérer une particule chargée**.
-
-<!---------------------
-#### Comment capter la puissance d'une onde électromagnétique ?
-
-Quelques idées très synthétiques.   
-Pour des ressources transverses et classiques, liens en parallèles
----------------------->
-
-@@@@@@@@@@@@@@
-
-<br>
-
-RÉSUMÉ
-: ---
-
-  *Domaine de validité* :
-  
-  Très général. Dans le vide, et même dans la matière si l'échelle d'observation n'est pas mésoscopique,
-  mais atomique.   
-  Attention toutefois, une description plus exacte de la matière à l'échelle atomique 
-  requiert l'utilisation de la physique quantique.
-   
-   _Attention : Les expressions ci-dessous ne sont valables que dans le système international d'unité $`SI`$, anciennement $`MKS`$._
-   
-   ---
-   
-  *Forme locale des équations de Maxwell*
-  
-  * En tout point de l'espace et à tout instant :   
-  <br>
-  $`\left\{\begin{array}{l}
-  div \overrightarrow{E} = \dfrac{\dens}{\epsilon_0}\quad \small{(Maxwell-Gauss)}\\
-  div \overrightarrow{B} = 0\quad \small{(Maxwell-flux)}\\
-  \overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\quad\small{(Maxwell-Faraday)}\\
-  \overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\quad\small{(Maxwell-Ampère)}
-  \end{array}\right.`$  
+  Sea un sensor sensible a la energía electromagnética:
+  * Si *$`\mathbf{\Delta t_{respuesta}\ll T_{energ.}}`$*, entonces el sensor es sensible a la *potencia instantánea*:
     <br>
-   avec $`\dens`$ densité volumique de charge   
-   &nbsp;&nbsp; et $`\overrightarrow{j}`$ vecteur densité volumique de courant.
-   
-   * $`\Longrightarrow`$ la conservation de la charge :   
-     $`div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}=0`$
-
-   * $`\Longrightarrow`$ la propagation dans le vide   
-     de l'onde électromagnétique (EM), partie variable du champ électromagnétique :     
-     <br>
-     $`\left\{\begin{array}{l}
-     \Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}\\  
-     \Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}
-     \end{array}\right.`$    
-     <br>
-     à la célérité $`c=299 792 458 m\,s^{-1}\approx 3\times 10^8 m\,s^{-1}`$,   
-     constante fundamentale de la nature.   
- 
-   * $`\Longrightarrow`$ le champ EM contient de l'énergie,   
-     en densité volumique :   
-     $`\small{\dens}`$$`\; = \dfrac{\epsilon_0\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{E}}{2}+\dfrac{\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{B}}{2\mu_0}`$
-
-   * $`\Longrightarrow`$ tout $`\overrightarrow{dS}`$ reçoit la puissance EM :
-     $`d\mathcal{\overrightarrow{\Pi}}_{EM}=\overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}`$   
-     avec $`\overrightarrow{\Pi}=\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}`$ vecteur de Poynting.
-
-   * $`\Longrightarrow`$ le champ EM cède de l'énergie à la matière par effet Joule :  
-     $`\mathcal{P}_{cédée} = \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$   
-     
-   * $`\Longrightarrow`$ toute particule chargée accélérée génère une onde électromagnétique.   
-
-<br>
-
-#### Quel fut le travail de Maxwell ?
-
-* *Jusqu'au milieu du XIVème siècle*, **électricité, magnétisme et optique** étaient étudiés dans des *domaines scientifiques distincts*. 
-
-* Cependant l'*observation de phénomènes naturels et d'expériences de laboratoire* montrèrent une
-**interaction incomprise entre électricité, magnétisme,** voire **optique**.
-    * naturel : la foudre peu charger des objets métalliques, aimante le fer, créé un éclair.
-    * expériences :   
-      \- un courant dévie l'aiguille d'une boussole.   
-      \- le déplacement d'un aimant créé un courant.
-
-* Bon mathématicien, **Maxwell** fait *synthèse des résultats expérimentaux* de son époque
-qui se résume en 4 équations, les *équations de Maxwell*.
-
-* Ces 4 équations **unifient électricité, magnétisme et optique** au sein de l'électromagnétisme,   
-  et élargissent l'optique à un *monde nouveau : les ondes électromagnétiques*.
-
-![](Maxwell-equation-es.png)
-_Maxwell modifie deux des équations de l'électrostatique et de la magnétostatique en
-introduisant des termes de couplage entre E et B,
-et révolutionne ainsi la physique._
-
-#### Pourquoi disons-nous "équations" et pas "théorèmes" de Maxwell ?
-
-* Les **4 équations de Maxwell** *ne sont pas démontrées*, donc elles ne constituent pas des théorèmes.
-* Elles sont *posées et supposées vraies*, ce **sont des postulats**.
-
-
-<!-----------------
-#### Pourquoi ces équations fondent l'électromagnétisme ?
-
-#### Quel est le domaine de validité de ces équations ?
------------------->
-
-<br> 
-
-------------
-
-<br>
-
-#### Que sont ces 4 équations de Maxwell ?
-
-##### Sous forme locale 
-_(fondamental, connaître)_
-
-* Deux **expressions de la divergence** des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ *inchangées par rapport au cas stationnaire* (électrostatique et magnétostatique) :
-
-   * **$`\large{\mathbf{div \overrightarrow{E} = \dfrac{\dens}{\epsilon_0}}}`$** &nbsp;&nbsp;&nbsp;(éq. *Maxwell-Gauss*).
-
-   * ** $`\large{\mathbf{div \overrightarrow{B} = 0}}`$** &nbsp;&nbsp;&nbsp;(éq. *Maxwell-flux*).
-
-
-* Deux **expressions du rotationnel** des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ qui *changent et couplent les champs $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ et $`\mathbf{\overrightarrow{B}}`$* :
-
-   * **$`\large{\mathbf{\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}}}`$**   
-   &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(éq. *Maxwell-Faraday*).
