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Commit b73fcc04 authored by Claude Meny's avatar Claude Meny
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    - slug: maxwell-equations
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    name: LINEAR - Maxwell's equations
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    name: SITUATION: Maxwell's equations in electromagnetism
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    name: TOOL-MATH: Combination of operators for electromagnetism
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    ---
    <!--MétaDonnée : ... -->
    ......@@ -58,366 +45,367 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
    ---------------------------
    ### Maxwell's equations.
    <br>
    ### ELECTROMAGNETISM
    RÉSUMÉ
    ### **Maxwell’s Equations**<br>*and the electromagnetic field $`(\overrightarrow{E}, \overrightarrow{B})`$*
    <br><br>
    **SUMMARY**
    : ---
    *Domaine de validité* :
    Très général. Dans le vide, et même dans la matière si l'échelle d'observation n'est pas mésoscopique,
    mais atomique.
    Attention toutefois, une description plus exacte de la matière à l'échelle atomique
    requiert l'utilisation de la physique quantique.
    _Attention : Les expressions ci-dessous ne sont valables que dans le système international d'unité $`SI`$, anciennement $`MKS`$._
    ---
    *Forme locale des équations de Maxwell*
    * En tout point de l'espace et à tout instant :
    *Domain of validity*:
    Very general. In vacuum, and even in matter if the observation scale is not mesoscopic,
    but atomic.
    However, a more accurate description of matter at the atomic scale
    requires the use of quantum physics.
    *Note: The expressions below are only valid in the International System of Units ($`SI`$), formerly $`MKS`$.*
    ---
    *Local form of Maxwell’s equations*
    * At every point in space and at every instant:
    <br>
    $`\left\{\begin{array}{l}
    div \overrightarrow{E} = \dfrac{\dens}{\epsilon_0}\quad \small{(Maxwell-Gauss)}\\
    div \overrightarrow{B} = 0\quad \small{(Maxwell-flux)}\\
    \overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\quad\small{(Maxwell-Faraday)}\\
    \overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\quad\small{(Maxwell-Ampère)}
    \end{array}\right.`$
    \text{div } \overrightarrow{E} = \dfrac{\dens}{\epsilon_0}\quad \small{(Maxwell-Gauss)}\\
    \text{div } \overrightarrow{B} = 0\quad \small{(Maxwell-Thomson)}\\
    \overrightarrow{\text{curl}} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\quad\small{(Maxwell-Faraday)}\\
    \overrightarrow{\text{curl}} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\\
    \hspace{3.5cm}\small{(Maxwell-Ampère)}
    \end{array}\right.`$
    <br>
    with $`\dens`$ volume charge density
    &nbsp;&nbsp; and $`\overrightarrow{j}`$ volume current density vector.
    * $`\Longrightarrow`$ charge conservation:
    $`\text{div}\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}=0`$
    * $`\Longrightarrow`$ propagation in vacuum
    of the electromagnetic (EM) wave, the variable part of the electromagnetic field:
    <br>
    avec $`\dens`$ densité volumique de charge
    &nbsp;&nbsp; et $`\overrightarrow{j}`$ vecteur densité volumique de courant.
    * $`\Longrightarrow`$ la conservation de la charge :
    $`div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}=0`$
    $`\left\{\begin{array}{l}
    \Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}\\
    \Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}
    \end{array}\right.`$
    <br>
    at the speed $`c=299,792,458 \, \text{m}\,\text{s}^{-1}\approx 3\times 10^8 \, \text{m}\,\text{s}^{-1}`$,
    a fundamental constant of nature.
    * $`\Longrightarrow`$ la propagation dans le vide
    de l'onde électromagnétique (EM), partie variable du champ électromagnétique :
    <br>
    $`\left\{\begin{array}{l}
    \Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}\\
    \Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}
    \end{array}\right.`$
    <br>
    à la célérité $`c=299 792 458 m\,s^{-1}\approx 3\times 10^8 m\,s^{-1}`$,
    constante fundamentale de la nature.
    * $`\Longrightarrow`$ le champ EM contient de l'énergie,
    en densité volumique :
    $`\small{\dens}`$$`\; = \dfrac{\epsilon_0\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{E}}{2}+\dfrac{\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{B}}{2\mu_0}`$
    * $`\Longrightarrow`$ the EM field contains energy,
    in volume density:
    $`\small{\dens}_{\text{energ.EM}} = \dfrac{\epsilon_0\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{E}}{2}+\dfrac{\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{B}}{2\mu_0}`$
    * $`\Longrightarrow`$ tout $`\overrightarrow{dS}`$ reçoit la puissance EM :
    $`d\mathcal{\overrightarrow{\Pi}}_{EM}=\overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}`$
    avec $`\overrightarrow{\Pi}=\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}`$ vecteur de Poynting.
    * $`\Longrightarrow`$ every $`\overrightarrow{dS}`$ receives EM power:
    $`d\overrightarrow{\mathcal{P}}_{EM}=\overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}`$
    with $`\overrightarrow{\Pi}=\dfrac{\overrightarrow{E}\times\overrightarrow{B}}{\mu_0}`$ the Poynting vector.
    * $`\Longrightarrow`$ le champ EM cède de l'énergie à la matière par effet Joule :
    $`\mathcal{P}_{cédée} = \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$
    * $`\Longrightarrow`$ toute particule chargée accélérée génère une onde électromagnétique.
    * $`\Longrightarrow`$ the EM field yields energy to matter via the Joule effect:
    $`\mathcal{P}_{\text{ceded}} = \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$
    <br>
    * $`\Longrightarrow`$ every accelerated charged particle generates an electromagnetic wave.
