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12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/40.gauss-theorem-applications/5.gauss-symetries-invariances/10.main/textbook.fr.md

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+title: 'Application du théorème de Gauss : 1° étape, symétries et invariances'
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+visible: true
+lessons:
+    -
+        slug: electrostatics-gauss-application-method-3
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+
+<!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
+$`\def\dens{\large{\varrho}\normalsize}`$
+$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
+$`\def\Ltau{\Large{\tau}\normalsize}`$
+$`\def\Sopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$
+$`\def\Sclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
+$`\def\Ssclosed{\mathscr{S}_{\scriptsize\bigcirc}}`$
+$`\def\PSopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$
+$`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
+
+!!!! *COURS EN CONSTRUCTION :* <br>
+!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com. 
+!!!! Ce cours est *en construction*, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade. <br>
+!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
+
+### Application du théorème de Gauss
+
+#### Introduction
+
+Dans les cas où il s'applique facilement, le **théorème de Gauss**, dans sa forme intégrale 
+comme dans sa forme locale, *remplace des calculs directs* qui seraient *très complexes* à mener.
+
+Pour cela, la **condition** est de *disposer d'un minimum d'informations* préliminaires
+à l'application du théorème. Il faut connaître :
+* la **direction du champ électrique $`\overrightarrow{E}`$** en tout point $`M`$ de l'espace.
+* le **nombre minimum de composantes** dont dépend du champ électrique $`\overrightarrow{E}`$, 
+et **leur identification**.
+
+Ces informations minimales sur le champ électrique $`\overrightarrow{E}`$,sont *extraites
+de l'étude des invariances et des symétries* de ses causes, c'est à dire dela  distribution 
+de charge à l'origine de ce champ $`\overrightarrow{E}`$.
+
+C'est pour cela que le théorème de Gauss n'est utilisable pour des distributions de
+charges simples, présentant des symétries et des invariances évidentes. 
+
+Ces distributions de charges sont :
+* des cylindres infinis pleins ou creux chargés.
+* des sphères pleines ou creuses chargés.
+* des plans infinis de toute épaisseur.
+
+qui doivent en outre présenter les invariances et symétries adéquates.
+
+Par contre, le théorème de superposition permet de déterminer le champ électrique 
+de toute combinaison de ces distributions de charges.
+
+!! *Pour aller plus loin* : *Théorème de Gauss et Électromagnétisme*
+!!
+!! L'étude du théorème de Gauss en électrostatique, à cette étape contrefort, permet 
+!! de se familiariser avec les concepts, et de calculer le champ électrostatique $`\overrightarrow{E}`$ 
+!! réé par des distributions immobiles de charge $`\dens`$ hautement invariantes et symétriques.
+!!
+!! *L'électromagnétisme permettra de calculer le champ électromagnétique 
+!! $`(\overrightarrow{E}, \overrightarrow{B})`$ créé par des distributions de charges 
+!! et de courants $`(\dens, \overrightarrow{j})`$ variables dans le temps*, avec 
+!! pour apport fondamental un couplage entre les champs $`\overrightarrow{E}`$ et
+!! $`\overrightarrow{B}`$ lorsque ceux-ci varient dans le temps.
+!!
+!! L'ensemble de *l'électromagnétisme est contenu dans quatre équations* appelées 
+!! équations *de Maxwell*. Ces quatre équations fondamentales exprimées sous forme locale,
+!! ont aussi une expression intégrale. Le théorème de Gauss, dans sa forme locale 
+!! comme dans sa forme intégrale, dans sa démonstration comme dans ses applications, 
+!! restera totalement inchangé en électromagnétisme.
+!!
+!! *Le théorème de Gauss*  est votre *première équation de Maxwell*, dans sa forme 
+!! locale comme dans sa forme intégrale. Dans le cadre de l'électromagnétisme, 
+!! il pourra être simplement renommer théorème de Maxwell-Gauss.
+
+La **première étape**, commune à l'application du théorème de **Gauss de forme intégrale
+comme de forme locale**, est donc l'*étude des symétries et invariances* de la distribution 
+de charge considérée.
+
+#### 1° étape : étude des invariances et symétries
+
+Au cours de cette étude, nous sommes amenés à :
+* **choisir le repère de l'espace** le mieux adapté à la distribution de charge, 
+sinon le nombre de composantes non nulles du champ  $`\overrightarrow{E}`$ seront 
+toujours au nombre de trois.
+* **déterminer les invariances** de la distribution de charge, afin d'identifier 
+les composantes nulles de $`\overrightarrow{E}`$. Si une composante de champ est nulle, 
+alors le champ de dépend pas de cette composante.
+* **identifier les plans de symétries et/ou d'antisymétries** suffisants pour déterminer
+la direction de $`\overrightarrow{E}`$.
