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@@ -25,5 +25,667 @@ lessons:
 
 #### Dynamique du point matériel
 
+*Première loi de Newton, définition et existence des référentiels galiléens*
+
+Observé depuis un référentiel galiléen $`\mathscr{R}_{gal}`$, le mouvement d'un point matériel isolé
+est rectiligne et uniforme.
+
+$`\Longrightarrow\quad\overrightarrow{\mathscr{v}}=\overrightarrow{cst}`$   
+$`\Longrightarrow\quad\overrightarrow{a}=\dfrac{d\overrightarrow{\mathscr{v}}}{dt}=\overrightarrow{0}`$
+
+
+
+*Transformations de Galilée* :   
+Transformation des coordonnées d'espace et de temps entre un référentiel galiléen
+$`\mathscr{R}_{gal}`$ et un référentiel $`\mathscr{R}'`$ en mouvement de translation 
+rectiligne et uniforme à la vitesse
+$`\overrightarrow{V}_{\mathscr{R}'/\mathscr{R}_{gal}}=\overrightarrow{V}`$ par rapport 
+à $`\mathscr{R}_{gal}`$.
+
+
+Référentiel $`\mathscr{R}_{gal}=\big(O,\,\overrightarrow{e_x},\,\overrightarrow{e_y},\,\overrightarrow{e_z},\,t \big)`$
+
+Référentiel $`\mathscr{R'}=\big(O',\,\overrightarrow{e_x}',\,\overrightarrow{e_y}',\,\overrightarrow{e_z}',\,t' \big)`$
+
+
+Temps universel $`\Longrightarrow`$ nous pouvons choisir une même origine des dates
+et une même unité de temps
+pour $`\mathscr{R}_{gal}`$ et $`\mathscr{R}'`$$`\quad\Longrightarrow t=t'`$
+
+Espace universel, homogène et isotrope $`\Longrightarrow`$ nous pouvons choisir :
+\- une même origine de l'espace à l'origine des dates
+et une même unité de longueur pour $`\mathscr{R}`$ et $`\mathscr{R}'`$   
+$`\quad\Longrightarrow O(t=0)=O'(t=0)`$   
+\- une même base cartésienne pour $`\mathscr{R_{gal}}`$ et $`\mathscr{R}'`$   
+$`\quad\Longrightarrow`$
+$`\quad\overrightarrow{e_x}=\overrightarrow{e_x}'\quad,\quad
+\overrightarrow{e_y}=\overrightarrow{e_y}'\quad,\quad
+\overrightarrow{e_z}=\overrightarrow{e_z}'`$.
+
+Si $`\overrightarrow{V}=V_x\cdot\overrightarrow{e_x}
++V_y\cdot\overrightarrow{e_y}+V_z\cdot\overrightarrow{e_z}`$
+
+et point $`M`$ de coordonnées $`\big(\,x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\,\big)`$
+
+$`\overrightarrow{OM}(t)=\overrightarrow{r}(t)\quad\text{et}\quad
+\overrightarrow{O'M}(t')=\overrightarrow{r'}(t')`$
+
+alors    
+Loi de transformation galiléenne des positions :
+
+$`\mathbf{\Big\{}\;dt' = dt`$
+
+$`\left\{\begin{array}{l}
+x'(t)=x(t)-V_x\,t \\
+y'(t)=y(t)-V_y\,t \\
+z'(t)=z(t)-V_z\,t 
+\end{array}\right.`$
+
+soit en écriture vectorielle (plus générale car indépendante des systèmes de coordonnées)
+
+$`\overrightarrow{r}'=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{V}\,t`$
+
+Loi de transformation galiléenne des vitesses :
+
+$`\mathbf{\Big\{}\;dt' = dt`$
+
+$`\left\{\begin{array}{l}
+\dfrac{dx'}{dt'}=\dfrac{dx}{dt}-V_x \\
+\dfrac{dy'}{dt'}=\dfrac{dy}{dt}-V_y \\
+\dfrac{dz'}{dt'}=\dfrac{dz}{dt}-V_z
+\end{array}\right.`$
+$`\quad\Longrightarrow\quad
+\left\{\begin{array}{l}
+\mathscr{v}_x'=\mathscr{v}_x-V_x \\
+\mathscr{v}_y'=\mathscr{v}_y-V_y \\
+\mathscr{v}_z'=\mathscr{v}_z-V_z
+\end{array}\right.`$
+
+soit en écriture vectorielle 
+
+$`\overrightarrow{\mathscr{v}}'=\overrightarrow{\mathscr{v}}-\overrightarrow{V}`$
+
+Loi de transformation galiléenne des accélérations :
+
+$`\left\{\begin{array}{l}
+\dfrac{d^2 x'}{dt'^2}=\dfrac{d}{dt}\big(\mathscr{v}_x-V_x\big)=\dfrac{d^2 x}{dt^2} \\
+\dfrac{d^2 y'}{dt'^2}=\dfrac{d}{dt}\big(\mathscr{v}_y-V_y\big)=\dfrac{d^2 y}{dt^2} \\
+\dfrac{d^2 z'}{dt'^2}=\dfrac{d}{dt}\big(\mathscr{v}_z-V_z\big)=\dfrac{d^2 z}{dt^2} \\
+\end{array}\right.`$
+$`\quad\Longrightarrow\quad
+\left\{\begin{array}{l}
+\mathscr{a}_x'=\mathscr{a}_x \\
+\mathscr{a}_y'=\mathscr{a}_y \\
+\mathscr{a}_z'=\mathscr{a}_z
+\end{array}\right.`$
+
+soit en écriture vectorielle 
+
+$`\overrightarrow{a}'=\overrightarrow{a}`$
+
+*Lien entre référentiels galiléens*
+
+A partir des résultats précédents.