-
-   * **$`\large{\mathbf{\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}}}`$**   
-   &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(éq. *Maxwell-Ampère*).
-
-* où :
-   * $`\dens=\dens^{3D}`$ est la densité volumique de charge. 
-   * $`\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}^{3D}`$ est le vecteur densité volumique de courant. 
-
-------------------
-
-* Et ces équations *réécrites avec l'opérateur nabla : $`\mathbf{\nabla}`$ *
-
-   * **$`\mathbf{\nabla\cdot\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens}{\epsilon_0}}`$**
-
-   * **$`\mathbf{\nabla\cdot\overrightarrow{B}=0}`$**
-
-   * **$`\mathbf{\nabla\land\overrightarrow{E}= -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}}`$**
-
-   * **$`\mathbf{\nabla\land\overrightarrow{B}= \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}}`$**
-
-
-------------------
-
-
-##### Sous forme intégrale
-_(savoir redémontrer)_
-
-
-* Elles **se déduisent des équations locales**, avec l'aide :
-   * du *théorème d'Ostrograsky* :   
-   $`\forall \overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})`$ : 
-   *$`\displaystyle\iiint_{\Ltau} div\;\overrightarrow{X} \cdot d\tau = \displaystyle 
-\oiint_{S\leftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$*
-   * du *théorème de Stokes* :   
-   $`\forall \overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})`$ : 
-   *$`\displaystyle\iint_{S} \;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot dS 
-= \displaystyle \oint_{\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dl}`$*.
-
-* **Maxwell-Gauss** :   
-     
-  À tout instant t, et pour tout volume $`\tau`$ :
-
-   * $`\forall \overrightarrow{r}, div \overrightarrow{E} = \dfrac{\dens}{\epsilon_0}`$
-  $`\Longrightarrow \iiint_{\Ltau} div \overrightarrow{E}\,d\tau = \iiint_{\Ltau}\dfrac{\dens}{\epsilon_0}\,d\tau`$   
-
-   * $`\left.\begin{array}{l}
-\iiint_{\Ltau} div \overrightarrow{E}\,d\tau = \iiint_{\Ltau}\dfrac{\dens}{\epsilon_0}\,d\tau \\
-\iiint_{\Ltau} div\;\overrightarrow{E} \cdot d\tau = \displaystyle 
-\soiint_{S\leftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}
-\end{array}\right\}`$
-$`\Longrightarrow`$
-**$`\mathbf{\displaystyle \quad\oiint_{S\leftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}
-= \dfrac{1}{\epsilon_0} \cdot \iiint_{\Ltau} \rho \cdot d\tau = \dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}}`$**
-
-------------
-
-* **Maxwell-flux** :
-
-     
-  À tout instant t, et pour tout volume $`\tau`$ :
-  
-     * $`\forall \overrightarrow{r}, div \overrightarrow{B} = 0`$
-  $`\Longrightarrow \iiint_{\Ltau} div \overrightarrow{B}\,d\tau = 0`$   
-
-   * $`\left.\begin{array}{l}
-\iiint_{\Ltau} div \overrightarrow{B}\,d\tau = 0 \\
-\iiint_{\Ltau} div\;\overrightarrow{B} \cdot d\tau = \displaystyle 
-\soiint_{S\leftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}
-\end{array}\right\}`$
-$`\Longrightarrow`$
-**$`\mathbf{\displaystyle \quad\oiint_{S\leftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}= 0}`$**
-
------------------
-
-* **Maxwell-Faraday** :
-
-     
-  À tout instant t,   
-  et pour toute surface $`S`$ ouverte et orientée, fixe et indéformable, qui s'appuie sur un contour $`\Gamma`$ 
-  d'orientation compatible avec celle de $`S`$ selon la règle de la main droite :
-
-   * $`\forall \overrightarrow{r}, \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}`$
-  $`\Longrightarrow \iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(-\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot\overrightarrow{dS}\Big)`$  
-<br>   
-
-   * $`\left.\begin{array}{l}
-\iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(-\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot\overrightarrow{dS}\Big) \\
-\text{Newton : espace et temps indépendants,} \\
-\text{ordre dérivation/intégration n'importe pas}
-\end{array}\right\}`$
-$`\Longrightarrow`$
-$`\iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = -\dfrac{d}{dt}\Big(\iint_S\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}\Big)`$   
-<br>   
-
-   * $`\left.\begin{array}{l}
-\iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = -\dfrac{d}{dt}\Big(\iint_S\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}\Big) \\
-\iint_{S} \;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E} \cdot dS = \oint_{\,\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}
-\end{array}\right\}`$
-$`\Longrightarrow`$
-**$`\begin{array}{l}
-  &nbsp; \\
- \mathbf{\displaystyle\quad\oint_{\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}= -\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}}
-\end{array}`$**   
-<br>   
-   *  Cette équation joue un *rôle important pour les phénomènes d'induction*.    
