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Commit bfc4809c authored by Claude Meny's avatar Claude Meny
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    ...@@ -402,318 +402,304 @@ $`\text{div}\,\overrightarrow{j} + \dfrac{\partial\dens}{\partial t}=0`$ ...@@ -402,318 +402,304 @@ $`\text{div}\,\overrightarrow{j} + \dfrac{\partial\dens}{\partial t}=0`$
    I recognize here the law of conservation of charge. I recognize here the law of conservation of charge.
    -----------------------> ----------------------->
    * In the context of *classical physics, space and time are independent*,
    the order of derivation with respect to a spatial variable and a time variable does not matter:
    <br>
    *$`\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right) =\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)`$*
    * The divergence operator consists only of partial derivatives with respect to spatial variables.
    * $`\dfrac{\partial}{\partial t}`$ is a partial derivative with respect to the time variable.
    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;*$`\Longrightarrow\quad \text{div}\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)= \dfrac{\partial}{\partial t}\left(\text{div}\right)`$*.
    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;We obtain:
    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;**$`\mathbf{\text{div}\,\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\text{div}\,\overrightarrow{E}\right)=0}`$**
    * Dans le cadre de la *physique classique, espace et temps sont indépendants*, * Using the *Maxwell-Gauss law $`\text{div}\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens}{\epsilon_0}`$*
    l'ordre de dérivation par une variable spatiale et une variable temporelle n'importe pas :
    <br>
    *$`\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right) =\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)`$*
    * L'opérateur divergence n'est constitué que de dérivées partielles de variables d'espace.
    * $`\dfrac{\partial}{\partial t}`$ est une dérivée partielle de la variable temps.
    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;*$`\Longrightarrow\quad div\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)= \dfrac{\partial}{\partial t}\left(div\right)`$*.
    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Nous obtenons :
    &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;**$`\mathbf{div\,\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial}{\partial t}\left(div\,\overrightarrow{E}\right)=0}`$**
    * En utilisant la *loi de Maxwell-Gauss $`div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens}{\epsilon_0}`$*
    <br> <br>
    nous obtenons l'**équation de conservation locale de la charge** électrique en régime variable (donc toujours vérifiée) : we obtain the **local equation of conservation of electric charge** in a time-varying regime (thus always valid):
    <br> <br>
    **$`\mathbf{div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}=0}`$** **$`\mathbf{\text{div}\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}=0}`$**
    ! *Les équations de Maxwell contiennent et impliquent la conservation de la charge électrique.*
    ! *Maxwell's equations contain and imply the conservation of electric charge.*
    <!--Plutôt pour partie principale-------------------- <!--Rather for main part--------------------
    * Il faut faire apparaître les distributions de charge $`\dens^{3D}`$ et de vecteur densité de courant volumique $`\overrightarrow{j}^{3D}`$. * We need to express the charge distributions $`\dens^{3D}`$ and the volume current density vector $`\overrightarrow{j}^{3D}`$.
    Pour cela nous utilisons la loi de Maxwell-Ampère For this, we use the Maxwell-Ampère law:
    * $`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}`$ * $`\overrightarrow{\text{curl}} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}`$
    <br> <br>
    $`div\big( $`\text{div}\big(
    \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t} \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}
    \big)=0`$ \big)=0`$
    * Simplifions en divisant de chaque côté par la constante magnétique $`\mu_0`$ : * Simplify by dividing both sides by the magnetic constant $`\mu_0`$:
    <br> <br>
    $`div\,\big( $`\text{div}\,\big(
    \;\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t} \;\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}
    \big)=0`$ \big)=0`$
    * Dans le cadre de la physique classique, espace et temps sont indépendants, l'ordre de dérivation par une variable spatiale et une variable temporelle n'importe pas : * In the context of classical physics, space and time are independent, the order of derivation with respect to a spatial variable and a time variable does not matter:
    $`\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right) =\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right) `$ $`\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right) =\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right) `$
    * L'opérateur divergence n'est constitué que de dérivées partielles de variables d'espace. * The divergence operator consists only of partial derivatives with respect to spatial variables.
    * $`\dfrac{\partial}{\partial t}`$ est une dérivée partielle de la variable temps. * $`\dfrac{\partial}{\partial t}`$ is a partial derivative with respect to the time variable.
    $`\Longrightarrow\quad div\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)= \dfrac{\partial}{\partial t} $`\Longrightarrow\quad \text{div}\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)= \dfrac{\partial}{\partial t}
    \left(div\right)`$. \left(\text{div}\right)`$.
    Nous obtenons : We obtain:
    <br> <br>
    $`div\,\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial}{\partial t} $`\text{div}\,\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial}{\partial t}
    \left(div\,\overrightarrow{E}\right)=0`$ \left(\text{div}\,\overrightarrow{E}\right)=0`$
    * En utilisant la loi de Maxwell-Gauss $`div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens^{3D}}{\epsilon_0}`$ nous obtenons l'équation de conservation locale de la charge électrique en régime variable (donc toujours vérifiée) : * Using the Maxwell-Gauss law $`\text{div}\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens^{3D}}{\epsilon_0}`$, we obtain the local equation of conservation of electric charge in a time-varying regime (thus always valid):
    <br> <br>
    $`div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens^{3D}}{\partial t}=0`$ $`\text{div}\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens^{3D}}{\partial t}=0`$
    ---------------------> --------------------->
    * Nous pouvons *intégrer cette égalité locale* sur un volume $`\tau`$ quelconque : * We can *integrate this local equality* over any volume $`\tau`$:
    <br> <br>
    $`\displaystyle\iiint_{\Ltau} \Big(div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}\big)\,d\tau=0`$ $`\displaystyle\iiint_{\tau} \Big(\text{div}\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}\big)\,d\tau=0`$
    <br> <br>
    *$`\displaystyle\iiint_{\Ltau} div\,\overrightarrow{j}\,d\tau+\iiint_{\Ltau}\dfrac{\partial \dens}{\partial t}\,d\tau=0`$* *$`\displaystyle\iiint_{\tau} \text{div}\,\overrightarrow{j}\,d\tau+\iiint_{\tau}\dfrac{\partial \dens}{\partial t}\,d\tau=0`$*
    * Le *théorème d'Ostrogradski* (= théorème *de la divergence*) précise que pour tout champ * The *Divergence Theorem* (= *Gauss's Theorem*) states that for any vector field
    $`\overrightarrow{U}`$ vectoriel et pour tout volume $`\tau`$, $`\overrightarrow{U}`$ and any volume $`\tau`$,
    *$`\displaystyle\iiint_{\Ltau} div\,\overrightarrow{U}\,d\Ltau=\oiint_S \overrightarrow{U}\cdot dS`$*, *$`\displaystyle\iiint_{\tau} \text{div}\,\overrightarrow{U}\,d\tau=\oiint_S \overrightarrow{U}\cdot dS`$*,
    $`S`$ étant la surface fermée que délimite le volume $`\tau`$. $`S`$ being the closed surface bounding the volume $`\tau`$.
    <br> <br>
    *Appliqué au premier terme* de l'égalité, nous obtenons : *Applied to the first term* of the equality, we obtain:
    <br> <br>
    **$`\displaystyle\oiint_S \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS} + \iiint_{\Ltau}\dfrac{\partial \dens}{\partial t}\,d\tau=0`$**. **$`\displaystyle\oiint_S \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS} + \iiint_{\tau}\dfrac{\partial \dens}{\partial t}\,d\tau=0`** .
    * En remarquant de nouveau qu'*espace et temps sont indépendants en physique classique*, l'ordre de dérivation ou intégration par une variable spatiale et une variable temporelle n'importe pas : * Noting again that *space and time are independent in classical physics*, the order of derivation or integration with respect to a spatial variable and a time variable does not matter:
    <br> <br>
    **$`\displaystyle\oiint_S \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS} +\dfrac{\partial}{\partial t} \left(\iiint_{\Ltau}\dens \,d\tau\right)=0`$**. **$`\displaystyle\oiint_S \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS} +\dfrac{\partial}{\partial t} \left(\iiint_{\tau}\dens \,d\tau\right)=0`** .