+
+Soit $`\mathscr{R}_{gal}`$ un référentiel galiléen,    
+et $`\mathscr{R}'`$ référentiel en mouvement de translation rectiligne et uniforme
+à la vitesse $`\overrightarrow{V}_{\mathscr{R}'/\mathscr{R}_{gal}}`$ par rapport à $`\mathscr{R}_{gal}`$ :   
+Rectiligne uniforme 
+$`\Longrightarrow\overrightarrow{V}_{\mathscr{R}'/\mathscr{R}_{gal}}=\overrightarrow{cst}_1`$.
+
+A partir de la loi galiléenne des vitesses :
+
+Soit un point matériel isolé $`M`$ donc de vitesse constante
+$`\overrightarrow{\mathscr{v}}_{M/\mathscr{R}_{gal}}=\overrightarrow{cst}_2`$
+dans le référentiel galiléen $`\mathscr{R}_{gal}`$.    
+Loi de composition galiléenne des vitesses implique :   
+
+$`\overrightarrow{\mathscr{v}}_{M/\mathscr{R}'}=\overrightarrow{\mathscr{v}}_{M/\mathscr{R}_{gal}}
+-\overrightarrow{V}_{\mathscr{R}'/\mathscr{R}_{gal}}=\overrightarrow{cst}_2-\overrightarrow{cst}_1
+=\overrightarrow{cst}`$
+
+A partir de la loi galiléenne des accélérations :
+
+Soit un point matériel isolé $`M`$ donc d'accélération nulle 
+$`\overrightarrow{\mathscr{a}}_{M/\mathscr{R}_{gal}}=\overrightarrow{0}`$
+dans le référentiel galiléen $`\mathscr{R}_{gal}`$.    
+Loi de composition galiléenne des accélérations implique :
+
+$`\overrightarrow{\mathscr{a}}_{M/\mathscr{R}'}=\overrightarrow{\mathscr{a}}_{M/\mathscr{R}_{gal}}
+=\overrightarrow{0}`$
+
+Conclusion :
+
+Tout référentiel $`\mathscr{R}'`$ en mouvement de translation rectiligne uniforme par
+rapport à un référentiel galiléen est lui-même un référentiel galiléen.
+
+*Référentiel de Copernic*
+
+*Référentiel terrestre = référentiel du laboratoire*
+
+
+*Interaction mécanique, notion de force et de masse d'inertie*
+
+Corpuscule, corps qui apparaît comme ponctuel (point matériel) à
+l'échelle d'observation.
+
+Dans un référentiel galiléen, l'interaction mécanique entre deux corpuscules
+se traduit pour chacun des corpuscules par un écart à leur mouvement rectiligne uniforme,   
+donc cela se traduit par une accélération :
+
+Dans un référentiel galiléen, corpuscule en interation    
+$`\Longrightarrow\quad\overrightarrow{\mathscr{v}}\ne \overrightarrow{cst}\quad`$
+$`\Longrightarrow\quad\overrightarrow{a}=\dfrac{d\overrightarrow{\mathscr{v}}}{dt}\ne\overrightarrow{0}`$
+
+Il existe plusieurs types d'interactions _(exemples : électrostatique, gravitationnelle)_.
+Un corpuscule peut être sensible, plus ou moins sensible, ou pas sensible à une interaction I.   
+Appelons $`\alpha`$ la sensibilité du corpuscule à une interaction I.   
+_Exemples :_   
+\- $`\alpha`$ _est la charge électrique, notée_ $`q`$_, pour l'interaction électrostatique,_ 
+\- $`\alpha`$ _est la masse grave, notée_ $`m_{grave}`$ _pour l'interaction gravitationnelle)_.
+
+Soient un corpscule A de sensibilité $`\alpha_A`$ et un corpscule B de sensibilité
+$`\alpha_B`$ à une interaction I.   
+
+Nous considérons ici le cas où les sensibilités $`\alpha_A`$ et  $`\alpha_B`$ sont stationnaires.   
