!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com. Ce cours est *en construction*, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade. <br>
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
<!--MétaDonnée : ... -->
### Aspect ondulatoire de la lumière
Les **phénomènes d'interférences et de diffraction** sont *caractéristiques des ondes*.
Interférences et diffraction lumineuses *traduisent l'aspect ondulatoire de la lumière*.
### Le phénomène d'interférences
Le **phénomène d'interférences** est observé lorsque la *superposition de deux ou
plusieurs ondes* de même nature (sonores, mécaniques, électromagnétiques) donne lieu
à une *intensité résultante qui n'est pas égale à la simple addition des intensités*
prises individuellement.
!!Note : pour l'onde électromagnétique, une interférence peut se traduire localement par le phénomène : lumière + lumière = obscurité.
**En pratique** sur un écran d'observation, les *intensités individuelles* des ondes
incidentes *varient lentement* alors que les **différences de phase** entre les ondes
qui interfèrent et qui sont à l'origine du phénomène d'interférence **varient rapidement**.
On appelle **franges d'interférences** le *lieu des points M* caractérisés par une
*intensité moyenne $`\overline{\,I\,}`$ donnée* :
* Les **franges brillantes** correspondent à une *intensité maximale : $`I=I_{max}`$*
* Les **franges sombres** correspondent à une *intensité minimale : $`I=I_{min}`$*
### Quantification du phénomène d'interférences : le contraste
Le **contraste** (ou visibilité) des franges quantifie notre *aptitude à discerner
les franges* (notre aptitude visuelle imparfaite, ou l'aptitude d'un capteur de rayonnement
moins imparfaite).
Il se définit localement à partir de la distribution d'intensité résultante des ondes
qui interfèrent. Si localement *$`I_{max}`$* est l'*intensité maximum* et *$`I_{min}`$*
l'*intensité minimum*, le contraste (ou visibilité) des franges se définit par :
!!!! L'*écriture réelle d'une onde, seule, décrit la réalité physique mesurable de l'onde*.
!!!! Le champ réel est la partie réelle du champ complexe : $`\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)= \Re [\underline{\overrightarrow{E}}(\overrightarrow{r},t)]`$
!!!!
!! *POUR ALLER PLUS LOIN :*
!!
!! L'*onde électromagnétique plane progressive monochromatique (OPPM)* est un *concept mathématique* sans réalité. En effet, de par son expression mathématique <!-- <br>
!! --> l'OPPM peut être définie à chaque instant, depuis des temps infinis dans le passé et jusqu'en des temps infinis dans le futur, et elle s'étend à l'infini dans tout l'espace. Et de part la densité d'énergie électromagnétique qu'elle porte, l'OPPM contient une énergie infinie.
!! <!--
!! De plus, comme en présence d'une OPPM, un volume infinitésimal $`d \tau`$ de l'espace contient l'énergie électromagnétique moyenne <br>
!!alors intégré sur tout l'espace, une OPPM contiendrait une énergie infinie.
!! -->
!!
!! Cela est *physiquement non réaliste*. Le champ électromagnétique est en couplage avec la distribution de charges dans l'univers. Il est créé lorsque des charges sont accélérées, se propage puis se modifie et perd de l'énergie lorsqu'il accélère des charges suite à la forcre qu'il exerce sur elles.
!!
!! Cependant, le grand *intérêt du concept d' OPPM* vient du *théorème de Fourier*, qui démontre que *tout signal dépendant du temps peut se décomposer comme une somme (discrète pour un signal périodique, intégrale pour un signal transitoire) de fonctions harmonique (harmomique=sinusoïdale). Ce point sera détaillé dans une autre partie. De ce fait,nous portons une attention particulière aux OPPM.
Le *champ électrique résultant* est :
* _Expression en notation réelle :_
$`\overrightarrow{E_{tot}}(\overrightarrow{r},t)
= A_1 \cdot cos (\omega t-\phi_1)\cdot \overrightarrow{e_1}
\;`$$`+\;A_2 \cdot cos (\omega t-\phi_2)\cdot \overrightarrow{e_2}`$
* Si les deux ondes ont des **polarisations rectilignes non orthogonales $`(\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}) =cos \Phi `$**, telles que , alors
Un *terme d'interférence $`\,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2) \cdot cos \Phi`$* apparait.
-------
* Si les deux ondes ont des **polarisations rectilignes dans la même direction $`(\overrightarrow{e_1} = \overrightarrow{e_2}) `$** alors $`cos\, \Phi = 1`$ et :
Le *terme d'interférence* se limite à *$`\,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2)`$*.
------------
* Si les deux ondes ont une **même amplitude $`A`$** et des **polarisations rectilignes dans la même direction $`(\overrightarrow{e_1} = \overrightarrow{e_2}) `$** alors :
Si *j'applique ce résultat* concernant les suites géométriques pour calculer le terme d'**amplitude totale résultante** de la superposition des ondes considérées, j'obtiens
! Cette *fonction $`\mathbf{\dfrac{sin^2\,\dfrac{N\,\phi}{2}}{sin^2\,\dfrac{\phi}{2}}}`$* est une *fonction fondamentale dans l'étude des réseaux de diffraction*, et nous l'appellerons ici *fonction Interférences-réseau*, notée *$`Interf_{res}`$*.
!
! Cette fonction dépend du nombre entier N d'ondes qui interfèrent et de la différence de phase constante $`\phi`$ entre deux ondes successives : $`Interf_{res}=Interf_{res}(N,\phi)`$
!
#### Propriétés de la fonction $`Interf_{res}`$
Le phénomène d'interférence se traduisant par l'alternance de franges sombres et
brillantes, et se mesurant localement par le contraste à partir de l'intensité maximum
et l'intensité minimum entre deux franges successives, j'étudie les positions et
intensités des maxima et minima de cette fonction.
Cette fonction prendra clairement un maximum appelé **maximum principal** lorsque
son *dénominateur $`sin^2\dfrac{\phi}{2}`$ s'annule*, ce qui est réalisé *aux valeurs
*$`\quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf{\phi=2\,k\pi\;\quad}`$, avec $`\mathbf{k \in \mathbb{Z}}`$*.
Pour trouver l'intensité de ces maxima, je dois étudier la valeur de $`interf_{res}(\phi)`$
dans la limite où $`\phi`$ tend vers $`2\,k\pi`$. En ces points, le dénominateur et le
numérateur de la fonction $`interf_{res}(\phi)`$ s'annulent, la valeur de la fonction est
alors indéterminée. Je lève cette indétermination en calculant la limite de la fonction
$`interf_{res}(\phi)`$ en m'aidant d'un développement limité au voisinage de ces points
$`\phi=2\,k\pi`$,.`$
! *RAPPEL :*
!