-      _La quantité_ $`\oint_{\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}`$ 
-      _d'appelation historique imparfaite "force électromotrice (fem)", homogène à une tension, est à l'origine d'un courant_
-      _électrique traversant le contour $`\Gamma`$ si celui-ci représente un circuit conducteur._
-     
-
----------------
-
-* **Maxwell-Ampère** :
-
-  À tout instant t,   
-  et pour toute surface $`S`$ ouverte et orientée, fixe et indéformable, qui s'appuie sur un contour $`\Gamma`$ 
-  d'orientation compatible avec celle de $`S`$ selon la règle de la main droite :
-<br>
-
-$`\forall \overrightarrow{r}, \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}`$
-  $`\Longrightarrow`$$` \iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(\mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)\cdot\overrightarrow{dS}`$  
-<br>
-   
-$`\left.\begin{array}{l}
-\iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(\mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)\cdot\overrightarrow{dS} \\
-\text{Newton : espace et temps indépendants},\\
-\text{ordre dérivation/intégration n'importe pas}
-\end{array}\right\}`$
-$`\Longrightarrow`$
-$`\iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}`$$`\; = \mu_0\iint_S \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS} +
- \mu_0 \epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$   
-<br>
-   
-$`\left.\begin{array}{l}
-\iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS} = \mu_0\iint_S \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS} +
- \mu_0 \epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} \\
-\iint_{S} \;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{B} \cdot dS = \oint_{\,\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}
-\end{array}\right\}`$
-$`\Longrightarrow`$
-
-**$`&nbsp;\mathbf{\displaystyle\;\,\oint_{\,\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}}`$
-$`\;\mathbf{\displaystyle= \mu_0\iint_S \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS} +\mu_0 \epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**
-
-<br> 
-
-------------
-
-<br>
-
-#### Pourquoi parlons-nous de champ électromagnétique ?
-
-* Les 2 équations de couplage de $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ impliquent 
-que **variables, $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ ne peuvent exister l'un sans l'autre**.
-
-* Le terme *$`\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\ne 0`$ implique $`\overrightarrow{E}\ne \overrightarrow{0}`$*
-* Le terme *$`\dfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\ne 0`$ implique $`\overrightarrow{B}\ne \overrightarrow{0}`$*
- 
-<br> 
-
-------------
-
-<br>
-
-#### Que disent les équations de Maxwell sur la conservation de la charge ?
-
-##### Loi de conservation de la charge électrique
-
-* Dans la matière, les **charges électriques** sont portées par les *électrons* et
-les *protons* des noyaux atomiques. *En physique classique*, ces particules existent, 
-et elles **ne peuvent ni surgir du vide, ni disparaître**.
-
-* Ainsi le **principe de conservation de la charge** électrique peut se résumer en une phrase :   
-<br>
-! *Dans tout volume de l'espace et pendant une durée donnée, la charge électrique*
-! *qui entre dans ce volume moins la charge électrique*
-! *qui en sort est égale à la variation de la charge dans le volume.* 
-<br>
-Cela se traduit en *écriture mathématique* par l'**expression intégrale**:   
-<br>
-Pour toute surface fermée $`S`$ délimitant un volume macroscopique $`\Ltau`$,   
-<br>
-**$`\mathbf{\oiint_{S\leftrightarrow\Ltau}\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS}+\iiint_{\Ltau}\dfrac{\partial\dens}{\partial t}\cdot d\tau=0}`$**   
-<br>
-qui s"énonce :   
-<br>
-! *Le flux du vecteur densité de courant volumique à travers une surface fermée,*
-! *est égal à la dérivée temporelle de la charge totale contenue à l'intérieur de cette surface fermée.*
-
-![](charge-conservation-law-L1200.jpg)
-
-* Cette égalité étant vérifiée quelque-soit le volume d'intégration, c'est que 
-  l'égalité porte sur les intégrandes eux-mêmes.   
-  $`\Longrightarrow`$ la loi de conservation a aussi une **expression locale**, valide en tout point de l'espace, qui s'écrit :   
-<br>
-**$`\mathbf{div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}=0}`$**   
-
-<br><br>
-
-![](charge-conservation-1-L1200.jpg)
-
-<br>
-
-##### Etude des équation de Maxwell
-
-* **Partons de** la combinaison d'opérateurs remarquable, valable pour tout champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$,
-   qui s'énonce     
-  *" La divergence du rotationnel d'un champ vectoriel est toujours nulle. "* :    
-  <br>
-  $`\forall \overrightarrow{X}\big(\overrightarrow{r},t\big)\;,`$*$`\quad \mathbf{div\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{X}\big)=0}`$*.   
-  <br>
-  et appliquons là au champ d'induction magnétique  $`\overrightarrow{B}`$ :    
-  <br>
-  **$`\mathbf{div\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}\big)=0}`$**.
-
-* La *loi de Maxwell-Ampère*   
-  *$`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}=\mu_0\,\overrightarrow{j} + \mu_0\epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}`$*   
-  permet d'écrire :     
-  <br>
-  **$`\mathbf{div\Big(\mu_0\,\overrightarrow{j} + \mu_0\epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)=0}`$**
-
-* En divisant les termes de droite et de gauche par $`\mu_0`$, l'équation se simplifie :   
-  <br>
-  $`div\Big(\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)=0`$
-
-* L'équation contient déjà $`\overrightarrow{j}`$, je cherche à faire apparaître $`\dens`$.   
-  Pour cela, je cherche à faire apparaître $`div\,\overrightarrow{j}`$ pour ensuite utiliser la loi de maxwell-Gauss.   
-  <br>
-  $`div\,\overrightarrow{j} + div\Big(\epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)=0`$
-
-<!--------------------
-L'espace et le temps étant découplés en physique classique, l'ordre de différentiation
-et intégration n'importe pas si elles s'appliquent l'une à des coordonnées spatiales
-et l'autre au temps. Ainsi :
-
-$`div\,\overrightarrow{j} +
-\dfrac{\partial}{\partial t}\Big(\epsilon_0\, div\,\overrightarrow{E}\Big)=0`$
-
-ce qui permet d'écrire,
-
-$`div\,\overrightarrow{j} + \dfrac{\partial\dens}{\partial t}=0`$
-
-Je reconnais là la loi de conservation de la charge.
------------------------>
-
-* Dans le cadre de la *physique classique, espace et temps sont indépendants*, 
-l'ordre de dérivation par une variable spatiale et une variable temporelle n'importe pas :   
-<br>
-*$`\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right) =\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)`$*    
-    * L'opérateur divergence n'est constitué que de dérivées partielles de variables d'espace.
-    * $`\dfrac{\partial}{\partial t}`$ est une dérivée partielle de la variable temps.
