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01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/interferences-diffraction/interference-diffraction-main/textbook.fr.md

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+text : "Phénomènes d'interférences et de diffraction"
+published : false
+visible : false
+----
+### Aspect ondulatoire de la lumière
+
+Les **phénomènes d'interférences et de diffraction** sont *caractéristiques des ondes*.
+
+Interférences et diffraction lumineuses *traduisent l'aspect ondulatoire de la lumière*.
+
+![](interferences_diffraction_general.jpg)
+
+
+### Le phénomène d'interférences
+
+Le **phénomène d'interférence** est observé lorsque la *superposition de deux ou plusieurs ondes* de même nature (sonores, mécaniques, électro-magnétiques) donne lieu à une *intensité résultante qui n'est pas égale à la simple addition des intensités* prises individuellement.
+
+!!Note : pour l'onde électromagnétique, une interférence peut se traduire localement par le phénomène  :  lumière + lumière = obscurité.
+
+**En pratique** sur un écran d'observation, les *intensités individuelles*  des ondes incidentes *varient lentement* alors que les **différences de phase** entre les ondes qui interfèrent et qui sont à l'origine du phénomène d'interférence **varient rapidement**.
+
+On appelle **franges d'interférences** le *lieu des points M* caractérisés par une *intensité moyenne $\overline{\,I\,}`$ donnée* :
+
+* Les **franges brillantes** correspondent à une *intensité maximale : $`I=I_{max}`$*
+* Les **franges sombres** correspondent à une *intensité minimale : $`I=I_{min}`$*
+
+### Quantification du phénomène d'interférences : le contraste
+
+Le **contraste** (ou visibilité) des franges quantifie notre *aptitude à discerner les franges*.
+
+Il se définit localement à partir de la distribution d'intensité résultante des ondes qui interfèrent. Si localement *$`I_{max}`$* est l'*intensité maximum* et *$`I_{min}`$* l'*intensité minimum*, le contraste (ou visibilité) des franges se définit par :
+
+$`\mathcal{V} = \dfrac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}`$
+
+Cette caractérisation des franges permet une **mesure comprise entre 0 et 1**, valeurs limites qui représentent les *deux cas extrêmes* :
+
+* Pas de franges, donc **intensité uniforme** $`\Longleftrightarrow`$ $`I_{max}=I_{min}`$ $`\Longleftrightarrow`$ *$`\mathcal{V} = 0`$*.
+
+* **Franges de visibilité maximum** $`\Longleftrightarrow`$ $`I_{min}=0`$ $`\Longleftrightarrow`$ *$`\mathcal{V} = 1`$*.
+
+### Interférences entre deux ondes électromagnétiques monochromatiques planes
+
+Soient **deux ondes planes** dans le vide, notées 1 et 2, de **même pulsation  $`\omega`$** et d'**amplitudes $`A_1`$ et $`A_2`$**, de **polarisations rectilignes selon  $`\overrightarrow{e_1}`$ et $`\overrightarrow{e_2}`$**, et qui *se superposent en un point M* de l'espace localisé, par rapport à un point pros comme origine de l'espace, par le vecteur $`\overrightarrow{r} = \overrightarrow{OM}`$
+
+Ces deux ondes s'écrivent :
+
+* _Expression en notation réelle :_
+
+$`\overrightarrow{E_1}(\overrightarrow{r},t)
+= A_1 \cdot cos (\omega t-\phi_1)\cdot \overrightarrow{e_1}`$ et
+ $`\overrightarrow{E_2}(\overrightarrow{r},t)
+= A_2 \cdot cos(\omega t-\phi_2)\cdot \overrightarrow{e_2}`$
+
+* _Expression en notation complexe :_
+
+$`\underline{\overrightarrow{E_1}}(\overrightarrow{r},t)
+= A_1 \cdot e^{-i\,(\omega t-\phi_1)} \cdot \overrightarrow{e_1}
+`$ et $`\underline{\overrightarrow{E_2}}(\overrightarrow{r},t)
+= A_2 \cdot e^{-i\,(\omega t-\phi_2)} \cdot \overrightarrow{e_2}`$
+
+! IMPORTANT :
+! L'écriture réelle seule décrit la réalité de l'onde physique.
