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@@ -59,34 +59,336 @@ RÉSUMÉ
 
 à faire,
 
-idée, onde est perturbation d'un milieu matériel.
+#### L'effet Doppler classique, pour les ondes mécaniques
+
+
+* La vitesse de *propagation des ondes mécaniques* est toujouts *très inférieure à $`c`$* la
+  vitesse de la lumière dans le vide :   
+  <br>
+  **$`\large\mathbf{\boldsymbol{\mathscr{v}_{propag}\ll c}}`$**   
+  <br>
+  L'effet peut donc s'étudier dans le cadre de la physique classique, où *temps et espace*
+  sont indépendants et **universels**.   
+  <br>
+  Ainsi l'effet Doppler peut s'étudier à l'aide d'un graphique 2D classique, où :
+  * l'**axe vertical** représente le **temps**
+  * l'**axe horizontal**représente l'**espace**, soit la droite dans laquelle s'inscrivent
+  les déplacements de la source comme du capteur.
+
+* Il faut tenir compte de quatre instants :
+    * **$`\mathbf{t_1}`$** l'instant où une *source émet* une *première impulsion*.
+    * **$`\mathbf{t_1}'`$** l'instant où un *capteur détecte* cette *première impulsion*.
+    * **$`\mathbf{t_2}`$**  l'instant où la *source émet* une *deuxième impulsion*.
+    * **$`\mathbf{t_2}'`$** l'instant où le *capteur détecte* cette *deuxième impulsion*.   
+   
+   de trois vitesses, exprimées *par rapport au milieu matériel* :
+    * **$`\mathbf{\mathscr{v}_{propag}}`$** la *vitesse de propagation des impulsions*.
+    * **$`\mathbf{\mathscr{v}_{source}}`$** la *vitesse de la source*.
+    * **$`\mathbf{\mathscr{v}_{capteur}}`$** la *vitesse du capteur*.
+    
+*  **Trois cas** se distinguent :
+   * *$`\mathbf{\mathscr{v}_{source}\lt\mathscr{v}_{propag}}`$*
+   * *$`\mathbf{\mathscr{v}_{source}=\mathscr{v}_{propag}}`$*
+   * *$`\mathbf{\mathscr{v}_{source} > \mathscr{v}_{propag}}`$*
+   
+   !! <details markdown=1><summary>Pour aller plus loin : les différents régimes de vitesse en aéronautique.
+   !! </summary>
+   !!
+   !! L'aéronautique est un domaine où l'avion peut se déplacer dans l'air à une vitesse $`\mathscr{v}`$ inférieure, 
+   !! égale ou supérieure à la vitesse de propagation $`\mathscr{v}_{son}`$ de l'onde sonore qu'il génère.   
+   !!
+   !! Cette *vitesse du son* dépend de la *température* et de la *densité de l'air*.
+   !! Donnons par exemple :   
+   !! * $`\mathscr{v}_{son}\approx 340\,m\,s^{-1}\approx 1224\,km/h`$ au niveau de la mer et pour une température de $`20°C`$.
+   !! * $`\mathscr{v}_{son}\approx 295\,m\,s^{-1}\approx 1062\,km/h`$ à $`10000\,m`$ d'altitude et pour une température de $`-60°C`$.
+   !!
+   !! Le *Mach*, de symbole $`\mathbf{M}`$ est défini comme la vitesse relative de l'avion
+   !! par rapport à la vitesse du son à une altitude et une température données :   
+   !! $`\mathbf{M=\dfrac{\mathscr{v}}{\mathscr{v}_{son}}}`$   
+   !!
+   !! *Quatre régimes de vitesse* sont distingués :   
+   !! * Pour $`\mathbf{M \le 0.8}`$ la vitesse est dite *subsonique* ou *infrasonique*.   
+   !! * Pour $`\mathbf{0.8 \lt M \lt 1,2}`$ la vitesse est dite *transsonique*.   
+   !! * Pour $`\mathbf{1,2 \le M \le 5}`$ la vitesse est dite *supersonique*.   
+   !! * Pour $`\mathbf{ M \gt 5}`$ la vitesse est dite *hypersonique*.   
+   !! 
+   !! Le *mur du son* correpond à $`\mathbf{M = 1}`$
+   !! </details>
+
+
+##### 1 - Cas où $`\mathbf{\mathscr{v}_{source} \lt \mathscr{v}_{propag}}`$
+
+* C'est le cas où pour tout capteur, la **source** sera *toujours précédée par l'onde* qu'elle émet.
+<br>
+* Etudions le cas où le mouvement du capteur lui permet de recevoir toujours l'onde émise par la source.
+
+   * La *source émet* la **première impulsion à l'instant $`\mathbf{t_1}`$**.   
+
+   * Le *capteur détecte* cette **première impulsion à l'instant $`\mathbf{t_1}'`$**, alors qu'il 
+  est situé à la *distance $`\mathbf{d_{impuls.1}}`$  de la source* au moment de l'émission 
+  la première impulsion.  
+<br>
+$`\mathbf{d_{impuls.1}}`$ est donc la distance parcourue par l'impulsion entre son instant 
+$`\mathbf{t_1}`$ d'émission et l'instant $`\mathbf{t_1}'`$ où elle est détectée.    
+<br>
+Se propageant entre ces deux instants dans le milieu matériel à la vitesse $`\mathscr{v}_{prop}`$,
+tu as la première relation :   
+<br>
+*$`\mathbf{d_{impuls.1} = \mathscr{v}_{propag}\times (t_1' - t_1)}`$*   
 