! Soit une fonction $`f`$ à variable réelle $`x`$, définie sur un intervalle $`U`$ de $`\mathbb{R}`$. Si cette fonction est $`k`$ fois dérivable sur $`U`$ et si sa $`k^{ième}`$ fonction dérivée, notée $`f^{(k)}`$, est continue sur $`U`$ (les mathématiciens disent alors que cette fonction est de classe $`C^k`$), alors le développement limité à l'ordre $`n\le k`$ de $`f`$ au voisinage d'un point $`x_0\in U`$ s'exprime par la formule de Taylor :<br>
!où $`o(x-x_0)`$ est une fonction qui tend vers $`0`$ lorsque $`x`$ tend vers $`x_0`$ plus vite que la fonction $`x^n`$.
!
! En physique, la somme<br>
! $`f(x_0)+\sum_{i=1}^{n}\dfrac{(x-x_0)^i}{i\,! }\cdot f^{(i)}(x_0)`$ <br> réalise l'approximation à l'ordre $`n`$ de la fonction $`f `$ au point $`x`$, approximation d'autant meilleure que $`n`$ est grand :
! Les *maxima principaux de la fonction Interférences-réseau* ont une *même intensité qui croît comme $`N^2`$*, carré du nombre d'ondes qui interfèrent.
!
**Entre ces maxima principaux**, la fonction Interférences-réseau possède **plusieurs
minima nuls** localisés aux valeurs de $`\phi`$ pour lesquelles le numérateur de la
*$`\quad\Longleftrightarrow\quad\mathbf{\phi=\dfrac{2 k\pi}{N}}\quad`$, avec
$`\mathbf{k \in \mathbb{N}}`$*.
Ainsi **entre deux maximas principaux** se trouvent *$`N-1`$ minima* de valeurs nulles,
séparés par *$`N-2`$ maxima secondaires*.
Le premier minimum nul jouxtant un maximum principal situé en $`\phi=2 k\pi`$ (maximum
principal d'ordre k) est localisé en $`\phi=2 k\pi+\dfrac{2\pi}{N}`$. Ce déphasage
$`\dfrac{2\pi}{N}`$ entre un maximum principal et le premier munimum nul est un bon
critère pour quantifier la largeur d'un maximum principal.
! *IMPORTANT :*
!
! La *largeur d'un pic principal*, quantifiée par la valeur du déphasage séparant le maximum du pic du premier minimum nul, est *proportionnelle à $1/N$*, inverse du nombre des ondes qui interfèrent.
!
#### Représentation de la fonction $`Interf_{res}`$
* $`N=1 \Longrightarrow`$ amplitude et intensité de l'onde uniforme : pas d'interférences.
* $`N=2 \Longrightarrow`$ amplitude set intensité de l'onde uniforme : interférences à deux ondes.
Faisons croître le nombre $`N`$ des ondes qui interfèrent, et observons :
<!---->
<!---->
<!-- pour le site, sera en .gif
 -->
### Pour prendre un peu d'avance :
Après l'études des phénomènes d'interférence et de diffraction, je regarderai quelques
situations physiques simples ou quelques éléments optiques qui réalisent ces phénomènes.
Le cours se construit.
Mais déjà, je verrai qu'une façon d'obtenir de telles interférences est d'illuminer
un réseau de diffraction avec une onde (je préciserai les conditions).
Dans ce cas, lors de l'observation de la lumière à l'infini dans une direction donnée,
la différence de phase $`\phi`$ entre deux ondes est fonction de la longueur d'onde
selon l'expression :
$`\phi=\dfrac{2 \pi \,\delta}{\lambda}`$.
Deux longueurs d'onde différentes donneront deux systèmes de franges différentes, qui se superposeront.
Je regarde bien les figures suivantes, pour comprendre visuellement le phénomène observé. Cela donne une première piste pour décomposer une lumière polychromatique en ses différentes composantes.
<!---->
<!---->
<!---->
<!---->
<!---->
<br>
_Tous les pics principaux ont une même hauteur. Ce n'est pas le cas sur cette figure à cause du pas $`\Delta\phi`$ trop grand utilisé pour le calcul de cette figure._
<!-- pour le site, sera en .gif
 -->
Et une première compréhension des ordres de travail d'un réseau de diffraction :
Ce chapitre *généralise le chapitre précédent* aux interférences générées par des **ondes d'amplitudes différentes**, et de **pas de déphasage non constant**.
! *Domaine d'application :*
!
! Cette étude me permettra de *comprendre et d'interpréter le phénomène d'interférence* (franges et couleurs) observées lorsque la *lumière* est *réflechie ou transmise à travers des couches minces*.
!
! Outre l'interprétation des phénomènes, elle ouvre vers le *calcul des filtres interférentiels* et la *caractérisation de l'épaisseur de couches minces et des défauts de surface* . Pour cela je dois connaître quelques résultats importants des relations de Fresnel, c'est à dire concernant la réflexion et la transmission de la lumière entre deux matériaux transparents.
#### Coefficients de réflexion et de transmission
Les **relations de Fresnel** précisent le *comportement des ondes électromagnétiques à l'interface entre deux matériaux diélectriques*.
Dans le cas ou l'onde électromagnétique atteint la surface avec un **angle d'incidence $`\theta_{inc}`$** nul, et tant que l'approximation **$`cos\,\theta_{inc}\simeq 1`$** peut être réalisée, les relations de Fresnel se simplifient et donne un *résultat très important* pour l'optique ondulatoire (et en complément pour l'optique des rayons) :
! *Rappel :*
!
! L'*optique ondulatoire* est un *modèle scalaire* des ondes électromagnétiques. Elle ne décrit pas la double nature vectorielle du champ électromagnétique ($`\vec(E), \vec{B}`$) et n'est pas sensible à la polarisation de la lumière. Ses calculs d'interférences correspondent à des composantes de $`\vec{E}`$ selon une même direction. L'*onde électromagnétique* est décrite par son *amplitude $` A`$* et son *intensité est porportionnelle à $`A^2`$, $`I\propto A^2`$* (en notation complexe, $`\underline{A}`$ et $`I\propto\underline{A}\,\underline{A}^*=|\underline{A}|^2`$).
!
Soit une **onde électromagnétique d'amplitude $`A`$** se propageant dans un milieu d'*indice de réfraction $`n_1`$* et atteignant sous incidence normale l'interface avec un *milieu d'indice de réfraction $`n_2`$*.
##### Coefficients en amplitude.
L'amplitude $`A_{trans}`$ de l'*onde transmise* s'écrit **$`A_{trans}=t_{12}\cdot A`$**,<br>
où **$`t_{12}`$** est le **coefficient de transmission en amplitude**.
L'amplitude $`A_{ref}`$ de l'*onde réfléchie* s'écrit **$`A_{ref}=r_{12}\cdot A`$**,<br>
où **$`r_{12}`$** est le **coefficient de réflexion en amplitude**.