    * En constatant que *$`\displaystyle\iiint_{\Ltau}\dens^{3D} \,d\tau`$ est la charge totale $`Q_{int}`$* * Noting that *$`\displaystyle\iiint_{\tau}\dens^{3D} \,d\tau`$ is the total charge $`Q_{int}`*
    contenue dans le volume $`\tau`$, nous obtenons l'**expression intégrale de la loi de conservation** de la. charge : contained in the volume $`\tau`$, we obtain the **integral expression of the conservation law** of charge:
    <br> <br>
    **$`\mathbf{\displaystyle\oiint_S \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS} +\dfrac{dQ_{int}}{dt}=0}`$**. **$`\mathbf{\displaystyle\oiint_S \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS} +\dfrac{dQ_{int}}{dt}=0}`** .
    <br> <br>
    ------------ ------------
    <br> <br>
    #### Le champ électromagnétique peut-il céder de l'énergie à la matière ? #### Can the electromagnetic field yield energy to matter?
    ##### Puissance cédée à un porteur de charge ##### Power yielded to a charge carrier
    * La **sensibilité** d'une particule **à l'interaction électromagnétique** se quantifie * The **sensitivity** of a particle **to electromagnetic interaction** is quantified
    par le paramètre appelé *charge* électrique de la particule. by the parameter called *electric charge* of the particle.
    * La force qui décrit l'*action d'un champ électromagnétique $`\big(\overrightarrow{E}\,,\overrightarrow{B}\big)`$* * The force that describes the *action of an electromagnetic field $`\big(\overrightarrow{E}, \overrightarrow{B}\big)`*
    sur une particule de charge $`q`$ est la **force de Lorentz** d'expression : on a particle with charge $`q`$ is the **Lorentz force**, with the expression:
    <br> <br>
    **$`\overrightarrow{F}_{\,Lorentz}=q\Big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}\Big)`$**<br> **$`\overrightarrow{F}_{Lorentz}=q\Big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}\Big)`$**
    <br> <br>
    &nbsp;&nbsp;où $`\overrightarrow{\speed}`$ est le vecteur vitesse de la particule dans le référentiel d'inertie de l'observation. &nbsp;&nbsp;where $`\overrightarrow{v}`$ is the velocity vector of the particle in the inertial frame of the observer.
    * *Lors d'un déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$* de la particule dans le champ électromagnétique * *During an elementary displacement $`\overrightarrow{dl}`* of the particle in the electromagnetic field
    $`\big(\overrightarrow{E}\,,\overrightarrow{B}\big)`$, le **travail de la force de Lorentz** s'écrit : $`\big(\overrightarrow{E}, \overrightarrow{B}\big)`*, the **work of the Lorentz force** is written as:
    <br> <br>
    **$`d\mathcal{W}_{\,Lorentz}=\overrightarrow{F}_{Lorentz}\cdot\overrightarrow{dl}`$**, **$`d\mathcal{W}_{Lorentz}=\overrightarrow{F}_{Lorentz}\cdot\overrightarrow{dl}`**,
    <br> <br>
    soit that is,
    <br> <br>
    $`\begin{align} $`\begin{align}
    d\mathcal{W}_{\,Lorentz}&=q\Big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}\Big)\cdot\overrightarrow{dl}\\ d\mathcal{W}_{Lorentz}&=q\Big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}\Big)\cdot\overrightarrow{dl}\\
    &\\ &\\
    &= q\Big(\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}\Big)+ q\Big(\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}\Big)\\ &= q\Big(\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}\Big)+ q\Big(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}\Big)\\
    &\\ &\\
    &= q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl} + q\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big) \\ &= q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl} + q\Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big) \\
    \end{align}`$ \end{align}`$
    <br> <br>
    où $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)`$ est le produit mixte de la séquence des trois vecteurs. where $`\Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)`$ is the scalar triple product of the sequence of the three vectors.
    * Les *vecteurs $`\overrightarrow{\speed}`$ et $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{\speed}\,dt`$* étant *colinéaires*, le produit mixte * Since the *vectors $`\overrightarrow{v}`$ and $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{v}\,dt`* are *collinear*, the scalar triple product
    est nul : is zero:
    <br> <br>
    *$`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$*, *$`\Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$*,
    !!!! !!!!
    !!!! <details markdown=1> !!!! <details markdown=1>
    !!!! <summary>Rappels sur le produit mixte</summary> !!!! <summary>Reminders about the scalar triple product</summary>
    !!!! Le produit mixte de trois vecteurs $`\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c}`$, noté $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})`$ !!!! The scalar triple product of three vectors $`\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}`$, denoted $`(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})`$
    !!!! est défini par : !!!! is defined by:
    !!!! $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})=(\vec{a}\land\vec{b})\cdot\vec{c}`$. !!!! $`(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}`$.
    !!!! Il est alors facile de démontrer qu'il est invariant par permutation circulaire des 3 vecteurs : !!!! It is easy to demonstrate that it is invariant under circular permutation of the 3 vectors:
    !!!! $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})=(\vec{b}\,,\vec{c}\,,\vec{a})=(\vec{c}\,,\vec{a}\,,\vec{b})`$. !!!! $`(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})=(\vec{b}, \vec{c}, \vec{a})=(\vec{c}, \vec{a}, \vec{b})`$.
    !!!! C'est donc un nombre réel, dont la valeur absolue s'identifie au volume du parallélépipéde !!!! It is therefore a real number, whose absolute value identifies with the volume of the parallelepiped
    !!!! créé les trois vecteurs $`\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c}`$. !!!! formed by the three vectors $`\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}`$.
    !!!! !!!!
    !!!! Dans le cas étudié, deux vecteurs au moins du produit mixte $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)`$ !!!! In the case studied, at least two vectors of the scalar triple product $`\Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)$
    !!!! sont colinéaires car $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{\speed}\,dt`$. !!!! are collinear since $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{v}\,dt`$.
    !!!! Je peux dès lors m'assurer que ce produit mixte est nulle, !!!! I can therefore ensure that this scalar triple product is zero,
    !!!! * soit en remarquant que trois vecteurs dont deux sont colinéaires s'inscrivent dans un même plan (2D) !!!! * either by noting that three vectors, two of which are collinear, lie in the same plane (2D)
    !!!! et donc le volume (3D) construit par ces trois vecteurs est nul : !!!! and therefore the volume (3D) constructed by these three vectors is zero:
    !!!! $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$ !!!! $`\Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$
    !!!! * soit en utilisant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire, !!!! * or by using the invariance of the scalar triple product under circular permutation,
    !!!! $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=\Big(\overrightarrow{dl},\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B}\Big)`$ !!!! $`\Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=\Big(\overrightarrow{dl},\overrightarrow{v},\overrightarrow{B}\Big)`$
    !!!! $`=dt\times\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B}\Big)`$ !!!! $`=dt\times\Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{v},\overrightarrow{B}\Big)`$
    !!!! et en remarquant que le produit vecoriel de deux vecteurs colinéaires est nul : !!!! and by noting that the cross product of two collinear vectors is zero:
    !!!! $`\big\Vert\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{\speed}\big\Vert=\big\Vert\overrightarrow{\speed}\big\Vert\cdot\big\Vert\overrightarrow{\speed}\big\Vert\cdot \sin 0=0`$ !!!! $`\big\Vert\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{v}\big\Vert=\big\Vert\overrightarrow{v}\big\Vert\cdot\big\Vert\overrightarrow{v}\big\Vert\cdot \sin 0=0`$
    !!!! $`\Longrightarrow \overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{\speed}=\overrightarrow{0}`$ !!!! $`\Longrightarrow \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}`$
    !!!! $`\Longrightarrow \Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$ !!!! $`\Longrightarrow \Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$
    !!!! </details> !!!! </details>
    !!!! !!!!
    * $`\Longrightarrow`$ le **travail de la force de Lorentz** se simplifie : * $`\Longrightarrow`$ the **work of the Lorentz force** simplifies to:
    <br> <br>
    **$`d\mathcal{W}_{\,Lorentz} = q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}`$** **$`d\mathcal{W}_{Lorentz} = q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}`$**
    ! *Remarque :* ! *Note:*
    ! !
