Update cheatsheet.fr.md

12.temporary_ins/08.grad-div-rot/70.combinaisons-of-operators/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -7,54 +7,80 @@ visible: false
 
 ### Combinaisons d'opérateurs
 
-Le Laplacien vectoriel s'écrit, en fonction des opérateurs $`\overrightarrow{grad}`$, $`div`$ et opérateurs $`\overrightarrow{rot}`$ :
 
-$`\mathbf{\Delta\;\overrightarrow{E}=\;\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{E}\big)
--\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}\big)}`$
+#### L'opérateur laplacien scalaire, et la propagation d'un champ scalaire.
 
----ok
+##### Opérateur laplacien et équation d'onde d'un champ scalaire.
 
-Vérifions sont expression en coordonnées cartésiennes :
-
-#### L'opérateur Laplacien scalaire, et la propagation d'un champ scalaire
-
-##### Propagation d'une onde réelle unidimensionnelle.
-
-* Ici, la scalaire (qui peut être un nombre réel ou complexe) est réel.
+* Un champ scalaire $`\overrightarrow{U}`$ se propage s'il vérifie l'équation d'onde scalaire.
+  <br>
+  L'écriture générale de cette équation utilise l'opérateur lagrangien scalaire et s'écrit :   
+  <br>
+  $`\Delta\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0`$
 
-$`\dfrac{\partial^2 f}{\partial x}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$
+* Cet opérateur laplacien scalaire possède une existence en soit, indépendante de son expression dans un système
+  de coordonnées donné, de même qu'un vecteur à une existence en soit, indépendante de l'expression de ses composantes
+  dans un système de coordonnées donné.
 
+* Exprimée en coordonnées cartésiennes, l'équation d'onde scalaire s'écrit :   
+  <br>
+  $`\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$
+  <br>
+  l'expression du laplacien scalaire en coordonnées cartésienne étant :   
+  <br>
+  $`\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}`$
 
-##### Propagation d'une onde scalaire bidimensionnelle.
+!!! *Exemples de champs scalaires* :   
+!!! * le champ des température dans l'atmosphère terrestre.
+!!! * le champ de la densité volumique de masse du globe terrestre, ou de l'atmosphère terrestre.
 
-En coordonnées cartésiennes, l'équation de propagation d'une onde scalaire bidimensionnelle s'écrit :
+##### champ scalaire, opérateurs $`\overrightarrow{gradient}`$ et $`div`$
 
-$`\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$
+* Un champ scalaire $`f`$, fonction continue et au moins deux fois dérivable de l'espace, dérive d'un champ
+  vectoriel $`\overrightarrow{U}=\overrightarrow{grad}\,f`$.   
+  <br>
+  De ce champ vectoriel $`\overrightarrow{U}=\overrightarrow{grad}\,f`$ nous pouvons construire le champ scalaire
+  $`div\,\overrightarrow{U} = div\big(\overrightarrow{grad}\,f`$.   
+  <br>
+  $`\Longrightarrow`$ A tout champ scalaire $`f`$, je peux associer le champ scalaire
+  $`div\,\overrightarrow{U} = div\big(\overrightarrow{grad}\,f`$
 
-!!! *Exemple :*   
-!!! L'onde décrit la variation d'altitude de la surface de l'eau, par rapport à la surface de l'eau non perturbée au repos.
-!!! La surface de l'eau au repos est une surface (2D) et définit un champ scalaire bidimentionnel.
+* Ce champ scalaire  $`div\,\overrightarrow{U} = div\big(\overrightarrow{grad}\,f`$ possède une existence en soi,   
+  indépendante de son expression dans un système de coordonnées donné.
 
-Mais
+* Construisons l'expression de ce champ scalaire $`div\,\overrightarrow{U} = div\big(\overrightarrow{grad}\,f`$ s'écrit :   
+   * L'expression du gradient   
+  $`\overrightarrow{grad}\,f=`$
 
-##### Propagation d'une onde scalaire tridimensionnelle.
 
-$`\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$
 
 
 
 
 
-#### L'opérateur Laplacien vectoriel, et la propagation d'un champ vectoriel
+#### L'opérateur laplacien vectoriel, et la propagation d'un champ vectoriel
 
 
 
 * Un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ se propage s'il vérifie l'équation d'onde vectorielle.
   <br>
-  L'écriture générale de cette équation utilise l'opérateur lagrangien vecoriel et s'écrit :   
+  L'écriture générale de cette équation utilise l'opérateur lagrangien vectoriel et s'écrit :   
   <br>
   $`\Delta\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0`$
 
+* Cet opérateur laplacien vectoriel possède une existence en soit, indépendante de son expression dans un système
+  de coordonnées donné, de même qu'un vecteur à une existence en soit, indépendante de l'expression de ses composantes
+  dans un système de coordonnées donné.
+
+* Exprimée en coordonnées cartésiennes, l'équation d'onde s'écrit :   
+  <br>
+  $`\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$
+  <br>
+  l'expression du laplacien en coordonnées cartésienne étant :   
+  <br>
+  $`\Delta=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}`$
+
+
 * Cherchons les coordonnées cartésiennes du premier terme, $`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{E}\big)`$
 
 $`\color{blue}{div\,\overrightarrow{U}=\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}}`$