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12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/40.gauss-theorem-applications/25.cylindrical-charge-distributions/10.gauss-integral/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -16,7 +16,7 @@ lessons:
         order: 2
 ---
 
-<!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
+<!--Commandes Latex spécifiques-->
 $`\def\dens{\large{\varrho}\normalsize}`$
 $`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
 $`\def\Ltau{\Large{\tau}\normalsize}`$
@@ -31,39 +31,51 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
 !!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
 
 
-### **Distribution de charge à symétrie cylindrique :** 
+### **Distributions cylindriques de charge  :** 
 
-### **1 -** Le cylindre infini
+### Cylindre infini uniformément chargé
 
-* Les charges, caractérisées par la **densité de charge $`\dens`$** :
-   * sont distribuées dans un *cylindre infini de rayon $`R`$*, 
-   * présentent une *symétrie de révolution* autour de l'axe de révolution du cylindre.
+#### Quel repère de l'espace choisir ?
 
-#### De quelles coordonnées dépend  $`\overrightarrow{E}`$ ?
+* Repère de l'espace adapté :     
+   **Repère cylindrique  $`\mathbf{(O, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, z)}`$**       
+      avec **$`\mathbf{Oz}`$ = axe de révolution**.
+      
+#### Comment caractériser un distribution de charge à symétrie cylindrique ?
 
-* **Choix du repère de l'espace adapté**   
-*$`\mathbf{\Longrightarrow}`$* **$`\mathbf{ (O, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}},  \overrightarrow{e_z})}`$**,   
-avec $`Oz`$ = axe de révolution du cylindre.
+* Une distribution de charge est décrite par une **densité de charge $`\dens`$**.
+      
+*  **Invariance par rotation d'angle $`\Delta\varphi`$ quelconque**  
+  **$`\mathbf{\Longrightarrow \dens}`$**$`=\require{\cancel} \dens(\rho,\xcancel{\varphi}, z)`$**$`\mathbf{ =\dens(\rho, z)}`$**
+     
+#### De quelles coordonnées dépend $`\dens`$ ?
 
 * **Étude des invariances** *de la distribution de charges $`\dens`$* :
 
-![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-1_L1200.gif)   
-_figure temporaire à réviser_
+![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-1-v6_L1200.gif)   
+_cylindre infini uniformément chargé en volume_
 
-* invariance par rotation d'angle $`\Delta\varphi`$ quelconque $`\require{\cancel}\Longrightarrow \overrightarrow{E}= \overrightarrow{E}(\rho,\xcancel{\varphi}, z)`$
-* invariance par translation de longueur $`\Delta z`$ quelconque $`\require{cancel}\Longrightarrow \overrightarrow{E}= \overrightarrow{E}(\rho,\varphi, \xcancel{z})`$
+* invariance par rotation d'angle $`\Delta\varphi`$ quelconque $`\require{\cancel}\Longrightarrow \dens= \dens(\rho,\xcancel{\varphi}, z)`$
+* invariance par translation de longueur $`\Delta z`$ quelconque $`\require{cancel}\Longrightarrow \dens= \dens(\rho,\varphi, \xcancel{z})`$
 
 * *$`\mathbf{\left.\begin{array}{l}
-\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}\,(\rho, z) \\
-\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}\,(\rho, \varphi) 
+\overrightarrow{\dens}=\overrightarrow{\dens}\,(\rho, z) \\
+\overrightarrow{\dens}=\overrightarrow{\dens}\,(\rho, \varphi) 
 \end{array}\quad\right\}
-\,\Longrightarrow}`$* **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(\rho)}`$**
+\,\Longrightarrow}`$* **$`\mathbf{\dens=\dens(\rho)}`$**
+
+#### De quelles coordonnées dépend  $`\overrightarrow{E}`$ ?
+
+* **L'effet** possède les *invariances de sa cause* :   
+$`\Longrightarrow`$**$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$** possède les *invariances de $`\dens`$*   
+
+* $`\mathbf{\dens=\dens(\rho)\Longrightarrow}`$**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(\rho)}`$** 
 
 #### Comment déterminer la direction de $`\overrightarrow{E}`$ ?
 
 * *Par l'* **étude des symétries** *de la distribution de charges $`\dens`$*.
 