    ! La *force magnétique $`\overrightarrow{F}_{\,magn.}=q\,\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}`$*, ! The *magnetic force $`\overrightarrow{F}_{magn.}=q\,\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}`*,
    ! par nature perpendiculaire au vecteur vitesse $`\overrightarrow{\speed}`$ et donc au vecteur déplacement ! by nature perpendicular to the velocity vector $`\overrightarrow{v}`$ and thus to the elementary displacement
    ! élémentaire $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{\speed}\,dt`$ en tout point de la trajectoire de la particule ! vector $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{v}\,dt`$ at every point on the particle's trajectory
    ! de charge $`q`$, *ne travaille pas* : ! with charge $`q`*, *does no work*:
    ! !
    ! $`\mathbf{d\mathcal{W}_{\,magn} = \overrightarrow{F}_{magn}\cdot \overrightarrow{dl}=0}`$ ! $`\mathbf{d\mathcal{W}_{magn} = \overrightarrow{F}_{magn}\cdot \overrightarrow{dl}=0}`$
    ! !
    ! *Le travail de la force de Lorentz se limite au travail de la force électrique* : ! *The work of the Lorentz force is limited to the work of the electric force*:
    ! !
    ! $`\mathbf{d\mathcal{W}_{\,Lorentz} = d\mathcal{W}_{\,élec} =q\,\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}}`$ ! $`\mathbf{d\mathcal{W}_{Lorentz} = d\mathcal{W}_{elec} =q\,\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}}`$
    * La **puissance élémentaire cédée par le champ** à cette particule s'écrit : * The **elementary power yielded by the field** to this particle is written as:
    <br> <br>
    **$`\mathbf{\mathcal{P}_{cédée} = \dfrac{d\mathcal{W}_{\,Lorentz}}{dt} = q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}}`$** **$`\mathbf{\mathcal{P}_{yielded} = \dfrac{d\mathcal{W}_{Lorentz}}{dt} = q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{v}}`**
    ##### Puissance cédée dans un matériau avec un seul type porteur de charge ##### Power yielded in a material with a single type of charge carrier
    * Si le **milieu matériel** contient *$`n`$ porteurs identiques de charge $`q`$ par unité de volume*, * If the **material medium** contains *$`n`* identical charge carriers of charge $`q`* per unit volume*,
    alors un volume élémentaire $`d\tau`$ contient $`n\,\tau`$ porteurs de charge then an elementary volume $`d\tau`$ contains $`n\,\tau`$ charge carriers
    et la **puissance élémentaire cédée** par le champ électromagnétique s'écrit : and the **elementary power yielded** by the electromagnetic field is written as:
    <br> <br>
    **$`d\mathcal{P}_{cédée} = \mathcal{n}\,\big( q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\big)\,d\tau`$** **$`d\mathcal{P}_{yielded} = n\,\big( q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{v}\big)\,d\tau`$**
    * Exprimée *avec la densité volumique de charge $`\dens=\mathcal{n}\,q`$* : * Expressed *with the volume charge density $`\rho=n\,q`*:
    <br> <br>
    $`d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\mathcal{n}\, q\big)\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\,d\tau = = \dens\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\,d\tau`$ $`d\mathcal{P}_{yielded} = \big(n\, q\big)\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{v}\,d\tau = \rho\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{v}\,d\tau`$
    * Exprimée *avec le vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}=\dens\,\overrightarrow{\speed}`$*, en remarquant que * Expressed *with the volume current density vector $`\overrightarrow{j}=\rho\,\overrightarrow{v}`*, noting that
    $`\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}=\overrightarrow{\speed}\cdot\overrightarrow{E}`$ : $`\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{E}`$:
    <br> <br>
    **$`d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau`$** **$`d\mathcal{P}_{yielded} = \big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau`$**
    ##### Puissance cédée dans un matériau avec un seul type porteur de charge ##### Power yielded in a material with multiple types of charge carriers
    * Lorsqu'un matériau contient **plusieurs types de porteurs de charges $`q_i`$** * When a material contains **multiple types of charge carriers $`q_i`**
    en *concentrations $`n_i* et animées de *vitesses de dérives $`\overrightarrow{v_d\,i}`$* : in *concentrations $`n_i`* and with *drift velocities $`\overrightarrow{v_{d\,i}}`*:
    <br> <br>
    $`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} = \sum_{i=1}^p \big(\mathcal{n}_i\,q_i\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed_i}\big)\,d\tau`$ $`\displaystyle d\mathcal{P}_{yielded} = \sum_{i=1}^p \big(n_i\,q_i\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{v_i}\big)\,d\tau`$
    <br> <br>
    $`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} = \sum_{i=1}^p \dens_i\,d\tau\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed_i}`$ $`\displaystyle d\mathcal{P}_{yielded} = \sum_{i=1}^p \rho_i\,d\tau\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{v_i}`$
    <br> <br>
    $`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} = \sum_{i=1}^p\overrightarrow{j_i}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$ $`\displaystyle d\mathcal{P}_{yielded} = \sum_{i=1}^p\overrightarrow{j_i}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$
    <br> <br>
    *$`d\mathcal{P}_{cédée} = \overrightarrow{j}_{total}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$* *$`d\mathcal{P}_{yielded} = \overrightarrow{j}_{total}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$*
    * En posant plus simplement *$`\overrightarrow{j}_{total}=\overrightarrow{j}`$* : * By simply setting *$`\overrightarrow{j}_{total}=\overrightarrow{j}`*:
    <br> <br>
    **$`\large{\mathbf{d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau}}`$** **$`\large{\mathbf{d\mathcal{P}_{yielded} = \big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau}}`$**
    * La *puissance cédée* par le champ électromagnétique *dans un volume $`\tau`$* s'appelle **$`\large{\text{Effet Joule}}`$** * The *power yielded* by the electromagnetic field *in a volume $`\tau`* is called **$`\large{\text{Joule Effect}}`**,
    <br> <br>
    **$`\large{\displaystyle\mathbf{\mathcal{P}_{cédée} = \iiint_{\Ltau}\big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau}}`$** **$`\large{\displaystyle\mathbf{\mathcal{P}_{yielded} = \iiint_{\tau}\big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau}}`$**
    <br> <br>
    ------------ ------------
    <br> <br>
    #### Le champ électromagnétique contient-t-il de l'énergie ? #### Does the electromagnetic field contain energy?
    * Si le *champ électromagnétique* peut céder de l'énergie à la matière, c'est que lui-même il **contient de l'énergie**. * If the *electromagnetic field* can yield energy to matter, it is because it **contains energy**.
    * Un champ électromagnétique $`\big(\overrightarrow{E}\,,\,\overrightarrow{B}\big)`$ s'étendant dans l'espace, * An electromagnetic field $`\big(\overrightarrow{E},\,\overrightarrow{B}\big)`$ extending through space,
    l'énergie contenue dans le champ est décrite par the energy contained in the field is described by
    une **densité volumique d'énergie électromagnétique $`\dens_{énergie-EM}^{3D}`$** définie en chaque point de l'espace. a **volumetric energy density of the electromagnetic field $`\rho_{energy-EM}^{3D}`** defined at each point in space.
    <!------------------- <!-------------------
    @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
    ##### L'expression de la densité volumique d'énergie électromagnétique est-elle contenue dans les équation de Maxwell ? ##### Is the expression of the volumetric energy density of the electromagnetic field contained in Maxwell's equations?
