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Update 12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/40.gauss-theorem-applications/10.gauss-integral-method/10.main/textbook.fr.md

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@@ -104,80 +104,111 @@ Si le théorème de Gauss est vrai quelque-soit la surface fermée considérée,
 
 C'est l'**expression du champ électrique** déduite par l'étude des symétries et invariances qui *permet de déterminer la surface de Gauss* adaptée.
 
+<!--------------------------
 Supposons que *dans un repère de l'espace
 $`(O, \overrightarrow{e_{\alpha}},\overrightarrow{e_{\beta}},\overrightarrow{e_{\gamma}})`$*, les symétries et invariances nous indiquent que le champ électrique est de la forme    **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\beta}\,(\beta)\,\overrightarrow{e_{\beta}}}`$**.
+--------------------------->
 
 Le calcul du flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers la surface fermée de Gauss $`\mathcal{S}_fi`$ nécessite de calculer en chacun de ses éléments de surface $`dS`$ constitutifs le produit scalaire $`\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$.
 
-Une **surface de Gauss adaptée** sera donc une surface de Gauss dont *les éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$ vérifient* :
+Une **surface de Gauss adaptée** sera donc une surface de Gauss qui **vérifie 3 conditions** :
 
-* *$`\mathbf{\overrightarrow{dS}\parallel\overrightarrow{E}}`$*, car alors le produit scalaire se résumera au simple produit des composantes selon $`\beta`$ de chacun de ces vecteurs.    
+* *les éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$ vérifient* :   
+<br>
+* **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}\parallel\overrightarrow{E}}`$**, car alors le produit scalaire se résumera au simple produit des composantes selon $`\beta`$ de chacun de ces vecteurs.    
 Si  $`\overrightarrow{E}=E_{\beta}(\beta)\;\overrightarrow{e_{\beta}}`$ renoté $`\overrightarrow{E}=E\;\overrightarrow{e_{\beta}}`$ et si $`\overrightarrow{dS}=dS\;\overrightarrow{e_{\beta}}`$, alors :   
-**$`\mathbf{\overrightarrow{dS}\parallel \overrightarrow{E} \Longrightarrow\overrightarrow{dS}\cdot \overrightarrow{E}} `$**
+*$`\mathbf{\overrightarrow{dS}\parallel \overrightarrow{E} \Longrightarrow\overrightarrow{dS}\cdot \overrightarrow{E}} `$*
 $`= \left(dS\;\overrightarrow{e_{\beta}}\right)\cdot \left( E\;\overrightarrow{e_{\beta}}\right)`$   
 $`\hspace{4.5cm}=  E\;dS \times ( \underbrace{\overrightarrow{e_{\beta}}\cdot \overrightarrow{e_{\beta}}}_{=\;1})`$
-**$`\hspace{4.5cm}\mathbf{=  E\; dS}`$**
-
-
-* *$`\mathbf{\overrightarrow{dS}\perp\overrightarrow{E}}`$*, car alors le produit scalaire est nul :   
-**$`\mathbf{\overrightarrow{dS}\perp\overrightarrow{E}\Longrightarrow\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=0}`$**.
+*$`\hspace{4.5cm}\mathbf{=  E\; dS}`$*   
+<br>
+* **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}\perp\overrightarrow{E}}`$**, car alors le produit scalaire est nul :   
+*$`\mathbf{\overrightarrow{dS}\perp\overrightarrow{E}\Longrightarrow\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=0}`$*.      
+! *Note* : l'ensemble des surfaces élémentaires $`\overrightarrow{dS}`$ de la surface de Gauss
+! $`S_G}`$ ne doivent pas vérifier $`\overrightarrow{dl}\perp\overrightarrow{B}`$, sinon tu aurais 
+! $`\displaystyle\oiint_{S_G} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=0`$ et 
+! le théorème de Gauss se limiterait au résultat $`0=0`$, résultat vrai mais qui n'aiderait pas au calcul
+! du champ électrique.
+
+* **En chaque point $`P`$** de la surface de Gauss
+**où $`\overrightarrow{dS}\parallel\overrightarrow{E}`$**, la **composante de
+$`\overrightarrow{E}`$ selon $`\overrightarrow{dS}`$** a une même valeur unique, une **valeur constante , ou une valeur nulle**.   
+<br>
+En effet, le *théorème de Gauss+ est une *équation unique*, qui ne doit donc 
+contenir qu'*une seule inconnue*, la valeur constante non nulle de la composante de
+$`\overrightarrow{E}`$ selon $`\overrightarrow{dS}`$ lorsque $`\overrightarrow{dS}\parallel\overrightarrow{E}`$.   
+! *Note* :    
+! Cette remarque est indispensable pour le calcul de $`\overrightarrow{E}`$
+! créé par un plan infini chargé uniformément.  
+!
+! Il faudra alors considérer un élément de symétrie supplémentaire par rapport à 
+! l'étude d'une distribution de charge à symétrie cylindrique ou sphérique.
+<br>
+!!! *Contre-exemple* :   
+!!! 
+!!! Supposons que dans un repère de l'espace
+!!! $`(O, \overrightarrow{e_{\alpha}},\overrightarrow{e_{\beta}},\overrightarrow{e_{\gamma}})`$,
+!!! les symétries et invariances nous indiquent que le champ électrique est de la forme 
+!!! $`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\beta}\,(\beta)\overrightarrow{e_{\beta}}`$   
+!!! 
+!!! Utilisons le théorème de Gauss pour déterminer le champ en un point $`M`$ quelconque de 
+!!! coordonnées $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$
+!!! avec l'indice $`M`$ ici précisé pour la démonstration. La surface de Gauss doit 
+!!! nécessairement contenir le point $`M`$, 
+!!! donc l'une de ses surfaces élémentaires doit avoir pour coordonnées
+!!!  $`\overrightarrow{dS}=\overrightarrow{dS}(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.
+!!!
+!!! Choisissons une surface de Gauss dont en chacun de ses points de coordonnées
+!!!  $`(\alpha, \beta, \gamma)`$    
+!!! les surfaces élémentaires $`\overrightarrow{dS}=\overrightarrow{dS}(\alpha, \beta, \gamma)`$ qui vérifient 
+!!! $`\overrightarrow{dS}\parallel\overrightarrow{E}`$ 
+!!! se classent en deux catégories :       
+!!!   * $`\overrightarrow{dS}=\overrightarrow{dS}(\alpha, \beta_M, \gamma)`$ avec $`\beta_M`$ coordonnée $`\beta`$ 
+!!! du point $`M`$.
+!!!   * $`\overrightarrow{dS}=\overrightarrow{dS}(\alpha, \beta_0, \gamma)`$ avec $`\beta_0\ne\beta_M`$.
+!!!
+!!! Les flux élémentaires $`\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$ en chaque point de la surface
+!!! de Gauss se classeront aussi en deux catégories, à savoir :   
+!!! * $`\overrightarrow{E}(\alpha, \beta_M, \gamma)\cdot\overrightarrow{dS}(\alpha, \beta_M, \gamma)`$.
+!!! * $`\overrightarrow{E}(\alpha, \beta_0, \gamma)\cdot\overrightarrow{dS}(\alpha, \beta_0, \gamma)`$.
+!!!
+!!! Le champ électrique étant inconnu (c'est l'objectif du théorème de Gauss de le calculer), deux inconnues de 
+!!! champ apparaîtraient dans le calcul du flux de 
+!!! $`\overrightarrow{E}`$ à travers la surface de Gauss $`S_G`$ :
+!!! * inconnue 1 : $`E_{\beta}(\beta_M)`$.
+!!! * inconnue 2 : $`E_{\beta}(\beta_0)`$.   
+!!!
+!!! Au final, l'équation unique composant le théorème de Gauss ne permettrait pas alors de calculer 
+!!! $`\overrightarrow{E}`$.
 