Sous incidence normale _(et avec une très bonne approximation sous incidence quasi-normale)_ les coefficients $`t_{12}`$ et $`r_{12}`$ ne dépendent que des indices $`n_1`$ et $`n_2`$ :
* **$`t_{12}=\dfrac{2\,n_1}{n_1 + n_2}`$** : donc $`t_{12}\in[0;1]`$, $`t_{12}`$ est **toujours positif**.
* **$`r_{12}=\dfrac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}`$** : donc $`r_{12}\in[-1;1]`$, $`r_{12}`$ **peut être négatif** :<br>
**si $`r_{12}<0`$** alors on peut décomposer $`r_{12}`$ en **$`r_{12}`$**$`=-1\times |r_{12}|`$**$`=e^{\displaystyle i\,\pi} \times |r_{12}|`$**<br>
$`\Longrightarrow`$ : *à l'interface, l'onde réfléchie se déphase de $`\pi`$* (soit d'une *demi-longueur d'onde*) par rapport à l'onde incidente.
_Pour faciliter la visualisation, les angles d'incidence, de réflexion et de réfraction (ou transmission) sont largement exagérés sur le schéma. Les résultats utilisés concernant les relations de Fresnel supposent une onde incidente d'angle d'incidence quasi normal à l'interface._
##### Coefficients en intensité.
L'intensité $`I_{trans}`$ de l'*onde transmise* s'écrit **$`I_{trans}=T_{12}\cdot I`$**,<br>
où **$`T_{12}`$** est le **coefficient de transmission en intensité**.
L'intensité $`I_{ref}`$ de l'*onde réfléchie* s'écrit **$`I_{ref}=R_{12}\cdot I`$**,<br>
où **$`R_{12}`$** est le **coefficient de réflexion en intensité**.
Là encore, sous incidence normale les coefficients $`T_{12}`$ et $`R_{12}`$ ne dépendent que des indices $`n_1`$ et $`n_2`$ :
Nous remarquons que *$`R_{12}=R_{21}`$* et nous noterons **$`R`$** le **coeficient de réflexion en intensité**. De même *$`T_{12}=T_{21}`$* et nous noterons **$`T`$** le **coeficient de transmission en intensité**.
!!! *Exemple :* Pour un *dioptre air / verre*, tel que $`n_{air}=1`$ et $`n_{verre}\simeq 1,5`$,
A l'interface entre deux milieux diélectriques LHI (le vide ayant aussi les caractéristiques d'un tel milieu) l'*énergie incidente se répartit sans perte entre énergie réfléchie et énergie transmise*.
<!-- bien sûr, si l'interface est caractérisée par une densité surfacique de courant <!-- ou de charges libres? à vérifier), ce n'est plus le même problème).-->
!!!! *Attention :*
!!!!
!!!! L'*erreur courante* est d'oublier que l'intensité de l'onde n'est que proportionelle (et pas égale) au carré de l'amplitude : **$`I\propto A^2`$ et pas $`\require{cancel}\xcancel{I= A^2}`$.**
!!!!
!!!! L'erreur courante, si nous écrivons ou pensons $`I= A^2`$, est d'en déduite à juste titre que *$`\require{cancel}\xcancel{T_{12}=t_{12}^2}`$* ce qui est faux. De même, en pensant à la conservation de l'énergie qui implique que l'intensité réfléchie plus l', nous pourrions être amené à écrire trop rapidement *$`\xcancel{r_{12}^2+t_{12}^2=1}`$*, ce qui là encore est faux.
!!!!
!!!! Il n'y a *pas d'autre choix* que de *connaître les coefficients de réflexion et transmission en amplitude* **ET** *en intensité*. Ils ne se déduisent pas les uns des autres.
!!!!
!!!! C'est pour cela que *nous écrivons $`I\propto A^2`$ au lieu de $`\require{cancel}\xcancel{I= A^2}`$* comme dans certains ouvrages. En effet le coefficient de proportionnalité dépend du milieu de propagation. L'écriture $`I=A^2`$ ne doit être employée que si un seul milieu de propagation est considéré, mais il faut mieux ne pas l'utiliser car elle n'apporte rien par rapport à l'écriture $`I\propto A^2`$.
!!!!
!!!! La simple proportionalité entre $`I`$ et $`A`$ est largement suffisante pour décrire les phénomènes d'interférences de même que pour les caractériser par leur contraste $`\mathcal{V} = \dfrac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}`$
!!!!
!! *Pour aller plus loin :*
!!
!! L'étude de la propagation des onde s électromagnétiques dans les milieux matériels nous apprend que dans un milieu d'indice de réfraction $`n`$, l'intensité définit $`I`$ comme la moyenne temporelle du vecteur de Poynting $`\langle\Pi\rangle`$, pour une onde électromagnétique plane, progressive et monochromatique polarisé rectilignement représentée par son champ électrique $`\vec{E}=E_0\cdot cos\,(\vec{k}.\vec{r}-\omega\,t)\,\vec{u}`$ (où $`\vec{u}`$ est le vecteur unitaire indiquant la direction de polarisation), s'écrit :
!!
!! $`I=\dfrac{c\,\epsilon_0\,E_0^2}{2\,n}`$
!!
#### Réflexion et transmission par une lame mince à faces parallèles.
Étudions la réflexion et la transmission de la lumière par une **lame mince à faces parallèles transparente** *d'indice de réfraction $`n_2`$*, d'*épaisseur $`e`$* et localisée *dans un milieu d'indice de réfraction $`n_1`$*.
Pour ne nous intéresser qu'aux facteurs d'atténuation dus à la réflexion ou la transmission à travers la lame, les expressions indiquées pour les amplitudes réflechies $`A_{ref\,n}`$ et transmises $`A_{ref\,n}`$ sont données pour un déphasage $`\phi=4\pi`$ entre deux faisceaux réfléchis comme entre deux faisceaux transmis. Voir le texte de l'étude pour le cas général qui tient compte du déphasage géométrique de chaque faisceau par rapport au faisceau incident d'amplitude $`A`$. L'angle d'incidence $`\theta_{inc}`$ comme les angles induits $`\theta_{ref}`$ et $`\theta_{trans}`$ sont exagérés sur le schéma pour faciliter la visualisation.
<!--=== figure à refaire===-->
! *Remarque :*
!
! Pour l'étude de la réflexion et de la transmission à travers une telle lame, *la lumière rencontre deux dioptres*, du *milieu 1 vers le milieu 2* et du *milieu 2 vers le milieu 1*. C'est le moment de remarquer que :
! * $`r_{12}=-\,r_{21}`$
! * $`T=T_{12}=T_{21}$ n'est pas égal à $`\xcancel{T=t_{12}^2}`$ ou $`\xcancel{T=t_{21}^2}`$, mais nous avons l'égalité
! et ce *terme $`t_{12}\cdot t_{21}`$* est *important* : il intervient dans l'amplitude de tous les rayons réflechis (hors la première réflexion directe) $`A_{ref\,1},\;,A_{ref\,2}`$... et dans l'amplitude de tous les rayons transmis à travers la lame $`A_{trans\,0},\;,A_{trans\,1}\;,A_{trans\,2}`$...