-
-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;*$`\Longrightarrow\quad div\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)= \dfrac{\partial}{\partial t}\left(div\right)`$*.   
-
-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Nous obtenons :   
-
-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;**$`\mathbf{div\,\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial}{\partial t}\left(div\,\overrightarrow{E}\right)=0}`$**
-
-
-* En utilisant la *loi de Maxwell-Gauss $`div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens}{\epsilon_0}`$*   
-  <br>
-nous obtenons l'**équation de conservation locale de la charge** électrique en régime variable (donc toujours vérifiée) :   
-<br>
-**$`\mathbf{div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}=0}`$**
-
-
-! *Les équations de Maxwell contiennent et impliquent la conservation de la charge électrique.*
-
-
-
-<!--Plutôt pour partie principale--------------------
-
-* Il faut faire apparaître les distributions de charge $`\dens^{3D}`$ et de vecteur  densité de courant volumique $`\overrightarrow{j}^{3D}`$.    
-Pour cela nous utilisons la loi de Maxwell-Ampère    
-* $`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}`$   
-<br>
-$`div\big(
-\mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}
-\big)=0`$
-
-* Simplifions en divisant de chaque côté par la constante magnétique $`\mu_0`$ :   
-<br>
-$`div\,\big(
-\;\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}
-\big)=0`$
-
-* Dans le cadre de la physique classique, espace et temps sont indépendants, l'ordre de dérivation par une variable spatiale et une variable temporelle n'importe pas :   
-
-$`\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right) =\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right) `$    
-    * L'opérateur divergence n'est constitué que de dérivées partielles de variables d'espace.
-    * $`\dfrac{\partial}{\partial t}`$ est une dérivée partielle de la variable temps.
-$`\Longrightarrow\quad div\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)= \dfrac{\partial}{\partial t}
-\left(div\right)`$.   
-Nous obtenons :   
-<br>
-$`div\,\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial}{\partial t}
-\left(div\,\overrightarrow{E}\right)=0`$
-
-* En utilisant la loi de Maxwell-Gauss $`div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens^{3D}}{\epsilon_0}`$ nous obtenons l'équation de conservation locale de la charge électrique en régime variable (donc toujours vérifiée) :   
-<br>
-$`div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens^{3D}}{\partial t}=0`$
---------------------->
-
-* Nous pouvons *intégrer cette égalité locale* sur un volume $`\tau`$ quelconque :   
-<br>
-$`\displaystyle\iiint_{\Ltau} \Big(div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}\big)\,d\tau=0`$   
-<br>
-*$`\displaystyle\iiint_{\Ltau} div\,\overrightarrow{j}\,d\tau+\iiint_{\Ltau}\dfrac{\partial \dens}{\partial t}\,d\tau=0`$*
-
-* Le *théorème d'Ostrogradski* (= théorème *de la divergence*) précise que pour tout champ 
-$`\overrightarrow{U}`$ vectoriel et pour tout volume $`\tau`$,    
-*$`\displaystyle\iiint_{\Ltau} div\,\overrightarrow{U}\,d\Ltau=\oiint_S \overrightarrow{U}\cdot dS`$*,   
-$`S`$ étant la surface fermée que délimite le volume $`\tau`$.   
-<br>
-*Appliqué au premier terme* de l'égalité, nous obtenons :   
-<br>
-**$`\displaystyle\oiint_S \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS} + \iiint_{\Ltau}\dfrac{\partial \dens}{\partial t}\,d\tau=0`$**.  
-
-* En remarquant de nouveau qu'*espace et temps sont indépendants en physique classique*, l'ordre de dérivation ou intégration par une variable spatiale et une variable temporelle n'importe pas :    
-<br>
-**$`\displaystyle\oiint_S \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS} +\dfrac{\partial}{\partial t} \left(\iiint_{\Ltau}\dens \,d\tau\right)=0`$**.    
-
-* En constatant que *$`\displaystyle\iiint_{\Ltau}\dens^{3D} \,d\tau`$ est la charge totale $`Q_{int}`$* 
-contenue dans le volume $`\tau`$, nous obtenons l'**expression intégrale de la loi de conservation** de la. charge :   
-<br>
-**$`\mathbf{\displaystyle\oiint_S \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS} +\dfrac{dQ_{int}}{dt}=0}`$**.    
-
-<br> 
-
-------------
-
-<br>
-
-#### Le champ électromagnétique peut-il céder de l'énergie à la matière ?
-
-##### Puissance cédée à un porteur de charge
-
-* La **sensibilité** d'une particule **à l'interaction électromagnétique** se quantifie
-par le paramètre appelé *charge* électrique de la particule.   
-
-* La force qui décrit l'*action d'un champ électromagnétique $`\big(\overrightarrow{E}\,,\overrightarrow{B}\big)`$* 
-sur une particule de charge $`q`$ est la **force de Lorentz** d'expression :   
-<br>
-**$`\overrightarrow{F}_{\,Lorentz}=q\Big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}\Big)`$**<br>
-<br>
-&nbsp;&nbsp;où $`\overrightarrow{\speed}`$ est le vecteur vitesse de la particule dans le référentiel d'inertie de l'observation.
-
-* *Lors d'un déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$* de la particule dans le champ électromagnétique
-$`\big(\overrightarrow{E}\,,\overrightarrow{B}\big)`$, le **travail de la force de Lorentz** s'écrit :   
-<br>
-**$`d\mathcal{W}_{\,Lorentz}=\overrightarrow{F}_{Lorentz}\cdot\overrightarrow{dl}`$**,   
-<br>
-soit   
-<br>
-$`\begin{align}
-d\mathcal{W}_{\,Lorentz}&=q\Big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}\Big)\cdot\overrightarrow{dl}\\
-&\\
-&= q\Big(\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}\Big)+ q\Big(\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}\Big)\\
-&\\
-&= q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl} + q\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big) \\
-\end{align}`$   
-<br>
-où $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)`$ est le produit mixte de la séquence des trois vecteurs.
