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12.temporary_ins/08.grad-div-rot/30.rot/10.main/textbook.fr.md

+---
+title : The curl vector
+published : false
+routable: false
+visible : false
+---
+
+## EN CONSTRUCTION !
+
+----------------------
+
+## Le rotationnel
+
+### Opérateur, vecteur, champ rotationnel
+
+### Intérêt du vecteur rotationnel
+
+La visualisation des lignes d'un champ vectoriel montre parfois qu'au voisinage 
+de certains points de l'espace, les lignes semblent tourner autour de ce point 
+dans un plan donné.
+
+Exemple : Visualisation du champ vectoriel créé par trois fils rectilignes infinis
+parallèles parcourus par des courant stationnaires (stationnaire est l'adjectif 
+qui précise "indépendant du temps"), dans un plan perpendiculaires à la direction 
+commune de ces trois fils : l'humain repère de suite les 3 points autour desquels
+les lignes de champ s'enroulent.
+
+Parfois cette observation d'un mouvement de rotation des lignes de champ autour 
+de certains points est peu visible. En effet le champ vectoriel peut être complexe.
+Il peut par exemple être la somme de trois champs. Au voisinage d'un point M de 
+l'espace, les lignes du premier champ peuvent garder une direction constante,
+celles du second champ converger ou diverger à partir de ce point, et celles du 
+troisième tourner dans un sens ou dans l'autre autour de ce point dans un plan 
+donné passant par M. 
+
+L'extraction et la quantification de l'information "rotation" des lignes d'un champ
+vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ au voisinage d'un point M est importante, et sera 
+donné par le vecteur $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}`$, $`\overrightarrow{X_M}`$
+étant le vecteur particulier au point M du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$.
+
+L'ensemble des vecteurs $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}`$ étendu
+à tous les points M de l'espace définit le champ rotationnel
+$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ . 
+
+### Définition du vecteur rotationnel
+
+Un champ vectoriel, par définition, s'étend dans les trois directions de l'espace. 
+A priori, sauf dans des cas spécifiques très simples, la direction autour de 
+laquelle une composante tournante du champ vectoriel est non visible et inconnue.
+Je ne peux donc que tester la composante rotation du champ vectoriel 
+$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ en un point M 
+et autour d'un axe arbitraire représenté par un vecteur unitaire . 
+
+Je considère, dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{n}`$ au point P, 
+un contour fermé C entourant le point M. Je choisi comme sens positif de circulation 
+sur ce contour C le sens positif conventionnel donné par la règle de la main droite :
+si mon pouce tendu indique la direction du vecteur $`\overrightarrow{n}`$, alors
+l'orientation de les quatre autres doigts indique le sens positif de rotation. 
+La circulation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ le long du contour C s'écrit 
+
+$`\displaystyle\oint_{C} \overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{dl}`$
+
+Ce contour C inscrit dans un plan délimite une surface plane d'aire S
+
+$`\displaystyle S = \iint_{S \leftrightarrow C} dS`$
+
+Je diminue maintenant la taille de ce contour entourant le point M, de ce fait la
+longueur l du contour C et l'aire S de la surface plane délimitée par C tendent 
+toutes deux vers zéro. Par définition, la limite lorsque C tend vers zéro du rapport
+"circulation de $`\overrightarrow{X}`$ le long du contour C" par "l'aire S de la 
+surface plane délimitée par C" donne la composante dans la direction $`\overrightarrow{n}`$
+d'un vecteur appelé rotationnel du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ au point M.
+L'écriture mathématique de cette définition est beaucoup plus simple :
+
+$`\displaystyle \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{n}
+=\lim_{C \to 0} \: \dfrac{\oint_C \overrightarrow{X} \cdot 
+\overrightarrow{dl}}{\iint_{S \leftrightarrow C} dS}\hspace{1 cm}`$ (1)
+
+! *POINT DE DETAIL* :<br>
+! Dire qu'un contour C tend vers zéro signifie que le rayon du cercle dans lequel
+! s'inscrit du contour C tend vers zéro, la forme du contour restant inchangée.
+
+Ainsi, si le plan dans lequel s'effectue la rotation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$
+au voisinage de M est bien le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{n}`$, alors 
+le vecteur $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} indique bien la direction 
+et le sens de l'axe de rotation au point M. 
