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00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/cylindrical/textbook.fr.md

+---
+title: Coordonnées cylindriques (main)
+published: false
+visible: false
+---
+
+_Spherical coordinates N3_
+
+#### Coordonnées cylindriques
+
+##### Définition des coordonnées et domaines de définition
+
+* *135* :  
+
+Cadre de référence : système cartésien de coordonnées  $`(O, x, y, z)`$
+
+\- **1 point $`O`$ origine** de l'espace.<br>
+\- **3 axes** nommés **$`Ox , Oy , Oz`$**, se coupant en $`O`$, **orthogonaux 2 à 2**.<br>
+\- **1 unité de longueur**.<br>
+
+Coordonnées cylindriques $`(\rho , \varphi , z)`$ :
+
+\- Tout point $`M `$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ conduisant au point $`m_{xy}`$,
+et sur l'axe $`Oz`$ conduisant au point $`m_z`$.
+
+\- La **coordonnée $`\rho_M`$** du point $`M`$ est la *distance non algébrique $`Om_{xy}`$* entre le point $`O`$ et le point $`m_{xy}`$.<br>
+\- La **coordonnée $`\varphi_M`$** du point $`M`$ est l'*angle non algébrique $`\widehat{xOm_{xy}}`$* entre l'axe $`Ox`$ et la demi-droite $`Om_{xy}`$, 
+le sens de rotation étant tel que le trièdre *$`(Ox , Om_{xy}, Oz)`$* est un *trièdre direct*.<br>
+\- La **coordonnée $`z_M`$** du point $`M`$ est la *distance algébrique $`\overline{Om_z}`$* entre le point $`O`$ et le point $`m_z`$.
+
+**$`\rho_M=\overline{Om_{xy}}`$ , $`\varphi_M=\widehat{xOm_y}`$ , $`z_M=Om_z`$**
+
+! *Remarque :* Les deux premières coordonnées cylindriques d'un point $`M`$ sont les coordonnées polaires du point $`m_{xy}`$ dans le plan $`xOy`$ (plan $`z=0`$). Ce sont aussi les coordonnées polaires du point $`M`$ dans le plan $`z=z_M`$.
+
+\- Les coordonnées **$`\rho`$ **et **$`z`$** sont des *longueurs*, dont l'*unité S.I.* est le mètre, de symbole *$`m`$*.<br>
+\- La coordonnée **$`\varphi`$** est un angle, dont  l'*unité S.I.* est le radian, de symbole *$`rad`$*.
+
+**Unités S.I. : $`\rho\;(m)`$ , $`\varphi\;(rad)`$ , $`z\;(m)`$**
+
+\- Tout point $`M`$ de l'espace, excepté le point origine $`O`$,  est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cylindriques.<br>
+\- Au point origine $`O`$ est attribué les coordonnées cylindriques $`(0 , 0 , 0)`$.
+
+on écrit  : $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$
+
+Si le point est un point quelconque, on simplifie  :
+
+$`M(\rho , \varphi , z)`$, **$`\mathbf{M(\rho , \varphi , z)}`$**
+
+\- **Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cylindriques variant indépendamment dans les domaines $`\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[ `$  ,  $`\varphi\in[0,2\pi[`$ et $`z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty\,[ `$.
+
+**$`\mathbf{ \rho\in\mathbb{R_+^{&ast;}}=[0 ,+\infty[} `$  ,  $`\mathbf{ \varphi\in[0,2\pi[ }`$ ,  $`\mathbf{ z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty[ } `$**
+
+! <details markdown=1>
+! <summary>
+! Notations sur les ensembles de nombres réels 
+! </summary>
+! * le symbole $`\infty`$ désigne l'infini.
+! * $`\mathbb{R}`$ : ensemble des nombres réels :
+! $`\mathbb{R}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\}\;=\;]-\infty , +\infty\,[`$.
+! * $`\mathbb{R}^{*}`$ : ensemble des nombres réels non nuls : 
+! $`\mathbb{R}^{*}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x\ne 0\}\; = \; ]-\infty , 0\,[ \;\cup\; ]\,0 , + \infty\,[`$.
+! * $`\mathbb{R}_+`$ : ensemble des nombres réels positifs : 
+! $`\mathbb{R}_+\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x \ge 0\}\; = \; [\,0 , + \infty\,[`$.
+! * $`\mathbb{R}_+`$ : ensemble des nombres réels négatifs : 
+! $`\mathbb{R}_+\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x \ge 0\}\; = \; ]-\infty , 0\,]`$.