-
-* Les *vecteurs $`\overrightarrow{\speed}`$ et $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{\speed}\,dt`$* étant *colinéaires*, le produit mixte 
-est nul :   
-<br>
-*$`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$*,
-
-!!!! 
-!!!! <details markdown=1>
-!!!! <summary>Rappels sur le produit mixte</summary>
-!!!! Le produit mixte de trois vecteurs $`\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c}`$, noté $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})`$
-!!!! est défini par :    
-!!!! $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})=(\vec{a}\land\vec{b})\cdot\vec{c}`$.   
-!!!! Il est alors facile de démontrer qu'il est invariant par permutation circulaire des 3 vecteurs :
-!!!! $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})=(\vec{b}\,,\vec{c}\,,\vec{a})=(\vec{c}\,,\vec{a}\,,\vec{b})`$.
-!!!! C'est donc un nombre réel, dont la valeur absolue s'identifie au volume du parallélépipéde 
-!!!! créé les trois vecteurs $`\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c}`$.
-!!!!
-!!!! Dans le cas étudié, deux vecteurs au moins du produit mixte $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)`$
-!!!! sont colinéaires car $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{\speed}\,dt`$.
-!!!! Je peux dès lors m'assurer que ce produit mixte est nulle,    
-!!!! * soit en remarquant que trois vecteurs dont deux sont colinéaires s'inscrivent dans un même plan (2D)   
-!!!! et donc le volume (3D) construit par ces trois vecteurs est nul : 
-!!!! $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$   
-!!!! * soit en utilisant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire,    
-!!!! $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=\Big(\overrightarrow{dl},\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B}\Big)`$
-!!!! $`=dt\times\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B}\Big)`$
-!!!! et en remarquant que le produit vecoriel de deux vecteurs colinéaires est nul :
-!!!! $`\big\Vert\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{\speed}\big\Vert=\big\Vert\overrightarrow{\speed}\big\Vert\cdot\big\Vert\overrightarrow{\speed}\big\Vert\cdot \sin 0=0`$
-!!!! $`\Longrightarrow \overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{\speed}=\overrightarrow{0}`$   
-!!!! $`\Longrightarrow \Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$
-!!!! </details>
-!!!! 
-
-* $`\Longrightarrow`$ le **travail de la force de Lorentz** se simplifie :   
-<br>
-**$`d\mathcal{W}_{\,Lorentz} = q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}`$**
-
-! *Remarque :*
-!
-! La *force magnétique $`\overrightarrow{F}_{\,magn.}=q\,\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}`$*, 
-! par nature perpendiculaire au vecteur vitesse $`\overrightarrow{\speed}`$ et donc au vecteur déplacement 
-! élémentaire $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{\speed}\,dt`$ en tout point de la trajectoire de la particule
-! de charge $`q`$, *ne travaille pas* :
-!
-! $`\mathbf{d\mathcal{W}_{\,magn} = \overrightarrow{F}_{magn}\cdot \overrightarrow{dl}=0}`$
-!
-! *Le travail de la force de Lorentz se limite au travail de la force électrique* :
-!
-! $`\mathbf{d\mathcal{W}_{\,Lorentz} = d\mathcal{W}_{\,élec} =q\,\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}}`$
-
-* La **puissance élémentaire cédée par le champ** à cette particule s'écrit :   
-<br>
-**$`\mathbf{\mathcal{P}_{cédée} = \dfrac{d\mathcal{W}_{\,Lorentz}}{dt} = q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}}`$**
-
-##### Puissance cédée dans un matériau avec un seul type porteur de charge
-
-* Si le **milieu matériel** contient *$`n`$ porteurs identiques de charge $`q`$ par unité de volume*,
-alors un volume élémentaire $`d\tau`$ contient $`n\,\tau`$ porteurs de charge 
-et la **puissance élémentaire cédée** par le champ électromagnétique s'écrit :   
-<br>
-**$`d\mathcal{P}_{cédée} = \mathcal{n}\,\big( q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\big)\,d\tau`$**
-
-* Exprimée *avec la densité volumique de charge $`\dens=\mathcal{n}\,q`$* :   
-<br>
-$`d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\mathcal{n}\, q\big)\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\,d\tau = = \dens\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\,d\tau`$
-
-* Exprimée *avec le vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}=\dens\,\overrightarrow{\speed}`$*, en remarquant que 
-$`\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}=\overrightarrow{\speed}\cdot\overrightarrow{E}`$ :   
-<br>
-**$`d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau`$**
-
-##### Puissance cédée dans un matériau avec un seul type porteur de charge
-
-* Lorsqu'un matériau contient **plusieurs types de porteurs de charges $`q_i`$** 
-en *concentrations $`n_i* et animées de *vitesses de dérives $`\overrightarrow{v_d\,i}`$* :   
-<br>
-$`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} = \sum_{i=1}^p \big(\mathcal{n}_i\,q_i\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed_i}\big)\,d\tau`$   
-<br>
-$`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} = \sum_{i=1}^p \dens_i\,d\tau\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed_i}`$   
-<br>
-$`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} =  \sum_{i=1}^p\overrightarrow{j_i}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$   
-<br>
-*$`d\mathcal{P}_{cédée} = \overrightarrow{j}_{total}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$*
-
-* En posant plus simplement *$`\overrightarrow{j}_{total}=\overrightarrow{j}`$* :     
-<br>
-**$`\large{\mathbf{d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau}}`$**
-
-* La *puissance cédée* par le champ électromagnétique *dans un volume $`\tau`$* s'appelle **$`\large{\text{Effet Joule}}`$**   
-<br>
-**$`\large{\displaystyle\mathbf{\mathcal{P}_{cédée} = \iiint_{\Ltau}\big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau}}`$**
-
-<br> 
-
-------------
-
-<br>
-
-#### Le champ électromagnétique contient-t-il de l'énergie ?