-source et capteur sont immobiles ou ont chacun un déplacement propre par rapport au 
-milieu matériel.
+   * La *source émet* une **seconde impulsion à l'instant $`\mathbf{t_2}`$**.   
+<br>
+Figure ou animation à faire.  
+<br>
 
-La perturbation du milieu matériel se fait à chaque instant à la position occupée
-par la source à cet instant
+   * Le *capteur détecte* cette **seconde impulsion à l'instant $`\mathbf{t_2}'`$**, alors qu'il
+est situé à la *distance $`d_{impuls.2}`$ de la source* au moment où elle émet la seconde impulsion.   
+<br>
+$`\mathbf{d_{impuls.2}}`$ est donc la distance parcourue par la deuxième impulsion entre son instant $`\mathbf{t_2}`$
+d'émission et l'instant $`\mathbf{t_2'}`$ où elle est détectée. L'impulsion se propageant dans le milieu
+matériel à la vitesse $`\mathscr{v}_{propag}`$, tu as une deuxième relation :   
+<br>
+*$`\mathbf{d_{impuls.2} = \mathscr{v}_{propag}\times (t_2' - t_2)}`$*.   
 
-La vitesse de propagation de la perturbation est relative au milieu dans laquelle elle se propage
-Cette vitesse est propre au milieu, et indépendante de la vitesse de la source qui l'émet et de
-la vitesse du capteur qui la détecte relativement ai milieu
+* Avant une synthèse finale, **plusieurs cas** sont à étudier selon les mouvements de la source et du capteur, 
+  donnant des *expressions différentes de l'effet Doppler* :
 
-peut-être visualisation de ces trois vitesses, avec une onde qui se propage dans un milieu,
-émise par une source puis captée par un milieu qui se déplacent chacun dans sa propre direction
-et à sa propre vitesse dans le milieu (en pensant et préparant son pendant pour l'effet Doppler relativiste,
-avec absence de "milieu de propagation objectif")
+<br>
 
-idée, donner la formule générale, avec vitesse en notation algébriques, puis
+----------------
 
-comme c'est compliqué à ce niveau, redonner ici les 4 cas :
+   * **Source et capteurs s'éloignent**, et se dirigent en *sens inverse*
 