 !!!! *Attention* :   
 !!!! *Ne pas confondre composante et amplitude* de $`\overrightarrow{E}`$.   
 !!!! *Faire attention aux signes*.
 !!!! 
-!!!! Lorsque nous écrivons d'un vecteur $`\overrightarrow{U}=U\;\overrightarrow{e_U}`$ , avec $`\overrightarrow{e_U}=\dfrac{\overrightarrow{U}}{\lVert \overrightarrow{U} \rVert}`$,    
+!!!! Lorsque nous écrivons d'un vecteur $`\overrightarrow{U}=U\;\overrightarrow{e_U}`$ , 
+!!!! avec $`\overrightarrow{e_U}=\dfrac{\overrightarrow{U}}{\lVert \overrightarrow{U} \rVert}`$,    
 !!!! $`U`$ est ici la composante de $`\overrightarrow{U}`$.   
 !!!!    * la *composante $`U`$* peut être *positive ou négative*.
 !!!!    * l'*amplitude ou norme $`\lVert \overrightarrow{U} \rVert`$* est *toujours positive*.
 !!!!
-!!!! L'étude des *symétries et invariances* d'une distribution de charge ne donne que la direction, mais elle *n'indique pas le sens* de $`\overrightarrow{E}`$,. 
+!!!! L'étude des *symétries et invariances* d'une distribution de charge ne donne que la direction, mais elle
+!!!!  *n'indique pas le sens* de $`\overrightarrow{E}`$,. 
 !!!!
 !!!! En physique : *1 direction = 2 sens possibles*
 !!!!
-!!!! Le* sens de  $`\overrightarrow{E}`$* peut être *déduit intuitivement* de l'observation de la distribution de charges. En tout point de l'espace :
+!!!! Le* sens de  $`\overrightarrow{E}`$* peut être *déduit intuitivement* de l'observation de la distribution de
+!!!! charges. En tout point de l'espace :
 !!!!   *  $`\overrightarrow{E}`$ pointe en direction opposé à la direction d'une charge positive.
 !!!!   *  $`\overrightarrow{E}`$ pointe dans la direction d'une charge négative.
 !!!!
-!!!! Le *théorème de Gauss* permet de calculer $`\overrightarrow{E}`$, et par conséquent *détermine aussi le sens* de  $`\overrightarrow{E}`$. Pour cela il faut précisément *respecter les signes* :
-!!!!    * signe $`+`$ ou $`-`$ devant une composante (dont la valeur, déterminée par la suite, pourra elle-même être positive ou négative).
+!!!! Le *théorème de Gauss* permet de calculer $`\overrightarrow{E}`$, et par conséquent *détermine aussi le sens* 
+!!!! de  $`\overrightarrow{E}`$. Pour cela il faut précisément *respecter les signes* :
+!!!!    * signe $`+`$ ou $`-`$ devant une composante (dont la valeur, déterminée par la suite, pourra elle-même 
+!!!! être positive ou négative).
 !!!!    * signes $`+`$ ou $`-`$ des charges dans la distribution.
 !!!!
 !!!! *Les erreurs de signe*, par omission ou par négligence, *sont des erreurs fréquentes*.
 