+ _Exemples :_   
+ _\- le corpuscule est un électron et $`\alpha`$ est sa charge électrique $`q`$ ou sa masse grave_ $`m_{grave}`$,
+ $`\alpha`$ _est stationnaire._   
+  _\- le corpuscule est une planète et $`\alpha`$ est sa masse grave_ $`m_{grave}`$,
+ $`\alpha`$_ est stationnaire._   
+ _Contre-exemples :_    
+  _\- le corpuscule est une particule radioactive qui émet des particules alpha (noyau d'hélium),_
+  _et $`\alpha`$ est sa charge électrique $`q`$ ou sa masse grave_ $`m_{grave}`$, 
+ $`\alpha`$_ est non stationnaire._   
+  _\-le corpuscule est une fusée avec ses moteurs allumés, et $`\alpha`$ est sa masse grave_ $`m_{grave}`$ _de combustible,_ 
+ $`\alpha`$ _est non stationnaire._    
+ Chacun des deux corpscules subit une accélération due à l'interaction I.
+
+L'expérience montre que si l'on remplace B par un corpscule C de même sensibilité stationnaire $`\alpha_C=\alpha_B`$
+à l'interation I, tout en ayant des positions identiques à un instant $`t`$ pour le corpscule A, et
+les corpscules B ou C, l'accélération de C peut être différente de celle de B.
+
+Cela montre que indépendamment de la sensibilité $`\alpha_C=\alpha_B`$, les comportements de ces deux
+corpscules peuvent être différents vis à vis de l'interaction I. Dans une situation identique concernant
+l'interaction I, ces deux corpscules B et C résistent différemment au changement de leur vecteur vitesse.
+C'est le phénomène d'inertie mécanique.
+
+Pour un corpuscule, cette propriété de résistance au changement du vecteur vitesse peut être 
+quantifiée par un nombre réel, et ce nombre réel reste identique quelque-soit le type d'interaction
+et la mise en situation de cette interation. Cette propriété d'inertie  mécanique est donc propre au corpuscule
+et est quantifiée par une grandeur physique appelée masse d'inertie $`m_{inertie}`$.
+
+Nécessité, dans l'expression de l'accélération du corpscule B,
+de séparer l'interaction I du corpscule A sur B, et l'inertie mécanique de B.
+
+Représentation newtonienne de l'intéraction et de l'inertie, à partir de l'accélération produite :
+
+$`\overrightarrow{a_B}=\dfrac{\overrightarrow{F}_{A\rightarrow B}}{m_{inertie\,B}}`$,
+
+avec :   
+$`\overrightarrow{F}_{A\rightarrow B}`$ force d'interaction I exercée par la particule A
+sur la particule B.   
+$`m_{inertie\,B}`$ : masse d'inertie de la particule B ici supposée stationnaire.
+
+un point "pour aller plus loin" traitant le dommaine de validité de cette observation, vitesses classiques
+(par opposition à vitesses relativiste), et que devient $`m_{inertie}`$ dans le cas de la relativité
+restreinte.
+
+Mécanique classique, physique classique : interaction entre deux particules est représentée
+par une force d'interaction. L'interaction se transmet instantanément à travers l'espace, 
+donc la force qu'exerce toute particule sur une autre est instantanée.
+
+un point "pour aller plus loin" traitant du cas des relativités, de la mécanique quantique.
+
+*Non égalité de la charge électrique et de la masse d'inertie*
+
+L'expérience montre qu'il n'y a pas de proportionnalité entre la charge électrique et 
+la masse d'inertie.
+
+En effet, il existe au moins un cas (il en existe de nombreux) ou cette non proportionnalité
+est observée :    
+ion $`Cu^{2+}`$ possède une charge électrique $`q`$ double de celle de l'ion $`Cu^{+}`$
+pour une masse d'inertie quasi-identique.   
+Charge électrique et masse d'inertie sont des grandeurs physiques de natures différentes.
+
+
+*Égalité entre masse grave et masse d'inertie, question de l'identité*
+
+Pour la totalité des corps observés, expériences et mesures montrent qu'il y a
+toujours une même proportionnalité entre la masse grave et la masse inerte.
+
+Dans un système d'unité donnée, le choix des valeurs numériques de certaines
+constantes fondamentales (valeur de la constante gravitationnelle $ G`$) a permis
+de réaliser l'égalité numérique entre les valeurs de la masse grave et de la masse d'inertie.
+
+$`m_{grave}=m_{inertie}`$
+
+On pose $`m_{grave}=m_{inertie}=m`$ : la masse.
+
+un point pour aller plus loin : définir les termes égalité (substituable l'un à l'autre) et identité
+(une même réalité sous des points de vue différents).   
+Y a t-il identité de la masse grave et de la masse d'inertie ?
