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@@ -35,10 +35,31 @@ sur les composantes des vecteurs ?
 ![](base-duale-1-why_L1200.gif)   
 Figure à changer, passer à une base non orthogonale et non normée...
 
-* Définition base duale
+* Définition base duale en 2D
 
 ![](base-duale-définition-2_v2_L1200.gif)
 
+* Définition base duale en 3D
+
+![](base-duale-3D-1_v2_L1200.gif)
+
+* Dois-le visualiser mentalement la construction de la base duale ?
+
+   * 2D trompeur, 3D trop complexe pour notre cortex
+   * Le besoin de passer ou prolonger un stade de visialisation dépend de chacun, l'objectif 
+   est de s'approprier les propriétés de la base duale selon son usage.
+   * S'il y a besoin d'étudier des géométries non euclidiennes ou des variétés de dimensions
+   supérieures à 2 ou , seule restera la maîtrise des proprétés des opérateurs vectoriels et tensoriels.
+
+* La puissance de la mathématique
+
+   * Une seule relation mathématiques, $`\overrightarrow{a^i}\cdot\overrightarrow{a_j}=\delta^i_j`$ exprime
+   l'ensemble dex propriéiés reliant la base naturelle et la base duale associée, et contient en son sein
+   tout le processus de construction de la base duale.
+
+![](base-duale-superiority-math-on-representation_L1200.gif)
+
+
 * Base duale pour décrire le réseau réciproque, vers cristallographie
 
 ![](base-duale-base-directe_L1000.gif)