##### Application of the **integral Gauss theorem** to:
### **Cylindrical charge distributions**
#### Comment sont-elles définies ?
* Ici définie, une distribution de charge à symétrie cylindrique *possède* deux symétries,
* une *symétrie de révolution*
* une **symétrie de translation**
*autour* et **selon** un même axe, *l'axe de révolution*.
! *rappel* : un axe de *révolution* est un axe de *rotation d'ordre infini*.
* Tout **plan contenant l'axe de révolution** est *plan de symétrie* pour la charge électrique.
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#### Quel système de coordonnées spatiales choisir ?
#### Hvilket koordinatsystem skal velges?
*Le système de coordonnées *le mieux adapté* est le système de **coordonnées cylindriques $`(O,\rho,\varphi,z)`$**,
* Det *best egnede* koordinatsystemet er **sylindriske koordinater $`(O,\rho,\varphi,z)`$**,
avec **$`Oz =\;`$ axe de révolution**, et où :
med **$`Oz =\;`$ rotasjonsakse**, og hvor:
* $`O`$ est le point de l'espace pris comme origine des coordonnées.
* $`O`$ er punktet i rommet som tas som koordinatens opprinnelse.
* $`(\rho,\varphi,z)`$ sont les coordonnées cylindriques.
* $`(\rho,\varphi,z)`$ er de sylindriske koordinatene.
et de repère orthonormé associé le *repère cylindrique $`\mathbf{(O, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})}`$*.
og med tilknyttede ortonormerte referanserammen *sylindrisk referanseramme $`\mathbf{(O, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})}`$*.
#### Comment caractériser un distribution de charges à symétrie cylindrique ?
#### Hvordan karakterisere denne ladningsfordelingen?
* La distribution de charges est décrite par une **densité de charge $`\dens=\dens(\rho,\varphi,z)`$**.
* Ladningsfordelingen beskrives av en **ladningstetthet $`\dens=\dens(\rho,\varphi,z)`$**.
<br>
<br>
*L'*invariance par rotation* d'angle $`\Delta\varphi`$ quelconque impose**$`\require{\cancel}\dens= \dens(\rho,\xcancel{\varphi}, z)`$**.
* *Rotasjonsinvariansen* av en vilkårlig vinkel $`\Delta\varphi`$ pålegger **$`\require{\cancel}\dens= \dens(\rho,\xcancel{\varphi}, z)`$**.
*L'*invariance par translation* de longueur $`\Delta z`$ quelconque impose **$`\require{cancel}\dens= \dens(\rho,\varphi, \xcancel{z})`$**.
* *Translasjonsinvariansen* av en vilkårlig lengde $`\Delta z`$ pålegger **$`\require{cancel}\dens= \dens(\rho,\varphi, \xcancel{z})`$**.
<br>
<br>
**Au final*, la densité volumique de charge **$`\dens`$ ne dépend que de z** :
* *Til slutt* avhenger ladningstettheten **$`\dens`$ kun av $\rho$** :
*$`\mathbf{\left.\begin{array}{l}
*$`\mathbf{\left.\begin{array}{l}
\dens=\dens\,(\rho, z) \\
\dens=\dens\,(\rho, z) \\
\dens=\dens\,(\rho, \varphi)
\dens=\dens\,(\rho, \varphi)
...
@@ -135,793 +100,73 @@ J'espère que cela répond à votre demande. Si vous avez besoin de plus de trad
...
@@ -135,793 +100,73 @@ J'espère que cela répond à votre demande. Si vous avez besoin de plus de trad
_Un cylindre infini est, lorsqu'il est chargé uniformément en volume, l'exemple le plus simple de distribution de charge à symétrie cylindrique. Corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
_Et uendelig sylinder er, når den er jevnt ladet i volum, det enkleste eksemplet på sylindrisk symmetrisk ladningsfordeling. Korriger_ $`\vec{e_r}`$ _til_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
#### De quelles coordonnées dépend $`\overrightarrow{E}`$ ?
_figure temporaire à réviser : corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$. _Remplacer_ $`\mathscr{P}_2`$ _par_ $`\mathscr{P}_0`$. _En effet, pour le point suivant, nous réserverons la notation_ $`\mathscr{P}_i`$ _avec_ $`i\in\mathbb{N}^*`$ _aux plans contenant l'axe_ $`Oz`$. _Rajouter la notation $`\Delta`$ pour l'axe_ $`Oz`$.