!
##### La lame faiblement réfléchissante est éclairée en lumière monochromatique.
Si le **coefficient de réflexion** (en amplitude ou en intensité) est suffisamment **faible** alors *seuls les deux premiers faisceaux* réfléchis ou transmis *contribuent aux figures d'interférences* observées dans chaque cas. Ce cas est facile à réaliser, avec une simple lame de verre.
!!! *Exemple :*
!!!
!!! Considérons une *simple lame de verre* d'indice *$`n_{verre}\simeq 1,5`$* placée *dans l'air ($`n_{air}=1)`$* pour réutiliser les calculs de l'exemple précédent.
!!!
!!! Nous avions déjà calculé $`r_{12}=-\,0,2`$, $`R=4\%`$ et $`T=96\%`$
!!!
!!! Lorsque le déphasage entre deux faisceaux réfléchis ou eux faisceaux transmis est égal à $`2\pi`$ et donc qu'ils interfèrent constructivement, le calcul des rapports d'amplitude $`A_{ref\,1}\,/\,A_{ref\,0}`$ , $`A_{ref\,2}\,/\,A_{ref\,1}`$ et $`A_{trans\,1}\,/\,A_{trans\,0}`$ donne :
* Les **deux premiers faisceaux réfléchis** sont d'*amplitudes quasi-égales* car ces deux faisceaux subissent chacun une réflexion (terme en $`r_{12}`$ pour l'un et en $`r_{21}=-r_{12}`$ pour l'autre. Leur variation d'amplitude vient simplement du terme $`t_{12}\,t_{21}`$ qui est alors proche de l'unité (_si $`R<<1`$ alors $`T=1-R\simeq 1`$_). Les faisceaux suivants ont des amplitudes beaucoup plus faibles (termes en $`r_{21}^3,\,r_{21}^5,\,.. .`$) et leur contribition aux franges d'interférence ne sera pas visible. Les **interférences observées en réflexion** sont donc principalement *créées par ces deux premiers faisceaux* et nous nous limiterons à ces deux premiers faisceaux pour le calcul. Elles sont *fortement contrastées* car les deux faisceaux qui interfèrent ont des amplitudes proches.
* Le **deuxième faisceau transmis** a une *amplitude très faible* par rapport au premier, en effet le rapport de leurs intensités est $`r_{12}^2`$. Les amplitudes des faisceaux suivants décroisssent fortement par le même facteur, et donc ces faisceaux pourront être négligés dans le calcul des **interférences observées en transmission**. Par contre, même si leurs amplitudes sont très différentes, il est essentiel de *tenir compte des deux premiers faisceaux* pour la prévision ou l'explication des interférences (_il faut au moins deux ondes cohérentes pour observer des interférences_). Le **contraste des franges** sera *très faible*, très probablement l'oeil n'observera qu'un éclairement homogène lorsqu'il regardera à travers la lame.
Ainsi, pour ce cas d'une **lame faiblement réfléchissante**, nous pouvons nous limiter aux *deux premiers faisceaux pour le calcul des interférences* en réflexion ou en transmission.
La **méthode** est toujours la même. Calculer la *différence de chemin optique* entre deux faisceaux successifs, en déduire le *déphasage* qui dépend de la longeur d'onde, *sommer les amplitudes* et en *déduire l'intensité*.
<!--====rajouter dès que c'est prêt==============
et analyser la figure d'interférence
======================================-->
*Calcul de la différence de chemin optique*
!!!! *Attention :*
!!!!
!!!! *Dès qu'il y a réflexion, si le coefficient de réflexion en amplitude est négatif* (cela dépend du signe de $`n_1-n_2`$), alors cela implique que signifie que le champ électrique change de sens lors de la réflexion à l'interface, et donc qu'une différence de chemin optique *supplémentaire* que nous nommons *différence de chemin optique de réflexion* et notons *$`\delta_{ref}=\lambda/2`$* doit être introduite, conduisant au *déphasage supplémentaire de réflexion $`\phi_{ref}=\pi`$*.
!!!!
!!!! Nous distinguons donc *différence de chemin optique géométrique $`\delta_{geo}`$*, la différence de chemin optique *classique* due à des longueurs de trajet différents effectuées dans des milieux qui peuvent avoir des indices de réfraction différents, de la différence de chemin optique $`\delta_{ref}`$.
!!!!
!!!! La *différence de chemin optique totale $`\delta`$* à prendre en compte est
!!!!
!!!! *$`\delta=\delta_{géo}+\delta_{ref}`$*
!!!!
Calculons la **différence de chemin optique géométrique**. Bien sûr la configuration est différente selon que nous étudions les interférencess en réflexion ou en transmission, mais en terme de calcul dans ce cas précis le résultat est identique et nous pouvons généraliser ce calcul.
Le faisceau incident $`A`$ arrive au point $`U`$, point à partir duquel son chemin comme son amplitude se divisent en deux. Regardons les interférences créées à l'infini (_ou sur un écran situé dans le plan focal image d'une lentille convergente, où sur la rétine de l'oeil située dans le plan focal image du cristallin (l'oeil n'accommode alors pas, voir "optique des rayons"_)) dans la direction des faisceaux réfléchis.
Les distances parcourues d'une part entre le point $` X`$ et l'infini pour le faisceau ($`A_{ref\,0}`$) d'amplitude $`A_{ref\,0}`$, et d'autre part entre le point $`W`$ et l'infini pour le faisceau ($`A_{ref\,1}`$) sont égales. La différence de chemin optique "géométrique" entre ces deux faisceaux est la différence de chemin optique $`\delta_{XW}`$ entre les points $`X`$ et $`W`$. Le **faisceau ($`A_{ref\,1}`$)**, *par rapport au faisceau ($`A_{ref\,1}`$)*, parcours **en plus** une **distance $`UV + VW`$ dans le milieu d'indice $`n_2`$**, et **en moins** la **distance $`UX`$ dans le milieu d'indice $`n_1`$**. Ainsi :
La relation de Snell-Descartes $`n_1\cdot sin\,\theta_{inc} = n_2\cdot sin\,\theta_2`$ permet de réexprimer la relation précédente uniquement en fonction de l'angle $`\theta_2`$
$`\delta_{UX}=2\,n_1\cdot tg \,\theta_2\cdot \dfrac{n_2}{n_1}\cdot sin \,\theta_2`$
$`=2\,n_2\cdot tg \,\theta_2\cdot sin \,\theta_2`$
!!!! Pour les *lames minces à faces parallèles*, cette différence de marche géométrique entre 2 faisceaux successifs a :
!!!! * une *expression très simple : $`\delta_{géo}=2\,n_2\,e\cdot cos\,\theta_2`$*
!!!! * une expression trompeuse, parce qu'elle se rapproche visuellement et cognitivement parlant de l'expression $`\delta_{UW}=\dfrac{2\,n_2\,e}{cos\,\theta_2}`$
!!!!