-![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-2_L1200.gif) 
+![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-2-v7_L1200.gif) 
 _figure temporaire à réviser_
 
 <!-------------------------------------------------------
@@ -95,12 +107,12 @@ P_2\,(M, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_{\rho}})\; \text{plan d
    * *contenir le point $`M`$* quelconque.
    * permettre un *calcul simple de $`\displaystyle\oiint_{\mathcal{S}_G} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dS}`$*.
 
-![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-3_L1200.gif)   
+![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-3-v4_L1200.gif)   
 _figure temporaire à réviser_
 
 * *Choix de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$* : **cylindre**,
    * d'**axe $`Oz`$**.
-   * de **rayon $`\rho`$**, coordonnées du point quelconque $`M`$ considéré.
+   * de **rayon $`r`$**, coordonnées du point quelconque $`M`$ considéré.
    * de **hauteur $`h`$**.
 
 #### Que vaut le flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ ?
@@ -119,34 +131,134 @@ $`\,+\iint_{\mathcal{S}_{dis1}}\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarro
 $`\displaystyle\quad=0 + \iint_{\mathcal{S}_{lat}} E\cdot dS + 0`$   
 $`\displaystyle\quad=\iint_{\mathcal{S}_{lat}} \underbrace{E_{\rho}(\rho)}_{=\; E} \cdot \rho\,d\varphi\,dz`$   
 $`\displaystyle\quad= E  \iint_{\mathcal{S}_{lat}} \rho\,d\varphi\,dz`$   
-<br>
-**$`\mathbf{\quad= 2\pi \rho\,h\, E}`$**
+
+**$`\mathbf{\quad\quad\;\,= 2\pi \rho\, E}`$**
 
 #### Comment calculer la charge $`Q_{int}`$ à l'intérieur de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ ?
 
+*  $`Q_{int}`$ est la charge contenue à l'intérieur de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$
+
+* **$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\iiint_{\Ltau_G \rightarrow\mathcal{S}_G} \dens\; d\tau}`$**, avec :   
+   *   **$`\mathbf{\tau_G}`$** *volume intérieur* à $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$.
+   *   **$`\mathbf{d\tau}`$** est l'*élément de volume*.
 
+<!-----trop général et confus, si amélioré, pour une partie principale------------
+* En genéral, il n'y a pas de fonction mathématique décrivant la densité volumique de charge $`\dens^{3D}`$ sur tout l'espace.
+    * Il y a un nombre entier $`n`$ de fonctions mathématiques différentes décrivant $`\dens^{3D}`$ et qui correspondent à $`n`$ sous-espaces complémentaires de l'espace $`\mathscr{E}`$.
+    * Il y a un nombre entier $`n`$ de fonctions mathématiques parfois identiques décrivant $`\dens^{3D}`$ et qui correspondent à $`n`$ sous-espaces complémentaires de l'espace $`\mathscr{E}`$ séparés par des surfaces 2D caractérisées par une densité surfacique $`\dens^{2D}`$ de charge.
+----------------------------------------------->
 
+#### 1 ) Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en volume
 
-#### Combien de domaines de l'espace considérer ?
+##### Description de $`\dens`$ :
 
-![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-4-v2_L1200.gif)   
+* **$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
+\rho\le R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_0 = cste\ne 0 \\
+\rho\gt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho)= 0
+\end{array}\right.`$**   
+
+* Nombre de sous espace à prendre en compte : 2
+   * sous-espace $`\mathcal{E}_1`$, tel que $`\rho\le R`$
+   * sous-espace $`\mathcal{E}_2`$, tel que $`\rho gt R`$
+
+![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-4-v3_L1200.jpg)   
 _figure temporaire à réviser_
 
-#### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$ à l'extérieur
+##### Calcul de la charge $`Q_{int}`$** :
+
+**Pour $`\mathbf{\rho \le R}`$** 
 
-![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-5-v2_L1200.gif)   
+   ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-6-v3_L1200.gif)   
 _figure temporaire à réviser_
 
