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@@ -609,12 +609,32 @@ $`\quad\boldsymbol{\mathbf{=\color{brown}{2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\va
 * Pour exprimer l'onde en notation réelle, il faut **décomposer l'onde complexe** en ses *parties réelle et imaginaire* :   
   <br>
   $`\color{blue}{\scriptsize{\quad\text{Rappel : }e^{\,i\,a} = cos (a) + i\,sin (a)}}`$   
-  $`\color{blue}{\scriptsize{\quad\text{et pour simplifier l'écriture, posons :}}}`$   
-  $`\color{blue}{\scriptsize{\quad\ cos (a) = "c\,a" \text{ , et  } sin (a) = "s\,a"}}`$   
+  $`\color{blue}{\scriptsize{\quad\text{et pour simplifier l'écriture, posons la notation :}}}`$   
+  $`\color{blue}{\scriptsize{\quad\ cos\,(a) = "ca" \text{ , et  } sin\,(a) = "sa"}}`$   
   <br>
-  $`\quad =A\;\[ (c\,\alpha\;+\;i\,s\,\alpha) \cdot (c\,\varphi_1\;+\;i\,s\,\varphi_1\;+\;c\,\varphi_2\;+\;i\,s\,\varphi_2)\,]`$  
+  $`\quad =A\cdot(c\alpha\,+\,i\,s\alpha) \cdot (c\varphi_1\,+\,i\,s\varphi_1\,+\,c\varphi_2\,+\,i\,s\varphi_2)`$  
   <br>
-  $`\quad =A\;\big[ (c\,\alpha\;+\;i\,s\,\alpha) \cdot \big(\,(c\,\varphi_1\;+\;c\,\varphi_2)\;+\; i\,(s\,\varphi_1\;+\;s\,\varphi_2)\,\big)\big]`$   
+  $`\quad =A\cdot(c\,\alpha\;+\;i\,s\,\alpha) \cdot \big[\,(c\varphi_1\,+\,c\varphi_2)\;+\; i\,(s\varphi_1\,+\,s\varphi_2)\,\big]`$   
+  <br>
+  $`\color{blue}{\scriptsize{\left| \begin{align} \quad &cos(a+b)=cos(a)\,cos(b)-sin(a)\,sin(b)\\
+                                  &cos(a-b)=cos(a)\,cos(b)+-sin(a)\,sin(b)\end{align}`$   
+  $`\color{blue}{\scriptsize{ \Longrightarrow  cos(a+b)+cos(a-b)=2\,cos(a)\,cos(b)`$   
+  $`\color{blue}{\scriptsize{ \text{En posant  } p=a+b \text{ et  } q=a-b ,`$   
+  $`\color{blue}{\scriptsize{ \text{nous obtenons  } a = (p+q)\,/\,2 \text{ et  }  b = (p-q)\,/\,2.`$   
+  $`\color{blue}{\scriptsize{ \text{Nous retrouvons ainsi  } cos(p) + cos(q) = 2\,\dfrac{p+q}{2}\,\dfrac{p-q}{2}`$   
+  <br>
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+               \right\}\Longrightarrow\\
+        \quad\quad cos^2(a)=cos(a)cos(a)=\dfrac{1}{2}[cos(a+a)+cos(a-a)]\\
+        \quad\quad\quad\quad=\dfrac{1}{2}[1 + cos(2a)]}}`$  
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   <br>
   $`\quad =A\;\big[ (c\,\alpha\;+\;i\,s\,\alpha) \cdot \big(\,(c\,\varphi_1\;+\;c\,\varphi_2)\;+\; i\,(s\,\varphi_1\;+\;s\,\varphi_2)\,\big)\big]`$