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12.temporary_ins/20.magnetostatics-vacuum/40.ampere-theorem-applications/30.cylindrical-current-distributions/20.solenoidal-current/20.ampere-local/20.overview/cheatsheet.fr.md

+---
+title: Synthèse
+routable: false
+visible: false
+---
+
+<!-----------------
+lessons:
+    -
+        slug: cylindrical-charge-or-current-distributions-integral
+        name: PARALLÈLE : Distributions cylindriques de charges et de courants
+        order: 3
+----------------->
+
+<!--Commandes Latex spécifiques-->
+$`\def\dens{\large{\varrho}\normalsize}`$
+$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
+$`\def\Ltau{\Large{\tau}\normalsize}`$
+$`\def\Sopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$
+$`\def\Sclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
+$`\def\Ssclosed{\mathscr{S}_{\scriptsize\bigcirc}}`$
+$`\def\PSopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$
+$`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
+
+
+$`\newcommand{\dpt}[1]{\overset{\large\bullet}{#1}}`$   
+$`\newcommand{\ddpt}[1]{\overset{\large\bullet\bullet}{#1}}`$   
+
+*Cours en construction*, **non validé**.    
+![](https://m3p2.com/fr/temporary_ins/images/M3P2-validity-state-FR_L1200.jpg)   
+![](https://m3p2.com/fr/temporary_ins/images/M3P2-maturity-3_L1200.jpg)<details>
+<summary>Etape 3 : Ecriture : 1/3</summary>  
+1. Appel à idées
+2. Structuration 
+3. Ecriture : 1/3
+4. Ecriture : 2/3
+5. Ecriture : 3/3
+6. Relecture 
+7. En test auprès d'étudiants
+8. Validé, encore incomplet
+9. Validé, base suffisante
+10. Validé, opérationnel
+</details>
+
+
+##### Randonnée Contreforts :&nbsp; _physique , math appliquée_
+
+---------------------------
+
+##### Application du théorème d' **Ampère intégral** aux :
+
+
+### **Distributions cylindriques de courants**
+
+* Le terme **cylindrique** réfère à l'*aspect extérieur* de la distribution de courants.
+
+
+#### Propriétés nécessaires au théorème d'Ampère
+
+* Le théorème d'Ampère' sera utilisable si une distribution cylindrique de courants possède les deux éléments de symétrie suivants :
+   * une *symétrie de révolution*
+   * une **symétrie de translation**   
+  
+  *autour* et **selon** un même axe, *l'axe de révolution*.
+
+<!---------un peu inutile ici---------
+! *rappel* : un axe de *révolution* est un axe de *rotation d'ordre infini*.
+
+* La cause du champ $`\overrightarrow{E}`$ (la charge électrique) étant un scalaire, tout plan contenant l'axe de révolution est plan de symétrie pour la charge électrique.
+------------------------------------->
+
+<!--ATTENTION : ce qui est ici en commentaire est probablement faux----------
+de courant possède les deux éléments de symétrie suivants :
+   * une *symétrie de révolution*
+   * une **symétrie de translation**   
+  
+  *autour* et **selon** un même axe, *l'axe de révolution*.
+
+! *rappel* : un axe de *révolution* est un axe de *rotation d'ordre infini*.
+--------------------------------------------------------------------------->
+
+#### Y a t-il plusieurs configurations vérifiant ces propriétés ?
+
+* La cause du champ $`\overrightarrow{B}`$ étant vectorielle, *deux  configurations de* **courants** sont possibles. Le déplacement des charges peut s'effectuer :
+   *  **en direction de l'axe de révolution** : c'est le cas d'un *fil électrique rectiligne* infini parcouru par un courant.   
+      $`\Longrightarrow``$ tout plan contenant l'axe de révolution est plan de symétrie pour le courant.
+   *  en **tournant circulairement autour de l'axe de révolution** : c'est le cas d'un *solénoïde* infini parcouru par un courant.   
