!!!! <summary> Cours en construction, non validé à ce stade </summary>
!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.
!!!! Ce cours est en phase très préliminaire, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
!!!! </details>
## Réflexion et transmission à l'interface entre deux milieux LHI
<!--MétaDonnée : ... -->
##### Randonnée montagne : _physique_
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### Réflexion et transmission à l'interface entre deux milieux LHI
Dans ce chapitre, nous allons démontrer dans un premier temps les relations de passage des champs électriques et magnétiques au travers d'une interface (notée $`\mathcal{P}`$) séparant deux milieux Linéaires Homogènes et Isotropes (LHI) dont les propriétés telles que la permittivité et la perméabilité sont différentes. Dans le milieu $`1`$, il y règne un champ électromagnétique ($`\vec{E}_1`$, $`\vec{B}_1`$) et potentiellement des vecteurs $`\vec{D}_1`$, $`\vec{H}_1`$. De même dans le milieu $`2`$, on y trouve un champ électromagnétique ($`\vec{E}_2`$, $`\vec{B}_2`$) et potentiellement des vecteurs $`\vec{D}_2`$, $`\vec{H}_2`$. Après l'obtention des relations de continuité, autrement dit les conditions aux limites à l'interface, nous étudierons certains cas typiques de propagation.
Dans ce chapitre, nous allons démontrer dans un premier temps les relations de passage des champs électriques et magnétiques au travers d'une interface (notée $`\mathcal{P}`$) séparant deux milieux Linéaires Homogènes et Isotropes (LHI) dont les propriétés telles que la permittivité et la perméabilité sont différentes. Dans le milieu $`1`$, il y règne un champ électromagnétique ($`\vec{E}_1`$, $`\vec{B}_1`$) et potentiellement des vecteurs $`\vec{D}_1`$, $`\vec{H}_1`$. De même dans le milieu $`2`$, on y trouve un champ électromagnétique ($`\vec{E}_2`$, $`\vec{B}_2`$) et potentiellement des vecteurs $`\vec{D}_2`$, $`\vec{H}_2`$. Après l'obtention des relations de continuité, autrement dit les conditions aux limites à l'interface, nous étudierons certains cas typiques de propagation.
### Relations de continuité
#### Relations de continuité
Afin de déterminer le caractère continue ou pas, des vecteurs $`\vec{E}`$, $`\vec{B}`$, $`\vec{D}`$ et $`\vec{H}`$ au passage de l'interface entre deux milieux LHI aux propriétés différentes, nous allons nous intéresser en premier lieu aux composantes normales de ces champs puis aux composantes tangentielles, en revenant encore une fois aux équations de Maxwell sous forme intégrale.
Afin de déterminer le caractère continue ou pas, des vecteurs $`\vec{E}`$, $`\vec{B}`$, $`\vec{D}`$ et $`\vec{H}`$ au passage de l'interface entre deux milieux LHI aux propriétés différentes, nous allons nous intéresser en premier lieu aux composantes normales de ces champs puis aux composantes tangentielles, en revenant encore une fois aux équations de Maxwell sous forme intégrale.
#### Composante normale
##### Composante normale
Afin de dériver, les relations de continuité des composantes normales de $`\vec{B}`$ et $`\vec{D}`$ au travers de l'interface $`(\mathcal{P})`$, il est nécessaire d'étudier le voisinage d'un point $`M`$ appartenant à $`\mathcal{P}`$. Avec un point $`M_1`$ du milieu $`1`$, infiniment proche de $`M`$ et un autre point $`M_2`$ dans le milieu $`2`$, infiniment proche de $`M`$, il est possible de définir un élément infinitésimal de volume $`V`$ de forme cylindrique (cf. \ref{fig:comp_norm}), grâce à l'élément infinitésimal de surface $`d S`$ autour de $`M`$. Ecrivons les équations de Maxwell sous forme intégrales, avec pour volume d'intégration le cylindre $`V`$ de hauteur $`d h`$, et un élément de volume infinitésimal $`d\tau=d h \times d S`$.