    #### Quel fut le travail de Maxwell ?
    <br>
    * *Jusqu'au milieu du XIVème siècle*, **électricité, magnétisme et optique** étaient étudiés dans des *domaines scientifiques distincts*.
    #### What was Maxwell’s work?
    * Cependant l'*observation de phénomènes naturels et d'expériences de laboratoire* montrèrent une
    **interaction incomprise entre électricité, magnétisme,** voire **optique**.
    * naturel : la foudre peu charger des objets métalliques, aimante le fer, créé un éclair.
    * expériences :
    \- un courant dévie l'aiguille d'une boussole.
    \- le déplacement d'un aimant créé un courant.
    * *Until the mid-14th century*, **electricity, magnetism, and optics** were studied in *distinct scientific fields*.
    * Bon mathématicien, **Maxwell** fait *synthèse des résultats expérimentaux* de son époque
    qui se résume en 4 équations, les *équations de Maxwell*.
    * However, *observations of natural phenomena and laboratory experiments* revealed an
    **unexplained interaction between electricity, magnetism,** and even **optics**.
    * Natural: lightning can charge metallic objects, magnetize iron, and create a flash.
    * Experiments:
    \- A current deflects a compass needle.
    \- Moving a magnet creates a current.
    * Ces 4 équations **unifient électricité, magnétisme et optique** au sein de l'électromagnétisme,
    et élargissent l'optique à un *monde nouveau : les ondes électromagnétiques*.
    * A skilled mathematician, **Maxwell** *synthesized the experimental results* of his time
    into 4 equations, the *Maxwell’s equations*.
    ![](Maxwell-equation-en.png)
    _Maxwell modifie deux des équations de l'électrostatique et de la magnétostatique en
    introduisant des termes de couplage entre E et B,
    et révolutionne ainsi la physique._
    * These 4 equations **unify electricity, magnetism, and optics** within electromagnetism,
    and expand optics to a *new world: electromagnetic waves*.
    #### Pourquoi disons-nous "équations" et pas "théorèmes" de Maxwell ?
    ![Maxwell's Equations](Maxwell-equation-fr.png)
    *Maxwell modified two of the equations of electrostatics and magnetostatics by
    introducing coupling terms between E and B,
    thus revolutionizing physics.*
    * Les **4 équations de Maxwell** *ne sont pas démontrées*, donc elles ne constituent pas des théorèmes.
    * Elles sont *posées et supposées vraies*, ce **sont des postulats**.
    #### Why do we say "equations" and not "theorems" of Maxwell?
    * The **4 Maxwell’s equations** *are not proven*, so they do not constitute theorems.
    * They are *stated and assumed true*, they **are postulates**.
    <!-----------------
    #### Pourquoi ces équations fondent l'électromagnétisme ?
    #### Why do these equations found electromagnetism?
    #### Quel est le domaine de validité de ces équations ?
    #### What is the domain of validity of these equations?
    ------------------>
    <br>
    <br>
    ------------
    <br>
    #### Que sont ces 4 équations de Maxwell ?
    ##### Sous forme locale
    _(fondamental, connaître)_
    #### What are these 4 Maxwell’s equations?
    * Deux **expressions de la divergence** des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ *inchangées par rapport au cas stationnaire* (électrostatique et magnétostatique) :
    ##### Local form
    *(fundamental, must know)*
    * **$`\large{\mathbf{div \overrightarrow{E} = \dfrac{\dens}{\epsilon_0}}}`$** &nbsp;&nbsp;&nbsp;(éq. *Maxwell-Gauss*).
    * Two **divergence expressions** of the fields $`\overrightarrow{E}`$ and $`\overrightarrow{B}`$ *unchanged from the stationary case* (electrostatics and magnetostatics):
    * ** $`\large{\mathbf{div \overrightarrow{B} = 0}}`$** &nbsp;&nbsp;&nbsp;(éq. *Maxwell-flux*).
    * **$`\large{\mathbf{\text{div } \overrightarrow{E} = \dfrac{\dens}{\epsilon_0}}}`$** &nbsp;&nbsp;&nbsp;(eq. *Maxwell-Gauss*).
    * **$`\large{\mathbf{\text{div } \overrightarrow{B} = 0}}`$** &nbsp;&nbsp;&nbsp;(eq. *Maxwell-Thomson*).
    * Deux **expressions du rotationnel** des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ qui *changent et couplent les champs $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ et $`\mathbf{\overrightarrow{B}}`$* :
    * Two **curl expressions** of the fields $`\overrightarrow{E}`$ and $`\overrightarrow{B}`$ that *change and couple the fields $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ and $`\mathbf{\overrightarrow{B}}`$*:
    * **$`\large{\mathbf{\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}}}`$**
    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(éq. *Maxwell-Faraday*).
    * **$`\large{\mathbf{\overrightarrow{\text{curl}} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}}}`$**
    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(eq. *Maxwell-Faraday*).
    * **$`\large{\mathbf{\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}}}`$**
    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(éq. *Maxwell-Ampère*).
    * **$`\large{\mathbf{\overrightarrow{\text{curl}} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}}}`$**
    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(eq. *Maxwell-Ampère*).
    * où :
    * $`\dens=\dens^{3D}`$ est la densité volumique de charge.
    * $`\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}^{3D}`$ est le vecteur densité volumique de courant.
    * where:
    * $`\dens=\dens^{3D}`$ is the volume charge density.
    * $`\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}^{3D}`$ is the volume current density vector.