+
+En posant
+
+$`\displaystyle d\mathcal{C}_M = \lim_{C \to 0} \: \oint_C \overrightarrow{X}
+\cdot \overrightarrow{dl}\hspace{0.5 cm}`$, et $`\displaystyle \hspace{0.5 cm}dS_M = 
+\lim_{C \to 0} \: \iint_{S \leftrightarrow C} dS`$    
+
+l'équation (1) se réécrit
+
+$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{n}=
+ \dfrac{d\mathcal{C}_M}{dS_M}`$
+
+La circulation infinitésimal autour d'un point M d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$
+sur un contour élémentaire orienté perpendiculairement à une direction représentée par un vecteur
+unitaire $`\overrightarrow{n}`$ s'écrit
+
+$`d\mathcal{C}_M = (\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}\cdot \overrightarrow{n}
+) \ dS_M `$ 
+
+soit encore
+
+$`d\mathcal{C}_M = \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}\cdot \overrightarrow{dS_M}
+\hspace{1 cm}`$ (2)
+
+où $`\overrightarrow{dS_M}`$ est le vecteur surface élémentaire, vecteur perpendiculaire
+à la surface  élémentaire $`dS_M`$ au point M et de norme égale à l'aire de la surface
+élémentaire $`dS_M`$.
+
+Les équations (1) et (2) restant valables en tout point de l'espace, je peux omettre
+de préciser le point, et écrire plus simplement 
+
+$`\displaystyle \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{n}
+=\lim_{C \to 0} \: \dfrac{\oint_C \overrightarrow{X} \cdot
+\overrightarrow{dl}}{\iint_{S \leftrightarrow C} dS}\hspace{1 cm}`$ (3)
+
+$`d\mathcal{C} = \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{dS}
+\hspace{1 cm}`$ (4)
+
+### Expression du vecteur rotationnel en coordonnées cartésiennes
+
+Je repère l'espace avec trois axes orthogonaux $`Ox`$, $`Oy`$ et $`Oz`$ se coupant
+en un point origine $`O`$, munie d'une même unité de longueur et décrivant un trièdre
+direct. Tout point quelconque M de l'espace est ainsi repéré par ses trois coordonnées
+cartésiennes $`(x_M, y_M, z_M)`$ et en M les trois vecteurs unitaires 
+$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$ associés aux 
+coordonnées définissent une base orthonormée directe.
+
+Le vecteur au point quelconque M d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ de 
+composantes cartésiennes $`(X_M, Y_M, Z_M)`$  s'écrit
+
+$`\overrightarrow{X_M} = X_M \cdot \overrightarrow{e_x} + Y_M \cdot \overrightarrow{e_y}+
+X_M \cdot \overrightarrow{e_z}`$
+
+Je vais tester la circulation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ dans les 
+trois directions indiquées par les vecteurs unitaires 
+$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$. Pour l'étude 
+de la composante de $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ selon z (composante 
+d'expression mathématique $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{e_z}`$ ),
+je choisis dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_z}`$ et passant
+par M le contour infinitésimal à l'expression la plus simple : le petit rectangle 
+ABCD de côtés parallèles aux vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y}`$,
+de centre M et de côtés $`dl_x=dx`$ et $`dl_y=dy`$. J'oriente ce rectangle infinitésimal
+ABCD selon la règle de la main droite, le pouce tendu en direction et sens du vecteur
+$`\overrightarrow{n}`$. Ainsi, si le vecteur $`\overrightarrow{e_z}`$ pointe vers 
+mon oeil, alors le sens d'orientation du rectangle ABCD est le sens trigonométrique
+direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
+
+Je connais l'expression analytique du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$, c'est 
+à dire les expressions analytique des composantes. 
+
+Je connais les composantes cartésiennes $`(X_M, Y_M, Z_M)`$ du vecteur $`\overrightarrow{X_M}`$
+au point M. Pour établir le champ rotationnel, je dois obtenir une expression analytique
+de ce champ en tout point de l'espace. La circulation de  sur ABDC est la somme des circulations
+de $`\overrightarrow{X}`$ sur chacune des quatre branches AB, BC, CD et DA. 