Afin de dériver, les relations de continuité des composantes normales de $`\vec{B}`$ et $`\vec{D}`$ au travers de l'interface $`(\mathcal{P})`$, il est nécessaire d'étudier le voisinage d'un point $`M`$ appartenant à $`\mathcal{P}`$. Avec un point $`M_1`$ du milieu $`1`$, infiniment proche de $`M`$ et un autre point $`M_2`$ dans le milieu $`2`$, infiniment proche de $`M`$, il est possible de définir un élément infinitésimal de volume $`V`$ de forme cylindrique (cf. \ref{fig:comp_norm}), grâce à l'élément infinitésimal de surface $`d S`$ autour de $`M`$. Ecrivons les équations de Maxwell sous forme intégrales, avec pour volume d'intégration le cylindre $`V`$ de hauteur $`d h`$, et un élément de volume infinitésimal $`d\tau=d h \times d S`$.
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@@ -113,7 +124,7 @@ La **composante normale du vecteur d'induction électrique $`\vec{D}`$ est disco
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@@ -113,7 +124,7 @@ La **composante normale du vecteur d'induction électrique $`\vec{D}`$ est disco
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### composante tangentielle
#### composante tangentielle
_Définition géométrique de l'interface $`(\mathcal{P})`$ et surface d'intégration $`S`$ utilisée pour calculer la circulation des vecteurs $`\vec{E}`$ et $`\vec{H}`$._
_Définition géométrique de l'interface $`(\mathcal{P})`$ et surface d'intégration $`S`$ utilisée pour calculer la circulation des vecteurs $`\vec{E}`$ et $`\vec{H}`$._
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@@ -232,14 +243,14 @@ La **composante tangentielle du vecteur excitation magnétique $`\vec{H}`$ est d
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@@ -232,14 +243,14 @@ La **composante tangentielle du vecteur excitation magnétique $`\vec{H}`$ est d
!! * l'intensité des courants d'unité SI $`A`$ dans les circuits électriques, donc le champ d'excitation magnétique $`H`$ d'unité SI $`A.m^{-1}`$
!! * l'intensité des courants d'unité SI $`A`$ dans les circuits électriques, donc le champ d'excitation magnétique $`H`$ d'unité SI $`A.m^{-1}`$
### Application à la réflexion métallique sous incidence normale
#### Application à la réflexion métallique sous incidence normale
Nous allons traiter, dans la suite, un premier exemple d'applications des relations de continuité à l'interface entre l'air (indice optique $`n=1`$) et un conducteur supposé parfait. Afin de simplifier le problème dans un premier temps, le calcul sera fait sous incidence normale.
Nous allons traiter, dans la suite, un premier exemple d'applications des relations de continuité à l'interface entre l'air (indice optique $`n=1`$) et un conducteur supposé parfait. Afin de simplifier le problème dans un premier temps, le calcul sera fait sous incidence normale.
_Définition géométrique de l'interface diélectrique-métal avec une onde incidente normale._
_Définition géométrique de l'interface diélectrique-métal avec une onde incidente normale._
#### Cas idéal
##### Cas idéal
**À l'interface entre deux milieux**, une *onde incidente ($`\vec{E_i}`$)* se décompose en générale en une *onde réfléchie ($`\vec{E_r}`$)* et une *onde transmise ($`\overrightarrow{E_t}`$)* encore appelée *onde réfractée*.
**À l'interface entre deux milieux**, une *onde incidente ($`\vec{E_i}`$)* se décompose en générale en une *onde réfléchie ($`\vec{E_r}`$)* et une *onde transmise ($`\overrightarrow{E_t}`$)* encore appelée *onde réfractée*.