    ---------------------> --------------------->
    * Pars de l'indentité mathématique * Start with the mathematical identity:
    <br> <br>
    $`\mathbf{div\,\big(\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}\big)= $`\mathbf{\text{div}\,\big(\overrightarrow{U}\times\overrightarrow{V}\big)=
    \overrightarrow{V}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)\,-\,\overrightarrow{U}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{V}\big)}`$ \overrightarrow{V}\cdot\big(\overrightarrow{\text{curl}}\,\overrightarrow{U}\big)\,-\,\overrightarrow{U}\cdot\big(\overrightarrow{\text{curl}}\,\overrightarrow{V}\big)}`$
    <br> <br>
    et applique-là au champ électromagnétique $`\big(\overrightarrow{E}\,,\overrightarrow{B})`$ en posant $`\overrightarrow{U}=\overrightarrow{E}`$ and apply it to the electromagnetic field $`\big(\overrightarrow{E},\,\overrightarrow{B}\big)`$ by setting $`\overrightarrow{U}=\overrightarrow{E}`$
    et $`\overrightarrow{V}=\overrightarrow{B}`$ and $`\overrightarrow{V}=\overrightarrow{B}`$
    <br> <br>
    **$`\mathbf{div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)=\overrightarrow{B}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}\big)\,-\,\overrightarrow{E}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}\big)}`$** **$`\mathbf{\text{div}\,\big(\overrightarrow{E}\times\overrightarrow{B}\big)=\overrightarrow{B}\cdot\big(\overrightarrow{\text{curl}}\,\overrightarrow{E}\big)\,-\,\overrightarrow{E}\cdot\big(\overrightarrow{\text{curl}}\,\overrightarrow{B}\big)}`$**
    <br> <br>
    $`\color{blue}{\scriptsize{ $`\color{blue}{\scriptsize{
    \text{Identifie les termes } \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \text{ et } \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}}}`$ \text{Identify the terms } \overrightarrow{\text{curl}}\,\overrightarrow{E} \text{ and } \overrightarrow{\text{curl}}\,\overrightarrow{B}}}`$
    $`\color{blue}{\scriptsize{\text{ à leurs causes avec respectivement}}}`$ $`\color{blue}{\scriptsize{\text{ with their causes, respectively}}}`$
    $`\color{blue}{\scriptsize{\text{les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell Ampère}}}`$ $`\color{blue}{\scriptsize{\text{the Maxwell-Faraday and Maxwell-Ampère equations}}}`$
    <br> <br>
    $`\begin{align}div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big) $`\begin{align}\text{div}\,\big(\overrightarrow{E}\times\overrightarrow{B}\big)
    =&\overrightarrow{B}\cdot =&\overrightarrow{B}\cdot
    \big( \big(
    \underbrace{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}} \underbrace{\overrightarrow{\text{curl}}\,\overrightarrow{E}}
    _{\color{blue}{=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}}\big)\,\\ _{\color{blue}{=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}}\big)\,\\
    &\quad-\,\overrightarrow{E}\cdot\big(\underbrace{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}}_{\color{blue}{=\mu_0\,\vec{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} &\quad-\,\overrightarrow{E}\cdot\big(\underbrace{\overrightarrow{\text{curl}}\,\overrightarrow{B}}_{\color{blue}{=\mu_0\,\vec{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
    }}\big)\end{align}`$ }}\big)\end{align}`$
    <br> <br>
    $`div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)`$ $`\text{div}\,\big(\overrightarrow{E}\times\overrightarrow{B}\big)`$
    $`\quad=-\,\mu_0\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}\,-\,\mu_0\,\epsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\cdot\overrightarrow{E} $`\quad=-\,\mu_0\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}\,-\,\mu_0\,\epsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\cdot\overrightarrow{E}
    \, \,
    -\,\overrightarrow{B}\cdot \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\big) -\,\overrightarrow{B}\cdot \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\big)`$
    `$
    <br> <br>
    $`\color{blue}{\scriptsize{ $`\color{blue}{\scriptsize{
    \text{Souviens-toi que } \vec{u}\dfrac{\partial \vec{u}}{\partial t}=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial (\vec{u}\cdot\vec{u})}{\partial t}=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial u^2}{\partial t}}}`$ \text{Recall that } \vec{u}\dfrac{\partial \vec{u}}{\partial t}=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial (\vec{u}\cdot\vec{u})}{\partial t}=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial u^2}{\partial t}}}`$
    <br> <br>
    $`div\,\big(\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}\big)`$ $`\text{div}\,\big(\overrightarrow{E}\times\overrightarrow{B}\big)`$
    $`\quad =-\,\mu_0\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}\,-\,\dfrac{\mu_0\,\epsilon_0}{2}\,\dfrac{\partial E^2}{\partial t} $`\quad =-\,\mu_0\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}\,-\,\dfrac{\mu_0\,\epsilon_0}{2}\,\dfrac{\partial E^2}{\partial t}
    \, \,
    -\,\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial B^2}{\partial t} -\,\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\partial B^2}{\partial t}
    `$ `$$
    <br> <br>
    $`\color{blue}{\scriptsize{\text{La reconnaissance du terme d'effet Joule }\vec{j}\cdot\vec{E}=\dfrac{d\mathcal{P}_{cédée}}{d\tau}}}`$ $`\color{blue}{\scriptsize{\text{Recognizing the Joule effect term }\vec{j}\cdot\vec{E}=\dfrac{d\mathcal{P}_{yielded}}{d\tau}}}`$
    $`\color{blue}{\scriptsize{\text{incite à diviser chaque membre de l'équation par }\mu_0 }}`$ $`\color{blue}{\scriptsize{\text{encourages dividing each term of the equation by }\mu_0 }}`$
    <!-- $`\color{blue}{\scriptsize{\text{afin que chaque membre soit homogène à une puissance par unité de volume :}}}`$--> <!-- $`\color{blue}{\scriptsize{\text{so that each term is homogeneous to a power per unit volume:}}}`$-->
    <br> <br>
    $` $`\text{div}\,\left(\dfrac{\overrightarrow{E}\times\overrightarrow{B}}{\mu_0}\right)`$
    div\,\left(\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}\right)`$
    $`\quad = -\,\underbrace{ $`\quad = -\,\underbrace{
    \vec{j}\cdot\overrightarrow{E} \vec{j}\cdot\overrightarrow{E}
    }_{ }_{
    \color{blue}{=\frac{d\mathcal{P}_{cédée}}{d\tau}} \color{blue}{=\frac{d\mathcal{P}_{yielded}}{d\tau}}
    } }
    \,-\,\dfrac{\epsilon_0}{2}\,\dfrac{\partial E^2}{\partial t} \,-\,\dfrac{\epsilon_0}{2}\,\dfrac{\partial E^2}{\partial t}
    \, \,
    -\,\dfrac{1}{2\,\mu_0}\,\dfrac{\partial B^2}{\partial t} -\,\dfrac{1}{2\,\mu_0}\,\dfrac{\partial B^2}{\partial t}
    `$ `$$
    <br> <br>
    $`\color{blue}{\scriptsize{\text{que tu peux réécrire :}}}`$ $`\color{blue}{\scriptsize{\text{which you can rewrite:}}}`$
    <br> <br>
    **$`\mathbf{ **$`\mathbf{
    div\,\left(\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}\right)}`$ \text{div}\,\left(\dfrac{\overrightarrow{E}\times\overrightarrow{B}}{\mu_0}\right)}`$
    $`\mathbf{\quad = -\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E} $`\mathbf{\quad = -\,\vec{j}\cdot\overrightarrow{E}
    \,-\,\dfrac{\partial}{\partial t}\,\left( \,-\,\dfrac{\partial}{\partial t}\,\left(
    \dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}\,+\,\dfrac{B^2}{2\,\mu_0} \dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}\,+\,\dfrac{B^2}{2\,\mu_0}
    \right) \right)
    }`$** }`$**
    * Ainsi apparaît la **densité volumique d'énergie électromagnétique** d'*unité SI : $`J\,m^{-3}`$* : * Thus appears the **volumetric energy density of the electromagnetic field** with *SI unit: $`J\,m^{-3}`*:
    <br> <br>
    **$`\large{\mathbf{\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}}}`$** **$`\large{\mathbf{\rho_{energy-EM}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}}}`$**
    * Cette * This volumetric density $`\rho_{energy-EM}^{3D}`$ *has two components*:
    densité volumique $`\dens_{énergie-EM}^{3D}`$ *possède deux composantes* : * an *electric component* **$`\;\rho_{elec}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}`$**
    * une *composante électrique* **$`\;\dens_{élec}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}`$** * a *magnetic component* **$`\;\rho_{mag}^{3D}=\dfrac{B^2}{2 \mu_0}`$**.
    * une *composante magnétique* **$`\;\dens_{magn}^{3D}=\dfrac{B^2}{2 \mu_0}`$**.