+masse d'inertie $`\leftrightarrow`$ espace-temps (lié à une accélération)   
+masse grave $`\leftrightarrow`$ matière (lié à la gravitation)   
+Faire un lien avec relativité générale (espace-temps-matière-énergie)
+
+
+*Quantité de mouvement*
+
+quantité de mouvement $`\overrightarrow{p}`$ d'un corpuscule de masse $`m`$ animé dans un référentiel $`\mathscr{R}`$ 
+d'une vitesse $`\overrightarrow{\mathscr{v}}`$ :
+
+$`\overrightarrow{p}=m\,\overrightarrow{\mathscr{v}}`$
+
+
+*Deuxième loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique* 
+
+
+$`\overrightarrow{F}=\dfrac{d\overrightarrow{p}}{dt}`$
+
+Pour un corpuscule de masse constante :
+
+$`\overrightarrow{F}=m\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}=m\overrightarrow{a}`$
+
+
+*Troisième loi de Newton : Principe de l'action et de la réaction* 
+
+Soient deux corpuscules 1 et 2 en interaction.    
+Les forces d’interaction F ⃗_(1→2) et F ⃗_(2→1) sont opposées :
+
+$`\overrightarrow{f}_{1\rightarrow 2}=-\overrightarrow{f}_{2\rightarrow 1}`$
+
+
+*Les différents types de forces*
+
+Force à distance, due à une interaction fondamentale.
+
+Force de contact :   
+\- de réaction d'un support
+\- de frottement (solide, visqueux).
+
+Forces d'inertie (d'accélération et de Coriolis),    
+lorsque le mouvement est observé depuis un référentiel non galiléen.
+
+
+*Principe de superposition*
+
+Soient un corpuscule i de sensibilité $`\alpha_i`$ et un corpuscule j de sensibilité
+$`\alpha_j`$ à une interaction I.    
+
+Soit $`\overrightarrow{F}_{i\rightarrow j}(\alpha_i,\alpha_j)`$ la force qu'exerce 
+le corpuscule i sur le corpuscule j.
+
+Le principe de superposition postule que l'expression de force d'interaction de 
+du corpuscule i sur le corpuscule j reste inchangée qu'il y aient ou non d'autres
+corpuscules sensibles à la même interaction dans le voisinage de i et j.
+
+La force totale d'interaction qu'exercent N corpuscules sur un corpuscule j peut ainsi
+s'exprimer et se calculer simplement comme la somme des forces d'interaction "deux à deux"
+qu'exercent chacun des N corpuscules sur j :
+
+$`\overrightarrow{F}_{tot\rightarrow j}=\displaystyle\sum_{i=1}^N \overrightarrow{F}_{i\rightarrow j}`$
+
+Écriture plus générale :
+
+La force totale $`\overrightarrow{F}_{totale}`$ exercée sur un corpscule de masse $`m`$ et 
+de quantité de mouvement $`\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}`$ conduit 
+la variation de quantité de mouvement $`\dfrac{d\overrightarrow{p}}{dt}`$ suivant l'expression :
+
+$`\displaystyle\begin{align}
+&\overrightarrow{F}_{totale} \\
+\\
+&\;=\sum\overrightarrow{F}_{qui\ s'appliquent} \\
+\\
+&\;=\underbrace{\sum\overrightarrow{F}_{à\ distance}}_{inter.\ fondamentales}
++\underbrace{\sum\overrightarrow{F}_{de\ contact}}_{frottements,\ réactions}
++\underbrace{\sum\overrightarrow{F}_{d'inertie}}_{si\ réf.\ non\,galiléens} \\
+\\
+&\;=\dfrac{d\overrightarrow{p}}{dt}\\
+\\
+&\;=\dfrac{d\big(m\overrightarrow{v}\big)}{dt}\\
+\\
+&\;=m\,\overrightarrow{a}+\underbrace{\dfrac{dm}{dt}\cdot\overrightarrow{v}}_{si\ m\ non\ constante}
+\end{align}`$
+
+
+De par la règle mathématique de sommation des vecteurs, ce postulat justifie de modéliser les interactions
+entre corpuscules par les grandeurs vectorielles que sont les forces.
+
+Ce postulat ne reflète pas une réalité physique évidente. De fait dans certains cas extrêmes observés dans
+l'univers, l'interaction gravitationnelle d'un corps i sur un corps j est perturbée par la présence d'un troisième corps au
+voisinage des deux premiers. Le modèle physique de la relativité générale tient compte de ce fait, ce qui explique
+la complexité de la mathématique qu'elle utilise. Chaque corps massique déforme l'espace-temps autour de lui.
+Les mouvements liés des deux corps i et j sont des géodésiques dans l'espace-temps déformé par les deux corps eux-mêmes.
+La présence d'un troisième corps ajoute sa contribution à la déformation de l'espace-temps. Il ne serait pas possible
+de de modéliser les mouvements des trois corps prédits par la relativité générale à l'aide d'un modèle vectoriel.
+(donner référence).
+
+
+*Loi de conservation de la quantité de mouvement*
+
+Soit un système isolé de N corpuscules.   