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@@ -261,7 +272,7 @@ Choisissons une **onde incidente du type OPPM** *polarisée rectilignement suiva
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@@ -261,7 +272,7 @@ Choisissons une **onde incidente du type OPPM** *polarisée rectilignement suiva
avec $`\vec{E}_r^0`$, $`k'`$ et $`\omega'`$ des grandeurs inconnues.
avec $`\vec{E}_r^0`$, $`k'`$ et $`\omega'`$ des grandeurs inconnues.
#### Utilisation des relations de continuité à l'interface
##### Utilisation des relations de continuité à l'interface
**A l'interface**, c'est à dire en $`z=0`$ et à tout instant $`t`$, comme $`\vec{E_i}^0=E_i^0~\vec{u}_x`$ et $` \vec{E_r}^0`$ sont des vecteurs constants, nous devons avoir l'*égalité des phases* de ces deux ondes :
**A l'interface**, c'est à dire en $`z=0`$ et à tout instant $`t`$, comme $`\vec{E_i}^0=E_i^0~\vec{u}_x`$ et $` \vec{E_r}^0`$ sont des vecteurs constants, nous devons avoir l'*égalité des phases* de ces deux ondes :
Afin de préciser le *bilan énergétique*, il est nécessaire de calculer le **vecteur de Poynting total** réel grâce à $`\displaystyle\vec{\Pi}_{\textrm{tot}}=\frac{\vec{E}_{\textrm{tot}}\wedge\vec{B}_{\textrm{tot}}}{\mu_0}`$. Il vient facilement:
Afin de préciser le *bilan énergétique*, il est nécessaire de calculer le **vecteur de Poynting total** réel grâce à $`\displaystyle\vec{\Pi}_{\textrm{tot}}=\frac{\vec{E}_{\textrm{tot}}\wedge\vec{B}_{\textrm{tot}}}{\mu_0}`$. Il vient facilement:
La **valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting**, calculée sur une période temporelle (équivalent à la moyenne temporelle déterminée sur une durée très grande devant la période temporelle) est **nulle**. Nous retrouvons bien une *caractéristique de l'onde stationnaire* du champ électromagnétique total.
La **valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting**, calculée sur une période temporelle (équivalent à la moyenne temporelle déterminée sur une durée très grande devant la période temporelle) est **nulle**. Nous retrouvons bien une *caractéristique de l'onde stationnaire* du champ électromagnétique total.
### Application à la réflexion et à la transmission entre deux diélectriques sous incidence quelconque
#### Application à la réflexion et à la transmission entre deux diélectriques sous incidence quelconque
Dans cette section, nous allons nous intéresser à la propagation d'une onde se propageant dans un **milieu LHI diélectrique incident ($`1`$)** dont les constantes diélectriques et magnétiques sont *$`\epsilon_1,\mu_1`$*, et rencontrant sous incidence oblique un **milieu LHI diélectrique ($`2`$)** dont les constantes diélectriques et magnétiques sont *$`\epsilon_2,\mu_2`$*.
Dans cette section, nous allons nous intéresser à la propagation d'une onde se propageant dans un **milieu LHI diélectrique incident ($`1`$)** dont les constantes diélectriques et magnétiques sont *$`\epsilon_1,\mu_1`$*, et rencontrant sous incidence oblique un **milieu LHI diélectrique ($`2`$)** dont les constantes diélectriques et magnétiques sont *$`\epsilon_2,\mu_2`$*.
Les deux **milieux** seront considérés comme **neutres**, il n'y a donc *pas de charges ni de courants* associés.
Les deux **milieux** seront considérés comme **neutres**, il n'y a donc *pas de charges ni de courants* associés.