!!!! Sans avoir ce point d'omportance en mémoire, le risque est grand que vous vous soouveniez d'une expression très simple en $`cos\,\theta_2`$, et en regardant trop rapidement la figure que nous n'en déduisiez érronément :
!Le même calcul s'applique quelque-soit le couple de faisceaux successifs réfléchis ou transmis. Dans le cas d'une *lame mince à faces parallèles*, la *différence de chemin optique géométrique* est *constante* et s'exprime :
!
! *$`\delta_{géo}=2\,n_2\,e\cdot cos\,\theta_2`$*
*Calcul du déphasage*
***Interférences en réflexion** : le premier terme est en $`r_{12}`$ et le $`r_{21}`$. Comme $`r_{21}=-r_{12}`$, il doit apparaître au final une *différence de marche de réflexion $`\delta_{ref}=\lambda\, / \,2`$* qui se rajoute à la différence de chemin optique géométrique $`\delta_{géo}`$, <br>
***Interférences en transmission** : le rapport d'amplitude entre deux faisceaux successifs est $`r_{21}^2`$, donc quelque-soit le signe de $`r_{21}`$ il n'y aura pas de différence de marche et donc pas de déphasage de réflexion. Nous avons simplement :<br>
!!!! Si dans le calcul de l'amplitude puis de l'intensité final n'est considéré que la valeur absolue $`r=|r_{12}|=|r_{21}|`$ du coefficient de réflexion en amplitude, alors la différence de marche et le déphasage de réflection n'apparaitront pas naturellement dans les calculs et devront être rajoutés.
! *Remarque :*
!
! Si nous ne remarquons pas que $`-1=e^{\,i\,\pi}`$, cela n'est bien sûr pas grave. Il suffit d'écrire normalement
<!--===A termminer, reste pas grand chose pour une première mouture===
*Analyse de la figure d'interférence en réflexion*
***Interférences en réflexion** : <br>
La lumière incidente est monochromatique de longueur d'onde (dans le vide) $`\lambda`$.
La lame a une épaisseur $`e`$ et un indice de réfraction $`n_2`$ constants, et est placé dans un milieu d'indice de réfraction $`n_1`$ constant.
L'intensiié $`I \propto 2\,A^2\cdot R\cdot \sin^2\,\dfrac{\phi_{géo}}{2}`$ varie périodiquement en fonction du déphasage, et donc de l'angle $\theta_2`$ de réfraction dans la lame, donc de l'angle des rayons incidents grâce à la loi de Snell-Descartes.
L'intensité $`\;=\,A^2\cdot R \cdot sin^2 \left( \dfrac{\,2\,\pi\,n_2\,e\cdot cos\,\theta_2}{\lambda}\right)`$ atteint sa valeur maximum lorsque $`\dfrac{\,2\,\pi\,n_2\,e\cdot cos\,\theta_2}{\lambda}=\dfrac{\pi}{2}+k\,\pi
$`\;=\,A^2\cdot R \cdot sin^2 \left( \dfrac{\,2\,\pi\,n_2\,e\cdot cos\,\theta_2}{\lambda}\right)`$<br>
<!--===A termminer, reste pas grand chose pour une première mouture===
$`\;=\,A^2\cdot R \cdot sin^2 \left( \dfrac{\,2\,\pi\,n_2\,e\cdot cos\,\theta_2}{\lambda}\right)`$<br>
***Interférences en transmission** : <br>
===================-->
##### Transmission à travers une lame est semi-réfléchissante, éclairée en lumière monochromatique.
Si le coefficient de réflexion (en amplitude ou en intensité) est élevé, alors le facteur de proportionnalité en amplitude entre deux faisceaux successifs, $`r_{21}^2`$ est beaucoup plus grand (tout en restant inférieur à 1) que dans le cas précédent de la lame faiblement réfléchissante. Dès lors nous ne pouvoir plus nous limiter aux deux premiers faisceaux transmis pour calculer les interférences, nous devons tenir compte de la série des rayons transmis.
La **différence de chemin optique** comme le **déphasage** entre deux faisceaux successifs $`A_{trans\,n-1}`$ et $`A_{trans\,n}`$ a déjà été fait avant. Ils sont *constants* (ils ne dépendent pas de n) et d'expressions :
Les amplitudes des rayons transmis successifs, pour un rayon premier rayon transmis d'amplitude $`A_{trans\,0}`$ sont, en se souvenant que $`r_{21}^2=R`$ :
Ainsi entre deux faisceaux successifs $`A_{trans\,n-1}`$ et $`A_{trans\,n}`$, l'amplitude décroit d'un facteur complexe $`r_{21}^2\;e^{\,i\,\phi}=R\;e^{\,i\,\phi}`$ constant. L'amplitude totale s'écrit :
Les termes entre parenthèse forme une suite géométrique de raison $`R\,e^{\,i\,\phi}`$. la méthode de calcul de la somme $`S_N`$ des N premiers termes à été rappelée et utilisée précédemment dans ce chapitre. Nous avons donc :
Le grande différence par rapport au cas de N ondes de même amplitude qui interfèrent, est que maintenant l'amplitude est modifiée par le facteur $`R\;e^{\,i\,\phi}`$ entre deux faisceaux successifs. Le module de $`R\;e^{\,i\,\phi}`$ est strictement inférieur à 1 car le coefficient de réflexion en intensité $`R`$ est inférioeur à 1, donc le module de $`R^{N+1}\;e^{\,(N+1)\,i\,\phi}`$ comme sa partie réelle tendent vers 0 quand N tend vers l'infini. Ainsi, si nous tenons compte de tous les termes jusqu'à l'infini, nous avons :
Comme $`\underline{A}_{\,trans\,0}\;\underline{A}_{\,trans\,0}^*`$ est un nombre réel, nous pouvons le faire passer dans le coefficient de proportionnalité :
En faisant passer $`(1-R^2)^{-1}`$ dans le coefficient de proportionnalité, l'**intensité transmise** sous la forme d'une fonction simple :
**$`I\propto\dfrac{1}{1+m\cdot sin^2\,\dfrac{\phi}{2}}`$**, avec **$m=\dfrac{4R}{(1-R)^2}`$**
Pour une lame à face parallèle donnée d'indice $`n_2`$ et d'épaisseur $`e`$, de coefficient de réflexion en intensité $`R`$ donné, l'intensité transmise est alors simplement fonction de l'angle de réfraction $`\theta_{2}`$ et de la longueur d'onde $`\lambda`$ (dans le vide) du faisceau parallèle incident sur la lame.
**$`I\propto\dfrac{1}{1+m\cdot sin^2\,\dfrac{\phi}{2}}`$**, avec **$`\phi=\dfrac{2\pi\delta}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{\lambda}\;(1\,n_2\,e\,cos\,\theta_2)`$**
Eclairons la lame avec un faisceau parallèle de lumière blanche sous incidence normale ($`\theta_{inc}=0 \;\Longrightarrow\; \theta_2=0`$).