+
+Force qu'exerce un corpscule quelconque j sur lui-même est nul : $`\overrightarrow{F}_{j\rightarrow j}=\overrightarrow{0}`$
+
+Force totale $`\overrightarrow{F}_{tot\rightarrow j}`$ qu'exerce les N-1 autres corpscules sur un corpuscule j du système :
+
+$`\overrightarrow{F}_{tot\rightarrow j}=\displaystyle\sum_{i=1}^N \overrightarrow{F}_{i\rightarrow j}
+=\sum_{i=1}^N \dfrac{d \overrightarrow{p}_{i\rightarrow j}}{dt}`$
+$`\;=\dfrac{\sum_{i=1}^N d \overrightarrow{p}_{i\rightarrow j}}{dt}
+=\dfrac{d \overrightarrow{p}_{tot\rightarrow j}}{dt}`$
+
+Quantité de mouvement totale du système isolé des N corpuscules est la somme
+des quantités de mouvement de ses N corpuscules :
+
+$`\displaystyle\overrightarrow{p}_{sys.iso}=\sum_{i=1}^N \overrightarrow{p}_{tot\rightarrow j}
+=\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \overrightarrow{p}_{i\rightarrow j}`$
+
+Dérivée temporelle de la quantité de mouvement totale du système isolé :
+
+
+$`\displaystyle\begin{align}
+\dfrac{d\overrightarrow{p}_{sys.iso}}{dt}&=\dfrac{d\big(\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \overrightarrow{p}_{i\rightarrow j}\big)}{dt}\\
+\\
+&=\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \dfrac{d\overrightarrow{p}_{i\rightarrow j}}{dt}\\
+\\
+&=\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \overrightarrow{F}_{i\rightarrow j}\\
+\\
+&=\sum_{i=1}^N \overrightarrow{F}_{i\rightarrow i}
++\sum_{i=2}^N \sum_{j=1}^{(i-1)} \overrightarrow{F}_{i\rightarrow j}
++\sum_{j=2}^N \sum_{i=1}^{(j-1)} \overrightarrow{F}_{i\rightarrow j}\\
+\\
+&=\sum_{i=1}^N \underbrace{\overrightarrow{F}_{i\rightarrow i}}_{=\,0}
++\sum_{i=2}^N \sum_{j=1}^{(i-1)} \underbrace{\big(\overrightarrow{F}_{i\rightarrow j}
++\overrightarrow{F}_{j\rightarrow i}\big)}_{=\,0\,(action-réaction)}\\
+\\
+&=0
+\end{align}`$
+
+
+La quantité de mouvement d’un système de N particules isolées
+est stationnaire (ne varie pas dans le temps).
+
+
+##### Résolutions comparées de problèmes<br>_Mécaniques newtonienne, lagrangienne, hamiltonienne_
+
+Ici résolution newtonienne   
+
+*Lancé balistique sans frottement*
+
+*Oscillateur harmonique simple*
+
+Référentiel terrestre $`\mathscr{R}_{terrestre}`$ supposé galiléen.
+
+Masse suspendue par un fil non extensible de longueur $`\mathscr{l}`$, de masse négligeable et d'extrémité fixe située en un point O.   
+Décrivons le mouvement du pendule lorsque le fil reste tendu.
+Le mouvement est plan (démontrer).   
+Corps M quasi-ponctuel de masse $`m`$ se déplace dans un plan vertical.
+
+Choix du système de coordonnées cartésiennes fixe dans $`\mathscr{R}_{terrestre}`$ :   
+$`(O,\,x,\,z)`$ tel que   
+$`(xOz)`$ est le plan du mouvement,    
+$`Oz`$ est l'axe vertical,     
+$`Ox`$ est l'axe horizontale (d'orientation gauche vers droite)
+Repère cartésien associé $`\big(O,\,\overrightarrow{e_x},\,\overrightarrow{e_z}\big)`$.
+Repère fixe $`\Longrightarrow\dfrac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=\overrightarrow{0}``$
+
+Système de coordonnées adapté :    
+Coordonnées polaires $`(\rho,\,\theta)`$ définies à partir de $`(O,\,x,\,z)`$.
+définies à partir des coordonnées cartésiennes $`(O,\,x,\,z)`$. 
+Base orthonormée associée $`\big(\overrightarrow{e_{\rho}},\,\overrightarrow{e_{\theta}})`$
+
+Rappel coordonnées polaires (outil-math coordonnées pourra être affiché en parallèle) :
+(à mettre dans coordonnées polaires)
+
+$`\overrightarrow{e_{\rho}}=\;\;\,\cos\theta\;\overrightarrow{e_x}+\sin\theta\;\overrightarrow{e_z}`$   
+$`\overrightarrow{e_{\theta}}=-\sin\theta\;\overrightarrow{e_x}+\cos\theta\;\overrightarrow{e_z}`$
+
+------------------------
+
+$`\begin{align}
+\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}&=\dfrac{d}{dt}\bigg(\cos\theta\;\overrightarrow{e_x}+\sin\theta\;\overrightarrow{e_z}\bigg)\\
+\\
+&=\bigg[\dfrac{d\cos\theta}{dt}\;\overrightarrow{e_x} + \sin\theta\;\underbrace{\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}}_{=\,\vec{0}}\bigg]\\
+&\quad\quad+\bigg[\dfrac{d(-\sin\theta)}{dt}\;\overrightarrow{e_z}+\cos\theta\;\underbrace{\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}}_{=\,\vec{0}}\bigg]\\
+\\
+&=\dfrac{d\cos\theta}{d\theta}\;\dfrac{d\theta}{dt}\;\overrightarrow{e_x}
++\dfrac{d(-\sin\theta)}{d\theta}\;\dfrac{d\theta}{dt}\;\overrightarrow{e_z}\\
+\\
+&=\dfrac{d\theta}{dt}\;\big(-\sin\theta\;\overrightarrow{e_x}+\cos\theta\;\overrightarrow{e_z}\big)\\
+\\
+&=\dfrac{d\theta}{dt}\;\overrightarrow{e_{\theta}}
+\end{align}`$
+
+Note : Dans le cas général, on évite d'écrire $`\dfrac{d\theta}{dt}=\omega`$ où $`\omega`$ 
+est la pulsation d'unité SI $`rad\,s-{-1}`$.   