+      $`\Longrightarrow`$ tout plan contenant l'axe de révolution est plan d'anti-symétrie pour le courant.
+
+----------------------
+
+#### LES COURANTS S'ENROULENT AUTOUR DE L'AXE DE RÉVOLUTION <br><br> exemple : un solénoïde conducteur infini.
+
+----------------------
+
+#### Quel système de coordonnées spatiales choisir ?
+
+* Le système de coordonnées *le mieux adapté* est le système de **coordonnées cylindriques $`(O,\rho,\varphi,z)`$**, 
+   avec **$`Oz =\;`$ axe de révolution**, et où :
+   * $`O`$ est le point de l'espace pris comme origine des coordonnées.
+   * $`(\rho,\varphi,z)`$ sont les coordonnées cylindriques.
+   
+  et de repère orthonormé associé le *repère cylindrique $`\mathbf{(O, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})}`$*.
+
+
+
+#### Comment modéliser un solénoïde ?
+
+
+* **$`\mathbf{a}\;:`$** Cette distribution de courants s'approche de celle réalisée dans un *solénoïde de rayon R et de longueur L* 
+parcouru par un *courant constant I*,   
+lorsque le fil du solénoïde à un diamètre D suffisamment faible *(D<<R)* et que
+le solénoïde est suffisamment long *(L>>R)*.   
+<br>
+_C'est le cas pour l'essentiel des bobines_
+_destinée à réaliser un champ magnétique en leur centre. Hors un "Effet de bord" lorsque_ 
+_l'on s'approche des extrémités de la bobine, le champ magnétique_
+_calculé avec le théorème d'Ampère représente avec une très bonne précision celui présent à l'intérieur de la bobine._   
+
+
+![](magnetostatics_bobine_modelisations_1_L1200.gif)
+
+Le théorème d'Ampère nécessitant ici de considérer une distribution de courants présentant une **symétrie de révolution**
+et une **symétrie de translation** respectivement *autour et selon l'axe $`Oz`$*, cela implique de modéliser la bobine par, soit :
+
+* **$`\mathbf{b}\;:`$** des *spires jointives* perpendiculaires à l'axe $`Oz`$, de sections nulles et parcourues par un même
+courant constant $`I`$.
+
+* **$`\mathbf{c}\;:`$** un champ de *vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}^{3D}`$*  qui s'enroule autour de l'axe $   
+  _Dans le cas d'une bobine, il peut y avoir plusieurs couches de spires donnant une certaine épaisseur._
+
+* **$`\mathbf{d}\;:`$** un champ de *vecteur densité surfacique de courant $`\overrightarrow{j}^{2D}`$* qui s'enroule autour de l'axe $`Oz`$.
+
+
+
+#### Comment caractériser cette distribution de courant ?
+
+
+* Dans le cas où la *section droite* du fil conducteur constituant le solénoïde est *négligée*, le **courant** est simplement décrit 
+ par l'intensité *$`I`$* qui parcourt le solénoïde. Le **sens du courant** dans le solénoïde est *précisé par une flèche*.   
+ _(en magnétostatique, le courant est constant, donc son sens ne varie pas au cours du temps)._   
+
+
+* Dans le cas contraire où la *section droite* est *non négligée*, le courant est décrit par un
+ **vecteur densité de courant $`\overrightarrow{j}`$**.
+<br>
+   * *Un courant s'enroulant atour de l'axe de révolution* implique **$`\overrightarrow{j}=j(\rho,\varphi,z)\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$**
+   * L'*invariance par rotation* d'angle $`\Delta\varphi`$ quelconque impose **$`\require{\cancel} \overrightarrow{j} = \overrightarrow{j}(\rho,\xcancel{\varphi}, z)`$**.   
+   * L'*invariance par translation* de longueur $`\Delta z`$ quelconque impose  **$`\require{cancel}\overrightarrow{j}= \overrightarrow{j}(\rho,\varphi, \xcancel{z})`$**.   