Nous avons alors $`\phi=\dfrac{2\pi\delta}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{\lambda}\;(2\,n_2\,e)`$
Étudions l'*intensité* donné par la *fonction $\dfrac{1}{1+m\cdot sin^2\,\dfrac{\phi}{2}}`$*.
* Un **maximum d'intensité $`I_{max}`$** est réalisé lorsque $`sin^2\,\dfrac{\phi}{2}=0`$, soit :<br>
!!! *Exemple :* $`R\sim 0,8`$ donne $`T\sim 0,2`$ , $`m=80`$ et $`I_{min}\sim\dfrac{I_{max}}{80}`$
!! *Pour aller plus loin* :
!!
!! Obtenir un coefficient de réflexion en intensité de valeur élevée, par exemple $`R=0,8`$ avec une lame diélectrique transparente d'indice $`n_2`$ plongée dans l'air ($`n_{air}=1`$, il faudrait que $`n_2\simeq 19`$, ce qui n'existe pas dans le domaine visible. Pour réaliser cela, on dépose sous vide des couches semi-refléchissantes iodentiques sur chacune des faces de la lame, pour atteindre la valeur $`R=0,8`$.
*Largeur d'un maximum $`\Delta\phi`$ et coefficient de finesse F*.
La **largeur d'un maximum** est définie comme sa *largeur à mi-hauteur*.
L'intensité est proportionnelle à la fonction $`[1+m\cdot sin^2\,(\phi\,/\,2)]^{-1}`$. Posons ce coefficient de proportionnalité égal à l'unité. Nous avons maintenant $`I=[1+m\cdot sin^2\,(\phi\,/\,2)]^{-1}`$, ce qui donne une valeur d'intensité maximum $`I_{max}=1`$ réalisée pour un déphasage $`\phi=2\,p\,\pi\;,\;p\;`$ étant l'ordre du maximum.
La demi-largeur $`\Delta\phi\,/\,2`$ du maximum correspond à la valeur de déphasage $`\phi=2\,p\,\pi\,+\,(\Delta\phi/2)`$ pour laquelle $` I=I_{max}\,/\,2=1/2`$, soit :
La **largeur d'un maximum** est **$`\Delta\phi=\dfrac{4}{\sqrt{m}}`$**
Le **coefficient de finesse** est défini par **$`F=\dfrac{2\pi}{\Delta\phi}=\dfrac{\pi\,\sqrt{m}}{2}`$**.
Comme $``\phi=2\pi`$ est le déphasage entre 2 maximum consécutifs, le coefficient de finesse $`F`$ *indique que* la **largeur d'un maximum** est **$`F`$ fois plus petite que la distance entre 2 maxima**.
!!! *Exemple :*
!!!
!!! Avec les valeurs de l'exemple précédent :
!!!
!!! $`R\sim 0,8`$ donne $`T\sim 0,2`$ , $`m=80`$ et $`I_{min}\sim\dfrac{I_{max}}{80}`$
!!!
!!! nous obtenons un *coefficient de finesse de 14* :
!!! Les *maxima d'intensité sont les franges brillantes* de la figure d'interférence observée. $`F=14`$ signifie que *la largeur d'une frange est $`1/14`$ de l'interfrange*.
!! *Pour aller plus loin :*
!!
!! Une application est la réalisation de *filtres interférentiels = filtres dichroïque*.
!!
!! *Éclairé en lumière blanche*, un filtre interférentiel ne *laisse passer* que la lumière située dans *un domaine très étroit de longueur d'onde*. Il est possible de calculer un filtre pour ne laisser passer qu'une longueur d'onde choisie avec un coefficient de finesse donné.
!!
!! C'est l'objet de votre travail guidé à la maison et à rendre. Le texte vous est donné sur moodle.
Lorsqu'un faisceau de lumière parallèle éclaire un écran opaque percé d'une toute petite
ouverture, et que j'étudie l'éclairement de la lumière transmise sur un second écran
suffisamment loin du premier, je remarque que les dimensions de la tâche lumineuse observée
ne correspondent pas à l'ombre portée de l'ouverture. Si un faisceau de lumière tombe
sur une fente très fine d'épaisseur variable, l'ouverture angulaire du faisceau augmente
à la traversée de la fente lorsque la largeur de la fente diminue.
Ce phénomène montre que *la lumière est déviée lors de son passage au voisinage d'ouvertures ou d'obstacles de tailles caractéristiques proches de la longueur d'onde* de la lumière, c'est le **phénomène de diffraction** de la lumière.
Ce phénomène est *inexplicable dans le cadre de l'optique des rayons (optique géométrique)* qui postule que la lumière se propage en ligne droite dans un milieu homogène et isotrope comme le vide ou l'air.
#### Le principe de Huygens-Fresnel
Le **principe de Fresnel-Huygens** stipule que :
---------------------------
* *chaque point d'un front d'onde génère une onde sphérique*, l'enveloppe de ces ondes sphériques secondaires constituant un nouveau front d'onde (contribution d'Huygens).
* Ces **sources sphériques secondaires d'un même front d'onde** sont *mutuellement cohérentes*. L'**amplitude complexe** de l'onde lumineuse **résultante** en tout point d'observation est la *somme des amplitudes complexes de toutes ces sources secondaires* (contribution de Fresnel).
-----
Pour *visualiser le principe de Huygens-Fresnel* à l'aide d'un **écran plan et opaque**,
éclairé par une **onde plane monochromatique sous incidence normale** :
* L'écran est percé d'une **simple ouverture infinitésimale**, l'*onde transmise* est
alors une *onde sphérique centrée sur l'ouverture* de *même longueur d'onde* que celle
de l'onde incidente. Il y a *continuité de la phase de l'onde à la traversé* de l'ouverture
* L'écran est percé d'une **ouverture étendue** , *chacun des points* de l'ouverture plane est *source d'une onde sphérique secondaire* qui contribuera à l'onde transmise. Il y a *continuité de la phase* de l'onde *à la traversée de chaque point* de l'ouverture étendue.
_*ATTENTION* ; L'animation proposée ici illustre schématiquement le principe que tu reconstruis l'onde diffractée en faisant l'intégrale des contributions de l'infinité des sources sphériques secondaires. Mais la figure de diffraction finale obtenue est fausse, car seules quelques ondes sphériques ont été prises en compte dans l'image finale. Seul le calcul de l'amplitude puis de l'intensité résultantes en chaque point te permettra de connaitre l'onde transmise.*[Contribution pour une animation schématique plus réaliste bienvenue]*_
! *REMARQUE :*
!
! Ainsi, l'étude du *phénomène de diffraction* se ramène à l'étude des *interférences créés par une infinité d'ondes élémentaires*, issues des sources secondaires uniformémenr réparties sur les pupilles.