 ![](https://m3p2.com/fr/temporary-m3p2/waves/images-sounds/doppler-sound-barrier/doppler-1-n2_L1200.png)
+<br>
+
+* **$`\mathbf{d_{impuls.2}}`$** est donc la distance **$`\mathbf{d_{impuls.1}}`$** à laquelle *il faut* : 
+  * *ajouter la distance $`\mathbf{d_{source}}`$* parcourue par la source pendant 
+  la durée séparant l'émission des deux impulsions :   
+ *$`\mathbf{d_{source}=\mathscr{v}_{source}\times (t_2 - t_1)}`$*.   
+ <br>
+   * *ajouter la distance $`\mathbf{d_{capteur}}`$*  parcourue par le capteur 
+   pendant la durée séparant la réception deux impulsions :   
+ *$`\mathbf{d_{capteur} = \mathscr{v}_{capteur}\times (t_2' - t_1')}`$*.
+<br>
+
+* Tu obtiens ainsi :   
+<br>
+**$`\mathbf{d_{impuls.2} = d_{impuls.1}}`$** *$`\mathbf{\, + d_{source} + d_{capteur}}`$*   
+<br>
+$`\color{blue}{\scriptsize{soit}}`$   
+<br>
+$`\begin{align}
+\underbrace{\mathscr{v}_{propag.}\cdot (t_2' - t_2)}_{\color{blue}{d_{impuls.2}}}&=
+\underbrace{\mathscr{v}_{propag.}\cdot (t_1' - t_1)}_{\color{blue}{d_{impuls.1}}}\\
+& \hspace{1cm} + \underbrace{\mathscr{v}_{source}\cdot (t_2 - t_1)}_{\color{blue}{d_{source}}}\\
+& \hspace{2cm} +\underbrace{\mathscr{v}_{capteur}\cdot (t_2' - t_1')}_{\color{blue}{d_{capteur}}}
+\end{align}`$   
+<br>
+$`\color{blue}{\scriptsize{\text{si cette étape t'est nécessaire, simplifie la manipulation
+à venir }}}`$   
+$`\color{blue}{\scriptsize{\text{en évitant les produits de somme :}}}`$  
+<br>
+$`\begin{align}
+\mathscr{v}_{propag.}\,t_2' - \mathscr{v}_{propag.}\,t_2 &= \mathscr{v}_{propag.}\,t_1' -  \mathscr{v}_{propag.}\,t_1\\
+& \hspace{0.6cm} + \mathscr{v}_{source}\,t_2 - \mathscr{v}_{source}\,t_1\\
+& \hspace{0.6cm} +\mathscr{v}_{capteur}\,t_2' - \mathscr{v}_{capteur}\,t_1'
+\end{align}`$   
+<br>
+$`\color{blue}{\scriptsize{\text{Sépare d'un côté de l'équation les instants en ' propres
+}}}`$  
+$`\color{blue}{\scriptsize{\text{  à la réception,et de l'autre les instants propres à l'émission :
+}}}`$  
+<br>
+$`\begin{align}
+&\mathscr{v}_{propag.}\,t_2' - \mathscr{v}_{propag.}\,t_1' - \mathscr{v}_{capteur}\,t_2'+ \mathscr{v}_{capteur}\,t_1'\\
+& \hspace{0.2cm} =  \mathscr{v}_{propag.}\,t_2 -  \mathscr{v}_{propag.}\,t_1 + \mathscr{v}_{source}\,t_2 - \mathscr{v}_{source}\,t_1 
+\end{align}`$   
+<br>
+$`\color{blue}{\scriptsize{\text{et simplifie l'expression en factorisant :}}}`$   
+<br>
+$`\begin{align}
+&\mathscr{v}_{propag.}\,(t_2' - t_1') - \mathscr{v}_{capteur}\,(t_2' - t_1') \\
+&\hspace{1cm} = \mathscr{v}_{propag.}\,(t_2 - t_1) + \mathscr{v}_{source}\,(t_2 - t_1)
+\end{align}`$   
+<br><br>
+$`\begin{align}
+& (t_2' - t_1')\; (\mathscr{v}_{propag.} - \mathscr{v}_{capteur})\\
+&\hspace{1cm} = (t_2 - t_1)\;(\mathscr{v}_{propag.}+ \mathscr{v}_{source})
+\end{align}`$   
+<br>
+$`\color{blue}{\scriptsize{\text{Au final, tu obtiens :}}}`$   
+<br>
+$`\boldsymbol{\mathbf{(t_2' - t_1')= (t_2 - t_1)\cdot \dfrac{\mathscr{v}_{propag.}+ \mathscr{v}_{source}}
+{\mathscr{v}_{propag.} - \mathscr{v}_{capteur}}}}`$
+
+<br>
+
+-----------------
+
+   * **Source et capteurs se rapprochent**, se dirigeant en *sens inverse*
 
 ![](https://m3p2.com/fr/temporary-m3p2/waves/images-sounds/doppler-sound-barrier/doppler-2-n2_L1200.png)
 