#### Présentation du problème
##### Présentation du problème
A partir d'une **onde incidente** de *vecteur d'onde $`\vec{k}_{inc}`$* dont la source est suffisamment éloignée pour ne pas avoir d'effets dans le voisinage de l'interface, un phénomène de réflexion et de réfraction donne naissance à deux ondes. L'**onde réfléchie** dans le milieu $`1`$ possède un *vecteur d'onde $`\vec{k}_{ref}`$*, et l'**onde transmise** dans le milieu $`2`$ et possède un *vecteur d'onde $`\vec{k}_t{trans}`$*. _À priori_ ces vecteurs peuvent posséder des composantes sur
A partir d'une **onde incidente** de *vecteur d'onde $`\vec{k}_{inc}`$* dont la source est suffisamment éloignée pour ne pas avoir d'effets dans le voisinage de l'interface, un phénomène de réflexion et de réfraction donne naissance à deux ondes. L'**onde réfléchie** dans le milieu $`1`$ possède un *vecteur d'onde $`\vec{k}_{ref}`$*, et l'**onde transmise** dans le milieu $`2`$ et possède un *vecteur d'onde $`\vec{k}_t{trans}`$*. _À priori_ ces vecteurs peuvent posséder des composantes sur
chacun des axes $`(Ox)`$, $`(Oy)`$ et $`(Oz)`$ soit`:
chacun des axes $`(Ox)`$, $`(Oy)`$ et $`(Oz)`$ soit`:
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@@ -357,7 +368,7 @@ où *$` \omega_{ref}`$* et *$`\omega_{trans}`$* sont les *pulsations des ondes
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@@ -357,7 +368,7 @@ où *$` \omega_{ref}`$* et *$`\omega_{trans}`$* sont les *pulsations des ondes
De plus, on peut décomposer chacun de ces vecteurs en une composante normale (suivant $`(Oz)`$) et une composante tangentielle (suivant $`(Ox)`$ et $`(Oy)`$), ainsi pour le vecteur incident par exemple, on a $`\underline{\vec{E}}_{\,inc}= \underline{\vec{E}}_{\,inc\,N} + \underline{\vec{E}}_{\,inc\,T}`$. Evidemment, les caractéristiques des ondes réfléchie et transmise vont être déterminées grâce aux relations de continuité à l'interface (en $`z=0`$).
De plus, on peut décomposer chacun de ces vecteurs en une composante normale (suivant $`(Oz)`$) et une composante tangentielle (suivant $`(Ox)`$ et $`(Oy)`$), ainsi pour le vecteur incident par exemple, on a $`\underline{\vec{E}}_{\,inc}= \underline{\vec{E}}_{\,inc\,N} + \underline{\vec{E}}_{\,inc\,T}`$. Evidemment, les caractéristiques des ondes réfléchie et transmise vont être déterminées grâce aux relations de continuité à l'interface (en $`z=0`$).
#### Relations de continuité propres à cette interface
##### Relations de continuité propres à cette interface
**A l'interface**, donc à la limite $z=0$, *pour tout $`x`$, $`y`$, et $`z`$*, on a:
**A l'interface**, donc à la limite $z=0$, *pour tout $`x`$, $`y`$, et $`z`$*, on a:
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@@ -369,7 +380,7 @@ De plus comme il n'y a **pas de charges libres** et donc **pas de courants** ass
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@@ -369,7 +380,7 @@ De plus comme il n'y a **pas de charges libres** et donc **pas de courants** ass
* la **continuité de la composante normale de $`\vec{D}`$**
* la **continuité de la composante normale de $`\vec{D}`$**
* la **continuité de la composante tangentielle de $`\vec{H}`$**
* la **continuité de la composante tangentielle de $`\vec{H}`$**
#### Lois de la réflexion et de la réfraction de l'optique des rayons (optique géométrique)
##### Lois de la réflexion et de la réfraction de l'optique des rayons (optique géométrique)
Étudions la **continuité de la composante tangentielle de $`\vec{E}`$ en un point $`M`$ de l'interface $`\mathcal{P}`$**. En posant *$`\vec{OM}=\vec{r}_S=x~\vec{u}_x+ y~\vec{u}_y`$*, la continuité s'écrit :
Étudions la **continuité de la composante tangentielle de $`\vec{E}`$ en un point $`M`$ de l'interface $`\mathcal{P}`$**. En posant *$`\vec{OM}=\vec{r}_S=x~\vec{u}_x+ y~\vec{u}_y`$*, la continuité s'écrit :
Maintenant que l'on dispose des relations liant les vecteurs d'onde, on peut s'intéresser aux relations liant les amplitudes.