+
+Soit la branche AB de centre P et dont l'ensemble des points admettent $`x_M-\dfrac{dx}{2}`$ 
+comme coordonnée selon x. L'orientation du rectangle élémentaire impose que le déplacement
+élémentaire $`\overrightarrow{dl_{AB}}`$ de A vers b s'écrit
+
+$`\overrightarrow{dl_{AB}}=-dy \cdot \overrightarrow{e_y}`$
+
+Au premier ordre, le vecteur $`\overrightarrow{X_P}`$ au point P est le vecteur moyen 
+du champ sur la branche AB, et son expression en fonction des composantes de $`\overrightarrow{X_M}`$
+et du déplacement élémentaire pour passer de M en P est
+
+$`\displaystyle \overrightarrow{X_P}=\left[X_M +
+\left.\dfrac{\partial X}{\partial x}\right|_M \cdot 
+\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$
+$`+\left[Y_M + \left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot 
+\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$
+$`+\left[Z_M + \left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M \cdot 
+\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$
+
+Le calcul de la circulation élémentaire de $`\overrightarrow{X}`$ sur la branche 
+AB me donne
+
+$`\overrightarrow{dl_{AB}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}= 
+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot 
+\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot (-dy)`$
+
+La même démarche appliquée à la branche opposée CD de centre R me donne
+
+$`\overrightarrow{dl_{AB}}=+dy \cdot \overrightarrow{e_y}`$
+
+$`\displaystyle \overrightarrow{X_R}=\left[X_M + 
+\left.\dfrac{\partial X}{\partial x}\right|_M \cdot 
+\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$
+$`+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot 
+\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$
+$`+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M \cdot 
+\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$
+
+$`\overrightarrow{dl_{CD}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}= 
+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot 
+\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot (+dy)`$
+
+La somme des circulations élémentaires sur les branches AB et CD se simplifie
+
+$`\overrightarrow{dl_{AB}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ 
+\overrightarrow{dl_{CD}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}= 
+dx \cdot dy \cdot \left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \hspace{1 cm}`$ (5)
+
+Le travail équivalent sur les branches BC de centre Q, et DA de centre S donne
+
+$`\overrightarrow{dl_{BC}}=+dx \cdot \overrightarrow{e_x}`$ ,           
+
+$`\displaystyle \overrightarrow{X_Q}=\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M \cdot 
+\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$
+$`+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial y}\right|_M \cdot 
+\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$
+$`+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial y}\right|_M \cdot 
+\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$ ,
+
+$`\overrightarrow{dl_{BC}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_Q}= 
+\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M \cdot 
+\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot (+dx)`$ ,
+
+$`\overrightarrow{dl_{DA}}=-dx \cdot \overrightarrow{e_x}`$ ,
+
+$`\displaystyle \overrightarrow{X_S}=
+\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M \cdot 
+\left(+\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$
+$`+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial y}\right|_M \cdot 
+\left(+\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$
+$`+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial y}\right|_M \cdot 
+\left(+\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$
+
+ce qui conduit à
+
+$`\overrightarrow{dl_{BC}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_Q}+ 
+\overrightarrow{dl_{DA}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_S}= - dx \cdot dy \cdot 
+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M\hspace{1 cm}`$(6)
+
+J'obtiens maintenant, en additionnant les deux équations (5) et (6) membre à membre,
+l'expression de la circulation élémentaire du champ vectoriel  sur le rectangle ABCD
+perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_z}`$ :
+
+$`\displaystyle d\mathcal{C}_M = \lim_{ABCD \to 0} \: \oint_{ABCD} \overrightarrow{X}
+\cdot \overrightarrow{dl}`$
+$`=\overrightarrow{dl_{AB}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ 
+\overrightarrow{dl_{BC}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ 
+\overrightarrow{dl_{CD}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ 
+\overrightarrow{dl_{DA}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}`$
+$`= \left(\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M -
+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M\right)\cdot dxdy `$
+
+
+La surface élémentaire de ce rectangle ABCD élémentaire étant simplement $`dxdy`$,
+je peux maintenant calculer la composante selon  du vecteur rotationnel du champ 
+vectoriel au point M. En reprenant la définition (1), j'obtiens
+
+ 
+
+$`\displaystyle \overrightarrow{rot} \; \overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{e_z} = 
+\lim_{C \to 0} \; \dfrac{\oint_{ABCD} \overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{dl}}{\iint_{ABCD} dS}`$
+$`=\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M -\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M`$
+
+ 
+Je peux reprendre la totalité du raisonnement précédent appliqué à des rectangles
+élémentaires perpendiculaires respectivement aux vecteurs  et , et j'obtiendrai
+ 
+$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{e_x}=
+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial y}\right|_M -\left.\dfrac{\partial Y}{\partial z}\right|_M`$
+
+$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{e_y}=
+\left.\dfrac{\partial X}{\partial z}\right|_M -\left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M`$
+
+
+