-![](https://m3p2.com/fr/temporary-m3p2/waves/images-sounds/doppler-sound-barrier/doppler-3-n2_L1200.png)
+<br>
+* **$`\mathbf{d_{impuls.2}}`$** est donc la distance **$`\mathbf{d_{impuls.1}}`$** à laquelle *il faut* : 
+  * *soustraire la distance $`\mathbf{d_{source}}`$* parcourue par la source pendant 
+  la durée séparant l'émission des deux impulsions :   
+ *$`\mathbf{d_{source}=\mathscr{v}_{source}\times (t_2 - t_1)}`$*.   
+ <br>
+   * *soustraire la distance $`\mathbf{d_{capteur}}`$*  parcourue par le capteur 
+   pendant la durée séparant la réception deux impulsions :   
+ *$`\mathbf{d_{capteur} = \mathscr{v}_{capteur}\times (t_2' - t_1')}`$*.
+<br>
+
+* Tu obtiens ainsi :   
+<br>
+**$`\mathbf{d_{impuls.2} = d_{impuls.1}}`$** *$`\mathbf{\, - d_{source} - d_{capteur}}`$*  
+<br>
+
+* Un **calcul** *analogue au précédent* te conduit à :   
+<br>
+$`\boldsymbol{\mathbf{(t_2' - t_1')= (t_2 - t_1)\cdot \dfrac{\mathscr{v}_{propag.}- \mathscr{v}_{source}}
+{\mathscr{v}_{propag.} + \mathscr{v}_{capteur}}}}`$
+
+
+<br>
+
+-----------------
+
+   * **Source et capteurs se rapprochent**, se dirigeant tous deux dans le *sens 
+     de propagation* de l'onde qui les relie
 