!
---
<!-- pour le site, sera en .gif
 -->
#### Description mathématiques du phénomène de diffraction à travers une ouverture rectangulaire.
Je me limite au cas d'une ouverture rectangulaire, éclairée sous incidence normale
par une onde plane monochormatique de longueur d'onde $`\lambda`$.
! *IMPORTANT :*
!
! La *longueur d'onde $`\lambda`$*, caractérisant la période spatiale de l'onde, n'est *pas une grandeur fondamentale* de l'onde. Seules le grandeurs temporelles de l'onde comme la période temporelle $`T`$, sa fréquence (temporelle) $`\nu`$ ou sa pulsation $`\omega`$ sont des fréquences fondamentales car indépendantes du mileu de propagation de l'onde. À fréquence $`\nu`$ donnée, la longueur d'onde $`\lambda`$ *dépend de la vitesse de propagation* de l'onde $`v`$ selon la relation $`\lambda=v/\nu`$. Dans le cas de la lumière et plus généralement d'une onde électomagnétique, la *longueur d'onde considérée sera toujours la longueur d'onde dans le vide*.
!
Pour étudier le phénomène de diffraction, je choisis le **repère cartésien
$`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$** tel que :
* l'**origine $`O`$** soit prise *au centre de la pupille* rectangulaire.
* l'**onde plane incidente** se propage en *direction et sens du vecteur $`\overrightarrow{e_z}`$`*.
* les **côtés de la ouverture** rectangulaire sont dirigés *selon les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y}`$*.
Les **dimensions de l'ouverture'** rectangulaire est *$`x_0`$ selon $`Ox`$* et *$`y_0`$ selon $`Oy`$*.
Les sources secondaires émettant les ondes sphériques sont distribuées uniformément
sur toute la surface de la pupille.
D'une manière générale, le calcul de l'intensité diffractée en un point $`M(x,y,z)`$ de l'espace repéré par le vecteur $`\overrightarrow{OM} =\overrightarrow{r} = r\cdot\overrightarrow{u}`$ situé dans le demi-espace $`(z>0)`$ se conduit en évaluant :
* la différence $`\Delta s`$ entre la distance $`PM`$ (distance de la source secondaire de surface élémentaire $`dS`$ située au point $`P`$ et le point $`M`$ et la distance $`OM`$ :<br>
**$`\Delta s=PM-OM`$**
* la différence de chemin optique $`\delta`$ corespondante :<br>
**$`\delta=n\cdot\Delta s`$**<br>
où $`n`$ est l'indice de réfraction caractérisant le milieu de propagation. Pour l'air et le vide, $`n=1`$`.
* la différence de phase au point $`M`$ entre l'onde émise par la source secondaire en $`P`$ et celle émise par source secondaire située à l'origine $`O`$, prise comme référence des phases :<br>
**$`\phi=\dfrac{2\pi\delta}{\lambda}`$**
La contribution $`\underline{dA}`$ (à un coefficient de proportionnalité près) d'une surface
élémentaire $`dS`$ de la pupille $`\mathscr{P}`$ l'amplitude complexe totale au point M
s'écrit :
* **$`\underline{dA}=e^{i\,\phi} dS`$**
L'amplitude complexe totale et l'intensité de l'onde diffractée se déduisent alors simplement
!! Ce résultat se généralise au cas où l'ouverture, appelée aussi *pupille*, introduit en chacun de ses points une différence de phase et une absoprtion variables, caractérisées par une fonction de *transmittance complexe $`t(x,y)`$ appelée fonction pupillaire*.
!!
!! L'*amplitude complexe diffractée* s'écrit alors :<br>
!! Je reconnais ici la *transformée de Fourier de la fonction pupillaire*.
!!
!! Ce résultat est repris et développé dans ce qui constitue l'*Optique de Fourier*. L'optique de Fourier est un *outil puissant* pour la compréhension et la maîtrise entre autre du *filtrage optique* et de l'*holographie*.
!!
!! L'holographie permet l'enregistrement 2D et la reconstruction 3D d'ondes optiques. Elle permet de reconstituer une scène en vrai relief, contrairement aux diverses techniques de cinéma 3D actuelles. En vraie 3D, l'angle de vision sous lequel un spectateur observe l'image 3D reconstituée d'un objet change lorsque le spectateur se déplace.
!!
##### Calcul 2D de l'intensité diffractée et de la figure de diffraction
Je calcule d'abord l'intensité diffracté dans le cas 2D, où l'onde incidente se propage
en direction et sens du vecteur $`\overrightarrow{e_z}`$ et où la pupille centrée en $`O`$ et de dimension $`x_0`$ est parallèle au vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$
J'utilise la lentille de distance focale image $`f'`$ dans les conditions de Gauss.
Je choisis un repère de l'espace $`(S, \overrightarrow{e_X}, \overrightarrow{e_Z})`$ tel que
* $`\overrightarrow{e_X}= \overrightarrow{e_x}\quad`$ et $`\quad\overrightarrow{e_Z}= \overrightarrow{e_z}`$
* Les points $`O`$ et $`S`$ sont alignés sur l'axe $`Oz`$
La lentille est centré en $`S`$ et l'axe $`Oz`$ est son axe optique.
Les lois de l'optique des rayons dans l'approximation paraxiale (optique gaussienne) me disent
que l'onde diffractée observée à l'infini dans la direction donnée par l'angle $`\theta`$ convergera
en un point se coordonnée $`X=f'\cdot \theta`$.
! *RAPPEL :*
!
! L'expression géométrique exacte est $`X=f'\cdot tan \,\theta`$, mais dans les conditions de l'optique paraxiale (conditions de Gauss), l'angle $`\theta`$ reste petit, et les approximations utilisées en optique paraxiale <br>
! $`\quad\theta\;\simeq\;sin\,\theta\;\simeq\;tan\,\theta\quad`$ lorsque $`\theta`$ est exprimé en radians, <br>
! sont alors valables.
!
L'intensité observée au point de coordonnée $`X`$ est l'intensité diffractée à l'infini
(à un facteur près) par la pupille dans la direction $`\theta`$ , et son expression est
##### Propriétés et représentation des fonctions $`sinc`$ et $`sinc^2`$
! *IMPORTANT :*
!
! La *fonction sinus cardinale *$`sinc\;\phi = \dfrac{sin\;\phi }{\phi }`$* et *son carré $`sinc^2`$* sont deux *fonctions fondamentales* qui interviennent *dans de nombreux phénomènes ondulatoires* en physique.
!
* Ces fonctions $`sinc \;\phi`$ et $`sinc^2\;\phi `$ présentent chacune un **maximum principal unique** lorsque lorsque leurs dénominateurs s'annulent, à l'*origine des phase $`\phi=0`$*. La valeur de ce maximum unique est l'unité :<br>
$`sinc\;0\;=\;1\quad`$ et $`\quad sinc^2 \;0 \;= \;1`$
* Ces fonctions $`sinc \;\phi`$ et $`sinc^2\;\phi `$ **s'annulent** lorsque *$`\phi=0 \Longleftrightarrow \phi=k\;\pi`$*.