***$`\overrightarrow{E}`$** est un *vecteur polaire*.
**$`\mathbf{\mathcal{P}_1=}`$***$`\mathbf{\mathcal{P}_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})}`$** est *plan de symétrie* pour $`\dens`$.
**$`\mathbf{\mathcal{P}_2=}`$***$`\mathbf{\mathcal{P}_2\,(M, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_{\rho}})}`$** est *plan de symétrie* pour $`\dens`$.
_figure temporaire à réviser : corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
**Choix de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$* : **cylindre**,
* d'**axe $`Oz`$**.
* de **rayon $`\rho_M`$**, coordonnées du point $`M`$ considéré.
* de **hauteur $`h`$**.
#### Que vaut le flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ ?
* $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ surface fermée se décompose en **$`\mathbf{\mathcal{S}_G=\mathcal{S}_{dis1}+\mathcal{S}_{lat}+\mathcal{S}_{dis2}}`$** avec :
***$`\mathbf{\mathcal{S}_{dis1}}`$** : *disque supérieur* d'élément vectoriel de surface **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**, $`\rho`$ variant de $`0`$ à $`\rho_M`$ pour couvrir la surface du disque.
***$`\mathbf{\mathcal{S}_{lat}}`$** : *surface latérale* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho_M\,d\varphi\,dz\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**, tous les $` \overrightarrow{dS}`$ étant ici situés à la même distance $`\rho=\rho_M`$ de l'axe de révolution du cylindre.
***$`\mathbf{\mathcal{S}_{dis2}}`$** : *disque inférieur* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=-\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**, $`\rho`$ variant de $`0`$ à $`\rho_M`$ pour couvrir la surface du disque.
* $`\Phi_E^{\mathcal{S}_G}= 2\pi \rho_M\,h\, E`$ , avec $`\Phi_E`$ le flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`{\mathcal{S}_G}`$
sont *commun à toutes les distributions* de charge à symétrie cylindrique invariantes par translation selon $`Oz`$.
* Le **calcul de $`Q_{int}`$** puis **de $`\overrightarrow{E}`$** nécessitent de *connaître l'expression mathématique pour $`\dens`$* en chaque point de l'espace.
<br>
<br>
$`\Longrightarrow`$ *différentes distributions de charge sont étudiées* dans la suite.
##### Calcul de la charge $`Q_{int}`$
* $`Q_{int}`$ est la **charge contenue à l'intérieur de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$**.
***$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\iiint_{\Ltau_G \rightarrow\mathcal{S}_G} \dens\; d\tau}`$**, avec :
***$`\mathbf{\tau_G}`$***volume intérieur* à $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$.
***$`\mathbf{d\tau}`$** est l'*élément de volume*.
##### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$
1. Betrakt et **vilkårlig punkt $`M(\rho_M\,\varphi_M,z_M)`$** i rommet.
2. **Planet $`P_1`$** som inneholder punktet $`M`$ og aksen $`Oz`$ er et *symmetriplan* for ladningsfordelingen.
3. **Planet $`P_2`$** som inneholder punktet $`M`$ og er vinkelrett på aksen $`Oz`$ er et *symmetriplan* for ladningsfordelingen.
4. Det elektriske feltet **$`\overrightarrow{E}`$ er en polar vektor**, så i ethvert punkt i et symmetriplan ligger det i dette planet.
Derfor ligger *$`\overrightarrow{E}`$ i både $`P_1`$ og $`P_2`$, og dermed i *skjæringen $`P_1 \cap P_2`$* av disse to planene.
Retningen til *$`\overrightarrow{E}`$, langs $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, er
*fullstendig bestemt*.
* Il *résulte de la synthèse des résultats* précédents.
* Kort oppsummert:
* L'**égalité entre les deux termes** du théorème de Gauss *donne la composante $`E`$* du champ $`\overrightarrow{E}=E\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$ en tout point de l'espace :
<!--===============pour partie principale?==============
* Les symétries et invariances de $`\dens`$ ont donné en tout point $`M=M\,(\rho, \varphi, z)`$ de l'espace la direction de $`\overrightarrow{E}`$ sous la forme d'une amplitude $`E`$ et du vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ :
* Une surface de Gauss contenant $`M`$ et adaptée a permis de calculer une expression simple pour le flux $`\overrightarrow{E}`$ à travers elle-même.
* La charge totale $`Q_{int}`$ de la surface de Gauss a été évalué pour toute position de $`M`$.