    ------------------
    * Et ces équations *réécrites avec l'opérateur nabla : $`\mathbf{\nabla}`$ *
    * And these equations *rewritten with the nabla operator: $`\mathbf{\nabla}`$*:
    * **$`\mathbf{\nabla\cdot\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens}{\epsilon_0}}`$**
    * **$`\mathbf{\nabla\cdot\overrightarrow{B}=0}`$**
    * **$`\mathbf{\nabla\land\overrightarrow{E}= -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}}`$**
    * **$`\mathbf{\nabla\land\overrightarrow{B}= \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}}`$**
    * **$`\mathbf{\nabla\times\overrightarrow{E}= -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}}`$**
    * **$`\mathbf{\nabla\times\overrightarrow{B}= \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}}`$**
    ------------------
    ##### Sous forme intégrale
    _(savoir redémontrer)_
    * Elles **se déduisent des équations locales**, avec l'aide :
    * du *théorème d'Ostrograsky* :
    $`\forall \overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})`$ :
    *$`\displaystyle\iiint_{\Ltau} div\;\overrightarrow{X} \cdot d\tau = \displaystyle
    \oiint_{S\leftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$*
    * du *théorème de Stokes* :
    $`\forall \overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})`$ :
    *$`\displaystyle\iint_{S} \;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot dS
    ##### Integral form
    *(must know how to re-demonstrate)*
    * They **are deduced from the local equations**, with the help of:
    * the *Divergence Theorem*:
    $`\forall \overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})`$:
    *$`\displaystyle\iiint_{\tau} \text{div}\,\overrightarrow{X} \cdot d\tau = \displaystyle
    \oiint_{S\leftrightarrow\tau} \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$*
    * the *Stokes' Theorem*:
    $`\forall \overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})`$:
    *$`\displaystyle\iint_{S} \;\overrightarrow{\text{curl}}\,\overrightarrow{X} \cdot dS
    = \displaystyle \oint_{\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dl}`$*.
    * **Maxwell-Gauss** :
    À tout instant t, et pour tout volume $`\tau`$ :
    -----------
    * $`\forall \overrightarrow{r}, div \overrightarrow{E} = \dfrac{\dens}{\epsilon_0}`$
    $`\Longrightarrow \iiint_{\Ltau} div \overrightarrow{E}\,d\tau = \iiint_{\Ltau}\dfrac{\dens}{\epsilon_0}\,d\tau`$
    * **Maxwell-Gauss Equation**:
    At any instant t, and for any volume $`\tau`$:
    * $`\forall \overrightarrow{r},\;`$ *$`\mathbf{\text{div } \overrightarrow{E} = \dfrac{\dens}{\epsilon_0}}`$*
    $`\Longrightarrow \iiint_{\tau} \text{div } \overrightarrow{E}\,d\tau = \iiint_{\tau}\dfrac{\dens}{\epsilon_0}\,d\tau`$
    * $`\left.\begin{array}{l}
    \iiint_{\Ltau} div \overrightarrow{E}\,d\tau = \iiint_{\Ltau}\dfrac{\dens}{\epsilon_0}\,d\tau \\
    \iiint_{\Ltau} div\;\overrightarrow{E} \cdot d\tau = \displaystyle
    \soiint_{S\leftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}
    \end{array}\right\}`$
    $`\Longrightarrow`$
    **$`\mathbf{\displaystyle \quad\oiint_{S\leftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}
    = \dfrac{1}{\epsilon_0} \cdot \iiint_{\Ltau} \rho \cdot d\tau = \dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}}`$**
    \iiint_{\tau} \text{div } \overrightarrow{E}\,d\tau = \iiint_{\tau}\dfrac{\dens}{\epsilon_0}\,d\tau \\
    \iiint_{\tau} \text{div}\,\overrightarrow{E} \cdot d\tau = \displaystyle
    \oiint_{S\leftrightarrow\tau} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}
    \end{array}\right\}`$
    $`\Longrightarrow`$
    **$`\mathbf{\displaystyle \quad\oiint_{S\leftrightarrow\tau} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}
    = \dfrac{1}{\epsilon_0} \cdot \iiint_{\tau} \rho \cdot d\tau = \dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}}`$**
    ------------
    * **Maxwell-flux** :
    * **Maxwell-Thomson Equation**:
    At any instant t, and for any volume $`\tau`$:
    À tout instant t, et pour tout volume $`\tau`$ :
    * $`\forall \overrightarrow{r}, div \overrightarrow{B} = 0`$
    $`\Longrightarrow \iiint_{\Ltau} div \overrightarrow{B}\,d\tau = 0`$
    * $`\forall \overrightarrow{r},\;`$ *$`\mathbf{\text{div } \overrightarrow{B} = 0}`$*
    $`\Longrightarrow \iiint_{\tau} \text{div } \overrightarrow{B}\,d\tau = 0`$
    * $`\left.\begin{array}{l}
    \iiint_{\Ltau} div \overrightarrow{B}\,d\tau = 0 \\
    \iiint_{\Ltau} div\;\overrightarrow{B} \cdot d\tau = \displaystyle
    \soiint_{S\leftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}
    \end{array}\right\}`$
    $`\Longrightarrow`$
    **$`\mathbf{\displaystyle \quad\oiint_{S\leftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}= 0}`$**
    \iiint_{\tau} \text{div } \overrightarrow{B}\,d\tau = 0 \\
    \iiint_{\tau} \text{div}\,\overrightarrow{B} \cdot d\tau = \displaystyle
    \oiint_{S\leftrightarrow\tau} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}
    \end{array}\right\}`$
    $`\Longrightarrow`$
    **$`\mathbf{\displaystyle \quad\oiint_{S\leftrightarrow\tau} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}= 0}`$**
    -----------------
    ------------
    * **Maxwell-Faraday** :
    * **Maxwell-Faraday Equation**:
    À tout instant t,
    et pour toute surface $`S`$ ouverte et orientée, fixe et indéformable, qui s'appuie sur un contour $`\Gamma`$
    d'orientation compatible avec celle de $`S`$ selon la règle de la main droite :
    At any instant t,
    and for any open and oriented surface $`S`$, immobile and undeformable, supported by a contour $`\Gamma`
    (also immobile and undeformable),
    with orientation compatible with that of $`S`$ according to the right-hand rule:
    * $`\forall \overrightarrow{r}, \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}`$
    $`\Longrightarrow \iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(-\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot\overrightarrow{dS}\Big)`$
    <br>
    * $`\forall \overrightarrow{r},\;`$ *$`\mathbf{\overrightarrow{\text{curl}} \,\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}}`$*
    $`\Longrightarrow \iint_S \overrightarrow{\text{curl}} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(-\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot\overrightarrow{dS}\Big)`$
    <br>
    * $`\left.\begin{array}{l}
    \iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(-\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot\overrightarrow{dS}\Big) \\
    \text{Newton : espace et temps indépendants,} \\
    \text{ordre dérivation/intégration n'importe pas}
    \end{array}\right\}`$
    $`\Longrightarrow`$