+! Le champ réelle est la partie réelle du champ complexe : 
+$`\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)= 
+\Re \; [\underline{\overrightarrow{E}}(\overrightarrow{r},t)]`$
+
+Le *champ électrique résultant* est :
+
+* _Expression en notation réelle :_
+
+$`\overrightarrow{E_{tot}}(\overrightarrow{r},t)
+= A_1 \cdot cos (\omega t-\phi_1)\cdot \overrightarrow{e_1}
+\;+\;
+A_2 \cdot cos (\omega t-\phi_2)\cdot \overrightarrow{e_2}`$
+
+* _Expression en notation complexe :_
+
+$`\underline{\overrightarrow{E}_{tot}}(\overrightarrow{r},t)
+=A_1 \; e^{-i\,\omega t} \, e^{i\,\phi_1}\cdot \overrightarrow{e_1}
+\;+\;
+ A_2 \; e^{-i\,\omega t} \, e^{i\,\phi_2}\cdot \overrightarrow{e_2}`$
+ 
+ $`\underline{\overrightarrow{E}}_{tot}(\overrightarrow{r},t)
+= e^{-i\,\omega t}
+\cdot
+ [A_1 \, e^{i\,\phi_1}\cdot \overrightarrow{e_1}
++
+ A_2 \, e^{i\,\phi_2}\cdot \overrightarrow{e_2}]`$
+ 
+ L'*intensité de l'onde résultante $`I_{tot}`$* s'écrit :
+ 
+ $`\langle I_{tot} \rangle= \epsilon_0 \,c \; ||\overrightarrow{E}||^2=\dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; ||\overrightarrow{E}||`$
+ 
+ * _Calcul en notation réelle :_
+
+$`I_{tot}= \dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; [A_1^2 \cdot cos^2 (\omega t-\phi_1)\cdot \overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}`$ $`\;+\;A_2^2 \cdot cos^2 (\omega t-\phi_2)\cdot \overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}`$ $`\;+\;2 \;A_1\,A_2 \cdot cos (\omega t-\phi_1)\,cos (\omega t-\phi_2)\cdot \overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}]`$
+
+
+ * _Calcul en notation complexe :_
+
+$`I_{tot}
+= \dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; ||\overrightarrow{E}||
+= \dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{E^*}
+= A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1} +  A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}+2 \,A_1 \, A_2\; \overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}`$
+
+$`\quad\quad = A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1} +  A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2} + \,A_1 \, A_2\;e^{i(\phi_1-\phi_2)} \;\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2} + \,A_2 \, A_1\;e^{i(\phi_2-\phi_1)} \;\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_1}`$
+
+--------------------
+
+* Si les deux ondes ont des **polarisations rectilignes orthogonales $`(\overrightarrow{e_1} \perp \overrightarrow{e_2}) `$**, alors 
+
+$`I_{tot}= A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1} + A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}=I_1 + I_2`$
+
+Il n'y a *pas interférence* entre ces deux ondes.
+
+-----------------------
+
+* Si les deux ondes ont des **polarisations rectilignes non orthogonales $`(\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}) =cos \Phi `$**, telles que , alors 
+
+$`I_{tot}=A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}+A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}+2 \,A_1\,A_2\,cos(\phi_1 - \phi_2)=I_1 + I_2 + \,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2) \cdot cos \Phi`$
+
+Un *terme d'interférence $`\,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2) \cdot cos \Phi`$* apparait.
+
+-------
+
+* Si les deux ondes ont des **polarisations rectilignes dans la même direction $`(\overrightarrow{e_1} = \overrightarrow{e_2}) `$** alors  $`cos\, \Phi = 1`$  et :
+
+$`I_{tot}= A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}+A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}+2 \,A_1\,A_2\,cos(\phi_1 - \phi_2)=I_1 + I_2 + \,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2)`$
+
+Le *terme d'interférence* se limite à *$`\,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2)`$*.
+
+------------
+
+* Si les deux ondes ont une **même amplitude $`A`$** et des **polarisations rectilignes dans la même direction $`(\overrightarrow{e_1} = \overrightarrow{e_2}) `$** alors :
+
+$`I_{tot}=A^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}+A^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}+2 \,A^2\,cos(\phi_1 - \phi_2)=2 \;I \cdot [\,1+ cos(\phi_1 - \phi_2)]`$
+
+Ce sont les *meilleures conditions de réalisation et d'observation*.