========================================-->
<!-----trop général et confus, si amélioré, pour une partie principale------------
* En genéral, il n'y a pas de fonction mathématique décrivant la densité volumique de charge $`\dens^{3D}`$ sur tout l'espace.
* Il y a un nombre entier $`n`$ de fonctions mathématiques différentes décrivant $`\dens^{3D}`$ et qui correspondent à $`n`$ sous-espaces complémentaires de l'espace $`\mathscr{E}`$.
* Il y a un nombre entier $`n`$ de fonctions mathématiques parfois identiques décrivant $`\dens^{3D}`$ et qui correspondent à $`n`$ sous-espaces complémentaires de l'espace $`\mathscr{E}`$ séparés par des surfaces 2D caractérisées par une densité surfacique $`\dens^{2D}`$ de charge.
----------------------------------------------->
<br>
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#### **1 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en volume
* L'*objectif d'apprentissage* de cet exemple de distribution de charge est
* de **terminer le processus** de détermination de $`\overrightarrow{E}`$ par
le théorème de Gauss *avec un exemple particulièrement simple*.
* de montrer que la densité volumique de charge *$`\dens^{3D}`$ se manipule sans distinction de son signe*,
ce **signe reste fondamental** parce qu'il *décide du sens de $`\overrightarrow{E}`$*, et
donc de la force d'*attraction ou* de *répulsion* qu'il exerce sur les charges.
##### Description de $`\dens`$ :
* **$`\left\{\begin{array}{ll}
\rho\le R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_0 = cste\ne 0 \\
\rho\gt R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)= 0
\end{array}\right.`$**
* *Représentation graphique de $`\dens^{3D}(\rho)`$* :
<br>
* Travailler avec **$`\dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_0 = cste\ne 0`$** recouvre les *deux situations $`\dens^{3D}_0\ge 0`$ et $`\dens^{3D}_0\lt 0`$*.
<br>
* Plusieurs représentations du profil de variation de $`\dens^{3D}`$ avec $`\rho`$ sont possibles.
<br>
* Ci-desssous, pour ne garder que l'**information du profil** et ici **mettre en évidence le signe des charges**,
nous choisissons pour l'axe des ordonnées la grandeur physique sans unité
*densité volumique de charge $`\dens^{3D}(\rho)`$ divisée par la valeur maximale de sa valeur absolue $`|\dens^{3D}|_{max}`$*.
<br>
C'est une représentation indépendante de la valeur numérique de $`\dens^{3D}_0\ge 0`$
et de son unité de mesure ($`C/,m^{-3},C/,cm^{-3},\dots)`$.
<br>
Une densité de charge négative apparaîtra en dessous de l'axe des $`\rho`$, et elle
* Nombre de sous-espaces complémentaires à prendre en compte : 2
* sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}_0`$ et tel que $`\rho\le R`$.
* sous-espace $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=0`$ et tel que $`\rho \gt R`$
<!--Cela peu paraître inutile car évident pour les professeurs, mais leurs cerveaux ont eu des années pour intégrer cela. La non conscience qu'il faille considérer différents cas selon la position du point M pour le calcul de $`Q_{int}`$ (que cela soit par manque de visualisation ou sous l'effet du stress d'un examen) est une cause non négligeable d'erreurs. D'où la volonté ici d'emphaser ce point en parlant de sous-espaces.--->
* L'*objectif final* est de calculer le champ électrique **$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ en tout point $`\mathbf{M=(\rho_M\,\varphi_M\,z_M)}`$** de l'espace.
* **2 cas sont à prendre en compte**, selon que le point *$`M`$ est situé à l'intérieur* $`(\rho_M\le R)`$ ou *à l'extérieur* $`(\rho_M\gt R)`$ du cylindre chargé de rayon $`R`$.
<br>
**$`\large\text{Pour }\mathbf{\rho_M\le R}`$** :
* Le *point $`M`$ quelconque* est situé **à l'intérieur** du cylindre chargé.
<br>
<br>
$`\Longrightarrow`$ le **volume de Gauss $`\Ltau_G`$** associé est *entièrement contenue dans l'espace $`\mathscr{E}_{int}`$* caractérisé par la *densité de charge constante $`\dens_0^{3D}`$*.
_Le volume de gauss est entièrement caractérisée par même expression de densité de charge constante_ $`\dens^{3D}_0`$. _Corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
* *Représentation graphique de $` Q_{int}(\rho)`$* :
<br>
Dans le **même esprit que précédemment**, nous traçons la charge totale dans le volume de Gauss $`Q_{int}(\rho)`$ divisée par la valeur maximale de sa valeur absolue" $`|Q_{int}|_{max}`$.