+! * $`\mathbb{R}_+^{*}`$ : ensemble des nombres réels positifs non nuls : 
+! $`\mathbb{R}_+^{*}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x \le 0\}\; = \; ]\,0 , + \infty\,[ `$.
+! * $`\mathbb{R}_{-}^{*}`$ : ensemble des nombres réels négatifs non nuls : 
+! $`\mathbb{R}_{-}^{*}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x > 0\,]\;= \; ]-\infty , 0\,[ `$.
+!
+!    --------
+! * {...} indique un ensemble d'éléments.
+! *  la liste, le texte ou l'expression logique ... précise les éléments de l'ensemble.
+! *  on peut donner un nom à l'ensemble : exemple : A={...}.
+! *  le symbole " $`|`$ " signifie "tel que". Exemple :<br>
+!    $`\{x\in\mathbb{R} | x \lt 0\}`$ désigne lensemble des nombre réels x, tels que $`x \lt 0`$.
+!
+!   -------
+!  Les intervalles par l'exemple :
+! * $` [2 , 3] `$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 et 3 étant inclus.
+! * $` ]2 , 3[ `$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 et 3 étant exclus.
+! * $` [2 , 3[ `$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 étant inclus et 3 exclus.
+! * $` ]2 , 3 ]`$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 étant exclus et 3 inclus.
+! * fait appel à la notion mathématique de limite.
+! * L'infini est toujours exclu, on ne peut jamais l'atteindre, il ne peut pas être inclus :<br>
+! $`]-\infty`$ et pas $`\require{cancel}\xcancel{[-\infty}`$ , $`+\infty[`$ et pas $`\require{cancel}\xcancel{+\infty]}`$
+! <\details>
+
+<!--
+Las coordenadas cilíndricas se escriben / les coordonnées cylindriques s'écrivent / The cylindrical coordinates write :
+
+$`(\rho, \varphi, z)`$ , **$`\mathbf{(\rho, \varphi, z)}`$**
+
+con / avec /with :
+
+$`\rho\in [0;\infty[`$,  $`\varphi\in [0;2\pi[`$ et $`z \in [-\infty;\infty[`$ , 
+
+**$`\mathbf{ \rho\in [0;\infty[}`$  ,  $`\mathbf{\varphi\in [0;2\pi[}`$  ,  $`\mathbf{z \in [-\infty;\infty[ }`$** 
+
+Coordenadas cilíndricas de un punto $`M`$ /coordonnées cylindriques  d'un point $`M`$ / cylindrical  coordinates of a point $`M`$ :
+
+$`(\rho_M, \varphi_M, z_M)`$,
+
+Escribimos / on écrit / we write :
+
+$`M(\rho_M, \varphi_M, z_M)`$
+
+Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify :
+
+$`M(\rho, \varphi, z)`$ , **$`\mathbf{M(\rho, \varphi, z)}`$** -->
+
+
+##### Base vectorielle et repère de l'espace associés
+
+<br>__*Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée*__
+
+* *145* : 
+
+Lorsque seule la coordonnées $`\rho`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ varie de façon 
+continue entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+\Delta \rho`$, le point $`M`$ parcourt un sègment
+de droite de longueur $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Lorsque $`\Delta \rho`$ tend vers $`0`$,
+la longueur infinitésimale $`dl_{\rho}`$ parcourue pour le point $`M`$ est :
+
+$`\displaystyle d\rho=\lim_{\Delta \rho\rightarrow 0 \\ \Delta \rho>0} \Delta \rho`$
+$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\rho}=d\rho`$, **$`\mathbf{dl_{\rho}=d\rho}`$**.
+
+de même  : $`dl_z=dz`$ , , **$`\mathbf{dl_z=dz}`$**.
+
+Lorsque seule la coordonnées $`\varphi`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ varie de façon 
+continue entre les valeurs $`\varphi`$ et $`\varphi +\Delta \varphi`$, le point $`M`$ parcourt un 
+arc de cercle de longueur $`\Delta l_{\varphi}=\rho\;\Delta \varphi`$. Lorsque $`\Delta \varphi`$ tend vers $`0`$,
+la longueur infinitésimale $`dl_{\varphi}`$ parcourue pour le point $`M`$ est :
+
+$`\displaystyle d\varphi=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0 \\ \Delta \varphi>0} \Delta\varphi`$
+$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d\varphi`$ , , **$`\mathbf{dl_{\varphi}=\rho\,d\varphi}`$**.