    * L'énergie électromagnétique $`\mathcal{E}_{EM}`$ contenue **dans un volume $`\tau`$** s'exprime : * The electromagnetic energy $`\mathcal{E}_{EM}`$ contained **in a volume $`\tau`** is expressed as:
    <br> <br>
    **$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{E}_{EM}=\iiint_{\Ltau} \left(\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}\right) d\tau}}`$** **$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{E}_{EM}=\iiint_{\tau} \left(\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}\right) d\tau}}`$**
    <br> <br>
    ...@@ -721,169 +707,161 @@ $`\mathbf{div\,\big(\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}\big)= ...@@ -721,169 +707,161 @@ $`\mathbf{div\,\big(\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}\big)=
    <br> <br>
    #### Pourquoi parlons-nous d'ondes électromagnétiques ? #### Why Do We Speak of Electromagnetic Waves?
    ##### Equation d'onde
    * Pour un *champ vectoriel $`\overrightarrow{U}(\overrightarrow{r},t)`$*, l'**équation d'onde de d'Alembert** s'écrit :
    <br>
    **$`\Delta \overrightarrow{U} - \dfrac{1}{\speed^2} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{U}}{\partial\; t^2}=0`$**
    * L'expression de l'*opérateur Laplacien vectoriel $`\Delta`$* en fonction des opérateurs $`grad`$, $`div`$ et $`rot`$ est :
    <br>
    *$`\Delta =\overrightarrow{grad} \left(div\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\right)`$*
    * L'**idée** est de *calculer pour chacun des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$*
    l'expression de *son Laplacien*, pour voir si une identification avec l'équation d'onde est
    réalisée.
    ##### Etude de la composante $`\overrightarrow{E}`$ du champ électromagnétique. ##### Wave Equation
    * Pour **établir l'expression $`\;\;\Delta \overrightarrow{E}`$**, je calcule
    $`\;\;\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)\;\;`$ puis
    $`\;\;\overrightarrow{grad} \left(div \overrightarrow{E}\right)\;\;`$ *à partir des équations
    de Maxwell*.
    * For a *vector field $`\overrightarrow{U}(\overrightarrow{r},t)`*, the **d'Alembert wave equation** is written as:
    <br>
    **$`\Delta \overrightarrow{U} - \dfrac{1}{v^2} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0`$**
    * $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)= * The expression of the *vector Laplacian operator $`\Delta`* in terms of the $`\text{grad}`$, $`\text{div}`$, and $`\text{curl}`$ operators is:
    \overrightarrow{rot} \,\left( -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)`$ <br>
    <br> *$`\Delta = \overrightarrow{\text{grad}} \left(\text{div}\right) - \overrightarrow{\text{curl}} \left(\overrightarrow{\text{curl}}\right)`$*
    En physique classique, espace et temps sont découplés. Les coordonnées spatiales
    et la coordonnée temporelle sont indépendantes. L'ordre de dérivation ou intégration entre
    des coordonnées spatiales et la coordonnés temporelle n'importe pas, donc :
    <br>
    $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
    -\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}\right)`$
    <br><br>
    $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
    -\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\mu_0\;\overrightarrow{j} +
    \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)`$
    <br><br>
    *$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} - \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$*
    <br><br>
    * *$`\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\dens}{\epsilon_O} \right)`$* * The **idea** is to *calculate for each of the fields $`\overrightarrow{E}`$ and $`\overrightarrow{B}`*
    the expression of *its Laplacian*, to see if it can be identified with the wave equation.
    <br> ##### Study of the $`\overrightarrow{E}`$ Component of the Electromagnetic Field
    * To **establish the expression $`\Delta \overrightarrow{E}`**, I calculate
    $`\overrightarrow{\text{curl}}\left(\overrightarrow{\text{curl}} \overrightarrow{E}\right)`$ and then
    $`\overrightarrow{\text{grad}} \left(\text{div} \overrightarrow{E}\right)`* from Maxwell's equations.
    * La reconstruction de * $`\overrightarrow{\text{curl}} \left(\overrightarrow{\text{curl}} \overrightarrow{E}\right) =
    $`\Delta \;\overrightarrow{E} =\overrightarrow{grad} \left(div\;\overrightarrow{E}\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)`$ \overrightarrow{\text{curl}} \left(-\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)`$
    donne : <br>
    <br> In classical physics, space and time are decoupled. The spatial coordinates
    $`\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\dens}{\epsilon_O} \right) + \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} + and the time coordinate are independent. The order of differentiation or integration between
    \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$ spatial coordinates and the time coordinate does not matter, so:
    <br> <br>
    ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde : $`\overrightarrow{\text{curl}} \left(\overrightarrow{\text{curl}} \overrightarrow{E}\right) =
    -\dfrac{\partial}{\partial t} \left(\overrightarrow{\text{curl}} \overrightarrow{B}\right)`$
    <br><br>
    $`\overrightarrow{\text{curl}} \left(\overrightarrow{\text{curl}} \overrightarrow{E}\right) =
    -\dfrac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0 \overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)`$
    <br><br>
    *$`\overrightarrow{\text{curl}} \left(\overrightarrow{\text{curl}} \overrightarrow{E}\right) =
    -\mu_0 \dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} - \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$*
    <br><br>
    * *$`\overrightarrow{\text{grad}} \left(\text{div} \overrightarrow{E}\right) =
    \overrightarrow{\text{grad}} \left(\dfrac{\rho}{\epsilon_0}\right)`$*
    * Reconstructing
    $`\Delta \overrightarrow{E} = \overrightarrow{\text{grad}} \left(\text{div} \overrightarrow{E}\right) -
    \overrightarrow{\text{curl}} \left(\overrightarrow{\text{curl}} \overrightarrow{E}\right)`$
    gives:
    <br>
    $`\Delta \overrightarrow{E} = \overrightarrow{\text{grad}} \left(\dfrac{\rho}{\epsilon_0}\right) +
    \mu_0 \dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} + \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
    <br>
    which, by identifying with the first term of the wave equation, gives:
    **$`\mathbf{\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \; **$`\mathbf{\Delta \overrightarrow{E} - \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} =
    \overrightarrow{grad}\left(\dens \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}}`$** \dfrac{1}{\epsilon_0} \overrightarrow{\text{grad}} \left(\rho\right) + \mu_0 \dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}}`$**
    <br> <br>
    _(équation de propagation du champ électrique)_ *(wave equation for the electric field)*
    ##### Etude de la composante $`\overrightarrow{B}`$ du champ électromagnétique. ##### Study of the $`\overrightarrow{B}`$ Component of the Electromagnetic Field
    * Une *étude de forme identique* (proposée en autotest dans la partie beyond) me conduirait * A *similar study* (proposed as a self-test in the advanced section) would lead me
    pour le champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$ à l'équation de propagation : to the propagation equation for the magnetic field $`\overrightarrow{B}`$:
    <br> <br>
    **$`\mathbf{\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}} **$`\mathbf{\Delta \overrightarrow{B} - \epsilon_0 \mu_0 \dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} =
    {\partial t^2}=-\mu_0\;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{j}}`$** -\mu_0 \overrightarrow{\text{curl}} \overrightarrow{j}}`$**
    <br> <br>
    _(équation de propagation du champ magnétique)_ *(wave equation for the magnetic field)*
    ##### Propagation d'une onde électromagnétique dans la matière ##### Propagation of an Electromagnetic Wave in Matter
    * L'étude part des équations de Maxwelle et des deux équations * The study starts from Maxwell's equations and the two equations:
    <br> <br>
    $`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \; $`\Delta \overrightarrow{E} - \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} =
    \overrightarrow{grad}\left(\dens \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}`$ \dfrac{1}{\epsilon_0} \overrightarrow{\text{grad}} \left(\rho\right) + \mu_0 \dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}`$
    <br> <br>
    $`\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}} $`\Delta \overrightarrow{B} - \epsilon_0 \mu_0 \dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} =
    {\partial t^2}=-\mu_0\;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{j}`$ -\mu_0 \overrightarrow{\text{curl}} \overrightarrow{j}`$
    <br> <br>
    et fait l'objet de tout un **développement dans un chapitre ultérieur**. and is the subject of an entire **development in a later chapter**.
    ##### Propagation of an Electromagnetic Wave in Vacuum
    ##### Propagation d'une onde électromagnétique dans le vide * *Empty space* is characterized by an absence of charges, whether fixed or moving.
    The volume charge density $`\rho_{\text{vacuum}}`$ as well as the volume current density vector
    $`\overrightarrow{j}_{\text{vacuum}}`$ have a value of zero throughout empty space,
    <br>
    *$`\rho_{\text{vacuum}}=0 \quad \text{and} \quad \overrightarrow{j}_{\text{vacuum}}=\overrightarrow{0}`$*.