-
-* Si le *champ électromagnétique* peut céder de l'énergie à la matière, c'est que lui-même il **contient de l'énergie**.
-
-* Un champ électromagnétique $`\big(\overrightarrow{E}\,,\,\overrightarrow{B}\big)`$ s'étendant dans l'espace, 
-  l'énergie contenue dans le champ est décrite par 
-  une **densité volumique d'énergie électromagnétique $`\dens_{énergie-EM}^{3D}`$** définie en chaque point de l'espace.
-
-* A partir des équations de Maxwell, on montre avec une combinaison d'opérateur adéquate (à faire) que cette
-  densité volumique $`\dens_{énergie-EM}^{3D}`$ *possède deux composantes* :   
-   * une *composante électrique $`\;\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}`$*
-   * une *composante magnétique $`\;\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{B^2}{2 \mu_0}`$*.
-   
-* Ainsi, en tout point de l'espace :   
-  <br>
-  **$`\large{\mathbf{\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}}}`$**
-
-
-* L'énergie électromagnétique $`\mathcal{E}_{EM}`$ contenue **dans un volume $`\tau`$** s'exprime :   
-  <br>
-  **$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{E}_{EM}=\iiint_{\Ltau} \left(\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}\right) d\tau}}`$**
-
-<br>
-
-------------
-
-<br>
-
-#### Pourquoi parlons-nous d'ondes électromagnétiques ?
-
-##### Equation d'onde
-
-* Pour un *champ vectoriel $`\overrightarrow{U}(\overrightarrow{r},t)`$*, l'**équation d'onde de d'Alembert** s'écrit :   
-<br>
-**$`\Delta \overrightarrow{U} - \dfrac{1}{\speed^2} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{U}}{\partial\; t^2}=0`$**   
-
-* L'expression de l'*opérateur Laplacien vectoriel $`\Delta`$* en fonction des opérateurs $`grad`$, $`div`$ et $`rot`$ est :   
-<br>
-*$`\Delta =\overrightarrow{grad} \left(div\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\right)`$*
-
-* L'**idée** est de *calculer pour chacun des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$* 
-l'expression de *son Laplacien*, pour voir si une identification avec l'équation d'onde est
-réalisée.
-
-
-##### Etude de la composante $`\overrightarrow{E}`$ du champ électromagnétique.
-
-
-* Pour **établir l'expression $`\;\;\Delta \overrightarrow{E}`$**, je calcule 
-$`\;\;\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)\;\;`$ puis 
-$`\;\;\overrightarrow{grad} \left(div \overrightarrow{E}\right)\;\;`$ *à partir des équations
-de Maxwell*.
-
-
-*  $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
-\overrightarrow{rot} \,\left( -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)`$   
-<br>
-En physique classique, espace et temps sont découplés. Les coordonnées spatiales
-et la coordonnée temporelle sont indépendantes. L'ordre de dérivation ou intégration entre 
-des coordonnées spatiales et la coordonnés temporelle n'importe pas, donc :   
-<br>
-$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
--\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}\right)`$   
-<br><br>
-$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
--\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\mu_0\;\overrightarrow{j} +
-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)`$
-<br><br>
-*$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$*
-<br><br>
-
-* *$`\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\dens}{\epsilon_O} \right)`$*
-
-<br>
-
-
-* La reconstruction de 
-$`\Delta \;\overrightarrow{E} =\overrightarrow{grad} \left(div\;\overrightarrow{E}\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)`$
-donne :   
-<br>
-$`\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\dens}{\epsilon_O} \right) + \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$   
-<br>
-ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde :   
-<br>
-**$`\mathbf{\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
-\overrightarrow{grad}\left(\dens \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}}`$**   
-<br>
-_(équation de propagation du champ électrique)_
-
-##### Etude de la composante $`\overrightarrow{B}`$ du champ électromagnétique.
-
-* Une *étude de forme identique* (proposée en autotest dans la partie beyond) me conduirait 
-pour le champ magnétique  $`\overrightarrow{B}`$ à l'équation de propagation :   
-<br>
-**$`\mathbf{\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}
-{\partial t^2}=-\mu_0\;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{j}}`$**   
-<br>
-_(équation de propagation du champ magnétique)_
-
-##### Propagation d'une onde électromagnétique dans la matière
-
-* L'étude part des équations de Maxwelle et des deux équations   
-<br>
-$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
-\overrightarrow{grad}\left(\dens \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}`$   
-<br>
-$`\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}
-{\partial t^2}=-\mu_0\;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{j}`$   
-<br>
-et fait l'objet de tout un **développement dans un chapitre ultérieur**.
-
-
-##### Propagation d'une onde électromagnétique dans le vide
-
- * L'*espace vide* est caractérisé par une absence de charges, fixes ou en mouvement. 
- La densité volumique de charge $`\dens_{vide}`$ de même que le vecteur densité volumique de courant
- $`\overrightarrow{j}_{vide}`$ ont une valeur nulle dans tout l'espace vide,   
- <br>
- *$`\dens_{vide}=0\quad\text{et}\quad\overrightarrow{j}_{vide}=\overrightarrow{0}`$*.
- 
- * Dès lors, la propagation de l'onde électromagnétique dans le vide s'exprime sous la forme
- du système de **deux équations de d'Alembert** :   
- <br>
-**$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$**   
-<br>
-**$`\Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$**
-
-!!!! *Attention* :   
-!!!!
-!!!! Les *équations de Maxwell impliquent la propagation du champ électromagnétique*.
-!!!!
-!!!! *Mais,*
-!!!!
-!!!! Les *deux équations d'onde pour les champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$
-!!!! n'impliquent pas les équations de Maxwell*.
-!!!!