+
+* *140* : 
+
+élément scalaire de longueur :<br>
+
+<br>$`dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}`$ , **$`\mathbf{dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}}`$**
+
+##### Base vectorielle et repère de l'espace associés
+
+* *150* : 
+
+Lorsque seule la coordonnées $`\rho`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ s'accroît de façon 
+infinitésimale entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$)
+pour atteindre le point $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, le vecteur déplacement 
+$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ du point $`M`$ est le vecteur
+tangent à la trajectoire au point $`M`$, dirigé dans le sens du mouvement, qui s'écrit :
+
+$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot d\rho`$
+
+Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (qui indique la direction et le sens 
+de déplacement du point $`M`$ lorsque seule la coordonnée $`\rho`$ croît de façon infinitésimale) s'écrit :
+
+$`\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}||}`$
+
+de même :
+
+$`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \varphi}\cdot d\varphi`$,
+$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}||}`$<br>
+$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$,
+$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$
+
+
+* *155* : 
+
+La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
+est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ s'écrit :
+
+$`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}
+=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\rho}}=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+de même :
+
+$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ ,
+**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}}`$**
+
+La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ 
+est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit :
+
+$`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}
+=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ , 
+**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\varphi}}=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
+
+
+* *160* : 
+
+L'**élément vectoriel d'arc** ou vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en 
+coordonnées cylindriques est le vecteur déplacement du point $`M(\rho, \varphi, z)`$ au point
+$`M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)`$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des quantités
+$`d\rho`$, $`d\varphi`$ et $`dz`$, et il s'écrit :
+
+$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$
+$`=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}+\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}+\partial\overrightarrow{OM}_z`$
+$`=\overrightarrow{dl_{\rho}}+\overrightarrow{dl_{\varphi}}+\overrightarrow{dl_z}`$
+$`=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$
+$`=d\rho\;\overrightarrow{e_x}+\rho\;d\varphi\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$
+
+**$`\mathbf{d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dl}}`$**
+**$`\mathbf{=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}}`$**
+**$`\mathbf{=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}+\rho\;dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dz\;\overrightarrow{e_z}}`$**
+
+et sa norme el l'élément de longueur :
+
+$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{dl_x^2+dl_y^2+dl_z^2}=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$
+
+$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{\overrightarrow{dl}\cdot\overrightarrow{dl}}`$
+$`=\left[(dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\cdot
+(dl_x\;\overrightarrow{e_x}\right.`$
+$`\left.+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$
+$`=\left[(dl_x)^2\;(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_x})\right.`$
+$`+(dl_y)^2\;(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_y})`$
+$`+(dl_z)^2\;(\overrightarrow{e_z}\cdot\overrightarrow{e_z})`$
+$`+(2\,dl_x\,dl_y)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_y})`$
+$`+(2\,dl_x\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_z})`$
+$`\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$
+$`=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}`$
+$`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$
+
+
+* *165* : 
+ 
+Les vecteurs $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
+forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cylindriques.
+En coordonnées cylindriques, les vecteurs de base associés 
+changent de direction lorsque le point $`M`$ se déplace.
+
+$`||\overrightarrow{e_{\rho}}||=||\overrightarrow{e_{\varphi}}||=||\overrightarrow{e_z}||=1`$<br>
+$`\overrightarrow{e_{\rho}}\perp\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}\perp\overrightarrow{e_z}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\rho}}\perp\overrightarrow{e_z}`$
+
+$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartesiana *directa* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ base cilíndrica asociada *directa*.
+<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartésienne *directe* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ base cylindrique associée *directe*.
+<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* Cartesian base $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* associated cylindrical base.
+
+$`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ 
+base ortogonal dependiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale dépendante
+de la position de $`M`$ / orthogonal basis dependent of the position of $`M`$.
+
+##### Vecteur déplacement élémentaire
+
+* *170* : 
+
+$`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l}
+\overrightarrow{e_{\rho}} = \overrightarrow{e_{\rho}}(t) \\
+\overrightarrow{e_{\varphi}}  = \overrightarrow{e_{\varphi}}(t) \\
+\overrightarrow{e_z}  = \overrightarrow{cst} \\
+\end{array} \right.`$<br>
+
+* *175* : 
+
+Méthode 1 pour le calcul de $`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$. 