+<br>
+* *Au final*, le vecteur densité volumique de courant **$`\overrightarrow{j}`$** est **dirigé selon $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$**
+ et **ne dépend que de $`\rho`$** :   
+*$`\mathbf{\left.\begin{array}{l}
+\overrightarrow{j}=j\,\overrightarrow{e_{\varphi}} \\
+\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}\,(\rho, z) \\
+\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}\,(\rho, \varphi)
+\end{array}\quad\right\}
+\,\Longrightarrow}`$* **$`\mathbf{\overrightarrow{j}=j_{\varphi}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
+
+
+#### De quelles coordonnées dépend $`\overrightarrow{B}`$ ?
+
+* **L'effet** possède les *invariances de sa cause* :
+$`\Longrightarrow`$**$`\mathbf{\overrightarrow{B}}`$** possède les *invariances de $`\overrightarrow{j}`$*
+
+* $`\mathbf{\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}(\rho)\Longrightarrow}`$ **$`\mathbf{\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}(\rho)}`$**
+
+
+#### Comment déterminer la direction de $`\overrightarrow{B}`$ ?
+
+* *Par l'* **étude des symétries** *de la distribution de courant $`\overrightarrow{j}`$*.   
+<br>
+Que la distribution de courant soit modélisée par un courant $``I``$ parcourant le solénoïïde infini :
+
+![](magnetostat-bobine-1-symetries-direction-B_v2_L1200.gif)
+
+<br>
+ou soit modélisée par un vecteur densité de courant $`\overrightarrow{j}`$ :
+
+![](magnetostat-bobine-2-symetries-direction-B_L1200.gif)
+
+1. Soit un **point $`M(\rho_M\,\varphi_M,z_M)`$ quelconque** de l'espace.
+2. Le **plan $`P_1`$** qui contient le point $`M`$ et perpendiculaire à l'axe $`Oz`$ est *plan de symétrie* pour la distribution de courant.
+3. Le champ magnétique **$`\overrightarrow{B}`$ étant un vecteur axial**, en tout point d'un plan de symétrie 
+   il est perpendiculaire à ce plan. Le plan de symétrie $`P_1`$ étant déterminé, la
+   *direction de $`\overrightarrow{B}`$, selon $`\overrightarrow{e_z}`$*, est 
+   *totalement déterminée*.
+4. _Étape non nécessaire :_    
+_Le plan_ $`P_2`$ _qui contient le point $`M`$ et l'axe $`Oz`$ est_
+ _plan d'anti-symétrie pour la distribution de courant. En tout point d'un plan_
+_d'anti-symétrie, $`\overrightarrow{B}`$ vecteur axial est contenu dans ce plan, ce qui est bien vérifié._   
+
+
+* De façon plus concise :   
+<br>
+**En tout point $`M`$** l'espace,   
+*$`\left.\begin{array}{l} \overrightarrow{B}\;\text{vecteur axial} \\
+P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}})\; \text{plan de symétrie}\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$* 
+**$`\mathbf{\overrightarrow{B}=B_z\,\overrightarrow{e_z}}`$**
+
+![](magnetostat-symetries-solenoide_L1200.jpg)   
+<br>
+
+#### Comment s'exprime $`\overrightarrow{B}`$ en tout point de l'espace ?
+
+* Synthèse de l'étude des invariances et symétries de $`\overrightarrow{j}`$ :   
+<br>
+**En tout point $`M`$** de l'espace,
+*$`\left.\begin{array}{l}
+\text{Invariances}\Longrightarrow\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}(\rho) \\
+\text{Symétries}\Longrightarrow\overrightarrow{B}=B_z\,\overrightarrow{e_z}
+\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$* **$`\mathbf{\overrightarrow{B}=B_z(\rho)\,\overrightarrow{e_z}}`$**
+
+
+
+#### Y-a-t'il des lieux où $`\overrightarrow{B}`$ est déjà totalement déterminé par les symétries et invariances ?
+
+à faire
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