-!!!! Tout champ $`\overrightarrow{E}`$ qui vérifie 
-!!!! $`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$
-!!!!
-!!!! et tout champ $`\overrightarrow{B}`$ qui vérifie
-!!!! $`\Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$
-!!!!
-!!!! ne décrivent la propagation d'une onde électromégnétique que si  $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$
-!!!! vérifient les équations de Maxwell.
-
-
-##### Célérité de la vitesse de la lumière dans le vide
-
-* L'identification des équations de propagation des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$
-avec l'équation d'onde de d'Alembert montre que *le champ électroimagnétique se propage à la célérité*   
-<br>
-*$`\large{\mathscr{v}=\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon_0\,\mu_0}}}`$*
-
-* La *célérité de la lumière dans le vide*, notée *$`\mathbf{c}`$* est une **constante fondamentale** de l'univers, et sa valeur exacte est :  
-<br>
-*$`\large{c=299 792 458 m\,s^{-1}\approx 3\times 10^8 m\,s^{-1}}`$*
-
-!! *Pour aller plus loin* :   
-!!
-!! Les équations de propagation des ondes électromagnétiques, établies ici dans le cadre
-!! de la physique classique,   
-!! prévoient que les ondes électromagnétiques se propagent dans le vide à la célérité
-!! $`c=1/\sqrt{\epsilon_0\,\mu_0}`$, célérité constante indépendante du mouvement de l'observateur.   
-!!
-!! ceci est en contradiction avec la loi d'addition des vitesses en mécanique classique, qui
-!! résulte des transformations de Galilée.
-!!
-!! $`\Longrightarrow`$ pendant la seconde moitié du $`19^{ème}`$ siècle, le travail de physiciens fut
-!! d'essayer de modifier les équations de Maxwell pour les rendre compatibles avec la physique classique.   
-!!
-!! Mais ce fut l'inverse qu'il fallait faire : modifier la mécanique de Newton, base de la physique classique,
-!! pour la rendre compatible avec les équations de Maxwell.
-!!
-!! Ce travail inverse fut celui d'Albert Einstein, qui publia en 1905 un article intitulé   
-!! "Sur l'électrodynamique des corps en mouvement",   
-!! qui fut la naissance de la théorie de la Relativité restreinte, qui bouleverse notre conception
-!! de l'espace et du temps.
-!!
-!! Plus tard, en 1915, Einstein soumet un article intitulé   
-!! "Les fondements de la théorie de la Relativité Générale"   
-!! qui bouleverse notre conception du rapport entre l'espace-temps et son contenue en matière et énergie.
-!!
-!! *Physique Newtonienne* :   
-!! espace + temps + matière + énergie.   
-!!
-!! *Physique relativiste au sens restreint* :   
-!! espace-temps + matière-énergie ($`E=m\,c^2`$).   
-!!
-!! *Physique relativiste au sens général* :   
-!! espace-temps-matière-énergie.   
-
-<br>
-
--------
-
-<br>
-
-#### Qu'est-ce que le spectre électromagnétique ?
-
-
-* **Maxwell** émet l'hypothèse que *la lumière* visible, dont on venait de mesurer la vitesse à partir
- de l'observation astronomique du mouvement des satellites de Jupiter, *est une onde électromagnétique*.   
-<br>
-$`\Longrightarrow`$ la lumière n'est qu'une toute petite partie des ondes électromagnétiques.   
-<br>
-$`\Longrightarrow`$ tout un *monde nouveau de "lumières"* se révèle, appelé **spectre électromagnétique**.   
-
-![](astro-electromagnetic-spectrum-N4_1_fr_L1200.jpg)
-
-* En particulier, **la connaissance de l'univers** résultait *avant Maxwell* de la seule observation du *domaine visible*,
-
-![](ciel-visible-bsp_L1200.jpg)
-
-* s'étend *maintenant* à *l'ensemble du spectre électromagnétique*.
-
-![](ciel-images-bsp_L600_transparence.gif)
-
-<br>
-
-------
-
-<br>
-
-#### Qu'est-ce que le vecteur de Poynting ?
-
-
-* L'**onde électromagnétique contient de l'énergie**
-   * avec *en chaque point de l'espace* une **densité volumique d'énergie $`\dens_{énergie-EM}^{3D}`$**,   
-    \- avec une *composante électrique $`\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}`$*,   
-    \- avec une *composante magnétique $`\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{B^2}{2 \mu_0}`$*.
-   * qui **se déplace dans le vide** *à la vitesse $`c`$*. 
-
-   
-   
-* Le **vecteur de Poynting** traduit ce fait, et permet le *calcul de l'énergie* d'une onde électromagnétique
-  incidente *sur une surface quelconque par seconde*.
- 
-* Le **vecteur de Poynting**, définit en chaque point de l'espace, est *défini par* la relation :   
-<br>
-   *$`\large{\mathbf{d\mathcal{P}=\overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}}}`$*   
-<br>
-où $`d\mathcal{P}`$ est la *puissance élémentaire* de l'onde électromagnétique
-*rayonnée à travers l'élément de surface* $`\overrightarrow{dS}`$.
-
-![](poynting-vector-1_L1200.jpg)
-
-* Son **expression** en fonction des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ est :   
-  <br>
-  **$`\large{\mathbf{\overrightarrow{\Pi}=\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}}}`$**
-
-* *Unité SI* : **$`\mathbf{W\,m^{-2}}`$**
-
-! *Remarque 1* :   
-!