+
+$`\overrightarrow{e_z}=\overrightarrow{cst}\Longrightarrow\dfrac{d e_z}{dt}=0`$ 
+
+$`\overrightarrow{e_\rho}(t)=cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$<br>
+<br>$`\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=- sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$
+
+dans la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ :
+
+$`\overrightarrow{e_{\rho}}(t)=
+\left| \begin{array}{l}
+cos\,\varphi(t) \\
+sin\,\varphi(t) \\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$ , 
+$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=
+\left|\begin{array}{l}
+-\,sin\,\varphi(t) \\
+cos\,\varphi(t) \\
+0 \\
+\end{array}\right.`$ 
+
+Dans le référentiel $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ est fixe, donc tel que l'origine $`O`$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient 
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_y}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=0`$ :
+
+en se rappelant  : $`(fg)'=f'g+fg'`$  
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=
+\left| \begin{array}{l}
+cos\,\varphi(t) \,]\\
+sin\,\varphi(t)\, ] \\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`\quad =
+\left| \begin{array}{l}
+\dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\
+\\
+\dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\
+\\
+\dfrac{d\,0}{dt} \\
+\end{array} \right.\quad`$
+
+et en se rappelant : $`(f \circ g)'=(f' \circ g)\,g'`$ , 
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=
+\left| \begin{array}{l}
+-\;sin\,\varphi  \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\
+\\
+cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\
+\\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`=\dfrac{d\varphi}{dt}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+
+**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
+
+de même :
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=
+\left| \begin{array}{l}
+\dfrac{d\,[-\,sin\,\varphi(t)]}{dt} \\
+\\
+\dfrac{d\cos\,\varphi(t)}{dt} \\
+\\
+\dfrac{d\;0}{dt} \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`\quad=
+\left| \begin{array}{l}
+-\,cos\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\
+-\,sin\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$
+
+**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$**<br>
+
+
+* *180* : 
+
+Méthode 2 pour le calcul de $`\dfrac{d e_{\rho}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ 
+
+$`\overrightarrow{e_{\rho}}=cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$
+$`\;+\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;0\;\overrightarrow{e_z}`$
+$`=\overrightarrow{e_{\rho}}(\varphi)`$<br>
+$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$
+$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}\;+\;0\;\overrightarrow{e_z}`$
+$`=\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\varphi)`$
+
+$`\overrightarrow{e_{\rho}}=\overrightarrow{e_{\rho}}(\varphi)`$ et 
+$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\varphi)`$
+$`\quad\Longrightarrow\quad`$ pour une variation  infinitésimale $`d\varphi`$, $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ varient de :
+
+$`d\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\cdot d\varphi`$ <br>
+$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\cdot d\varphi`$
+
+avec
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}=
+\left|\begin{array}{l}
+\dfrac{d\;cos\,\varphi}{d\varphi} \\
+\\
+\dfrac{d\;sin\,\varphi}{d\varphi} \\ 
+\\
+\dfrac{d\;0}{d\varphi} \\
+\end{array} \right.\quad`$ 
+$`=\left|\begin{array}{l}
+-\,sin\,\varphi \\
+cos\,\varphi \\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`=\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}=
+\left|\begin{array}{l}
+\dfrac{d\;(-\,sin\,\varphi}{d\varphi} \\
+\\
+\dfrac{d\;cos\,\varphi}{d\varphi} \\ 
+\\
+\dfrac{d\;0}{d\varphi} \\
+\end{array} \right.\quad`$ 
+$`=\left|\begin{array}{l}
+-\,cos\,\varphi \\
+-\,sin\,\varphi \\
+0 \\
+\end{array} \right.\quad`$
+$`=-\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$
+
+$`\varphi=\varphi(t)\quad\Longrightarrow\quad`$ pour unè variation infinitésimale  $`dt`$ , $`\varphi`$ varie de :
+
+$`d\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$
+
+$`\Longrightarrow\quad`$ pour une variation infinitésimale  $`dt`$, $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ varient de :
+
+$`d\overrightarrow{e_{\rho}}\quad=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$$\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot \dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot
+\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+
+$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$
+$\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot \dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\quad=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot
+\overrightarrow{e_{\rho}}`$
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot
+\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot
+\overrightarrow{e_{\rho}}`$
+
+$`\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=\overrightarrow{0}`$
+
+
+* *182* : 
+En mécanique classique, les interactions entre les corps matériels se traduisent en terme de force $`\vec{F}`$, et conduisent à une accélération $`\vec{a}`$ de chaque corps en interaction proportionnelle à l'inverse de sa masse d'inertie  $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (ou $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , voir chapitre mécanique). Dans l'étude du mouvement, nous aurons besoin d'étendre l'étude à la dérivée seconde des vecteurs de base. Comme le vecteur accélaration est la dérivée seconde du vecteur position, nous pourrions avoir besoin de connaître la dérivée seconde par rapport au temps des vecteurs de base pour l'étude du mouvement.