+L'écriture $`\dfrac{d\theta}{dt}=\omega`$ est réservée au cas où la variation temporelle de 
+l'angle $`\theta`$ a une composante sinusoïdale de pulsation $`\omega`$ stationnaire.
+
+
+--------------
+
+$`\begin{align}
+\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}&=\dfrac{d}{dt}\big(-\sin\theta\;\overrightarrow{e_x}+\cos\theta\;\overrightarrow{e_z}\big)\\
+\\
+&=\bigg[\dfrac{d(-\sin\theta)}{dt}\;\overrightarrow{e_x} - \sin\theta\;\underbrace{\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}}_{=\,\vec{0}}\bigg]\\
+&\quad\quad+\bigg[\dfrac{d\cos\theta}{dt}\;\overrightarrow{e_z}+\cos\theta\;\underbrace{\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}}_{=\,\vec{0}}\bigg]\\
+\\
+&=\dfrac{d(-\sin\theta)}{d\theta}\;\dfrac{d\theta}{dt}\;\overrightarrow{e_x}
++\dfrac{d\cos\theta}{d\theta}\;\dfrac{d\theta}{dt}\;\overrightarrow{e_z}\\
+\\
+&=\dfrac{d\theta}{dt}\;\Big(-\cos\theta\;\overrightarrow{e_x}-\sin\theta\;\overrightarrow{e_z}\Big)\\
+\\
+&=-\;\dfrac{d\theta}{dt}\;\overrightarrow{e_{\rho}}
+\end{align}`$
+
+Attention : erreur très courante de confondre en passant d'une ligne à l'autre dans les calculs
+$`\dfrac{d^2\theta}{dt^2}`$ et $`\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2`$.
+
+---------------
+
+$`\begin{align}
+\dfrac{d^2\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt^2}&=\dfrac{d}{dt}\bigg(\underbrace{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}}_{=\,\frac{d\theta}{dt}\,\vec{e_{\theta}}}\bigg)\\
+\\
+&=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\theta}{dt}\,\overrightarrow{e_{\theta}}\right)\\
+\\
+&=\dfrac{d^2\theta}{dt^2}\;\overrightarrow{e_{\theta}}\;+\;\dfrac{d\theta}{dt}\;\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}\\
+\\
+&=\dfrac{d^2\theta}{dt^2}\;\overrightarrow{e_{\theta}}\;+\;\dfrac{d\theta}{dt}\;\left(-\,\dfrac{d\theta}{dt}\;\overrightarrow{e_{\rho}}\right)\\
+\\
+&=\dfrac{d^2\theta}{dt^2}\;\overrightarrow{e_{\theta}}\;-\;\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\;\overrightarrow{e_{\rho}}
+\end{align}`$
+
+---------------
+
+
+$`\begin{align}
+\dfrac{d^2\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt^2}
+&=\dfrac{d}{dt}\bigg(\underbrace{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}}_{=-\frac{d\theta}{dt}\,\vec{e_{\rho}}}\bigg)\\
+\\
+&=\dfrac{d}{dt}\left(-\dfrac{d\theta}{dt}\,\overrightarrow{e_{\rho}}\right)\\
+\\
+&=-\dfrac{d^2\theta}{dt^2}\;\overrightarrow{e_{\rho}}\;-\;\dfrac{d\theta}{dt}\;\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}\\
+\\
+&=-\dfrac{d^2\theta}{dt^2}\;\overrightarrow{e_{\rho}}\;-\;\dfrac{d\theta}{dt}\;\left(\dfrac{d\theta}{dt}\;\overrightarrow{e_{\theta}}\right)\\
+\\
+&=\dfrac{d^2\theta}{dt^2}\;\overrightarrow{e_{\rho}}\;-\;\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\;\overrightarrow{e_{\theta}}
+\end{align}`$
+
+----------------
+
+Écriture générale du mouvement du pendule :
+
+$`\overrightarrow{OM}=\mathscr{l}\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$
+
+$`\begin{align}
+\overrightarrow{\mathscr{v}_M}&=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}\\
+\\
+&=\dfrac{d}{dt}\big(\mathscr{l}\;\overrightarrow{e_{\rho}}\big)\\
+\\
+&=\underbrace{\dfrac{d\mathscr{l}}{dt}}_{=\,0}\;\overrightarrow{e_{\rho}}\;+\;\mathscr{l}\;\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}\\
+\\
+&=\mathscr{l}\;\dfrac{d\theta}{dt}\;\overrightarrow{e_{\theta}}
+\end{align}`$
+
+
+$`\begin{align}
+\overrightarrow{a_M}&=\dfrac{d\overrightarrow{\mathscr{v}_M}}{dt}\\
+\\
