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@@ -380,6 +380,69 @@ E_{\rho}(\rho_M)=\dfrac{R^2\,\dens_0^{3D}}{2\,\epsilon_0\,\rho_M}
 \Longrightarrow`$
 **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{R^2\,\dens^{3D}_0}{2\,\epsilon_0\,\rho_M}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
+
+##### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$ avec une intégrale indéfinie
+
+
+* Il y a deux expressions mathématiques différentes décrivant la distribution de charges, séparant l'espacer en deux domaines : $`\rho_M\le R}`$ et $`\rho_M\ge R}`$.    
+
+! *Note :* La distribution de charge étant tridimensionnelle ($`\dens^{3D}`$, le champ 
+! électrostatique est une fonction continue de l'espace, et donc nous pouvons écrire 
+! $`\rho_M\le R}`$ et $`\rho_M\ge R}`$ au lieu de $`\rho_M\lt R}`$ et $`\rho_M\gt R}`$
+
+* Tu conduiras donc le calcul avec deux intégrales indéfinies différentes, ayant chacune leur propre constante d'intégration.    
+<br>
+La détermination des constantes d'intégration peut se faire à la fin, et :
+
+   * L'une au moins sera déterminée par la connaissance de la valeur du champ électrostatique $`\overrightarrow{E}`$ en un point du domaine de validité de l'intégrale pour laquelle tu détermines la constante.   
+   * L'autre (ou les autres dans le cas par exemples de cylindres creux chargés de même axe $`Oz`$ emboîtés) par continuité du champ électrostatique $`\overrightarrow{E}`$ à la frontière entre deux domaines adjacents.
+
+<br>
+**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M \ le 0}`$** :    
+   
+*$`div\overroghtarrow{E} =`$* **$`\,\dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{d(\rho E_{rho})}{d\rho}=`$**
+*$`\dfrac{\dens^{3D}(r)}{\epsilon_0} =`$* **$`\,\dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}`$**
+
+$`\dfrac{d(\rho E_{rho})}{d\rho}=\dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}\;\rho `$
+
+$`d(\rho E_{rho})=\dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}\;\rho d\rho`$
+
+$`\displaystyle\begin{align}\boldsymbol{\mathbf{ \color{brown}{\rho E_{rho}}}}&= \int d(\rho E_{rho})\\
+& = \int \dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}\;\rho d\rho \\
+& \boldsymbol{\mathbf{ \color{brown}{= \dfrac{\dens^{3D}_0\,\rho^2}{2\,\epsilon_0} + Cste_1}}}
+\quad\text{(éq.\,1}\end{align}`$
+
+<br>
+**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M \ gt 0}`$** :    
+   
+*$`div\overroghtarrow{E} =`$* **$`\,\dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{d(\rho E_{rho})}{d\rho}=`$**
+*$`\dfrac{\dens^{3D}(r)}{\epsilon_0}= \dfrac{0}{\epsilon_0} =`$* **$`\,0}`$**
+
+$`\dfrac{d(\rho E_{rho})}{d\rho}=0 `$
+
+$`\rho E_{rho}=Cste_2 \quad\text{(éq. 2)}`$
+
+Il reste à déterminer les constantes. L'étude des symétries de la distribution de charge a conduit à :
+    
+$`\left.\begin{align}
+\overrightarrow{E}(\rho)=E_{\rho}\overrightarrow{e_{\rho}}\\
+\overrightarrow{E}(\rho=0)=\overrightarrow{0}
+\end{align}
+\right\}\Longrightarrow \boldsymbol{\color{brown}{E_{\rho = 0}=0}}`$
+
+$`\rho=0`$ appartenant au domaine de l'espace où $`}\mathbf{\rho_M \ le 0}`$ dans lequel l'équation (éq.1) est vérifiée, la valeur de la constante $`Const_1`$ peut être déterminée :
+
+
+
+$`\left.\begin{align}
+& \dfrac{\dens^{3D}_0\,\rho^2}{2\,\epsilon_0} + Cste_1\\
+& \rho = 0
+\end{align}
+\right\}\Longrightarrow 0+Cste_1=0} \Longrightarrow Cste_1=0`$
+
+Enfin, par continuité de $`\overrightarrow{E}=E_r\,\overrightarrow{e_r}`$ et donc de $`E_r`$ dans tout l'espace, et donc en particulier à la frontière $`\rho=R`$
+
+
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 <br>
 ##### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$ avec une intégrale indéfinie