+
+Reprenons ces 3 points.
+
+##### Choix du repère de l'espace
+
+Ce choix du repère de l'espace **résulte de l'observation** *des invariances et 
+des symétries* de la distribution de charge. 
+
+Mais celles-ci ne peuvent s'exprimer en terme de coordonnées et de vecteurs de base
+associés avant que ne soit explicitement précisé le repère.
+
+!!!! *Attention* :   
+!!!! Vous avez identifié un repère $`(O, \overrightarrow{e_{\alpha}},\overrightarrow{e_{\beta}},\overrightarrow{e_{\gamma}})`$ 
+!!!! comme étant bien adapté à la distribution de charge observée.   
+!!!!
+!!!! Si vous communiquez votre étude à d'autres (publication, travail en équipe, copie d'examen)
+!!!! il ne suffit pas de nommer le repère choisi. 
+!!!!
+!!!! *Il faut préciser la position de l'origine $`O`$ du repère et l'orientation des axes* 
+!!!! permettant de définir les coordonnées $`(\alpha, \beta, \gamma)`$ et les vecteurs 
+!!!! de base associés *en fonction des éléments descriptifs de la distribution*.
+!!!
+!!!! Sinon vous ne faites aucun couplage entre la distribution de charge observée 
+!!!! et le repère de l'espace choisi, et votre étude est alors vide de sens.
+
+!!! *Exemple* : un cylindre infini uniformément chargé
+!!! 
+!!! Le cylindre possède une symétrie de révolution autour d'un axe $`\Delta`$. 
+!!! Si vous choisissez le repère cylindrique $`(O, \overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$, 
+!!! précisez que l'axe $`Oz`$ est l'axe de révolution $`\Delta`$ du cylindre, l'origine $`O`$ 
+!!! pouvant être situé n'importe-où sur $`\Delta`$.
+!!!
+!!! Il est souvent plus simple et explicite de se référer à un schéma faisant apparaître 
+!!! la distribution des charges et le repère choisi.
+
+
+##### Etude des invariances
+
+L'étude des invariances :
+   * **identifie les composantes non nulles** (en nombre minimum) dont dépend $`\overrightarrow{E}`$.
+   * ne donne *aucune information sur la direction de $`\overrightarrow{E}`$*.
+<br>
+
+Soit un *système de coordonnées $`(\alpha, \beta, \gamma)`$*.   
+**De façon générale** *et en tout point de l'espace*, l'écriture la plus développée du vecteur champ électrique s'écrit :
+
+*$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\alpha}(\alpha, \beta, \gamma)\;\overrightarrow{e_{\alpha}}
++E_{\beta}(\alpha, \beta, \gamma)\;\overrightarrow{e_{\beta}}}`$*
+*$`\mathbf{+E_{\gamma}(\alpha, \beta, \gamma)\;\overrightarrow{e_{\gamma}}}`$*
+
+L'étude des invariances ne s'intéressant pas à la direction de $`\overrightarrow{E}`$, 
+le champ peut s'écrire ici plus simplement :
+
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(\alpha, \beta, \gamma)}`$**
+
+
+!!!! *Attention* :    
+!!!! Une *erreur* souvent observées et *ici barrée*, est d'écrire *pour cette écriture générale* :
+!!!!
+!!!! *$`\require{cancel}\mathbf{\overrightarrow{E}=\xcancel{E_{\alpha}(\alpha)}\overrightarrow{e_{\alpha}} + \xcancel{E_{\beta}(\beta)}\overrightarrow{e_{\beta}}+\xcancel{E_{\gamma(\gamma)}\overrightarrow{e_{\gamma}}}}`$*
+!!!!
+!!!! C'est bien sûr faux et la suite de l'étude le sera également.    
+!!!! Une composante vectorielle $`E_{\alpha}\;\overrightarrow{e_{\alpha}}`$ peut varier
+!!!! en amplitude $`E_{\alpha}`$ en se déplaçant dans les 3 directions de l'espace.
+!!!! $`E_{\alpha}`$ doit dépendre de façon générale des trois coordonnées $`(\alpha, \beta, \gamma)`$ :
+!!!!
+!!!! $`\mathbf{E_{\alpha}=E_{\alpha}(\alpha, \beta, \gamma)}`$ est correct.
+
+Une distribution de charge invariante $`\dens`$ par toute variation d'une coordonnée, 
+par exemple la coordonnée $`\alpha`$, créé un champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ 
+qui ne dépend pas de cette coordonnée $`\alpha`$.