+
+L'**interférence** est :
+
+* **totalement destructive** en tous les point de l'espace où les deux ondes sont en *opposition de phases*, soit  :
+
+*$`|\phi_1 - \phi_2|=(2n+1)\,\pi`$ avec $`n \in \mathbb{Z}`$ $`\Longrightarrow cos(\phi_1 - \phi_2)=-1`$*
+
+En ces points là * $`I_{tot}=I_{min}=0`$* , l'*intensité est nulle* et donc l'obscurité totale.
+
+* **totalement constructive** en tous les point de l'espace où les deux ondes sont *en phase*, soit :
+
+*$`|\phi_1 - \phi_2|=2n\,\pi`$, avec $`n \in \mathbb{Z} `$ $`\Longrightarrow cos(\phi_1 - \phi_2)=+1`$*
+
+En ces points là, *$`I_{tot}=I_{max}= 4 \,A^2`$*.
+
+### Interférences par N ondes de même amplitude, déphasés avec un pas constant
+
+Soient **N ondes** de *même amplitude $`A`$* déphasées entre-elles d'un *pas constant $`\phi`$*. 
+
+$`A_{tot}=A\,e^0\,+\,A\,e^{i\phi}\,+\,A\,e^{i\phi}\,+\,\cdot\cdot\cdot\,+\,A\,e^{i\,(N-1)\,\phi}`$
+
+$`\quad =A\,\cdot \,(1 \,+\,e^{i\phi}\,+\,e^{i\phi}\,+\,\cdot\cdot\cdot\,+\,e^{i\,(N-1)\,\phi})`$
+
+Le *terme entre parenthèse* forment une **progression géométrique de raison $`e^{i\phi}`$**.
+
+--------------------------
+
+La somme $`S_N`$ des termes d'une suite géométrique de premier terme $`a`$ et de raison  $`q`$ avec $`q \ne 0`$ et  $`q \ne 1`$ s'écrit :
+
+$`S_N=a + a\,q + a\,q^2 + a\,q^3 + \cdot\cdot\cdot + a\,q^{N-1}`$
+
+donc
+
+$`q\,S_N= a\,q + a\,q^2 + a\,q^3 + a\,q^4 + \cdot\cdot\cdot + a\,q^N`$
+
+et 
+
+$`q\,S_N-S_N= a\,q^N \,- a`$
+
+$`S_N\,(q-1)= a\,(q^N-1)`$
+
+$`S_N=a \cdot \dfrac{q^N-1}{q-1}`$
+
+----------------------
+
+Si *j'applique ce résultat* concernant les suites géométriques pour calculer le terme d'**amplitude totale résultantes** de la superposition des ondes considérées, j'obtiens
+
+$`\underline{A_{tot}}=A\cdot \dfrac{e^{i\,N\,\phi}-1}{e^{i\,\phi}-1}=\dfrac{(1-cos\,N\phi)+i\,sin\, N\phi}{(1-cos\,\phi)+i\,sin\,\phi}`$
+
+L'**intensité résultante** est alors
+
+$`I_{tot}=\underline{A_{tot}}\,\underline{A^*_{tot}}=|\,A^2\,|=A^2\cdot\dfrac{(1-cos^2\,N\phi)+sin^2\,N\phi}{(1-cos^2\,\phi)+sin^2\,\phi}`$
+
+$`\quad=A^2\cdot\dfrac{1-2\cos\,N\phi+cos^2\,N\phi+sin^2\,N\phi}{1-2\cos\,\phi+cos^2\,\phi+sin^2\,\phi}= A^2\cdot\dfrac{2-2\cos\,N\phi}{2-2\cos\,\phi}`$
+
+$`\quad= A^2\cdot\dfrac{1-cos\,N\phi}{1-cos\,\phi}`$
+
+----------------------------------------
+
+Avec les relations trigonométriques
+
+$`cos(a-b)=cos\,a \;cos\,b \;+\; sin\,a \;sin\,b `$<br>
+$`cos(a+b)=cos\,a \;cos\,b \;-\; sin\,a \;sin\,b `$
+
+j'obtiens
+
+$`cos(a-b)-cos(a+b)=2\; sin\,a \;sin\,b `$
+
+---------------------
+
+L'identification $`a=b=\dfrac{N\,\phi}{2}`$ conduit à
+
+$`cos\left(\dfrac{N\,\phi}{2}-\dfrac{N\,\phi}{2}\right)-cos\left(\dfrac{N\,\phi}{2}+\dfrac{N\,\phi}{2}\right)=2\; sin\,\dfrac{N\,\phi}{2} \;sin\,\dfrac{N\,\phi}{2} `$
+
+$`cos\,0 - cos\,N\,\phi=1 - cos\,N\,\phi =2\; sin^2\,\dfrac{N\,\phi}{2}`$
+
+De même, l'identification $`=b=\dfrac{\phi}{2}`$  conduit à $`1 - cos\,\phi =2\; sin^2\,\dfrac{\phi}{2}`$ .