+
+$`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt^2}\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}\right)\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\right)`$
+$`\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\varphi}{dt}\right)\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\,
++\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\dfrac{d}{dt}\left(\overrightarrow{e_{\varphi}}\right)`$
+
+$`\quad=\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot
+\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}`$$`\quad=\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \left( -\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot e_{\rho}\right) `$
+$`\quad=\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}} \,-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\rho}`$
+
+**$`\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt^2}=-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\rho}\,+\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
+
+Attention ! Ne pas confondre $`\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}`$ et $`\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 `$ (donner un exemple).
+
+$`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt^2}\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}\right)\quad=\dfrac{d}{dt}\left(-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}\right)`$
+$`\quad=-\,\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right) \cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,- \,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \dfrac{d}{dt} \left( \overrightarrow{e_{\rho}} \right)`$
+$`\quad=-\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2} \cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,-\, \dfrac{d\varphi}{dt} \cdot
+\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}`$
+$`\quad=-\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2} \cdot \overrightarrow{e_{\rho}}\,-\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \left( \dfrac{d\varphi}{dt} \cdot e_{\varphi} \right) `$
+$`\quad=-\,\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\varphi}`$
+
+**$`\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt^2}
+=-\,\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\varphi}}`$**
+
+
+$`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2} \quad = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\,\overrightarrow{e_z}}{dt} \right) \quad = \dfrac{d\,\overrightarrow{0}}{dt} \quad = \overrightarrow{0}`$
+
+**$`\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2}=\overrightarrow{0}}`$**
+
+
+* *185* : 
+
+La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
+est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ s'écrit :
+
+$`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}
+=\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$
+
+de même :
+
+$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$
+
+La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ 
+est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit :
+
+$`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}
+=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+
+
+* *190* : 
+
+Les 3 vecteurs $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
+$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ et
+$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2.
+
+$`\Longrightarrow`$ :
+Attention ! L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs n'est'
+pas le produit de leurs normes. Et le volume définit par ces 3 vecteurs 
+n'est le produit de leurs normes.
+
+* *195* : 
+
+http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-06.
+
+Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dA`$** en coordonnées cartésiennes sont :
+
+$`dA_{\rho\varphi}=dl_{\rho}\;dl\varphi=d\rho\cdot\rho\;d\varphi\quad`$, $`\quad dA_{\rho z}=dl_{\rho}\;dlz=d\rho\;dz\quad`$, $`\quad dA_{\varphi z}=dl_{\varphi}\;dlz=\rho\,d\varphi\;dz`$
+
+et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dA}`$** correspondants sont :
+
+$`d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}\land\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}`$
+$`=\overrightarrow{dl_{\rho}}\land\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
+$`= (dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})\land(dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})`$
+$`=dl_{\rho}\;dl_{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$
+$`=d\rho\;\rho\,d{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$<br>
+<br>$`d\overrightarrow{A_{\varphi z}}=\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}\land\partial\overrightarrow{OM}_z`$
+$`=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\land\overrightarrow{dl_z}`$
+$`= (dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})\land (dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$
+$`=dl_{\varphi}\;dl_z\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$
+$`=\rho\,d\varphi\;dz\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$<br>
+<br>$`d\overrightarrow{A_{z \rho}}=\partial\overrightarrow{OM}_z\land\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$
+$`=\overrightarrow{dl_z}\land\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
+$`=(dl_z\;\overrightarrow{e_z})\land(dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})`$
+$`=dl_z\;dl_{\rho}\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})`$.
+$`=dz\;d\rho\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})`$.
+
+Base cartésien de référence $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ directe  $`\Longrightarrow`$  base cylindrique $`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ directe $`\Longrightarrow`$ :
+
+$`\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}}=+\,\overrightarrow{e_z}`$
+$`\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=+\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,\overrightarrow{e_z})`$.<br>
+$`\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_z}=-\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+$`\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=+\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,\overrightarrow{e_z})`$.<br>
+
+Base cartésien de référence $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ indirecte  $`\Longrightarrow`$  base cylindrique $`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ indirecte $`\Longrightarrow`$ :
+$`\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}}=-\,\overrightarrow{e_z}`$.
+$`\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=-\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,\overrightarrow{e_z})`$.
+