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@@ -201,19 +201,53 @@ Un point culturel "au-delà" à terminer :
 !! * La circonférence d'un cercle de rayon $`R`$ est toujours $`2\pi R`$.
 !! * La somme des angles d'un traingle est toujours 180°.
 !! * Deux droites parallèles ne se coupent jamais.
+!! * Le théorème de Pythagore se vérifie dans tout triangle rectangle, et donc :
 !! * Il existe des coordonnées cartésiennes, dans lesquelles la distance $`L`$ entre 2 points quelconques
 !! $`A=(x_A,y_A)`$ et $`B=(x_B,y_B)`$ s'écrit $`L=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}`$
+!!
 !! Ainsi :<br>
+!! 
+!! Un plan (2D) dans notre espace euclidien (3D) possède la géométrie euclidienne.<br>
+!!
 !! ![](euclidian-variete-plane_v2_L1200.gif)<br>
 !! <br>
-!! blablabla<br>
+!! La surface d'un cylindre infini possède la géométrie euclidienne.<br>
+!! En effet, pense à un être qui n'aurait conscience et ne pourrait se déplacer que sur la surface
+!! d'un cylindre. Cela pourrait être une petite fourmie très intelligente. Si cet être faisait
+!! des mesures d'angles et de distance à la surface de ce cylindre, s'il suivait deux droites
+!! parallèles, il verrait que toute les propriétés de la géométrie euclidienne sont vérifiées.<br>
+!! Il en déduirait qu'il vit dans un espace à deux dimensions (la surface du cylindre) qui possède
+!! la géométrie euclidienne.<br>
+!! <br>
+!! Et en effet, la surface du cylindre s'obtient en simplement enroulant la surface de la feuille de papier,
+!! sans aucune déformation ni déchirure, la géométrie est conservée.
+!!
 !! ![](euclidian-variete-cylinder_L1200.jpg)<br>
 !! <br>
-!! blablabla<br>
+!! De même, un être (la petite fourmie) qui n'aurait pas accès ni conscience aux trois 
+!! dimensions de l'espace, mais qui resterait confiné à la surface d'un plan chiffonné,
+!! en déduirait qu'il vit dans un espace à deux dimensions (la surface de la feuille chiffonnée) qui possède
+!! la géométrie euclidienne.<br>
+!! <br>
+!! Et en effet, le papier est simplement chiffonné, mais sa surface n'est pas "étirée", "contractée", "déchirée",
+!! la géométrie euclidienne de la feuille non chiffonnée est conservée.<br>
+!! <br>
 !! ![](m3p2-euclidien-variete-crumpled-plan_L1200.jpg)<br>
 !! <br>
-!! blablabla<br>
+!! Par contre, il n'est pas possible de couvrir la surface d'une sphère avec la surface plane d'une feuille
+!! de papier, sans déformer, déchirer celle-ci. Toutes les figures, les triangles, les cercles et les lignes
+!! parallèles de la feuille de papier seraient déformés et déchirés. Les propriétés caractérisant
+!! un espace euclidien ne seraient plus vérifiées.<br>
+!!
+!! Un être, une petite fourmie qui vivrait à la surface de la sphère et qui ne pourrait lever la tête
+!! et ainsi prendre conscience d'une troisième dimension, ne percevrait seulement que les deux dimensions
+!! de la surface de la sphère. Et les mesures qu'elles pourrait effectuer lui montreraient qu'elle ne
+!! vit pas dans un espace euclidien.<br>
+!! <br>
 !! ![](m3p2-euclidian-sphere_L1200.gif)<br>
+!!
+!! Et nous-mêmes? Sommes-nous des êtres qui vivont à la surface en trois dimensions d'un espace 
+!! possédant plus de dimensions?<br>
 !! </details>