+
+Au total, la **distribution d'intensité en fonction du pas de déphasage  $`\phi`$** entre deux rayons consécutifs s'écrit :
+
+$`I_{tot}= A^2\cdot\dfrac{sin^2\,\dfrac{N\,\phi}{2}}{sin^2\,\dfrac{\phi}{2}}`$
+
+Cette **fonction $`\dfrac{sin^2\,\dfrac{N\,\phi}{2}}{sin^2\,\dfrac{\phi}{2}}`$** est la *fonction très importante dans l'étude et le calcul des phénomènes d'interférences*.
+
+#### J'étudie analytiquement cette fonction
+
+* Quelle est sa valeur en $`\phi=0`$ ?
+
+* Pour quelles valeurs de $`\phi`$ l'intensité s'annule-t-elle totalement ?
+
+Et questions de compréhension qualitative :
+
+* Que se passe-t-il si les ondes qui interfèrent n'ont pas la même amplitude ?
+
+* Que se passe-t-il si les ondes EM qui interfèrent sont polarisées rectilignement, mais toutes dans des directions différentes ?
+
+#### Je visualise cette fonction
+
+* $`N=1 \Longrightarrow`$ amplitude et intensité de l'onde uniforme : pas d'interférences.
+
+
+* $`N=2 \Longrightarrow`$ amplitude set intensité de l'onde uniforme : interférences à deux ondes.
+
+![](interferences_N2_L1200.jpg)
+
+Faisons croître le nombre $`N`$ des ondes qui interfèrent, et observons :
+
+![](interferences_N5_L1200.jpg)
+
+![](interferences_N20_L1200.jpg)
+
+<!-- pour le site, sera en .gif
+ ![](interferences_N2-24_L1200.gif) -->
+
+
+### Pour prendre un peu d'avance :
+
+Après l'études des phénomènes d'interférences et de diffraction, je regarderai quelques situations physiques simples ou quelques éléments optiques qui réalisent ces phénomènes. Le cours se construit.
+
+Mais déjà, je verrai qu'une façon d'obtenir de telles interférences est d'illuminer un réseau de diffraction avec une onde (je préciserai les conditions).
+
+Dans ce cas, lors de l'observation de la lumière à l'infini dans une direction donnée, la différence de phase $`\phi`$ entre deux ondes est fonction de la longueur d'onde selon l'expression :
+
+$`\phi=\dfrac{2 \pi \, \delta}{\lambda}`$.
+
+Deux longueurs d'onde différentes donneront deux systèmes de franges différentes, qui se superposeront.
+
+Je regarde bien les figures suivantes, pour comprendre visuellement le phénomène observé. Cela donne une première piste pour décomposer une lumière polychromatique en ses différentes composantes. 
+
+![](reseau-intensity-N2_L1200.jpg)![](reseau-intensity-N3_L1200.jpg)
+
+![](reseau-intensity-N4_L1200.jpg)![](reseau-intensity-N5_L1200.jpg)
+
+![](reseau-intensity-N8_L1200.jpg)![](reseau-intensity-N12_L1200.jpg)
+
+![](reseau-intensity-N16_L1200.jpg)![](reseau-intensity-N24_L1200.jpg)
+
+<!-- pour le site, sera en .gif
+ ![](reseau-intensity_L1200.gif) -->
+
+Et une première compréhension des ordres de travail d'un réseau de diffraction :
+
+![](reseau-order-N8_L1200.jpg)  ![](reseau-order-N16_L1200.jpg)
+
+<!-- pour le site, sera en .gif
+ ![](reseau-order-N8-16_L1200.gif) -->
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