-! Le déplacement d'une charge $`(unité SI : C)`$ contenue dans un volume élémentaire
-! $`d\tau\quad (SI : ! m^3)`$ de densité volumique de 
-! charge $`\dens_{charge}^{3D}\quad (SI : C\,m^{-3})`$ à une vitesse 
-! $`\overrightarrow{\mathscr{v}_d}\quad (SI : m\,s^1)`$ :   
-! * permet de définir un vecteur densité de courant (électrique) volumique 
-! $`\overrightarrow{j}_{courant}^{3D}=\dens_{charge}^{3D}\,\mathscr{v}_d\,,\quad (SI : A\,m^{-2})`$,
-!  * et ainsi permet de calculer l'intensité élémentaire $`dI\quad (SI : A = C\,s-{-1})`$ du courant qui traverse
-! tout élément de surface 
-! $`\overrightarrow{dS}\quad (SI : m^2)`$,   
-! $`dI= \overrightarrow{j}_{courant}^{3D}\cdot\overrightarrow{dS}`$,   
-!
-! de même,  
-! 
-! le déplacement de l'énergie $`(unité SI : J)`$ de l'onde électromagnétique contenue 
-! dans un volume élémentaire $`d\tau\quad (SI : ! m^3)`$ de densité volumique d'énergie
-! $`\dens_{énergie_EM}^{3D}`$ à la célérité $`c`$ :   
-! * permet de définir l'équivalent d'un vecteur densité de puissance de l'onde électromagnétique 
-! , appelé *vecteur de Poynting* et noté *$`\overrightarrow{\Pi}\quad (SI : J\,s^{-1}\, m^{-2}=W\, m^{-2}=`$,
-! * ce qui permet de calculer la puissance élémentaire $`d\mathcal{P}\quad (SI : W)`$ de l'onde EM qui traverse tout élément de surface 
-! $`\overrightarrow{dS}`$,   
-! $`d\mathcal{P}= \overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}`$.   
-
-! *Remarque 2* :   
-!
-! *L'expression du vecteur de Poynting* en fonction du champ électrique et du champ magnétique de l'onde,
-! ainsi que *sa signification*, sont *plus faciles à retenir* si l'on choisit de l'exprimer 
-! *en fonction du champ d'excitation magnétique $`\overrightarrow{H}`$*.  
-!
-! *__Dans le vide__ (et uniquement dans le vide)* :   
-!  Le champ magnétique est aussi bien décrit par le champ d'induction 
-! $`\overrightarrow{B}`$ qui intervient dans la force de Lorentz qui induit les effets, 
-! que par le champ d'excitation magnétique $`\overrightarrow{H}`$.  
-! Ces deux champs sont proportionnels, le rapport de proportionnalité étant la constante magnétique $`\mu_0`$ :   
-! <br>
-! $`\overrightarrow{B}=\mu_0\,\overrightarrow{B}\quad\text{(dans le vide)}`$
-!
-! L'expression dans le vide du vecteur de Poynting est alors :   
-! <br>
-! $`\overrightarrow{\Pi}=\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{H}`$
-!
-! En se souvenant 
-! * de l'électrostatique que l'unité SI de $`\overrightarrow{E}`$ est le $`V\,m^{-1}`$,   
-! * de la magnétostatique que l'unité SI de $`\overrightarrow{H}`$ est le $`A\,m^{-1}`$,   
-! * de l'étude des circuits que $`\mathcal{P}\,(W) = U\,(V)\times I\,(A)`$,   
-!
-! alors l'*unité SI du vecteur de Poynting* apparaît facilement comme le *$`V\,A\,m^{-2}= W\,m^{-2}`$*
-! 
-! Dans le système international de mesure, le Vecteur de Poynting s'exprime en *Watt par mètre carré*.
-!
-! La *grandeur physique du vecteur de Poynting* est une *puissance par unité de surface*.
-
-
-<br>
-
-------
-
-<br>
-
-#### Comment calculer le puissance traversée par une surface d'aire et d'orientation quelconque ?
-
-* Elle se calcule simplement par l'expression :   
-<br>
-**$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{P}=\iint_S \overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}}}`$**  
-
-
-#### Comment émettre une onde électromagnétique ?
-
-* Il suffit d'**accélérer une particule chargée**.
-
-<!---------------------
-#### Comment capter la puissance d'une onde électromagnétique ?
-
-Quelques idées très synthétiques.   
-Pour des ressources transverses et classiques, liens en parallèles
----------------------->
-
-
-
+    *$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{P}(t)=\iint_S \overrightarrow{\Pi}(t)\cdot\overrightarrow{dS}}}`$*
+    <br>
+  * Si **$`\mathbf{\Delta t_{respuesta}\gg T_{energ.}}`**, entonces el sensor no puede seguir las variaciones temporales de
+    la potencia instantánea, y solo mide el **valor promedio de la potencia** estimado en $`\Delta t_{respuesta}`$:
+    <br>
+    **$`\displaystyle\large{\mathbf{<\mathcal{P}(t)>\;=\iint_S <\overrightarrow{\Pi}(t)>\cdot\overrightarrow{dS}}}`$**
 
+!!! *Ejemplo*:
+!!!
+!!! El *dominio visible* corresponde a:
+!!! * una *longitud de onda* en el vacío del orden de 500 nanómetros: *$`\mathbf{\lambda = 5\cdot 10^{-7}\,m}`$*
+!!! <br>
+!!! Esto corresponde a un período temporal del campo eléctrico $`T_{onda}`$ de:
+!!! <br>
+!!! $`T_{onda}=\dfrac{\lambda}{c}=\dfrac{5\cdot 10^{-7}}{3\cdot 10^{8}} = 1.7\times 10^{-15}\,s`$,
+!!! <br>
+!!! es decir,
+!!! <br>
+!!! $`T_{energ.}=8.5\times 10^{-16}\,s`$
+!!! <br>
+!!! En ambos casos, el orden de magnitud del *período* es de $`\mathbf{T\approx 10^{-15}\,s}`$.
+!!!
+!!! Ningún sensor logra seguir las variaciones instantáneas de potencia de la luz visible.
 
+---
 
+#### ¿Cómo emitir una onda electromagnética?
 
+* Basta con **acelerar una partícula cargada**.