    $`\iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = -\dfrac{d}{dt}\Big(\iint_S\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}\Big)`$
    <br>
    \iint_S \overrightarrow{\text{curl}} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(-\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot\overrightarrow{dS}\Big) \\
    \text{Newton: space and time independent,} \\
    \text{order of derivation/integration} \\
    \text{does not matter}
    \end{array}\right\}`$
    $`\Longrightarrow`$
    $`\iint_S \overrightarrow{\text{curl}} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = -\dfrac{d}{dt}\Big(\iint_S\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}\Big)`$
    <br>
    * $`\left.\begin{array}{l}
    \iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = -\dfrac{d}{dt}\Big(\iint_S\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}\Big) \\
    \iint_{S} \;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E} \cdot dS = \oint_{\,\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}
    \end{array}\right\}`$
    $`\Longrightarrow`$
    **$`\begin{array}{l}
    &nbsp; \\
    \mathbf{\displaystyle\quad\oint_{\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}= -\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}}
    \end{array}`$**
    <br>
    * Cette équation joue un *rôle important pour les phénomènes d'induction*.
    _La quantité_ $`\oint_{\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}`$
    _d'appelation historique imparfaite "force électromotrice (fem)", homogène à une tension, est à l'origine d'un courant_
    _électrique traversant le contour $`\Gamma`$ si celui-ci représente un circuit conducteur._
    \iint_S \overrightarrow{\text{curl}} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = -\dfrac{d}{dt}\Big(\iint_S\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}\Big) \\
    \iint_{S} \;\overrightarrow{\text{curl}}\;\overrightarrow{E} \cdot dS = \oint_{\,\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}
    \end{array}\right\}`$
    $`\Longrightarrow`$
    **$`\begin{array}{l}
    &nbsp; \\
    \mathbf{\displaystyle\quad\oint_{\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}= -\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}}
    \end{array}`$**
    <br>
    * This equation plays an *important role in Neumann's induction phenomena*.
    The quantity $`\oint_{\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}`
    with the historically imperfect name "electromotive force (emf)", homogeneous to a voltage, is the origin of an electric current
    flowing through the contour $`\Gamma`$ if it represents a conductive circuit.
    ---------------
    * **Maxwell-Ampère** :
    * **Maxwell-Ampère Equation**:
    À tout instant t,
    et pour toute surface $`S`$ ouverte et orientée, fixe et indéformable, qui s'appuie sur un contour $`\Gamma`$
    d'orientation compatible avec celle de $`S`$ selon la règle de la main droite :
    <br>
    At any instant t,
    and for any open and oriented surface $`S`$, fixed and undeformable, supported by a contour $`\Gamma`
    with orientation compatible with that of $`S`$ according to the right-hand rule:
    <br>
    $`\forall \overrightarrow{r}, \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}`$
    $`\Longrightarrow`$$` \iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(\mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)\cdot\overrightarrow{dS}`$
    <br>
    $`\left.\begin{array}{l}
    \iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(\mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)\cdot\overrightarrow{dS} \\
    \text{Newton : espace et temps indépendants},\\
    \text{ordre dérivation/intégration n'importe pas}
    \end{array}\right\}`$
    $`\Longrightarrow`$
    $`\iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}`$$`\; = \mu_0\iint_S \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS} +
    \mu_0 \epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$
    <br>
    $`\left.\begin{array}{l}
    \iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS} = \mu_0\iint_S \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS} +
    \mu_0 \epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} \\
    \iint_{S} \;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{B} \cdot dS = \oint_{\,\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}
    \end{array}\right\}`$
    $`\Longrightarrow`$
    $`\forall \overrightarrow{r},\;`$ *$`\mathbf{\overrightarrow{\text{curl}} \,\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}}`$*
    $`\Longrightarrow`$ $` \iint_S \overrightarrow{\text{curl}} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(\mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)\cdot\overrightarrow{dS}`$
    <br>
    **$`&nbsp;\mathbf{\displaystyle\;\,\oint_{\,\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}}`$
    $`\;\mathbf{\displaystyle= \mu_0\iint_S \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS} +\mu_0 \epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**
    $`\left.\begin{array}{l}
    \iint_S \overrightarrow{\text{curl}} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(\mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)\cdot\overrightarrow{dS} \\
    \text{Newton: space and time independent},\\
    \text{order of derivation/integration does not matter}
    \end{array}\right\}`$
    $`\Longrightarrow`$
    $`\iint_S \overrightarrow{\text{curl}} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}`$ $`\; = \mu_0\iint_S \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS} +
    \mu_0 \epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$
    <br>
    <br>
    $`\left.\begin{array}{l}
    \iint_S \overrightarrow{\text{curl}} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS} \\
    \quad = \mu_0\iint_S \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS} +
    \mu_0 \epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} \\
    \iint_{S} \;\overrightarrow{\text{curl}}\;\overrightarrow{B} \cdot dS = \oint_{\,\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}
    \end{array}\right\}`$
    $`\Longrightarrow`$
    **$`&nbsp;\mathbf{\displaystyle\;\,\oint_{\,\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}}`$
    $`\;\mathbf{\displaystyle= \mu_0\iint_S \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS} +\mu_0 \epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**
    <br>
    ------------
    <br>
    #### Pourquoi parlons-nous de champ électromagnétique ?
    #### Why do we speak of an electromagnetic field?
    * Les 2 équations de couplage de $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ impliquent
    que **variables, $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ ne peuvent exister l'un sans l'autre**.