    * L'*espace vide* est caractérisé par une absence de charges, fixes ou en mouvement. * Therefore, the propagation of the electromagnetic wave in vacuum is expressed in the form
    La densité volumique de charge $`\dens_{vide}`$ de même que le vecteur densité volumique de courant of a system of **two d'Alembert equations**:
    $`\overrightarrow{j}_{vide}`$ ont une valeur nulle dans tout l'espace vide, <br>
    <br> **$`\large{\boldsymbol{\mathbf{\Delta \overrightarrow{E} - \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}}}}`$**
    *$`\dens_{vide}=0\quad\text{et}\quad\overrightarrow{j}_{vide}=\overrightarrow{0}`$*. <br>
    **$`\large{\boldsymbol{\mathbf{\Delta \overrightarrow{B} - \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}}}}`$**
    * Dès lors, la propagation de l'onde électromagnétique dans le vide s'exprime sous la forme
    du système de **deux équations de d'Alembert** :
    <br>
    **$`\large{\boldsymbol{\mathbf{\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}}}}`$**
    <br>
    **$`\large{\boldsymbol{\mathbf{\Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}}}}`$**
    !!!! *Attention* : !!!! *Attention*:
    !!!! !!!!
    !!!! Les *équations de Maxwell impliquent la propagation du champ électromagnétique*. !!!! *Maxwell's equations imply the propagation of the electromagnetic field*.
    !!!! !!!!
    !!!! *Mais,* !!!! *But,*
    !!!! !!!!
    !!!! Les *deux équations d'onde pour les champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ !!!! The *two wave equations for the fields $`\overrightarrow{E}`$ and $`\overrightarrow{B}`$
    !!!! n'impliquent pas les équations de Maxwell*. !!!! do not imply Maxwell's equations*.
    !!!! !!!!
    !!!! Tout champ $`\overrightarrow{E}`$ qui vérifie !!!! Any field $`\overrightarrow{E}`$ that satisfies
    !!!! $`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$ !!!! $`\Delta \overrightarrow{E} - \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$
    !!!! !!!!
    !!!! et tout champ $`\overrightarrow{B}`$ qui vérifie !!!! and any field $`\overrightarrow{B}`$ that satisfies
    !!!! $`\Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$ !!!! $`\Delta \overrightarrow{B} - \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$
    !!!! !!!!
    !!!! ne décrivent la propagation d'une onde électromégnétique que si $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ !!!! describe the propagation of an electromagnetic wave only if $`\overrightarrow{E}`$ and $`\overrightarrow{B}`$
    !!!! vérifient les équations de Maxwell. !!!! satisfy Maxwell's equations.
    ##### Célérité de la vitesse de la lumière dans le vide ##### Speed of Light in Vacuum
    * L'identification des équations de propagation des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ * Identifying the propagation equations of the fields $`\overrightarrow{E}`$ and $`\overrightarrow{B}`$
    avec l'équation d'onde de d'Alembert montre que *le champ électroimagnétique se propage à la célérité* with the d'Alembert wave equation shows that *the electromagnetic field propagates at the speed*
    <br> <br>
    *$`\large{\mathscr{v}=\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon_0\,\mu_0}}}`$* *$`\large{\mathscr{v}=\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}}`$*
    * La *célérité de la lumière dans le vide*, notée *$`\mathbf{c}`$* est une **constante fondamentale** de l'univers, et sa valeur exacte est : * The *speed of light in vacuum*, denoted *$`\mathbf{c}`$*, is a **fundamental constant** of the universe, and its exact value is:
    <br> <br>
    *$`\large{c=299 792 458 m\,s^{-1}\approx 3\times 10^8 m\,s^{-1}}`$* *$`\large{c=299,792,458 \, \text{m} \, \text{s}^{-1} \approx 3 \times 10^8 \, \text{m} \, \text{s}^{-1}}`$*
    !! *Pour aller plus loin* : !! *For further reading*:
    !! !!
    !! Les équations de propagation des ondes électromagnétiques, établies ici dans le cadre !! The propagation equations of electromagnetic waves, established here within the framework
    !! de la physique classique, !! of classical physics,
    !! prévoient que les ondes électromagnétiques se propagent dans le vide à la célérité !! predict that electromagnetic waves propagate in vacuum at the speed
    !! $`c=1/\sqrt{\epsilon_0\,\mu_0}`$, célérité constante indépendante du mouvement de l'observateur. !! $`c=1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}`$, a constant speed independent of the observer's motion.
    !! !!
    !! ceci est en contradiction avec la loi d'addition des vitesses en mécanique classique, qui !! This is in contradiction with the law of velocity addition in classical mechanics, which
    !! résulte des transformations de Galilée. !! results from Galilean transformations.
    !! !!
    !! $`\Longrightarrow`$ pendant la seconde moitié du $`19^{ème}`$ siècle, le travail de physiciens fut !! $`\Longrightarrow`$ During the second half of the 19th century, the work of physicists was
    !! d'essayer de modifier les équations de Maxwell pour les rendre compatibles avec la physique classique. !! to try to modify Maxwell's equations to make them compatible with classical physics.
    !! !!
    !! Mais ce fut l'inverse qu'il fallait faire : modifier la mécanique de Newton, base de la physique classique, !! But it was the opposite that needed to be done: modify Newtonian mechanics, the basis of classical physics,
    !! pour la rendre compatible avec les équations de Maxwell. !! to make it compatible with Maxwell's equations.
    !! !!
    !! Ce travail inverse fut celui d'Albert Einstein, qui publia en 1905 un article intitulé !! This inverse work was done by Albert Einstein, who published in 1905 a paper titled
    !! "Sur l'électrodynamique des corps en mouvement", !! "On the Electrodynamics of Moving Bodies,"
    !! qui fut la naissance de la théorie de la Relativité restreinte, qui bouleverse notre conception !! which marked the birth of the theory of Special Relativity, revolutionizing our conception
    !! de l'espace et du temps. !! of space and time.
    !! !!
    !! Plus tard, en 1915, Einstein soumet un article intitulé !! Later, in 1915, Einstein submitted a paper titled
    !! "Les fondements de la théorie de la Relativité Générale" !! "The Foundation of the General Theory of Relativity"
    !! qui bouleverse notre conception du rapport entre l'espace-temps et son contenue en matière et énergie. !! which revolutionized our conception of the relationship between spacetime and its content of matter and energy.
    !! !!
    !! *Physique Newtonienne* : !! *Newtonian physics*:
    !! espace + temps + matière + énergie. !! space + time + matter + energy.
    !! !!
    !! *Physique relativiste au sens restreint* : !! *Relativistic physics in the restricted sense*:
    !! espace-temps + matière-énergie ($`E=m\,c^2`$). !! spacetime + matter-energy ($`E=mc^2`$).
    !! !!
    !! *Physique relativiste au sens général* : !! *Relativistic physics in the general sense*:
    !! espace-temps-matière-énergie. !! spacetime-matter-energy.
    <br> <br>
    ...@@ -891,174 +869,164 @@ avec l'équation d'onde de d'Alembert montre que *le champ électroimagnétique ...@@ -891,174 +869,164 @@ avec l'équation d'onde de d'Alembert montre que *le champ électroimagnétique
    <br> <br>
    #### Qu'est-ce que le spectre électromagnétique ? #### What Is the Poynting Vector?
    * **Maxwell** émet l'hypothèse que *la lumière* visible, dont on venait de mesurer la vitesse à partir
    de l'observation astronomique du mouvement des satellites de Jupiter, *est une onde électromagnétique*.
    <br>
    $`\Longrightarrow`$ la lumière n'est qu'une toute petite partie des ondes électromagnétiques.
    <br>
    $`\Longrightarrow`$ tout un *monde nouveau de "lumières"* se révèle, appelé **spectre électromagnétique**.
    ![](astro-electromagnetic-spectrum-N4_1_fr_L1200.jpg)
    * En particulier, **la connaissance de l'univers** résultait *avant Maxwell* de la seule observation du *domaine visible*,
    ![](ciel-visible-bsp_L1200.jpg)
    * s'étend *maintenant* à *l'ensemble du spectre électromagnétique*.
