*D'abord on part d'une variété de dimension $`N`$ munie d'un système de coordonnées $`\mathcal{S}`$ .*
variété $`\mathcal{V}`$ de dimension $`N`$$`\Leftrightarrow`$ une séquence de $`N`$ coordonnées (nombres réels) indépendantes sont nécessaires pour déterminer de façon unique tout point $`P`$ quelconque de la variété.
$`\mathcal{S}`$ un système de coordonnées de $`\mathcal{V}`$. Un point $`P`$ de $`\mathcal{V}`$ est repéré par N coordonnées, que nous repèrerons par un indice-haut pouvant prendre toutes les valeurs entières entre 1 et N. La lettre désignant cet indice n'a pas d'importance.
Traditionnellement, les lettres "i, j, k" sont réservées à des coordonnées spatiales, la lettre "t" étant réservée à la coordonnée temporelle.
Si l'on ne souhaite pas faire de distinction entre coordonnées spatiales et temporelles, ou dans le cas plus général d'une variété quelconque, les lettres "a, b, c, d,..." sont généralement utilisées.
*Puis on introduit la base naturelle*
Il faudrait dire ou penser "base naturelle $`\overrightarrow{e_a}(P)`$ (on a choisit de nommer temporairement l'indice-haut "a") associée au système de coordonnées $`\mathcal{S}`$".
En chaque point $`P`$ de la variété, on peut associer un vecteur $`\overrightarrow{e_a}(P)`$ à chacune des $`N`$ coordonnées de $`\mathcal{S}_a`$ :
($`\overrightarrow{\partial s}`$ ou $`\partial \overrightarrow{s}`$ ? mathématiquement $`\partial \overrightarrow{s}`$ fait apparaître l'opérateur $`\dfrac{\overrightarrow{\partial }}{\partial x^a}`$ qui est fondamental à ce niveau 4. Reste une vision physicienne (qui ferait pâlir les mathématiciens) que $`\overrightarrow{\partial s}`$ est la variation du vecteur $`\overrightarrow{s}`$ obtenue pour une variation $`\partial x^a`$ de la coordonnée $`x^a`$, peut-être plus facile à visualiser à un niveau inférieur... A discuter, mais probablement il faudra expliciter le passage et l'utilisation de ces deux notations. ?
Il existe aussi une notation plus condensée à réserver à la relativité générale niveau 4....
On forme ainsi la base naturelle associée au système de coordonnées $`\mathcal{S}`$, notée :
Cette lettre choisit pour l'indice ne désigne pas un système de coordonnées particulier. Lorsque nous devrons considérer simultanément plusieurs systèmes de coordonnées, la notation de différenciation traditionnelle est le " ' ", puis le " '' ".
Exemple :
Les vecteurs naturels $`\overrightarrow{e_a}`$ ou indifféremment $`\overrightarrow{e_b}`$, les coordonnées $`x^a`$ ou indifféremment $`x^b`$ réfèrent à un système de coordonnées $`\mathcal{S}`$.
Un autre système de coordonnées sera noté $`\mathcal{S'}`$, et les vecteurs de base naturel associés peuvent être notés indifféremment $`\overrightarrow{e'_a}`$ ou $`\overrightarrow{e'_b}`$, et les coordonnées indéfféremment $`x'^a`$ ou $`x'^b`$.
(donc dès le départ N1 et dans tout le cursus, on utilise la notation $`\overrightarrow{u}`$ au lieu de $`\overrightarrow{e}`$ pour un vecteur normé? La lettre "u" colle bien avec "unité" ou "unitaire" dans les 3 langues).
La base naturelle d'une base cartésienne est naturellement normée.
La base naturelle d'une base orthonormée ne l'est en général pas :
exemple : coordonnées cylyndriques $`(\rho, \varphi, z)`$, $`dl_{\varphi}=\rho\, d\varphi`$ donc
Les vecteurs référencés avec l'indice-haut sont ceux de la base naturelle du système de coordonnées $`\mathcal{S}`$.
Les vecteurs référencés avec l'indice-bas sont ceux de la base duale associée`$.
*Intérêt de la base duale* :
Vient de sa définition (il y a des figures de quasi-prêtes).
Si N est la dimension de la variété considérée (l'espace usuel de la mécanique classique est une variété de dimension 3), alors
__Si l'on va vers la cristallographie :__
Cristal : peut se définir comme un réseau tridimensionnel dans lequel un même motif atomique est accroché à chaque noeud du réseau. La maille élémentaire définit une base de l'espace, la base $`\overrightarrow{e^a}(P)`$ non orthonormée.
En cristallographie, la base duale se distingue souvant par un astérisque en indice-haut :
A priori la base duale permet de définir le réseau réciproque : points de coordonnées entières dans un repère formé avec la base duale $`(O, \overrightarrow{a^{\ast}},\overrightarrow{b^{\ast}}, \overrightarrow{c^{\ast}})`$
Que dire pour aller vers la diffraction à travers un cristal? L'idée est de pouvoir servir de socle, ou de chapitre premier, à un chemin diffraction par les cristaux...
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Comme la dimension spatiale est fixe (3) et qu'il n'y a pas de gros calculs sommatoires à faire derrière, un indice numérique n'est en général pas utilisé et cette base la plupart du temps non orthonormée s'écrit :
Si on posait $`\overrightarrow{u_x}=\overrightarrow{u_1}`$, $`\overrightarrow{u_y}=\overrightarrow{u_2}`$ et $`\overrightarrow{u_z}=\overrightarrow{u_3}`$
en coordonnées cartésiennes, "base naurelle" et "base duale" sont les mêmes, la base cartésienne. Pas de distinction à faire entre coordonnées contravariantes et covariantes dans ce cas.
dna sun repère normé mais pas forcément orthogonal, liens entre coordonnées contravariantes (covariantes) et projection parallèle (orthogonale).
**Coordonnées et tenseur métrique**
**Géométrie euclidienne et géométries non-euclidiennes**
L'idée est la calcul de longueurs d'une courbe, d'une "surface", d'un volume d'une variété non euclidienne (on reste pseudo-riemmanienne, pour relativité générale).
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Une **Courbe $`\mathcal{C}`$ d'une variété $`\mathcal{V}`$** est une *sous-variété de $`\mathcal{V}`$ de dimension 1*.
C'est l'ensemble des points $`P`$ de $`\mathcal{V}`$ qui appartiennent à, et définissent, $`\mathcal{C}`$.
Chaque point $`P`$ possède $`N`$ coordonnées $`x^a(P)`$ dans $`\mathcal{V}`$, et une coordonnée unique $`u(P)`$ dans $`\mathcal{C}`$.
En terme de notation, de façon générale $`x^a)`$ désigne les N coordonnées de tout point de $`\mathcal{C}`$ dans $`\mathcal{V}`$, et $`u(P)`$ sa coordonnée relativement à $`\mathcal{C}`$.
$`\Longrightarrow`$ La courbe $`\mathcal{C}`$ dans $`\mathcal{V}`$ est **définie par les $`\mathbf{N}`$ équations $`\mathbf{x^a=x^a(u)}`$**.
La longueur $`S_{P_1P_2}`$ entre 2 points $`P_1`$ et $`P_2`$ sur la courbe $`\mathcal{C}`$, de coordonnées $`u_1`$ et $`u_2`$ s'écrit :