* La valeur des pics secondaires de la fonction $`sinc^2`$ décroissent très rapidement avec la valeur entière de k.
##### Calcul 3D de l'intensité diffractée et de la figure de diffraction
L'intensité diffracté dans le cas 3D s'obtient très facilement si le calcul 2D est fait.
L''onde incidente se propage en direction et sens du vecteur $`\overrightarrow{e_z}`$.
La pupille est centrée en $`O`$ et de dimensions $`x_0`$ selon le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$
et $`y_0`$ selon le vecteur $`\overrightarrow{e_y}`$
* Un **maximum central unique**, rectangulaire et *allongé* dans la *direction où la fente a sa plus petite dimension*. ce maximum est *très intense* car il est le produit des maxima
principaux selon les directions $`X`$ et $`Y`$.
* **Sur chacun des axes $`SX`$ et $`SY`$** j'observe une *série de maxima secondaires d'intensité*,
équivalente à celle calculée dans le cas 2D. L'intensité de chaque maximum secondaire est le produit
de l'intensité d'un maximum secondaire de l'axe considéré par l'intensité du maximum principal de
l'axe perpendiculaire à celui-ci.
* **Hors des axes $`X`$ et $`Y`$**, il existe des *maxima tertiaires*, mais d'intensités si faibles
qu'ils sont *quasiment invisibles à l'oeil humain*.<br><br>
Le **motif en croix** résultant vient du fait que l'intensité totale est le produit des fonctions
$`sinc^2`$ dans les deux directions $`X`$ et $`Y`$. En dehors des axes $`X`$ et $`Y`$,
les *maxima tertiaire d'intensité* résultent du *produit de deux maxima secondaires* selon chacun des
axes $`X`$ et $`Y`$. Chaque maxima secondaire ayant une intensité déjà faible par rapport à maximum
principal, le produit de deux maxima secondaires devient très faible, et les *maxima tertiaires hors axes*
### Description mathématiques du phénomène de diffraction à travers une ouverture circulaire
L'étude du phénomène de **diffraction par une ouverture circulaire** est *très important* pour deux raisons
complémentaires :
* Les **instruments optiques** comme les *objectifs* des appareils photo, les *microscopes*, les *télescopes*,
* utilisent des éléments optiques simples circulaires (lentilles, miroirs), et plus généralement
* présentent la *symétrie de révolution* et voient leurs *faisceaux de lumière incidente limités par des ouvertures circulaires*.
* le **phénomène de diffraction** *dégrade l'image obtenue* par ces systèmes, par rapport à ce
qui est attendu en ne considérant que la simple optique géométrique.
Ainsi l'**image d'une source située à l'infini** n'est *pas ponctuelle* dans le plan focal
image de l'instrument, mais une **tache, appelée tache d'Airy**, *dont le diamètre dépend de l'instrument*
et de la longueur d'onde de la lumière observée.
#### Diffraction en champ lointain
<!--=============================
C'est le cas le plus intéressant concernant l'étude de la diffraction par une ouverture circulaire. En effet chacun des instruments optiques cités précédemment est souvent utilisé avec un capteur matriciel placé dans son plan focal. C'est dans ce plan qu'est réalisé la tache d'Airy, figure de diffraction en champ lointain de la pupille circulaire instrumentale.
===============================-->
Conduire les **calculs mathématiques** pour une ouverture circulaire sont *semblables à ce qui a été fait*
dans le cas de l'ouverture rectangulaire, mais je rencontrerai *non pas une fonction sinus cardinale* facile
à calculer, *mais* une fonction spéciale appelé *fonction de Bessel de premier ordre* dont les valeurs
sont tabulées et qui donc est moins facile à manipuler.
Ainsi la description mathématique de la figure de diffraction en champ lointain due à une ouverture
circulaire, que je peux observer dans le plan focal image d'une lentille convergente s'exprime
Ainsi exprimée, l'**intensité observée $`I(X,Y)`$** dans le plan focal image décrit
une *tache centrale très brillante* entourée d'*anneaux concentriques d'intensités* bien plus
faibles et *décroissantes* lorsque la distance au centre croît. La tache centrale et
les anneaux sont séparés par une extinction lumineuse. Cette figure de diffraction
en champ lointain de l'ouverture circulaire, **tache d'Airy**, joue un
*rôle fondamentale dans la limite de résolution* des instruments optiques.
#### Propriétés et représentation de la tache d'Airy
Si je dois décrire la tache d'Airy, j'obtiens
* un **maximum principal unique centré sur l'origine**
* un **premier anneau d'extinction** (intensité nulle) de *rayon $`R_0`$*$`=\sqrt{X_0^2+Y_0^2}`$ d'expression<br>
<br>
**$`R_0=1,22\;\dfrac{\lambda\;f'}{D}`$**
* une **succession d'anneaux d'extinction** *séparés par des anneaux moins sombres*. Les rayons normalisés $`R\,/\,(\lambda f'/D)`$ et les intensités relatives correspondantes $`I(R)\,/\,I_0`$ des 6 premiers maxima et minima sont <br>
La dépendance du rayon $`R_0=1,22\;\dfrac{\lambda\;f'}{D}`$ en fonction de la longueur
d'onde $`\lambda`$ et de l'inverse du diamètre $`1\,/\;D`$ implique deux faits importants :
* La *dépendance en $`1\,/\;D`$* implique que **plus grand est la diamètre** d'ouverture d'un système optique, **meilleure est la résolution** de l'image qu'il rend.<br>
<br>
!! *POUR ALLER PLUS LOIN :*
!!
!! Ainsi * en astronomie, augmenter le diamètre d'un télescope*, certes, *augmente la puissance lumineuse interceptée* par celui-ci et donc la *sensibilité* du télescope, son aptitude à observer des objects moins lumineux ou plus lointains dans l'univers. Mais et surtout cela *augmente la résolution des images* des objets observés, et permet de discerner de nouveaux détails sur les surfaces des corps astronomiques observés, ou encore de séparer des sources angulairement très proches (voir critère de Rayleight).
!!
!! En *microscopie optique*, lors de la conception d'un microscpe *le grossissement prévu* par l'optique paraxiale des rayons (suite à la sélection d'un objectif et d'un oculaire) *ne doit pas être dégradé* et donc limité par le *phénomène de diffraction*.
!!
* La *dépendance en $`\lambda`$* implique que lorsque l'ouverture reçoit une onde incidente
polychromatique, chaque $`\lambda`$ produit sa propre tache d'Airy. Le **maximum central**
est **commun** à chaque longueur d'onde (et *apparait blanc* si l'onde polychromatique
est perçue blanche par l'oeil humain), mais un **phénomène d'irisation** est observé au