    ![](ciel-images-bsp_L600_transparence.gif)
    <br>
    ------
    <br>
    #### Qu'est-ce que le vecteur de Poynting ?
    * The **electromagnetic wave contains energy**
    * with *at each point in space* a **volumetric energy density $`\rho_{energy-EM}^{3D}`**,
    - with an *electric component $`\rho_{energy-EM}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}`*,
    - with a *magnetic component $`\rho_{energy-EM}^{3D}=\dfrac{B^2}{2 \mu_0}`*.
    * which **moves in vacuum** *at speed $`c`$*.
    * L'**onde électromagnétique contient de l'énergie** * The **Poynting vector** translates this fact and allows the *calculation of the energy* of an electromagnetic wave
    * avec *en chaque point de l'espace* une **densité volumique d'énergie $`\dens_{énergie-EM}^{3D}`$**, incident *on any surface per second*.
    \- avec une *composante électrique $`\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}`$*,
    \- avec une *composante magnétique $`\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{B^2}{2 \mu_0}`$*.
    * qui **se déplace dans le vide** *à la vitesse $`c`$*.
    * The **Poynting vector**, defined at each point in space, is *defined by* the relation:
    <br>
    * Le **vecteur de Poynting** traduit ce fait, et permet le *calcul de l'énergie* d'une onde électromagnétique *$`\large{\mathbf{d\mathcal{P}=\overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}}}`$*
    incidente *sur une surface quelconque par seconde*. <br>
    where $`d\mathcal{P}`$ is the *elementary power* of the electromagnetic wave
    * Le **vecteur de Poynting**, définit en chaque point de l'espace, est *défini par* la relation : *radiated through the surface element* $`\overrightarrow{dS}`$.
    <br>
    *$`\large{\mathbf{d\mathcal{P}=\overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}}}`$*
    <br>
    où $`d\mathcal{P}`$ est la *puissance élémentaire* de l'onde électromagnétique
    *rayonnée à travers l'élément de surface* $`\overrightarrow{dS}`$.
    ![](poynting-vector-1_L1200.jpg) ![Poynting Vector](poynting-vector-1_L1200.jpg)
    * Son **expression** en fonction des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ est : * Its **expression** in terms of the fields $`\overrightarrow{E}`$ and $`\overrightarrow{B}`$ is:
    <br> <br>
    **$`\large{\mathbf{\overrightarrow{\Pi}=\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}}}`$** **$`\large{\mathbf{\overrightarrow{\Pi}=\dfrac{\overrightarrow{E}\times\overrightarrow{B}}{\mu_0}}}`$**
    * *Unité SI* : **$`\mathbf{W\,m^{-2}}`$** * *SI Unit*: **$`\mathbf{W\,m^{-2}}`$**
    ! *Remarque 1* : ! *Note 1*:
    !
    ! The displacement of a charge (SI unit: $`C`$) contained in an elementary volume
    ! $`d\tau`$ (SI: $`m^3`$) with volume charge density
    ! $`\rho_{charge}^{3D}`$ (SI: $`C\,m^{-3`$) at a velocity
    ! $`\overrightarrow{v_d}`$ (SI: $`m\,s^{-1}`$):
    ! * allows defining a volume electric current density vector
    ! $`\overrightarrow{j}_{current}^{3D}=\rho_{charge}^{3D}\,v_d`$
    ! (SI: $`A\,m^{-2}`$),
    ! * and thus allows calculating the elementary current intensity $`dI`$ (SI: $`A = C\,s^{-1}`$) flowing through
    ! any surface element
    ! $`\overrightarrow{dS}`$ (SI: $`m^2`$),
    ! $`dI= \overrightarrow{j}_{current}^{3D}\cdot\overrightarrow{dS}`$.
    ! !
    ! Le déplacement d'une charge (d'unité $`SI : C)`$ contenue dans un volume élémentaire ! Similarly,
    ! $`d\tau\quad (SI : m^3)`$ de densité volumique de
    ! charge $`\dens_{charge}^{3D}\quad (SI : C\,m^{-3})`$ à une vitesse
    ! $`\overrightarrow{\mathscr{v}_d}\quad (SI : m\,s^{-1})`$ :
    ! * permet de définir un vecteur densité de courant (électrique) volumique
    ! $`\overrightarrow{j}_{courant}^{3D}=\dens_{charge}^{3D}\,\mathscr{v}_d\,`$
    ! $`\quad (SI : A\,m^{-2})`$,
    ! * et ainsi permet de calculer l'intensité élémentaire $`dI\quad (SI : A = C\,s^{-1})`$ du courant qui traverse
    ! tout élément de surface
    ! $`\overrightarrow{dS}\quad (SI : m^2)`$,
    ! $`dI= \overrightarrow{j}_{courant}^{3D}\cdot\overrightarrow{dS}`$
    ! !
    ! de même, ! the displacement of the energy (SI unit: $`J`$) of the electromagnetic wave contained
    ! ! in an elementary volume $`d\tau`$ (SI: $`m^3`$) with volumetric energy density
    ! le déplacement de l'énergie (d'unité $`SI : J)`$ de l'onde électromagnétique contenue ! $`\rho_{energy-EM}^{3D}`$ (SI: $`J\,m^{-3}`$) at speed $`c`$ (SI: $`m\,s^{-1}`$):
    ! dans un volume élémentaire $`d\tau\quad (SI : m^3)`$ de densité volumique d'énergie ! * allows defining the equivalent of a power density vector of the electromagnetic wave,
    ! $`\dens_{énergie_EM}^{3D}\quad (SI : J\,m^{-3})`$ à la célérité $`c\quad (SI : m\,s^{-1})`$ : ! called *Poynting vector* and denoted $`\overrightarrow{\Pi}`$ (SI: $`J\,s^{-1}\,m^{-2}=W\,m^{-2}`$),
    ! * permet de définir l'équivalent d'un vecteur densité de puissance de l'onde électromagnétique ! * which allows calculating the elementary power $`d\mathcal{P}`$ (SI: $`W`$) of the EM wave passing through any surface element
    ! , appelé *vecteur de Poynting* et noté $`\overrightarrow{\Pi}\quad (SI : J\,s^{-1}\, m^{-2}=W\, m^{-2})`$, ! $`\overrightarrow{dS}`$,
    ! * ce qui permet de calculer la puissance élémentaire $`d\mathcal{P}\quad (SI : W)`$ de l'onde EM qui traverse tout élément de surface ! $`d\mathcal{P}= \overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}`$.
    ! $`\overrightarrow{dS}`$,
    ! $`d\mathcal{P}= \overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}`$. ! *Note 2*:
    ! *Remarque 2* :
    ! !
    ! *L'expression du vecteur de Poynting* en fonction du champ électrique et du champ magnétique de l'onde, ! *The expression of the Poynting vector* in terms of the electric and magnetic fields of the wave,
    ! ainsi que *sa signification*, sont *plus faciles à retenir* si l'on choisit de l'exprimer ! as well as *its meaning*, are *easier to remember* if expressed
    ! *en fonction du champ d'excitation magnétique $`\overrightarrow{H}`$*. ! *in terms of the magnetic excitation field $`\overrightarrow{H}`*.
    ! !
    ! *__Dans le vide__ (et uniquement dans le vide)* : ! *__In vacuum__ (and only in vacuum)*:
    ! Le champ magnétique est aussi bien décrit par le champ d'induction ! The magnetic field is equally well described by the induction field
    ! $`\overrightarrow{B}`$ qui intervient dans la force de Lorentz qui induit les effets, ! $`\overrightarrow{B}`$, which is involved in the Lorentz force that induces the effects,
    ! que par le champ d'excitation magnétique $`\overrightarrow{H}`$. ! as by the magnetic excitation field $`\overrightarrow{H}`$.
    ! Ces deux champs sont proportionnels, le rapport de proportionnalité étant la constante magnétique $`\mu_0`$ : ! These two fields are proportional, with the proportionality ratio being the magnetic constant $`\mu_0`$:
    ! <br> ! <br>
    ! $`\overrightarrow{B}=\mu_0\,\overrightarrow{H}\quad\text{(dans le vide)}`$ ! $`\overrightarrow{B}=\mu_0\,\overrightarrow{H}\quad\text{(in vacuum)}`$
    ! !