Maintenant que l'on dispose des relations liant les vecteurs d'onde, on peut s'intéresser aux relations liant les amplitudes.
#### Expressions des champs réfléchis et transmis: Relations de Fresnel
##### Expressions des champs réfléchis et transmis: Relations de Fresnel
Nous devons séparer deux cas dans la suite: si le champ électrique est polarisé dans la direction perpendiculaire au plan d'incidence, on aura le mode Transverse Electrique (TE). Si le champ électrique est polarisé dans une direction appartenant au plan d'incidence, c'est à dire si le champ magnétique est transverse, alors on sera dans le mode Transverse Magnétique (TM). De plus, avec les conditions obtenues précédemment, et la nature isotrope des milieux, une onde incidente TE donnera naissance à une onde réfléchie TE et une onde transmise TE. De même pour une onde incidente TM.
Nous devons séparer deux cas dans la suite: si le champ électrique est polarisé dans la direction perpendiculaire au plan d'incidence, on aura le mode Transverse Electrique (TE). Si le champ électrique est polarisé dans une direction appartenant au plan d'incidence, c'est à dire si le champ magnétique est transverse, alors on sera dans le mode Transverse Magnétique (TM). De plus, avec les conditions obtenues précédemment, et la nature isotrope des milieux, une onde incidente TE donnera naissance à une onde réfléchie TE et une onde transmise TE. De même pour une onde incidente TM.
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@@ -836,7 +847,7 @@ $` `$
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On vérifie bien la conservation de l'énergie, en montrant que $R+T=1$.
On vérifie bien la conservation de l'énergie, en montrant que $R+T=1$.
### Application à la réflexion métallique sous incidence quelconque
#### Application à la réflexion métallique sous incidence quelconque
Nous allons étudier la réflexion oblique d'une onde polarisée rectilignement sur une interface diélectrique (air) conducteur parfait. Le milieu diélectrique aura un indice optique $n$. Ces calculs serviront de base pour le chapitre suivant, puisque nous retrouverons ces configurations dans le cas des guides d'onde métalliques rectangulaires.
Nous allons étudier la réflexion oblique d'une onde polarisée rectilignement sur une interface diélectrique (air) conducteur parfait. Le milieu diélectrique aura un indice optique $n$. Ces calculs serviront de base pour le chapitre suivant, puisque nous retrouverons ces configurations dans le cas des guides d'onde métalliques rectangulaires.
Encore une fois nous traiterons deux cas: lorsque le champ électrique sera perpendiculaire au plan d'incidence (Mode TE), ou bien le champ magnétique perpendiculaire au plan d'incidence (Mode TM).
Encore une fois nous traiterons deux cas: lorsque le champ électrique sera perpendiculaire au plan d'incidence (Mode TE), ou bien le champ magnétique perpendiculaire au plan d'incidence (Mode TM).
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@@ -1062,7 +1073,7 @@ La puissance active se propage donc suivant la direction de propagation de l'ond
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@@ -1062,7 +1073,7 @@ La puissance active se propage donc suivant la direction de propagation de l'ond
\underline{Remarque}:\\
\underline{Remarque}:\\
Elle est nulle en $y=0$.
Elle est nulle en $y=0$.
#### Mode TM
##### Mode TM
Le champ électrique est maintenant contenu dans le plan d'incidence, c'est le champ magnétique qui se trouve être perpendiculaire au plan d'incidence, cf Fig.~(\ref{fig:metobl-TM}).
Le champ électrique est maintenant contenu dans le plan d'incidence, c'est le champ magnétique qui se trouve être perpendiculaire au plan d'incidence, cf Fig.~(\ref{fig:metobl-TM}).