+&=\dfrac{d}{dt}\left(\mathscr{l}\;\dfrac{d\theta}{dt}\;\overrightarrow{e_{\theta}}\right)\\
+\\
+&=\underbrace{\dfrac{d\mathscr{l}}{dt}}_{=\,0}\;\dfrac{d\theta}{dt}\;\overrightarrow{e_{\theta}}\;
++\;\mathscr{l}\;\dfrac{d^2\theta}{dt^2}\;\overrightarrow{e_{\theta}}\;
++\;\mathscr{l}\;\dfrac{d\theta}{dt}\;\underbrace{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}}_{=\,-\frac{d\theta}{dt}\,\vec{e_{\rho}}}\\
+\\
+&=\mathscr{l}\;\dfrac{d^2\theta}{dt^2}\;\overrightarrow{e_{\theta}}\;-\;\mathscr{l}\;\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\overrightarrow{e_{\rho}}
+\end{align}`$
+
+
+Identification et écriture de toutes les forces qui s'appliquent sur le pendule :
+
+Poids $`\overrightarrow{P}`$ du corps M :
+
+Note : le poids qui s'applique sur M est la somme de la force à distance qu'exerce la gravitation
+et des forces d'inertie (accélération et Coriolis) dues au fait que le référentiel terrestre n'est pas
+strictement galiléen. Le considérer comme référentiel galiléen signifie que l'effet des forces d"inertie
+oeut être négligé devant la précision de mesure des longueurs vitesses et accélérations et devant la durée
+de l'observation du pendule.   
+Le pendule de Foucault est la même expérience, mais dont la durée d'observation est telle que la rotation
+du plan de déplacement de M est mise en évidence.
+
+$`\begin{align}
+\overrightarrow{P}&=-\,m\,g\,\overrightarrow{e_z}\\
+\\
+&=\,m\,g\,\big(\cos\theta\;\overrightarrow{e_{\rho}}-\sin\theta\;\overrightarrow{e_{\theta}}\big)\\
+\\
+&=\,m\,g\,\cos\theta\;\overrightarrow{e_{\rho}}-\,m\,g\,\sin\theta\;\overrightarrow{e_{\theta}}
+\end{align}`$
+
+Réaction du fil tendu sur le corps en M (force de contact) :
+
+$`\overrightarrow{R}=-R\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$
+
+La force totale qui s'applique sur la masse du pendule est :
+
+$`\overrightarrow{F}_{totale}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}`$ 
+
+Cette étude n'ayant pour objectif que de déterminer le mouvement du pendule dans
+le cas où le fil reste tendu, le mouvement du corps M restera inscrit dans le cercle
+de rayon $`\rho=\mathscr{l}`$. Ainsi en tout point de la trajectoire et à tout instant 
+les vecteurs $`\overrightarrow{d\mathscr{l}}\text{, }\overrightarrow{\mathscr{v}}\text{, }\overrightarrow{a}`$
+resteront parallèles à $`\overrightarrow{e_{\theta}}`$.
+
+Pour trouver l'équation différentielle du mouvement,la projection de la deuxième loi de Newton 
+sur $`\overrightarrow{e_{\theta}}`$ suffit :
+
+La masse du corps M est constante.
+
+$`m\;\overrightarrow{a_M}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}=\overrightarrow{F}_{totale}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}`$
+
+$`\Longrightarrow\quad m\;\mathscr{l}\;\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=-\,m\,g\,\sin\theta`$
+
+$`\Longrightarrow\quad\mathscr{l}\;\dfrac{d^2\theta}{dt^2}\;+\;g\,\sin\theta=0`$
+
+_(Exercice suivant à proposer : "en deça de quelle valeur doit rester la vitesse initiale (suivant la position initiale)_
+_pour que le fil reste tendu ?".)_
+
+En première approche, cette équation différentielle se simplifie si on limite l'étude au cas où
+l'angle $`\theta`$ reste suffisamment petit tout au long de la trajectoire, pour que l'approximation
+$`\sin\theta\approx\theta\;(rad)`$ soit acceptable.
+
+Dans ce cas l'équation du mouvement devient 
+
+$`\Longrightarrow\quad\mathscr{l}\;\dfrac{d^2\theta}{dt^2}\;+\;g\,\theta=0`$ avec $`\theta`$ exprimé en radian.