    * The 2 coupling equations of $`\overrightarrow{E}`$ and $`\overrightarrow{B}`$ imply
    that **variables, $`\overrightarrow{E}`$ and $`\overrightarrow{B}`$ cannot exist without each other**.
    * Le terme *$`\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\ne 0`$ implique $`\overrightarrow{E}\ne \overrightarrow{0}`$*
    * Le terme *$`\dfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\ne 0`$ implique $`\overrightarrow{B}\ne \overrightarrow{0}`$*
    <br>
    * The term *$`\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\ne 0`$ implies $`\overrightarrow{E}\ne \overrightarrow{0}`$*
    * The term *$`\dfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\ne 0`$ implies $`\overrightarrow{B}\ne \overrightarrow{0}`$*
    ------------
    <br>
    -------------
    <br>
    #### Que disent les équations de Maxwell sur la conservation de la charge ?
    #### What do Maxwell's equations say about charge conservation?
    ##### Loi de conservation de la charge électrique
    ##### Law of conservation of electric charge
    * Dans la matière, les **charges électriques** sont portées par les *électrons* et
    les *protons* des noyaux atomiques. *En physique classique*, ces particules existent,
    et elles **ne peuvent ni surgir du vide, ni disparaître**.
    * In matter, **electric charges** are carried by *electrons* and
    *protons* in atomic nuclei. *In classical physics*, these particles exist,
    and they **can neither emerge from nothing nor disappear**.
    * Ainsi le **principe de conservation de la charge** électrique peut se résumer en une phrase :
    <br>
    ! *Dans tout volume de l'espace et pendant une durée donnée, la charge électrique*
    ! *qui entre dans ce volume moins la charge électrique*
    ! *qui en sort est égale à la variation de la charge dans le volume.*
    <br>
    Cela se traduit en *écriture mathématique* par l'**expression intégrale**:
    <br>
    Pour toute surface fermée $`S`$ délimitant un volume macroscopique $`\Ltau`$,
    <br>
    **$`\mathbf{\oiint_{S\leftrightarrow\Ltau}\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS}+\iiint_{\Ltau}\dfrac{\partial\dens}{\partial t}\cdot d\tau=0}`$**
    <br>
    qui s"énonce :
    <br>
    ! *Le flux du vecteur densité de courant volumique à travers une surface fermée,*
    ! *est égal à la dérivée temporelle de la charge totale contenue à l'intérieur de cette surface fermée.*
    * Thus, the **principle of conservation of electric charge** can be summarized in one sentence:
    <br>
    ! *In any volume of space and over a given duration, the electric charge*
    ! *entering this volume minus the electric charge*
    ! *leaving it is equal to the change in charge within the volume.*
    ![](charge-conservation-law-L1200.jpg)
    <br>
    This is expressed mathematically by the **integral expression**:
    <br>
    For any closed surface $`S`$ bounding a macroscopic volume $`\tau`$,
    <br>
    **$`\mathbf{\oiint_{S\leftrightarrow\tau}\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS}+\iiint_{\tau}\dfrac{\partial\dens}{\partial t}\cdot d\tau=0}`$**
    <br>
    which states:
    <br>
    ! *The flux of the volume current density vector through a closed surface*
    ! *is equal to the time derivative of the total charge contained within this closed surface.*
    * Cette égalité étant vérifiée quelque-soit le volume d'intégration, c'est que
    l'égalité porte sur les intégrandes eux-mêmes.
    $`\Longrightarrow`$ la loi de conservation a aussi une **expression locale**, valide en tout point de l'espace, qui s'écrit :
    <br>
    **$`\mathbf{div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}=0}`$**
    ![Charge conservation law](charge-conservation-law-L1200.jpg)
    * Since this equality holds for any integration volume, it must apply to the integrands themselves.
    $`\Longrightarrow`$ The conservation law also has a **local expression**, valid at every point in space, which is written as:
    <br>
    **$`\mathbf{\text{div}\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}=0}`$**
    <br><br>
    ![](charge-conservation-1-L1200.jpg)
    ![Charge conservation](charge-conservation-1-L1200.jpg)
    <br>
    ##### Etude des équation de Maxwell
    ##### Study of Maxwell's equations
    * **Partons de** la combinaison d'opérateurs remarquable, valable pour tout champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$,
    qui s'énonce
    *" La divergence du rotationnel d'un champ vectoriel est toujours nulle. "* :
    * **Let's start** with the remarkable operator combination, valid for any vector field $`\overrightarrow{U}`$,
    which states:
    *"The divergence of the curl of a vector field is always zero."*
    <br>
    $`\forall \overrightarrow{X}\big(\overrightarrow{r},t\big)\;,`$*$`\quad \mathbf{div\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{X}\big)=0}`$*.
    $`\forall \overrightarrow{X}\big(\overrightarrow{r},t\big)\;,`$*\$`\quad \mathbf{\text{div}\big(\overrightarrow{\text{curl}}\,\overrightarrow{X}\big)=0}`$*.
