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@@ -34,12 +34,28 @@ visible: false
 !!! * le champ des température dans l'atmosphère terrestre.
 !!! * le champ de la densité volumique de masse du globe terrestre, ou de l'atmosphère terrestre.
 
-##### champ scalaire, opérateurs $`\overrightarrow{gradient}`$ et $`div`$
+##### champ scalaire, opérateurs $`\overrightarrow{gradient}`$
 
-* Un champ scalaire $`f`$, fonction continue et au moins deux fois dérivable de l'espace, dérive d'un champ
-  vectoriel $`\overrightarrow{U}=\overrightarrow{grad}\,f`$.   
+* Un champ scalaire $`f`$, fonction continue et au moins une fois dérivable de l'espace, peut être
+  caractérisé en chacun de ses points par un vecteur gradient $`\overrightarrow{grad}\,f`$.   
   <br>
-  De ce champ vectoriel $`\overrightarrow{U}=\overrightarrow{grad}\,f`$ nous pouvons construire le champ scalaire
+  $`\Longrightarrow`$ nous pouvons construire le champ de gradient $`\overrightarrow{grad}\,f`$ qui est un champ vectoriel.
+
+* Ce champ vectoriel $`\overrightarrow{grad}\,f`$, si $`f`$ est deux fois déribale, peut être caractérisé
+  en chacun de ses points par sa divergence $`div\,\overrightarrow{grad}\,f`$.   
+  <br>
+  $`\Longrightarrow`$ nous pouvons construire le champ de divergence $`\overrightarrow{grad}\,f`$ qui est un champ scalaire.
+
+* Cherchons l'expression de ce champ de divergence en fonction du champ f, en coordonnées cartésiennes.
+   * L'expression cartésienne du gradient d'un champ $`f`$ est :   
+     $`\overrightarrow{grad}\,f=\dfrac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{e_y}+\dfrac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{e_z}`$
+   * L'expression cartésienne de la divergence d'un champ $`\overrightarrow{U}`$ est :  
+     $`div\,\overrightarrow{U}=\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}`$   
+   ce qui donne au total :   
+
+
+
+* nous pouvons construire le champ scalaire
   $`div\,\overrightarrow{U} = div\big(\overrightarrow{grad}\,f`$.   
   <br>
   $`\Longrightarrow`$ A tout champ scalaire $`f`$, je peux associer le champ scalaire