#### **2 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé non uniformément en volume
* L'*objectif d'apprentissage* :
* Dans cet exemple la densité volumique de charge *$`\mathbf{\dens^{3D}}`$ est une fonction de $`\rho`$*, ce qui nécessite de **connaître l'expression de $`\Ltau`$**, l'élément de volume en coordonnées cylindriques et de **réaliser une intégrale triple pour calculer $`Q_{int}`$**, la charge dans le volume de Gauss.
##### Description de $`\dens`$ :
* Prenons l'**exemple** de la distribution :
**$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
\rho\le R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = A\,\rho^2 \\
&\text{ avec }A = cste \gt 0 \\
\rho\gt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho)= 0
\end{array}\right.`$**
<!--exemple2 à garder : \dens^{3D}(\rho) = \dfrac{A}{\rho^2} -->
* La constante étant positive, **$`A\gt 0`$** , nous nous limitons dans cet exemple à des *charges positives*.
* *$`\dens^{3D}`$ est fonction de $`\rho`$*, donc tous les $`d\Ltau`$ ne sont pas caractérisés par une valeur unique de $`\dens^{3D}`$
$`\Longrightarrow\dens^{3D}_0`$ *ne peut pas sortir de l'intégrale*.
$`\Longrightarrow`$ l'élément de volume $`d\Ltau`$ doit prendre son expression *en coordonnées cylindriques* $`\mathbf{d\Ltau=\rho\,d\varphi\,d\rho\,dz}`$ :
_Variation de la composante_ $`E_{\rho}`$ _du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$.
<br>
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#### **3 -** Cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$
* L'*objectif d'apprentissage* :
* Dans cet exemple, il y a **plus de 2 sous-espaces à prendre en compte** pour finaliser le calcul du champ électrique en tout point de l'espace.
##### Description de $`\dens`$ :
* Reprenons l'**exemple du profil précédent** de densité volumique de charge $`\dens^{3D}(\rho)=A\,\rho^2`$, *mais limité au volume d'un cylindre creux* de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ :
* Le point $`M`$ est situé à l'extérieur du cylindre.
<br>
$`\Longrightarrow`$ le **volume de Gauss $`\Ltau_G`$** *intercepte les sous-espaces* $`\mathscr{E}_{int}`$, $`\mathscr{E}_{mil}`$* et $`\mathscr{E}_{ext}`$*.
On retrouve naturellement les résultats précédents.
<br>
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#### **4 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en surface
* L'*objectif d'apprentissage* :
* Dans cet exemple, la distribution réelle de charge est modélisée par une **densité superficielle de charge $`\mathbf{\dens^{2D}}`$**.
* Faire le lien avec le cas précédent, étudier la **transition entre** :
\- une **distribution réelle 3D** de charge *dans un cylindre creux de faible épaisseur $`e`$*$`=R_{ext}-R_{int}`$.
\- sa **modélisation 2D** par une distribution $`\dens^{2D}`$ *lorsque l'épaisseur $`e`$ est négligée*.
* Montrer, si besoin était, que les **relations de continuité de $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$** à la traversée d'une surface chargée est la même que la surface chargée soit cylindrique ou plane (faire afficher les trois types de distributions en parallèle). Elles sont **les mêmes à la traversée de toute surface**, *plane ou courbe*.
_schéma simplifié du profil vu en coupe à venir_
##### Description de $`\dens`$ :
***$`\quad\left\{\begin{array}{l}
\rho\lt R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho) = 0 \\
\rho = R \Longrightarrow \dens^{2D}(\rho)=\dens^{2D}_0=cst \ne 0 \\
\rho\gt R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho) = 0
\end{array}\right.`$**
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* Nombre de sous-espaces à prendre en compte : 2
* sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}_0`$ et tel que $`\rho\le R`$.
* sous-espace $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=0`$ et tel que $`\rho \gt R`$
à développer et terminer
montrer discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ à la traversée d'une surface chargée, due
au passage 3D vers idéalisation 2D : cela aura déjà été vu juste avant dans distribution de charge a symétrie plane, faire le lien.
Cette discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ en $`\rho=R`$ fait que le champ n'est pas défini en $`\rho=R`$ dans cette modélisation, dans cette idéalisation 2D, ce qui justifie de n'avoir considéré que les deux sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{ext}`$.
------>
à terminer
_figure de l'amplitude du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$ _à venir_