    <br>
    et appliquons là au champ d'induction magnétique $`\overrightarrow{B}`$ :
    and apply it to the magnetic induction field $`\overrightarrow{B}`$:
    <br>
    **$`\mathbf{div\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}\big)=0}`$**.
    **$`\mathbf{\text{div}\big(\overrightarrow{\text{curl}}\,\overrightarrow{B}\big)=0}`$**.
    * La *loi de Maxwell-Ampère*
    *$`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}=\mu_0\,\overrightarrow{j} + \mu_0\epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}`$*
    permet d'écrire :
    * The *Maxwell-Ampère law*
    *$`\overrightarrow{\text{curl}}\,\overrightarrow{B}=\mu_0\,\overrightarrow{j} + \mu_0\epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}`\$*
    allows us to write:
    <br>
    **$`\mathbf{div\Big(\mu_0\,\overrightarrow{j} + \mu_0\epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)=0}`$**
    **$`\mathbf{\text{div}\Big(\mu_0\,\overrightarrow{j} + \mu_0\epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)=0}`$**
    * En divisant les termes de droite et de gauche par $`\mu_0`$, l'équation se simplifie :
    * Dividing both sides by $`\mu_0`$, the equation simplifies to:
    <br>
    $`div\Big(\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)=0`$
    $`\text{div}\Big(\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)=0`$
    * L'équation contient déjà $`\overrightarrow{j}`$, je cherche à faire apparaître $`\dens`$.
    Pour cela, je cherche à faire apparaître $`div\,\overrightarrow{j}`$ pour ensuite utiliser la loi de maxwell-Gauss.
    * The equation already contains $`\overrightarrow{j}`$, I seek to make $`\dens`$ appear.
    To do this, I seek to make $`\text{div}\,\overrightarrow{j}`$ appear in order to then use the Maxwell-Gauss law.
    <br>
    $`div\,\overrightarrow{j} + div\Big(\epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)=0`$
    $`\text{div}\,\overrightarrow{j} + \text{div}\Big(\epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)=0`$
    <!--------------------
    L'espace et le temps étant découplés en physique classique, l'ordre de différentiation
    et intégration n'importe pas si elles s'appliquent l'une à des coordonnées spatiales
    et l'autre au temps. Ainsi :
    Since space and time are decoupled in classical physics, the order of differentiation
    and integration does not matter if one applies to spatial coordinates
    and the other to time. Thus:
    $`div\,\overrightarrow{j} +
    \dfrac{\partial}{\partial t}\Big(\epsilon_0\, div\,\overrightarrow{E}\Big)=0`$
    $`\text{div}\,\overrightarrow{j} +
    \dfrac{\partial}{\partial t}\Big(\epsilon_0\, \text{div}\,\overrightarrow{E}\Big)=0`$
    ce qui permet d'écrire,
    which allows us to write,
    $`div\,\overrightarrow{j} + \dfrac{\partial\dens}{\partial t}=0`$
    $`\text{div}\,\overrightarrow{j} + \dfrac{\partial\dens}{\partial t}=0`$
    Je reconnais là la loi de conservation de la charge.
    I recognize here the law of conservation of charge.
    ----------------------->
    * Dans le cadre de la *physique classique, espace et temps sont indépendants*,
    l'ordre de dérivation par une variable spatiale et une variable temporelle n'importe pas :
    <br>
    ......@@ -642,16 +630,87 @@ $`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} = \sum_{i=1}^p\overrightarrow{j_i}\cdot\
    l'énergie contenue dans le champ est décrite par
    une **densité volumique d'énergie électromagnétique $`\dens_{énergie-EM}^{3D}`$** définie en chaque point de l'espace.
    * A partir des équations de Maxwell, on montre avec une combinaison d'opérateur adéquate (à faire) que cette
    densité volumique $`\dens_{énergie-EM}^{3D}`$ *possède deux composantes* :
    * une *composante électrique $`\;\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}`$*
    * une *composante magnétique $`\;\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{B^2}{2 \mu_0}`$*.
    * Ainsi, en tout point de l'espace :
