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12.temporary_ins/02.arithmetic-number-theory/10.n1/10.integers-and-their-representation/20.overview/cheatsheet.fr.md

+---
+title: 'Les nombres entiers et leurs représentations'
+published: true
+routable: true
+visible: true
+lessons:
+    -
+        slug: numbers-and-their-representations
+        order: 2
+    -
+        slug: write-numbers-in-different-bases
+        order: 2
+---
+
+### Les nombres et leurs représentations
+
+!!!!  <details>
+!!!! <summary> Cours en construction, non validé à ce stade </summary>  
+!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.   
+!!!!  Ce cours est en phase très préliminaire, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.   
+!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
+!!!! </details>
+
+Très, très, très préliminaire ! C'est juste un brainstorming.
+
+##### Randonnée Plaine : &nbsp; _conseillée_
+
+<!---------------------------
+
+Égalité, bases, nombres en mathématique.
+
+Pour un affichage en parallèle avec Égalité, nombres et natures des choses, caractériser et mesurer, 
+pour échanger. Avec pour objectif : pour que les enfants indiens de ce reportage, 
+qui ne se trompent jamais pour compter et rendre la monnaie sur le marché et qui 
+pourtant ne réussissent pas à compter à l'école, puissent faire le lien. Et pour 
+cette proportion importante d'étudiants entrant à l'université, pour qui les unités
+de mesure et l'homogénéïté des équations ne sont pas importantes... Thème à poursuivre 
+dans des arborescences aux niveaux supérieurs.
+
+
+Idées pour ce niveau, dans le désordre :
+
+* distinguer un nombre d'objets de la nature des objets    
+$`\Longrightarrow`$ la mathématique ne s'intéresse qu'aux nombres.
+
+* Quel nombre maximum d'objets pouvons-nous identifier et distinguer intuitivement, sans compter?
+Au-delà de ce nombre, nous voyons seulement une multitude d'objets que nous devrons apprendre à compter.   
+    * travailler avec 3, compter et écrire les nombres en base 3.
+    * travailler avec 5, compter et écrire les nombres en base 5.
+    * travailler avec 10, compter et écrire les nombres dans notre base 10 usuelle.
+    * indiquer la base 2 (avec quelques exercices) : base de travail des ordinateurs classiques actuels.
+    * point culturel : la base hexadécimale.
+    * vers de nouveau ordinateurs classiques mais non binaires.
+
+Puis, exclusivement en base 10 :
+
+* Egalité entre nombres entiers naturels.
+* Inégalité entre nombres entiers naturels.
+
+
+* addition, soustraction, multiplication, division, puissance n de 10, racine n d'un nombre.... (à réflechir)
+* point "au-delà" : retour sur la décomposition d'un nombre entier en somme de puissances de 3 : base 3
+
+* fractions, les nombres décimaux
+* les entiers relatifs, les nombres décimaux relatifs.
+
+Hyper-important :
+
+* les tables d'addition et de multiplication.   
+mémoriser, beaucoup de tests.   
+Un test de type des "chiffres et des lettres" côté chiffres en exo js?
+
+
+Premières figures stockées dans le désordre.
+
+--------------------->
+
+#### L'unique et le multiple.
+
+_(donc, pour la suite, et affichable dans un mode parallèle, une idée est de faire "L'unique et la fraction".
+Parler de partie non fractionnaire, donc de nombre irrationnel à ce niveau un ? Je ne sais pas.
+A voir avec les programmes français de collège, et des mathématiciens...)_
+
+
+
+##### Quelle différence entre chaque scène du tableau A et chaque scène du tableau B ?
+
+à faire
+
+##### Que signifie une égalité ?
+
+à faire
+
+##### Jusqu'où va ma maîtrise intuitive du multiple ?
+
+à faire
+
+##### Qu'est-ce qu'un nombre ?
+
+à faire
+
+#### Comment comparer deux grands multiples ?
+
+Hypothèse, je ne distingue intuitivement que $`\color{grey}{\Large\;\bullet}\;\;`$ , 
+$`\color{grey}{\Large\;\;\bullet\bullet\;\;}`$  et $`\color{grey}{\Large\;\;\bullet\bullet\bullet}`$
+
+
+<!----propablement à supprimer, pour ne garder que l'égalité fauuse---
+##### Première égalité 
+
+![](true-equality-2_v2_L1200.jpg)   
+![](true-or-false-equality-fr_L1200.jpg)
+
+![](true-equality-2_v2_L1200.jpg)   
+![](true-or-false-equality-es_L1200.jpg)
+
+![](true-equality-2_v2_L1200.jpg)   
+![](true-or-false-equality-en_L1200.jpg)
+
+----------------------->
+
+Je prends comme exemple l'égalité suivante :
+
+![](false-equality-2_v2_L1200.jpg)  
+![](true-or-false-equality-fr_L1200.jpg)
+
+<!----------------------------
+![](false-equality-2_v2_L1200.jpg)   
+![](true-or-false-equality-es_L1200.jpg)
+
+![](false-equality-2_v2_L1200.jpg)   
+![](true-or-false-equality-en_L1200.jpg)
+------------------------------>
+
+Comment savoir si cette égalité est vraie ou fausse ?