-Par ailleurs le **théorème de Gauss** est une **équation unique** qui, une fois le produit scalaire $`\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$ réalisé sur chaque $`dS`$, relie la composante $`E=E_{\beta}(\beta)`$ à une charge. Il *ne doit donc y avoir qu'une seule inconnue*,  $`E=E_{\beta}(\beta)`$ dans l'exemple considéré. 
-
-Reprenons l'exemple considéré où le champ électrique s'écrit $`\overrightarrow{E}=E_{\beta}\,(\beta)\,\overrightarrow{e_{\beta}}`$. Utilisons le théorème de Gauss pour déterminer le champ en un point $`M`$ quelconque de coordonnées $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$ avec l'indice $`_M`$ ici précisé pour la démonstration. La surface de Gauss doit nécessairement contenir le point $`M`$, donc l'un de ses éléments de surface doit avoir pour coordonnées $`dS=dS(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$. 
-
-Choisissons une surface fermée de Gauss dont en chacun de ses points de coordonnées $`(\alpha, \beta, \gamma)`$ les éléments de surface $`dS=dS(\alpha, \beta, \gamma)`$ qui vérifient $`\overrightarrow{dS}\parallel\overrightarrow{E}`$ se classent en deux catégories :    
-   * $`dS=dS(\alpha, \beta_M, \gamma)`$ avec $`\beta_M`$ coordonnée $`\beta`$ du point $`M`$.
-   * $`dS=dS(\alpha, \beta_0, \gamma)`$ avec $`\beta_0\ne\beta_M`$.
-
-Les flux élémentaires $`\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$ en chaque point de la surface de Gauss se classeront aussi en deux catégories, à savoir :
-   * $`\overrightarrow{E}(\alpha, \beta_M, \gamma)\cdot\overrightarrow{dS}(\alpha, \beta_M, \gamma)`$.
-   * $`\overrightarrow{E}(\alpha, \beta_0, \gamma)\cdot\overrightarrow{dS}(\alpha, \beta_0, \gamma)`$.
-
-Le champ électrique étant inconnu (c'est l'objectif du théorème de Gauss de le calculer), il apparaîtrait deux inconnues de champ dans le calcul du flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers la surface de Gauss $`\mathcal{S}_G`$ :
-   * inconnue 1 : $`E_{\beta}(\beta_M)`$.
-   * inconnue 2 : $`E_{\beta}(\beta_0)`$.
-
-Au final, l'équation unique composant le théorème de Gauss ne permettrait pas alors de calculer $`\overrightarrow{E}`$.
-
-Le *calcul du champ électrique $`\mathbf{\overrightarrow{E_M}}`$ en un point $`\mathbf{M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)}`$ 
-quelconque* utilise le théorème de Gauss.  
-**Si $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ ne dépend que d'une coordonnée $`\mathbf{\beta}`$**,
-alors *sur les $`\mathbf{dS \text{ tels que }\overrightarrow{dS}\parallel\overrightarrow{E}}`$* 
-de la surface de Gauss le produit scalaire **$`\mathbf{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}`$
-doit pouvoir s'exprimer en fonction de $`\mathbf{E\,(\beta_M)}`$**, *seule inconnue de l'équation de Gauss*.
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-! *Note* :    
-! Cette remarque est indispensable pour le calcul de $`\overrightarrow{E}`$
-! créé par un plan infini chargé uniformément en surface.  
-!
-! Il faudra alors considérer un élément de symétrie supplémentaire par rapport à 
-! l'étude d'une distribution de charge à symétrie cylindrique ou sphérique.
-
-
 
 #### 3° étape : Calcul de la charge dans le volume de Gauss, et calcul de $`\overrightarrow{E}`$