 ![](https://m3p2.com/fr/temporary-m3p2/waves/images-sounds/doppler-sound-barrier/doppler-3-n2_L1200.png)   
+br>
+* **$`\mathbf{d_{impuls.2}}`$** est donc la distance **$`\mathbf{d_{impuls.1}}`$** à laquelle *il faut* : 
+  * *soustraire la distance $`\mathbf{d_{source}}`$* parcourue par la source pendant 
+  la durée séparant l'émission des deux impulsions :   
+ *$`\mathbf{d_{source}=\mathscr{v}_{source}\times (t_2 - t_1)}`$*.   
+ <br>
+   * *ajouter la distance $`\mathbf{d_{capteur}}`$*  parcourue par le capteur 
+   pendant la durée séparant la réception deux impulsions :   
+ *$`\mathbf{d_{capteur} = \mathscr{v}_{capteur}\times (t_2' - t_1')}`$*.
+<br>
+
+* Tu obtiens ainsi :   
+<br>
+**$`\mathbf{d_{impuls.2} = d_{impuls.1}}`$** *$`\mathbf{\, - d_{source} + d_{capteur}}`$*  
+<br>
+
+* Un **calcul** *analogue au précédent* te conduit à :   
+<br>
+$`\boldsymbol{\mathbf{(t_2' - t_1')= (t_2 - t_1)\cdot \dfrac{\mathscr{v}_{propag.}- \mathscr{v}_{source}}
+{\mathscr{v}_{propag.} - \mathscr{v}_{capteur}}}}`$
+
+<br>
+
+-----------------
+
+   * **Source et capteurs se rapprochent**, se dirigeant tous deux dans le *sens 
+     contraire à la propagation* de l'onde qui les relie
+
+
+![](https://m3p2.com/fr/temporary-m3p2/waves/images-sounds/doppler-sound-barrier/doppler-4-n2_L1200.png)
+<br>
+* **$`\mathbf{d_{impuls.2}}`$** est donc la distance **$`\mathbf{d_{impuls.1}}`$** à laquelle *il faut* : 
+  * *ajouter la distance $`\mathbf{d_{source}}`$* parcourue par la source pendant 
+  la durée séparant l'émission des deux impulsions :   
+ *$`\mathbf{d_{source}=\mathscr{v}_{source}\times (t_2 - t_1)}`$*.   
+ <br>
+   * *soustraire la distance $`\mathbf{d_{capteur}}`$*  parcourue par le capteur 
+   pendant la durée séparant la réception deux impulsions :   
+ *$`\mathbf{d_{capteur} = \mathscr{v}_{capteur}\times (t_2' - t_1')}`$*.
+<br>
+
+* Tu obtiens ainsi :   
+<br>
+**$`\mathbf{d_{impuls.2} = d_{impuls.1}}`$** *$`\mathbf{\, + d_{source} - d_{capteur}}`$*  
+<br>
+
+* Un **calcul** *analogue au précédent* te conduit à :   
+<br>
+$`\boldsymbol{\mathbf{(t_2' - t_1')= (t_2 - t_1)\cdot \dfrac{\mathscr{v}_{propag.} + \mathscr{v}_{source}}
+{\mathscr{v}_{propag.} + \mathscr{v}_{capteur}}}}`$
+
+<br>
+
+-----------------
+
+* **Synthèse des différents cas**
+
+<br>
+**$`\large\boldsymbol{\mathbf{(t_2' - t_1')= (t_2 - t_1)\cdot \dfrac{\mathscr{v}_{propag.} \pm \mathscr{v}_{source}}
+{\mathscr{v}_{propag.} \pm \mathscr{v}_{capteur}}}}`$**   
+<br>
+avec :
+
+   * **$`\large{+}\,\mathscr{v}_{source}`$** si la *source* va dans le *sens inverse de propagation*.
+   * **$`\large{-}\,\mathscr{v}_{source}`$** si la *source* va dans le *sens de la propagation*.
+   * **$`\large{+}\,\mathscr{v}_{capteur}`$** si le *capteur* va dans le *sens inverse de propagation*.
+   * **$`\large{-}\,\mathscr{v}_{capteur}`$** si le *capteur* va dans le *sens de la propagation*.
+<br><br>
+
+!! *Pour aller plus loin : La notation algébrique*
+!!
+!! à faire
+
+
+*Effet Doppler classique et ondes périodiques*
+
+* Ces **deux impulsions** représentent un même *trait caractéristique du motif 
+temporel* d'une onde périodique, considérées *sur deux motifs consécutifs*.   
+La durée entre ces deux impulsions représente alors la **période temporelle $`T`$ ** de l'onde :   
+<br><br>
+$`\boldsymbol{\mathbf{(T_{capteur})= (T_{source})\cdot \dfrac{\mathscr{v}_{propag.} \pm \mathscr{v}_{source}}
+{\mathscr{v}_{propag.} \pm \mathscr{v}_{capteur}}}}`$ 
+<br><br>
+
+
+* S'adressant à des ondes périodiques, l'**effet Doppler** s'exprime le plus souvent
+en *fonction de la fréquence $`\nu`$* de l'onde :   
+<br>
+$`\big(T_{capteur}\big)^{-1}= 
+\underbrace{
+\Big(T_{source}\cdot\dfrac{\mathscr{v}_{propag.}\pm \mathscr{v}_{source}}{v_{propag.} 
+\pm \mathscr{v}_{capteur}}\Big)^{-1}
+}_{
+\color{blue}{(xy)^m = x^m\,y^m}
+}`$   
+<br><br>
+$`\underbrace{\big(T_{capteur}\big)^{-1}}_{
+\color{blue}{\nu = 1\,/\,T}}
+= \underbrace{\big(T_{source}\big)^{-1}}_{
+\color{blue}{\nu = 1\,/\,T}}
+\cdot \left(\dfrac{\mathscr{v}_{propag.}
+\pm \mathscr{v}_{source}}{\mathscr{v}_{propag.} \pm \mathscr{v}_{capteur}}\right)^{-1}`$   
+<br>
+<br>
+**$`\large\boldsymbol{\mathbf{\boldsymbol{\nu_{capteur}= \nu_{source}\cdot \dfrac{\mathscr{v}_{propag.}
+\pm \mathscr{v}_{capteur}}{\mathscr{v}_{propag.} \pm \mathscr{v}_{source}}}}}`$**
+
+<br>
+*Effet Doppler classique et ondes non-périodiques*
+
+à faire.
+
+<br>
+*Effet Doppler classique et évènements indépendants*
+
+à faire
+
+! *Note :*
+! 
+! Cet effet Doppler entre deux évènements distincts perçus par un
+! observateur grâce à une onde matérielle qu'ils émettent, est un
+! phénomène classique tout à fait intuitif et compréhensible.
+!
+! Il ne doit pas être confondu avec le phénomène de contraction des durées,
+! plus subtile et d'ampleur moindre dans le monde de tous les jours, décrit
+! par la théorie de la relativité restreinte, puis générale.
+
+<br><br>
+
 
 rajouter effet sonore