+
+
+##### Je mets en correspondance chaque unité à gauche avec une unité à droite.
+
+à faire
+
+Parler un peu ici... bijection sans le dire.   
+Inconvénient de la méthode dans la réalité, il faut que les deux ensembles d'unités soient côte à côte.
+
+##### J'invente un symbole pour chaque multiple.
+
+à faire
+
+Parler un peu ici ... demance de mémoriser et de savoir écrire beaucoup de symboles différents (chiffres),   
+et cela limite la maîtrise de la multitude à quelques dizaines d'unités.
+
+
+--------------------
+
+<br>
+
+#### Un système très efficace,<br> n'utilisant que $`\color{grey}{\Large\;\;\bullet\bullet\bullet}`$ symboles.
+
+à faire :
+
+symbole pour l'unicité $`\color{grey}{\Large\bullet}`$ : $`\Large{1}`$   
+symbole pour le multiple $`\color{grey}{\Large\bullet\,\bullet}`$ : $`\Large{2}`$   
+Idée géniale : pas de symbole pour $`\color{grey}{\Large\bullet\,\bullet\,\bullet}`$,
+mais dès que j'atteins $`\color{grey}{\Large\bullet\,\bullet\,\bullet}`$, je les regroupe dans un ensemble $`\color{green}{\LARGE\circ}`$.
+
+pas simple à expliquer simplement.
+
+##### Comment maîtriser le multiple de gauche ?
+
+![](premier-terme-egale-deuxieme-terme_L1200.jpg)   
+![](equality-member1_L1200.jpg)
+
+##### Comment maîtriser le multiple de gauche ?
+
+![](premier-terme-egale-deuxieme-terme_L1200.jpg)   
+![](false-equality-member1_v5_L1200.jpg)
+
+J'entoure chaque $`\color{grey}{\Large\bullet\,\bullet\,\bullet}`$ avec un $`\color{green}{\LARGE\circ}`$
+
+![](base-nombre-1term-1-equality-true_v2_L1200.gif)
+
+J'entoure chaque $`\color{grey}{\Large\bullet\,\bullet\,\bullet}`$ avec un $`\color{green}{\LARGE\circ}`$
+
+![](base-nombre-1term-1-equality-true_v5_L1200.gif)
+
+Il y a au moins $`\color{green}{\LARGE\circ\,\circ\,\circ}`$.   
+J'entoure chaque $`\color{green}{\LARGE\circ\,\circ\,\circ}`$ avec un $`\color{blue}{\huge\circ}`$
+
+![](base-nombre-1term-2-equality-true_L1200.gif)
+
+Il y a au moins $`\color{green}{\LARGE\circ\,\circ\,\circ}`$.   
+J'entoure chaque $`\color{green}{\LARGE\circ\,\circ\,\circ}`$ avec un $`\color{blue}{\huge\circ}`$
+
+![](base-nombre-1term-2-equality-true_v5_L1200.gif)
+
+Il y a au moins $`\color{blue}{\huge\circ\,\circ\,\circ}`$.   
+J'entoure chaque $`\color{blue}{\huge\circ\,\circ\,\circ}`$ avec un $`\color{magenta}{\Huge\circ}`$
+
+![](base-nombre-1term-3-equality-true_L1200.gif)
+
+Il y a au moins $`\color{blue}{\huge\circ\,\circ\,\circ}`$.   
+J'entoure chaque $`\color{blue}{\huge\circ\,\circ\,\circ}`$ avec un $`\color{magenta}{\Huge\circ}`$
+
+![](base-nombre-1term-3-equality-true_v5_L1200.gif)
+
+Il n'y a plus de $`\color{magenta}{\Huge\circ\,\circ\,\circ}`$.   
+Je m'arrête ici.
+
+<br>
+
+##### Comment écrire ce nombre de $`\color{grey}{\Large\bullet}`$ ?
+
+Je vais **compter** le nombre de $`\color{grey}{\Large\bullet}`$, de $`\color{green}{\LARGE\circ}`$,
+de $`\color{blue}{\huge\circ}`$ et de $`\color{magenta}{\Huge\circ}`$ (*avec les chiffres $`1`$ et $`2`$*).