+
+**$`\mathbf{\dens\,(\xcancel{\alpha},\beta, \gamma) =\dens\,(\beta,\gamma)}`$**
+**$`\mathbf{\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{E}\,(\xcancel{\alpha},\beta, \gamma)=\overrightarrow{E}\,(\beta, \gamma)}`$**
+
+Si de plus la distribution de charge $`\dens`$ est invariante par toute variation
+d'une autre coordonnée, par exemple la coordonnée $`\gamma`$, alors $`\overrightarrow{E}`$ 
+ne dépend pas non plus  de $`\gamma`$.
+
+**$`\mathbf{\left.\begin{array}{c}
+\dens\,(\xcancel{\alpha},\beta, \gamma) =\dens\,(\beta,\gamma) \\
+\dens\,(\alpha),\beta, \xcancel{\gamma}) =\dens\,(\alpha,\beta)
+\end{array}
+\right\}}`$$`\mathbf{\Longrightarrow \dens = \dens (\beta)\Longrightarrow \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}\,(\beta)}`$**
+
+
+
+
+##### Etude des symétries
+
+L'étude des symétries :
+   * **identifie la direction de $`\overrightarrow{E}`$**.
+   * ne donne *aucune information sur les composantes dont dépend $`\overrightarrow{E}`$*.
+
+<br>
+
+Le champ électrique **$`\overrightarrow{E}`$** est un **vecteur polaire**. Causé 
+par une distribution de charge $`\dens`$, il est donc :
+* *contenu dans tout plan de symétrie* de $`\dens`$.
+* *perpendiculaire à tout plan d'antisymétrie* de  $`\dens`$.
+
+<br>
+
+La **direction de $`\overrightarrow{E}`$** en un point $`M`$* est donc *déterminée dès* 
+la connaissance
+* d'un *plan unique d'antisymétrie* contenant le point $`M`$.
+* de *deux plans de symétrie* qui s'interceptent au point $`M`$.
+
+<br>
+
+La méthode pour **déterminer la direction de $`\overrightarrow{E}`$ en tout point
+de l'espace** consiste donc à *considérer un point $`M`$ quelconque* de l'espace, 
+et *rechercher les plans de symétrie ou d'antisymétrie qui passe par $`M`$* . 
+
+Soit un *système de coordonnées $`(\alpha, \beta, \gamma)`$*.   
+**De façon générale** *et en tout point de l'espace*, l'écriture la plus développée 
+du vecteur champ électrique s'écrit :
+
+*$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\alpha}(\alpha, \beta, \gamma)\;\overrightarrow{e_{\alpha}}
++E_{\beta}(\alpha, \beta, \gamma)\;\overrightarrow{e_{\beta}}}`$*
+*$`\mathbf{+E_{\gamma}(\alpha, \beta, \gamma)\;\overrightarrow{e_{\gamma}}}`$*
+
+L'étude des symétries ne s'intéressant pas aux composantes de $`\overrightarrow{E}`$ 
+mais seulement à sa direction, le champ peut s'écrire ici plus simplement :
+
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\alpha}\;\overrightarrow{e_{\alpha}}
++E_{\beta}\;\overrightarrow{e_{\beta}} +E_{\gamma}\;\overrightarrow{e_{\gamma}}}`$**
+
+Soit un **point $`M`$ quelconque** *de coordonnées $`(\alpha, \beta, \gamma)`$*.
+
+Si une distribution de charge $`\dens`$ comprend des charges négative et positives, 
+le regard cherchera d'abord la présence d'un plan d'antisymétrie pour $`\dens`$ qui contient $`M`$. 
+Si un tel plan existe, par exemple le plan $`\mathcal{P}_A`$ qui contient le point $`M`$ 
+et défini par les vecteurs $`\overrightarrow{e_{\alpha}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\gamma}}`$,
+alors $`\overrightarrow{E}`$ est perpendiculaire à ce plan et s'écrit
+$`\overrightarrow{E}=E_{\beta}\;\overrightarrow{e_{\beta}}`$.
+
+**$`\mathbf{\left.\begin{array}{c}
+\overrightarrow{E} \text{ est un vecteur polaire } \\
+\mathcal{P}_A\,(M, \overrightarrow{e_{\alpha}}, \overrightarrow{e_{\gamma}}) \text{ est plan d'antisymétrie }
+\end{array}
+\right\}}`$$`\mathbf{\Longrightarrow \overrightarrow{E}=E_{\beta}\overrightarrow{e_{\beta}}}`$**
+
+Si n'existe pas de plan d'antisymétrie passant par $`M`$, mais que tout point $`M`$ 
+appartient à deux plans de symétries, par exemples les plans 
+$`\mathcal{P}_{S1}\,(M, \overrightarrow{e_{\alpha}}, \overrightarrow{e_{\beta}})`$ et 
+$`\mathcal{P}_{S2}\,(M, \overrightarrow{e_{\beta}}, \overrightarrow{e_{\gamma}})`$, 
+alors la direction de $`\overrightarrow{E}`$ au point $`M`$ est celle de la droite 
+$`\Delta=(M,\overrightarrow{e_{\beta}})`$ intersection entre ces deux plans. 