    <!-------------------
    @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
    ##### L'expression de la densité volumique d'énergie électromagnétique est-elle contenue dans les équation de Maxwell ?
    --------------------->
    * Pars de l'indentité mathématique
    <br>
    $`\mathbf{div\,\big(\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}\big)=
    \overrightarrow{V}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)\,-\,\overrightarrow{U}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{V}\big)}`$
    <br>
    et applique-là au champ électromagnétique $`\big(\overrightarrow{E}\,,\overrightarrow{B})`$ en posant $`\overrightarrow{U}=\overrightarrow{E}`$
    et $`\overrightarrow{V}=\overrightarrow{B}`$
    <br>
    **$`\mathbf{div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)=\overrightarrow{B}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}\big)\,-\,\overrightarrow{E}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}\big)}`$**
    <br>
    $`\color{blue}{\scriptsize{
    \text{Identifie les termes } \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \text{ et } \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}}}`$
    $`\color{blue}{\scriptsize{\text{ à leurs causes avec respectivement}}}`$
    $`\color{blue}{\scriptsize{\text{les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell Ampère}}}`$
    <br>
    $`\begin{align}div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)
    =&\overrightarrow{B}\cdot
    \big(
    \underbrace{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}}
    _{\color{blue}{=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}}\big)\,\\
    &\quad-\,\overrightarrow{E}\cdot\big(\underbrace{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}}_{\color{blue}{=\mu_0\,\vec{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
    }}\big)\end{align}`$
    <br>
    $`div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)`$
    $`\quad=-\,\mu_0\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}\,-\,\mu_0\,\epsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\cdot\overrightarrow{E}
    \,
    -\,\overrightarrow{B}\cdot \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\big)
    `$
    <br>
    $`\color{blue}{\scriptsize{
    \text{Souviens-toi que } \vec{u}\dfrac{\partial \vec{u}}{\partial t}=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial (\vec{u}\cdot\vec{u})}{\partial t}=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial u^2}{\partial t}}}`$
    <br>
    $`div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)`$
    $`\quad =-\,\mu_0\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}\,-\,\dfrac{\mu_0\,\epsilon_0}{2}\,\dfrac{\partial E^2}{\partial t}
    \,
    -\,\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial B^2}{\partial t}
    `$
    <br>
    $`\color{blue}{\scriptsize{\text{La reconnaissance du terme d'effet Joule }\vec{j}\cdot\vec{E}=\dfrac{d\mathcal{P}_{cédée}}{d\tau}}}`$
    $`\color{blue}{\scriptsize{\text{incite à diviser chaque membre de l'équation par }\mu_0 }}`$
    <!-- $`\color{blue}{\scriptsize{\text{afin que chaque membre soit homogène à une puissance par unité de volume :}}}`$-->
    <br>
    $`
    div\,\left(\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}\right)`$
    $`\quad = -\,\underbrace{
    \vec{j}\cdot\overrightarrow{E}
    }_{
    \color{blue}{=\frac{d\mathcal{P}_{cédée}}{d\tau}}
    }
    \,-\,\dfrac{\epsilon_0}{2}\,\dfrac{\partial E^2}{\partial t}
    \,
    -\,\dfrac{1}{2\,\mu_0}\,\dfrac{\partial B^2}{\partial t}
    `$
    <br>
    $`\color{blue}{\scriptsize{\text{que tu peux réécrire :}}}`$
    <br>
    **$`\mathbf{
    div\,\left(\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}\right)}`$
    $`\mathbf{\quad = -\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}
    \,-\,\dfrac{\partial}{\partial t}\,\left(
    \dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}\,+\,\dfrac{B^2}{2\,\mu_0}
    \right)
    }`$**
    * Ainsi apparaît la **densité volumique d'énergie électromagnétique** d'*unité SI : $`J\,m^{-3}`$* :
    <br>
    **$`\large{\mathbf{\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}}}`$**
    * Cette
    densité volumique $`\dens_{énergie-EM}^{3D}`$ *possède deux composantes* :
    * une *composante électrique* **$`\;\dens_{élec}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}`$**
    * une *composante magnétique* **$`\;\dens_{magn}^{3D}=\dfrac{B^2}{2 \mu_0}`$**.
    * L'énergie électromagnétique $`\mathcal{E}_{EM}`$ contenue **dans un volume $`\tau`$** s'exprime :
    <br>
    **$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{E}_{EM}=\iiint_{\Ltau} \left(\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}\right) d\tau}}`$**
    ......@@ -702,7 +761,7 @@ $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right
    -\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\mu_0\;\overrightarrow{j} +
    \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)`$
    <br><br>
    *$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} +\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$*
    *$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} - \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$*
    <br><br>
    * *$`\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\dens}{\epsilon_O} \right)`$*
    ......@@ -718,7 +777,7 @@ $`\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\dens}{\epsil
    \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
    <br>
    ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde :
    <br>
    **$`\mathbf{\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
    \overrightarrow{grad}\left(\dens \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}}`$**
    <br>
    ......@@ -758,9 +817,9 @@ et fait l'objet de tout un **développement dans un chapitre ultérieur**.
    * Dès lors, la propagation de l'onde électromagnétique dans le vide s'exprime sous la forme
    du système de **deux équations de d'Alembert** :
    <br>
    **$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$**
    **$`\large{\boldsymbol{\mathbf{\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}}}}`$**
    <br>
    **$`\Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$**
    **$`\large{\boldsymbol{\mathbf{\Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}}}}`$**
    !!!! *Attention* :
    !!!!
    ......@@ -889,24 +948,25 @@ où $`d\mathcal{P}`$ est la *puissance élémentaire* de l'onde électromagnéti
    ! *Remarque 1* :
    !
    ! Le déplacement d'une charge $`(unité SI : C)`$ contenue dans un volume élémentaire
    ! $`d\tau\quad (SI : ! m^3)`$ de densité volumique de
    ! Le déplacement d'une charge (d'unité $`SI : C)`$ contenue dans un volume élémentaire
    ! $`d\tau\quad (SI : m^3)`$ de densité volumique de
    ! charge $`\dens_{charge}^{3D}\quad (SI : C\,m^{-3})`$ à une vitesse
    ! $`\overrightarrow{\mathscr{v}_d}\quad (SI : m\,s^1)`$ :
    ! $`\overrightarrow{\mathscr{v}_d}\quad (SI : m\,s^{-1})`$ :
    ! * permet de définir un vecteur densité de courant (électrique) volumique
    ! $`\overrightarrow{j}_{courant}^{3D}=\dens_{charge}^{3D}\,\mathscr{v}_d\,,\quad (SI : A\,m^{-2})`$,
    ! * et ainsi permet de calculer l'intensité élémentaire $`dI\quad (SI : A = C\,s-{-1})`$ du courant qui traverse
    ! $`\overrightarrow{j}_{courant}^{3D}=\dens_{charge}^{3D}\,\mathscr{v}_d\,`$
    ! $`\quad (SI : A\,m^{-2})`$,
    ! * et ainsi permet de calculer l'intensité élémentaire $`dI\quad (SI : A = C\,s^{-1})`$ du courant qui traverse
    ! tout élément de surface
    ! $`\overrightarrow{dS}\quad (SI : m^2)`$,
    ! $`dI= \overrightarrow{j}_{courant}^{3D}\cdot\overrightarrow{dS}`$,
    ! $`dI= \overrightarrow{j}_{courant}^{3D}\cdot\overrightarrow{dS}`$
    !
