* Il est important à ce stade de bien différencier les deux composantes contravariantes que nous noterons $`\Gamma_{12}^{\;b}`$ de $`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2} \right|_{\mathscr{P}_M}`$ qui sont deux nombres réels, des deux composantes vectorielles $`\Gamma_{12}^{\;b}\,\overrightarrow{e_b}`$ :
* Il est important à ce stade de bien différencier les deux composantes contravariantes que nous noterons $`\Gamma_{12}^{\;b}`$ de $`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2} \right|_{\mathscr{P}_M}`$ qui sont deux nombres réels, des deux composantes vectorielles $`\Gamma_{12\,M}^{\;b}\,\overrightarrow{e_{b\,M}}`$ :
à construire, surement pour partie principale, idées :
* Notre "champ de représentation mentale" est limité.
* Un raisonnement, une modélisation physique est une représentation mentale souvent longue et complexe.
* doit se décomposer en étapes suffisamment petites pour qu'à chaque étape, la représentation mentale soit maîtrisée et que nous y percevions du sens.
* Nécessité d'un support extérieur pour stocker et afficher les différentes étapes.
* En terme mathématique : succession de différentes assertions avec leurs écritures mathématiques.
* Processus d'assimilation d'un concept est un processus qui prend du temps, mais une fois acquis une écriture mathématique "plus simple" de ce concept permet aussi de soulager la charge mentale associée à la compréhension d'une étape, donc de faire des étapes plus denses et au final pour un même nombre d'étape, de maîtriser des raisonnements et des modélisations plus complexes.
bref, la simplification de l'écriture mathématique participe à donner du sens à des assertions de plus en plus denses.
mal dit tout cela ...
Aparté "au-delà" à construire, puis à placer dans le sous-chapitre correspondant dans la partie principale :
!! *Au-delà* : à construire ... à mettre au point
!! Une analogie avec la linguistique : lorsqu'un concept signifiant et fréquemment utilisé est identifié (exemple 1 : "lieu de vie protégé des éléments extérieurs tels la pluie, le froid, ... et permettant la réalisation des fonctions journalières vitales comme préparer à manger, manger, se laver, dormir" (voire les définitions juridiques des fonctions, qui s'affranchissent souvent du mot représentatif car celui-ci peut être détourné); exemple 2 : "une maison minimaliste sur roues"), et une fois que, après un long travail notre esprit se l'est bien approprié, un "mot" représentatif de ce concept est inventé. Ce mot permet ensuite de construire des pensées plus simples, et donc "pour une même longueur d'expression" de construire des descriptions, des phrases exprimant des pensées plus complexes.
!! exemple 1 : "lieu de vie protégé des éléments extérieurs tels la pluie, le froid, ... et permettant la réalisation des fonctions journalières vitales comme préparer à manger, manger, se laver, dormir" = "maison".
!! exemple 2 : "une maison minimaliste sur roues" = "caravane".
!! Au total, pour une même longueur d'expression : exemple "une maison minimaliste sur roues" et "je passe des vacances en caravane", l'identification des concepts à des mots permet d'exprimer une même pensée de façon plus concise et compréhensible.
!! Exemple : "je passe des vacances en caravane"
!! est plus simple et signifiant que
!! "je passe des vacances dans un lieu de vie minimaliste car sur roues, mais protégé des éléments extérieurs tels la pluie, le froid,... et permettant la réalisation des fonctions journalières vitales comme préparer à manger, manger, se laver, dormir".
----------------------->
* Ces quatre expressions s'écrivent **de façon plus concise** en posant
* *sans préciser le point d'application $`M`$*. En effet les valeurs des différents coefficients varient en chaque point (ce sont des champs scalaires) mais les expressions de ces coefficients sont locales et générales, identiques en tout point de la variété :
! préparer des petits exercices de compréhension d'écriture mathématique, de rapidité de compréhension et de manipulation, d'automatisation, à placer dans la partie "au-delà". Peut-être faudra t-il scinder en deux la partie au-delà, av ec une vraie partir "pour éller au-delà", et une partie "exercices/problèmes". A voir.
#### Que sont les "coefficients de connexion" ?
à construire :
* "**Coefficients de connexion**" = "**Symboles de Christoffel**"
* Ce sont les coefficients **$`\Large\Gamma_{ab}^{\;c}`$**
* *Chaque indice* $`a,b,c`$ peut prendre *autant de valeurs entières que le nombre de dimensions* de la variété considérée du point de vue intrinsèque.
* variété de **dimension 2** $`\Longrightarrow\;(a,b,c)\in\{1,2\}^3\;\Longrightarrow; 3^2=\;`$ *6 coefficients* $`\Gamma_{ab}^{\;c}`$.
* variété de **dimension 3** $`\Longrightarrow\;(a,b,c)\in\{1,2,3\}^3\;\Longrightarrow\; 3^3=\;`$ *27 coefficients* $`\Gamma_{ab}^{\;c}`$.
* variété de **dimension 4** $`\Longrightarrow\;(a,b,c)\in\{1,2,3,4\}^3\;\Longrightarrow\; 4^3=\;`$ *256 coefficients* $`\Gamma_{ab}^{\;c}`$
Dans chaque cas le nombre de coefficients de connexion indépendants diminue si l'on considère une métrique symétrique ou non... Savoir si on en parle avant, auquel cas il faut en parler.
un aparté "au-delà", à construire, puis placer dans la partie principale :
!! *Au-delà* : à construire : relativité générale, 4 dimensions, 1, 2 et 3 indices d'espace, indice 0 souvent réservé au temps pour indiquer malgré tout son aspect spécial dans notre perception de notre monde.
#### Quel sens physique donner aux "coefficients de connexion" ?
#### Comment relier la connexion à la métrique ?
Figure à créer. Localement, en tout point M sont connus les coefficient de la métrique en ce point, et leurs dérivées partielles selon chacune des coordonnées de la métrique.
L'**objectif** est d'**exprimer les $`\Gamma_{ab}^{\;c}`$** *en fonction des $`\mathbf{g_{ab}}`$ et des $`\mathbf{\dfrac{\partial \,g_{ab}}{\partial x^c}}`$*.
Nous considérons les **variétés** :
* **continues et différenciables**
$`\Longrightarrow`$ en tout point de la variété *sont connues ou calculables* :
* les coefficients *$`\mathbf{g_{ab}}`$* de la métrique associée aux coordonnées $`x^a`$ et $`x^b`$,
* les dérivées partielles *$`\mathbf{\dfrac{\partial \,g_{ab}}{\partial x^c}}`$* de cette métrique,
Nous ne pouvons rien dire sur le produit $`g^{a1}g_{21}`$. En revanche en se limitant aux **variétés sans torsion**, nous avons $`g_{ab}=_{ba}`$, l'égalité *$`g^{a1}g_{21}=g^{a1}g_{12}`$ conduit à* :
Dans la partie principale, l'idée est de faire l'inverse, donner la démonstration générale puis d'en déduire les expressions dans le cas où la variété est de dimension 2.
