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@@ -1075,14 +1075,82 @@ _La superposition de deux ondes harmoniques est une onde harmonique._
 
 représentation de Fresnel, à faire.
 
+* Les deux OPPH se superposent en un point $`x_0`$ de l'espace.    
+  Elles s'écrivent en fonction du temps :    
+  <br>
+  En *notation réelle* :   
+   * $`U_1(t) = A_1\cdot cos(wt-kx+\varphi_1) = A_1\cdot cos \,\theta_1(t)`$   
+   * $`U_2(t) = A_2\cdot cos(wt-kx+\varphi_2) = A_1\cdot cos \,\theta_2(t)`$   
+  <br>
+  En *notation commlexe* :  
+   * $`\underline{U}_1(t) = A_1\,e^{\,i\,\theta_1(t)}`$   
+   * $`\underline{U}_2(t) = A_2\,e^{\,i\,\theta_2(t)}`$   
+  <br>
+  Et se décrivent en *représentation de Fresnel* par deux vecteurs tournants :    
+   * $`\overrightarrow{U}_1`$ d'amplitude $`A_1`$ qui tourne à la pulsation $`\omega`$
+     avec un déphasage à l'origine $`\varphi_1`$.
+   * $`\overrightarrow{U}_2`$ d'amplitude $`A_2`$ qui tourne à la même pulsation $`\omega`$
+     avec un déphasage à l'origine $`\varphi_2`$.    
+
 ![](sum-two-plane-wave-progressive-monochrome-complex-representation-1_L1200.gif)
 
+* Soit $`U_(t)`$ l'onde résultante de la superposition de $`U_1(t)`$ et $`U_2(t)`$   
+  et $`\overrightarrow{U}(t)`$ son vecteur représentatif.
+  <br>
+  $`U_1(t)`$ et $`U_2(t)`$ ayant la même pulsation, leur différence de phase $`\varphi_2 - \varphi_1`$
+  reste stationnaire.
+  $`\Longrightarrow\quad $`\overrightarrow{U}(t)`$ est un vecteur de norme constante qui tourne à la pulsation $`\omega`$.   
+  Il représente une OPPH d'écritures réelle et complexe :   
+   * $`U(t) = A\, cos \,\theta(t)`$    
+   * $`\underline{U}(t) = A\,e^{\,i\,\theta(t)}`$    
+  et telle que son amplitude soit la norme du vecteur $`U_(t)`$ :   
+   $`A = \|\overrightarrow{U}\|`$
+
+![](sum-two-plane-wave-progressive-monochrome-complex-representation-3_L1200.jpg)
+
+* Calculons l'amplitude de l'onde résultante avec la représentation de Fresnel.
+
+$`\mathbf{A = \|\overrightarrow{U}\| =\sqrt{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}}
+=\sqrt{\big(\overrightarrow{U}_1 + \overrightarrow{U}_2\big)\cdot\big(\overrightarrow{U}_1 + \overrightarrow{U}_2\big)}}`$
+
+$`\mathbf{ =
+ \sqrt{\overrightarrow{U}_1\cdot\overrightarrow{U}_1 + \overrightarrow{U}_2\cdot\overrightarrow{U}_2+2\;\overrightarrow{U}_1\cdot\overrightarrow{U}_2}}`$
+
+$`\mathbf{ =
+ \sqrt{\|\overrightarrow{U}_1\|^2+ \|\overrightarrow{U}_2\|^2+2\;\|\overrightarrow{U}_1\|\;\|\overrightarrow{U}_2\|\;cos\Big(\widehat{\overrightarrow{U}_1,\overrightarrow{U}_2}\Big)}}`$
+
+$`\mathbf{ =
+ \sqrt{A_1^2\;+\;A_2^2\;+\;
+2 \;A_1\,A_2\;cos(\varphi_2-\varphi_1)}}`$
+
+* Calculons l'amplitude de l'onde résultante en notation complexe.  
+
+$`\mathbf{A = \sqrt{\underline{A}\,\underline{A}^*}`$
+
+$`=\sqrt{(A_1\,e^{\,i\,\theta_1}+A_2\,e^{\,i\,\theta_2})\ cdot(A_1\,e^{\,-i\,\theta_1}+A_2\,e^{\,-i\,\theta_2})}`$
+
+$`=\sqrt{(A_1\,e^{\,i\,\theta_1}+A_2\,e^{\,i\,\theta_2})\ cdot(A_1\,e^{\,-i\,\theta_1}+A_2\,e^{\,-i\,\theta_2})}`$
+
+$`=\sqrt{A_1^2\,e^0 +A_2\,e^0 + A_1 e^{\,i\,\theta_1} A_2\,e^{\,-i\,\theta_2} + A_1 e^{\,-i\,\theta_1} A_2\,e^{\,i\,\theta_2}}`$
+
+$`=\sqrt{A_1^2 +A_2 + A_1A_2\,\big( e^{\,i\,(\theta_1 -\theta_2)} + e^{\,-i\,(\theta_1 - \theta_2}}`$
+
+$`=\sqrt{A_1^2 +A_2 + 2\,A_1A_2\,cos\,(\theta_1 -\theta_2)}`$
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 ![](sum-two-plane-wave-progressive-monochrome-complex-representation-2_L1200.gif)
 
 
-![](sum-two-plane-wave-progressive-monochrome-complex-representation-3_L1200.jpg)
+
 
 $`\mathbf{A = \|\overrightarrow{U}\| =\sqrt{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}}
 =\sqrt{\big(\overrightarrow{U}_1 + \overrightarrow{U}_2\big)\cdot\big(\overrightarrow{U}_1 + \overrightarrow{U}_2\big)}}`$