    ! de même,
    !
    ! le déplacement de l'énergie $`(unité SI : J)`$ de l'onde électromagnétique contenue
    ! dans un volume élémentaire $`d\tau\quad (SI : ! m^3)`$ de densité volumique d'énergie
    ! $`\dens_{énergie_EM}^{3D}`$ à la célérité $`c`$ :
    ! le déplacement de l'énergie (d'unité $`SI : J)`$ de l'onde électromagnétique contenue
    ! dans un volume élémentaire $`d\tau\quad (SI : m^3)`$ de densité volumique d'énergie
    ! $`\dens_{énergie_EM}^{3D}\quad (SI : J\,m^{-3})`$ à la célérité $`c\quad (SI : m\,s^{-1})`$ :
    ! * permet de définir l'équivalent d'un vecteur densité de puissance de l'onde électromagnétique
    ! , appelé *vecteur de Poynting* et noté *$`\overrightarrow{\Pi}\quad (SI : J\,s^{-1}\, m^{-2}=W\, m^{-2}=`$,
    ! , appelé *vecteur de Poynting* et noté $`\overrightarrow{\Pi}\quad (SI : J\,s^{-1}\, m^{-2}=W\, m^{-2})`$,
    ! * ce qui permet de calculer la puissance élémentaire $`d\mathcal{P}\quad (SI : W)`$ de l'onde EM qui traverse tout élément de surface
    ! $`\overrightarrow{dS}`$,
    ! $`d\mathcal{P}= \overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}`$.
    ......@@ -923,7 +983,7 @@ où $`d\mathcal{P}`$ est la *puissance élémentaire* de l'onde électromagnéti
    ! que par le champ d'excitation magnétique $`\overrightarrow{H}`$.
    ! Ces deux champs sont proportionnels, le rapport de proportionnalité étant la constante magnétique $`\mu_0`$ :
    ! <br>
    ! $`\overrightarrow{B}=\mu_0\,\overrightarrow{B}\quad\text{(dans le vide)}`$
    ! $`\overrightarrow{B}=\mu_0\,\overrightarrow{H}\quad\text{(dans le vide)}`$
    !
    ! L'expression dans le vide du vecteur de Poynting est alors :
    ! <br>
    ......@@ -941,7 +1001,7 @@ où $`d\mathcal{P}`$ est la *puissance élémentaire* de l'onde électromagnéti
    ! La *grandeur physique du vecteur de Poynting* est une *puissance par unité de surface*.
    <br>
    <br>
    ------
    ......@@ -949,9 +1009,40 @@ où $`d\mathcal{P}`$ est la *puissance élémentaire* de l'onde électromagnéti
    #### Comment calculer le puissance traversée par une surface d'aire et d'orientation quelconque ?
    * Elle se calcule simplement par l'expression :
    * La **puissance** se calcule simplement par l'expression :
    <br>
    **$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{P}=\iint_S \overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}}}`$**
    **$`\displaystyle\mathcal{P}=\iint_S \overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}`$**
    * Soit une **onde électromagnétique monochromatique** de période temporelle $`\mathbf{T_{onde}}`$.
    * **$`\mathbf{T_{onde}}`$** est la *période temporelle de $`\overrightarrow{E}`$*, champ électrique de l'onde.
    * L'énergie électrique étant proportionnelle à $`E^2`$, <br>
    la *période des variations énergétiques* de l'onde est **$`\mathbf{T_{énergie}}`$** *$`\mathbf{\,=\dfrac{T_{onde}}{2}}`$*
    * Tout **capteur** est caractérisé par un **temps de réponse $`\mathbf{\Delta t_{réponse}}`$** qui quantifie sa *rapidité*.
    <br>
    Soit un capteur sensible à l'énergie électromégnétique :
    * Si *$`\mathbf{\Delta t_{réponse}\ll T_{énerg.}}`$* alors le capteur est sensible à la *puissance instantanée* :
    <br>
    *$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{P}(t)=\iint_S \overrightarrow{\Pi}(t)\cdot\overrightarrow{dS}}}`$*
    <br>
    * Si **$`\mathbf{\Delta t_{réponse}\gg T_{énerg.}}`$** alors le capteur ne peut suivre les variations temporelles de
    la puissance instantanée, et ne mesure que la **valeur moyenne de la puissance** estimée sur $`\Delta t_{réponse}`$ :
    <br>
    **$`\displaystyle\large{\mathbf{<\mathcal{P}(t)>\;=\iint_S <\overrightarrow{\Pi}(t)>\cdot\overrightarrow{dS}}}`$**
    !!! *Exemple :*
    !!!
    !!! Le *domaine visible* correspond à :
    !!! * une *longueur d'onde* dans le vide de l'ordre de 500 nanomètres : *$`\mathbf{\lambda = 5\cdot 10^{-7}\,m}`$* <br>
    !!! <br>
    !!! Cela correspond à une période temporelle du champ électrique $`T_{onde}`$ de :<br>
    !!! $`T_{onde}=\dfrac{\lambda}{c}=\dfrac{5\cdot 10^{-7}}{3\cdot 10^{8}} = 1.7\times 10^{-15}\,s`$,<br>
    !!! soit<br>
    !!! $`T_{énerg.}=8.5\times 10^{-16}\,s`$<br>
    !!! <br>
    !!! Dans les deux cas, l'ordre de grandeur de la *période* est de $`\mathbf{T\approx 10^{-15}\,s}`$*.
    !!!
    !!! Aucun capteur n'arrive à suivre les variations instantanées de puissance de la lumière visible.
    #### Comment émettre une onde électromagnétique ?
    ......
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