+
+Cette équation différentielle admet pour solution générale
+
+$`\theta(t)=A\,\cos(\omega_0 t)\;+\;B\,\sin(\omega_0 t)\quad`$_(eq.1)_, avec $`\omega_0=\sqrt{\dfrac{g}{l}}`$
+
+avec $`A`$ et $`B`$ des constantes.
+
+Nous en déduisons l'équation générale de la vitesse angulaire :
+
+$`\left.\dfrac{d\theta}{dt}\right\lvert_{t}=-\,A\,\omega_0\,\sin(\omega_0 t)\;+\;B\omega_0\,\cos(\omega_0 t)\quad`$_(eq.2)_ 
+
+_Idée : Proposer pour cette page d'exercice d'application de la dynamique un mode OUTIL-MATH avec en parallèle_
+_les coordonnées cylindriques, et les équations différentielles._
+
+L'équation particulière correspondant à une mise en mouvement du pendule nécessite de préciser des conditions initiales,
+c'est à dire la position $`\theta (t=0)`$ et la vitesse angulaire $`\left.\dfrac{d\theta}{dt}\right\lvert_{t=0}`$ ou linéaire
+$`\mathscr{v}(t=0)=\mathscr{l}\;\left.\dfrac{d\theta}{dt}\right\lvert_{t=0}`$ à l'origine choisie sur l'axe du temps.
+
+_Important (source d'erreurs fréquantes) : rappeler (inlassablement ...) la définition géomatrique d'un angle_
+_donc exprimé en radian, et comment en déduire la relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire._
+
+
+Par exemple les conditions initiales (lacher sans vitesse initiale à $`t=0`$)
+
+
+$`\theta (t=0)=\theta_0\;\text{(rad)}`$
+
+$`\left.\dfrac{d\theta}{dt}\right\lvert_{t=0}=0`$
+
+appliquées aux équations _eq.1_ et _eq.2_ conduisent à :
+
+$`\theta(t_0)=\theta_0=A`$
+
+$`\left.\dfrac{d\theta}{dt}\right\lvert_{t=0}=0=B\omega_0`$
+
+ce qui permet d'écrire la solution particulière correspondante :
+
+$`\theta(t) = \theta_0\,\cos(\omega_0 t)=\theta_{(t=0)}\times \cos\left(t\sqrt{\dfrac{g}{\mathscr{l}}}\right)`$
+
+d'où l'on déduit
+
+$`\begin{align}
+\left.\dfrac{d\theta}{dt}\right\lvert_{t} &= -\,\omega_0\,\theta_0\,\sin(\omega_0 t)\\
+&= -\,\theta_{(t=0)}\times
+\sqrt{\dfrac{g}{\mathscr{l}}}\times\sin\left(t\sqrt{\dfrac{g}{\mathscr{l}}}\right)
+\end{align}`$
+
+Les fonctions $`\cos`$ et $`\sin`$ étant périodique de période $`2\pi`$, 
+le mouvement est périodique de période $`T`$ tel que :
+
+$`\cos\left(t\sqrt{\dfrac{g}{\mathscr{l}}}\right)=\cos\left(t\sqrt{\dfrac{g}{\mathscr{l}}}+2\pi\right)
+=\cos\left((t+T)\,\sqrt{\dfrac{g}{\mathscr{l}}}\right)`$
+
+soit
+
+$`t\sqrt{\dfrac{g}{\mathscr{l}}}+T\sqrt{\dfrac{g}{\mathscr{l}}}=t\sqrt{\dfrac{g}{\mathscr{l}}}+2\pi`$
+
+$`\Longrightarrow T=2\pi\,\sqrt{\dfrac{\mathscr{l}}{g}}`$
+
+_Exercice à reprendre pour montrer la trajectoire dans le chapitre espace des phases, puis reprendre_
+_en macanique lagrangienne, et autre... pour des modes en affichage  parallèle._
+
+Le corps du pendule peut se détacher du fil ou le fil peut se rompre si la force $`\overrightarrow{R}`$ est trop forte.
+$`\overrightarrow{R}`$ ayant une composante dépendante du mouvement (projection des forces d'inertie sur $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$),
+Il peut être utile d'exprimer $`\overrightarrow{R}`$ en fonction des caractéristiques du mouvement à chaque instant.
+Pour cela, projetons la deuxième loi de Newton sur $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ :
+
+$`m\;\overrightarrow{a_M}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}=\overrightarrow{F}_{totale}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$
+
+$`\Longrightarrow\quad -m\;\;\mathscr{l}\;\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2=m\,g\,\cos\theta-R`$
+
+$`\Longrightarrow\quad R=m\,g\,\cos\theta\;+\;m\,\mathscr{l}\;\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2`$
+
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+_dynamique puis énergétique (énergie mécanique)_
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+*Lois de Kepler*
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+*Particule dans un champ électromagnétique stationnaire*
+
+*Autres ?*
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