+$`\overrightarrow{E}`$ s'écrit alors $`\overrightarrow{E}=E_{\beta}\;\overrightarrow{e_{\beta}}`$.
+
+**$`\mathbf{\left.\begin{array}{c}
+\overrightarrow{E} \text{ est un vecteur polaire } \\
+\mathcal{P}_{S1}\,(M, \overrightarrow{e_{\alpha}}, \overrightarrow{e_{\beta}}) \text{ est plan de symétrie} \\
+\mathcal{P}_{S2}\,(M, \overrightarrow{e_{\beta}}, \overrightarrow{e_{\gamma}}) \text{ est plan de symétrie} \\
+\end{array}
+\quad\right\}}`$$`\mathbf{\Longrightarrow \overrightarrow{E}=E_{\beta}\,\overrightarrow{e_{\beta}}}`$**
+
+
+
+##### Synthèse de l'étude des invariances et symétries.
+
+Il s'agit de rassembler au sein d'une même écriture les informations obtenues sur 
+l'expression du champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ en tout point de l'espace.
+
+Soit un *système de coordonnées $`(\alpha, \beta, \gamma)`$*.   
+Si l'étude des invariances de la distribution de charge conduit à 
+$`\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}\,(\beta)`$ et si l'étude des symétrie de la 
+distribution de charge conduit à $`\overrightarrow{E}=E_{\beta}\,\overrightarrow{e_{\beta}}`$
+alors en tout point de l'espace l'expression du champ électrique se limite à 
+$` \overrightarrow{E}=E_{\beta}\,(\beta)\,\overrightarrow{e_{\beta}}`$.
+
+**$`\mathbf{\left.\begin{array}{l}
+\text{Invariances}\Longrightarrow \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}\,(\beta) \\
+\text{Symétries}\;\;\Longrightarrow \overrightarrow{E}=E_{\beta}\,\overrightarrow{e_{\beta}}
+\end{array}\quad\right\}
+\,\Longrightarrow}`$
+$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\beta}\,(\beta)\,\overrightarrow{e_{\beta}}}`$**
+
+!!!! *Attention* :   
+!!!! Si en électrostatique l'étude de trois distributions de charge d'école conduit à :
+!!!! * $`\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_r\,(r)\;\overrightarrow{e_r}`$ en coordonnées 
+!!!! sphériques $`(r, \varphi, \theta)`$ pour une sphère uniformément chargée.
+!!!! * $`\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_{\rho}\,(\rho)\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$ 
+!!!! en coordonnées cylindriques $`(r, \varphi, \theta)`$ pour un cylindre infini uniformément chargé.
+!!!! * $`\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_z\,(z)\;\overrightarrow{e_z}`$ en coordonnées cartésiennes 
+!!! $`(x, y, z)`$ pour un plan $`xOy`$ uniformément chargé.
+!!!
+!!!! Il ne faut pas croire que toute composante de champ $`\overrightarrow{E}_{\alpha}`$ 
+!!!! ne peut varier qu'en fonction de la coordonnée $`\alpha`$.   
+!!!! Cela est vrai en magnétostatique dès cet étape contreforts. L'étude du champ magnétique 
+!!!! créé par des distributions de courants permanents donne :
+!!!! * $`\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}_{\theta}\,(\rho)\;\overrightarrow{e_{\theta}}`$ 
+!!!! en coordonnées cylindriques pour un fi infini.
+!!!! * $`\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}_{z}\,(\rho)\;\overrightarrow{e_z}`$ 
+!!!! en coordonnées cylindriques pour une bobine infinie.
+!!!!
+!!!! Cela sera d'autant plus vrai vrai en électromagnétisme à l'étape montagne. 
+!!!! Par exemple l'étude du champ électromagnétique $`(\overrightarrow{E}, \overrightarrow{B})`$ 
+!!!! créé par un fil conducteur parcouru par un courant variable donnera :    
+!!!! $`\left |\begin{array}{l} \quad\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_{\rho}\,(\rho,z)\;\overrightarrow{e_{\rho}}+\overrightarrow{E}_z\,(\rho,z)\;\overrightarrow{e_z} \\ \quad\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}_{\theta}\,(\rho,z)\;\overrightarrow{e_{\theta}} \end{array}\right.`$
+!!!! 
+!!!! S'il est bon de se souvenir du résultat d'exemples, il est important de garder un esprit ouvert,
+!!!! et de redémontrer à chaque cas, par l'étude des symétries et invariances, l'expression 
+!!!! générale du champ électrostatique $`\overrightarrow{E}`$ en tout point de l'espace. 
+!!!! Cet entraînement indispensable pour la suite doit commencer dès cette étape électrostatique.
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