    ! L'expression dans le vide du vecteur de Poynting est alors : ! The expression of the Poynting vector in vacuum is then:
    ! <br> ! <br>
    ! $`\overrightarrow{\Pi}=\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{H}`$ ! $`\overrightarrow{\Pi}=\overrightarrow{E}\times\overrightarrow{H}`$
    ! !
    ! En se souvenant ! Remembering
    ! * de l'électrostatique que l'unité SI de $`\overrightarrow{E}`$ est le $`V\,m^{-1}`$, ! * from electrostatics that the SI unit of $`\overrightarrow{E}`$ is $`V\,m^{-1}`$,
    ! * de la magnétostatique que l'unité SI de $`\overrightarrow{H}`$ est le $`A\,m^{-1}`$, ! * from magnetostatics that the SI unit of $`\overrightarrow{H}`$ is $`A\,m^{-1}`$,
    ! * de l'étude des circuits que $`\mathcal{P}\,(W) = U\,(V)\times I\,(A)`$, ! * from circuit studies that $`\mathcal{P}\,(W) = U\,(V)\times I\,(A)`$,
    ! !
    ! alors l'*unité SI du vecteur de Poynting* apparaît facilement comme le *$`V\,A\,m^{-2}= W\,m^{-2}`$* ! then the *SI unit of the Poynting vector* easily appears as *$`V\,A\,m^{-2}= W\,m^{-2}`$*.
    !
    ! Dans le système international de mesure, le Vecteur de Poynting s'exprime en *Watt par mètre carré*.
    ! !
    ! La *grandeur physique du vecteur de Poynting* est une *puissance par unité de surface*. ! In the International System of Units, the Poynting vector is expressed in *watts per square meter*.
    !
    ! The *physical quantity of the Poynting vector* is a *power per unit area*.
    <br> <br>
    ------ ------
    <br> <br>
    #### Comment calculer le puissance traversée par une surface d'aire et d'orientation quelconque ? #### How to Calculate the Power Crossing a Surface of Any Area and Orientation?
    * La **puissance** se calcule simplement par l'expression : * The **power** is simply calculated by the expression:
    <br> <br>
    **$`\displaystyle\mathcal{P}=\iint_S \overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}`$** **$`\displaystyle\mathcal{P}=\iint_S \overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}`$**
    * Soit une **onde électromagnétique monochromatique** de période temporelle $`\mathbf{T_{onde}}`$. * Consider a **monochromatic electromagnetic wave** with a time period $`\mathbf{T_{wave}}`$.
    * **$`\mathbf{T_{onde}}`$** est la *période temporelle de $`\overrightarrow{E}`$*, champ électrique de l'onde. * **$`\mathbf{T_{wave}}`** is the *time period of $`\overrightarrow{E}`$*, the electric field of the wave.
    * L'énergie électrique étant proportionnelle à $`E^2`$, <br> * Since electrical energy is proportional to $`E^2`$, <br>
    la *période des variations énergétiques* de l'onde est **$`\mathbf{T_{énergie}}`$** *$`\mathbf{\,=\dfrac{T_{onde}}{2}}`$* the *period of energy variations* of the wave is **$`\mathbf{T_{energy}}`** *$`\mathbf{=\dfrac{T_{wave}}{2}}`$*.
    * Tout **capteur** est caractérisé par un **temps de réponse $`\mathbf{\Delta t_{réponse}}`$** qui quantifie sa *rapidité*. * Every **sensor** is characterized by a **response time $`\mathbf{\Delta t_{response}}`** that quantifies its *speed*.
    <br> <br>
    Soit un capteur sensible à l'énergie électromégnétique : Consider a sensor sensitive to electromagnetic energy:
    * Si *$`\mathbf{\Delta t_{réponse}\ll T_{énerg.}}`$* alors le capteur est sensible à la *puissance instantanée* : * If *$`\mathbf{\Delta t_{response}\ll T_{energy}}`*, then the sensor is sensitive to the *instantaneous power*:
    <br> <br>
    *$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{P}(t)=\iint_S \overrightarrow{\Pi}(t)\cdot\overrightarrow{dS}}}`$* *$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{P}(t)=\iint_S \overrightarrow{\Pi}(t)\cdot\overrightarrow{dS}}}`$*
    <br> <br>
    * Si **$`\mathbf{\Delta t_{réponse}\gg T_{énerg.}}`$** alors le capteur ne peut suivre les variations temporelles de * If **$`\mathbf{\Delta t_{response}\gg T_{energy}}`**, then the sensor cannot follow the temporal variations of
    la puissance instantanée, et ne mesure que la **valeur moyenne de la puissance** estimée sur $`\Delta t_{réponse}`$ : the instantaneous power and only measures the **average value of the power** estimated over $`\Delta t_{response}`$:
    <br> <br>
    **$`\displaystyle\large{\mathbf{<\mathcal{P}(t)>\;=\iint_S <\overrightarrow{\Pi}(t)>\cdot\overrightarrow{dS}}}`$** **$`\displaystyle\large{\mathbf{<\mathcal{P}(t)>\;=\iint_S <\overrightarrow{\Pi}(t)>\cdot\overrightarrow{dS}}}`$**
    !!! *Exemple :* !!! *Example*:
    !!! !!!
    !!! Le *domaine visible* correspond à : !!! The *visible domain* corresponds to:
    !!! * une *longueur d'onde* dans le vide de l'ordre de 500 nanomètres : *$`\mathbf{\lambda = 5\cdot 10^{-7}\,m}`$* <br> !!! * a *wavelength* in vacuum on the order of 500 nanometers: *$`\mathbf{\lambda = 5\cdot 10^{-7}\,m}`$* <br>
    !!! <br> !!! <br>
    !!! Cela correspond à une période temporelle du champ électrique $`T_{onde}`$ de :<br> !!! This corresponds to a time period of the electric field $`T_{wave}`$ of: <br>
    !!! $`T_{onde}=\dfrac{\lambda}{c}=\dfrac{5\cdot 10^{-7}}{3\cdot 10^{8}} = 1.7\times 10^{-15}\,s`$,<br> !!! $`T_{wave}=\dfrac{\lambda}{c}=\dfrac{5\cdot 10^{-7}}{3\cdot 10^{8}} = 1.7\times 10^{-15}\,s`$, <br>
    !!! soit<br> !!! or <br>
    !!! $`T_{énerg.}=8.5\times 10^{-16}\,s`$<br> !!! $`T_{energy}=8.5\times 10^{-16}\,s`$ <br>
    !!! <br> !!! <br>
    !!! Dans les deux cas, l'ordre de grandeur de la *période* est de $`\mathbf{T\approx 10^{-15}\,s}`$*. !!! In both cases, the order of magnitude of the *period* is $`\mathbf{T\approx 10^{-15}\,s}`$.
    !!! !!! <br>
    !!! Aucun capteur n'arrive à suivre les variations instantanées de puissance de la lumière visible. !!! No sensor can follow the instantaneous power variations of visible light.
    #### Comment émettre une onde électromagnétique ? #### How to Emit an Electromagnetic Wave?
    * Il suffit d'**accélérer une particule chargée**. * It is sufficient to **accelerate a charged particle**.
    <!--------------------- <!---------------------
    #### Comment capter la puissance d'une onde électromagnétique ? #### How to Capture the Power of an Electromagnetic Wave?
    Quelques idées très synthétiques. Some very concise ideas.
    Pour des ressources transverses et classiques, liens en parallèles For transverse and classical resources, parallel links
    ----------------------> ---------------------->
    #### What Is the Electromagnetic Spectrum?
    * **Maxwell** hypothesized that *visible light*, whose speed had just been measured from
    astronomical observations of the motion of Jupiter's satellites, *is an electromagnetic wave*.
    <br>
    $`\Longrightarrow`$ Light is only a tiny part of electromagnetic waves.
    <br>
    $`\Longrightarrow`$ A *whole new world of "lights"* is revealed, called the **electromagnetic spectrum**.
    ![Electromagnetic Spectrum](astro-electromagnetic-spectrum-N4_1_fr_L1200.jpg)
    * In particular, **knowledge of the universe** resulted *before Maxwell* from the sole observation of the *visible domain*,
    ![Visible Sky](ciel-visible-bsp_L1200.jpg)
    * now extends to *the entire electromagnetic spectrum*.
    ![Sky in Various Wavelengths](ciel-images-bsp_L600_transparence.gif)
    <br>
    ------
    <br>
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