+<br>
+Puis j'écris ces **résultats dans un tableau** :
+
+![](base-nombre-ecriture-sens-base-tableau_L1200.gif)   
+![](du-plus-petit-au-plus-grand_L1200.jpg)
+_Les mêmes figures en espagnol et anglais sont prêtes._
+
+Je vais **compter** le nombre de $`\color{grey}{\Large\bullet}`$, de $`\color{green}{\LARGE\circ}`$,
+de $`\color{blue}{\huge\circ}`$ et de $`\color{magenta}{\Huge\circ}`$ (*avec les chiffres $`1`$ et $`2`$*).
+<br>
+Puis j'écris ces **résultats dans un tableau** :
+
+![](base-nombre-ecriture-sens-base-tableau_v5_L1200.jpg)   
+![](du-plus-petit-au-plus-grand_v5_L1200.jpg)
+
+<!------------------------------------
+
+![](base-nombre-ecriture-sens-base-tableau_L1200.gif)   
+![](de-mas-paqueno-a-mas-grande_L1200.jpg)
+
+![](base-nombre-ecriture-sens-base-tableau_L1200.gif)   
+![](from-least-to-greatest_L1200.jpg)
+
+-------------------------------------->
+
+<br>
+
+##### Il n'y a pas de $`\color{grey}{\Large\bullet}`$ isolée ... Comment écrire ce résultat?   
+
+J'invente un **nouveau chiffre** qui **signifie l'absence**, que j'appelle "*zéro*" et que je note *$`0`$*.
+
+![](integer-30b-base3-writing_L1200.gif)
+
+J'invente un **nouveau chiffre** qui **signifie l'absence**, que j'appelle "*zéro*" et que je note *$`0`$*.
+
+![](integer-30b-base3-writing_v5_L1200.gif)
+
+Dans cette **base** qui n'utilise que les **chiffres   
+$`\Large 1\,,\,2\,\text{ et }\,0`$**,   
+le nombre qui représente de *terme de gauche* de l'égalité s'écrit *$`\Large1110`$*.
+
+![](true-equality-2_a_L1200.gif)
+
+
+##### Comment maîtriser le multiple de droite ?
+
+![](premier-terme-egale-deuxieme-terme_L1200.jpg)   
+![](false-equality-member2_L1200.jpg)
+
+##### Comment maîtriser le multiple de droite ?
+
+![](premier-terme-egale-deuxieme-terme_L1200.jpg)   
+![](false-equality-member2_v5_L1200.jpg)
+
+J'utilise la **même technique**.
+
+J'entoure chaque $`\color{grey}{\Large\bullet\,\bullet\,\bullet}`$ avec un $`\color{green}{\LARGE\circ}`$
+
+![](base-nombre-2term-1-equality-false_L1200.gif)
+
+J'utilise la **même technique**.
+
+J'entoure chaque $`\color{grey}{\Large\bullet\,\bullet\,\bullet}`$ avec un $`\color{green}{\LARGE\circ}`$
+
+![](base-nombre-2term-1-equality-false_v5_L1200.gif)
+
+Je peux déjà dire :
+
+![](false-equality-1-b_L1200.jpg)
+
+Si seule cette égalité m'intéresse, je peux m'arrêter ici.  
+
+Mais peut-être j'aurais à comparer plus tard ce terme de droite dans une autre égalité.
+Je souhaite donc écrire le nombre correspondant à ce terme :
+
+![](base-nombre-2term-2-equality-false_L1200.gif)
+
+![](base-nombre-2term-3-equality-false_L1200.gif)
+
+![](integer-30b-base3-writing-b_L1200.gif)
+
+Si seule cette égalité m'intéresse, je peux m'arrêter ici.  
+
+Mais peut-être j'aurais à comparer plus tard ce terme de droite dans une autre égalité.
+Je souhaite donc écrire le nombre correspondant à ce terme :
+
+![](base-nombre-2term-2-equality-false_v5_L1200.gif)
+
+![](base-nombre-2term-3-equality-false_v5_L1200.gif)
+
+![](integer-30b-base3-writing-b_v5_L1200.gif)
+
+Dans cette **base** qui n'utilise que les **chiffres    
+$`\mathbf{\large 1\,,\,2\,\text{ et }\,0}`$**,   
+l'*égalité* s'écrit   
+*$`\mathbf{\large 1110=1102}`$*.   
+
+Je peux l'écrire, je peux la lire, mais c'est une égalité qui *est fausse*.
+
+A expliquer, développer simplement, quand on aurra écris les équation dans 2 bases différentes
+(cette base 3 et la base usuelle nommée "10"), que le fait qu'une égalité soit vraie ou fausse 
+ne dépend pas de la base dans laquelle on choisit d'écrire les nombres...
+
+
+![](false-equality-2_b_L1200.gif)
+
+![](false-equality-2_b_v3_L1200.gif)
+
+Une **égalité entre deux nombres a du sens**,    
+car c'est une *égalité entre deux choses de même nature* : des nombres.
+
+Alors elle *peut être vraie*, comme $`2=2`$,   
+ou elle *peut être fausse*, comme $`2=3`$.
+
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