-#### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$ à l'intérieur
+*  La distribution *$`\dens=\dens^{3D}_0`$ remplit tout le volume de Gauss $`\Ltau_G`$*, 
+  tous les éléments de volume $`d\Ltau`$ de $`\Ltau_G`$ sont caractérisés par la même densité de charge $`\dens^{3D}_0`$, donc      
+  <br>
+   **$`\mathbf{Q_{int}= \oiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_G} \dens^{3D}_0\;d\Ltau}`$**.  
+   <br>
+*  Commune à tous ces $`d\Ltau\; , \; \dens^{3D}_0`$ *peut donc sortir de l'intégrale* :   
+  <br>
+   $`Q_{int}=\dens^{3D}_0\oiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_V}\;d\Ltau`$.   
+*  L'expression du volume d'un cylindre étant connue, *nul besoin de détailler le calcul intégral*,    
+   <br>
+**$`\mathbf{Q_{int}= \dens^{3D}_0\times 2\pi\,R\,h}`$**   
+<br>
+
+**Pour $`\mathbf{\rho \gt R}`$** 
 
-![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-6-v2_L1200.gif)   
+   ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-5-v4_L1200.gif)   
 _figure temporaire à réviser_
 
 
+*  La distribution *$`\dens=\dens^{3D}_0`$ remplit tout le volume de Gauss $`\Ltau_G`$*, 
+  tous les éléments de volume $`d\Ltau`$ de $`\Ltau_G`$ sont caractérisés par la même densité de charge $`\dens^{3D}_0`$, donc      
+  <br>
+   **$`\mathbf{Q_{int}= \oiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_G} \dens^{3D}_0\;d\Ltau}`$**.  
+   <br>
+*  Commune à tous ces $`d\Ltau\; , \; \dens^{3D}_0`$ *peut donc sortir de l'intégrale* :   
+  <br>
+   $`Q_{int}=\dens^{3D}_0\oiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_V}\;d\Ltau`$.   
+*  L'expression du volume d'un cylindre étant connue, *nul besoin de détailler le calcul intégral*,    
+   <br>
+**$`\mathbf{Q_{int}= \dens^{3D}_0\times 2\pi\,R\,h}`$**
+
+   $`\begin{align}
+   Q_{int} &= \oiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_G} \dens^{3D}_0\;d\Ltau\\
+   &=\dens^{3D}_0\oiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_V}\;d\Ltau\\
+   &=\dens^{3D}_0\times 2\pi\,R\,h
+   \end{align}`$
+   
+
+   
+
+
+##### _2 )_ Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé non uniformément en volume
+
+* description de $`\dens`$ :
+
+**$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
+\rho\le R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) \ne 0 \\
+\rho\gt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho)= 0
+\end{array}\right.`$**   
+
+##### _3 )_ Cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ et non uniformément chargé`$    
+
+* description de $`\dens`$ :
+
+**$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
+\rho\le R_{int} \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = 0 \\
+R_{int} \le \rho\le R_{ext} \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) \ne 0 \\
+\rho\gt R_{int} \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = 0
+\end{array}\right.`$**   
+
+##### _4 )_ Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en surface
+
+* C'est, entre autre mais pas seulement,  le cas précédent dans la limite où $`R_{int}\longrightarrow R_{ext}=R`$)    
+  $`\Longrightarrow \dens^{3D} \text{ est modélisée par } \dens^{2D} `$  
+  
+* description de $`\dens`$ :
+
+**$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
+\rho\lt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = 0 \\
+\rho = R  \Longrightarrow & \dens^{2D}(\rho)=  \dens^{2D}_0=cst \ne 0 \\
+\rho\gt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = 0 \\
+\end{array}\right.`$**   
+
+! et pour reprendre le *cas simple étudié par calcul direct* :
+
+##### Quel est le champ électrique créé par un fil rectiligne infini uniformément chargé ?
+
+
+
+
+
+
+
+
 traiter les cas du (cela sera rapide maintenant) :       
 \- cylindre infini chargé uniformément en volume : $`\dens^{3D}=cste`$   
 \- cylindre infini chargé en volume avec $`\dens^{3D}=\dens^{3D}(\rho)`$   
-\- cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extériuer $`R_{ext}`$       
+\- cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$       
 (deux méthodes équivalentes)   
 \- cylindre infini chargé uniformément en surface ($`R_{ext}\longrightarrow R_{int}`$) : $`\dens^{2D}=cste`$  
 (deux méthodes équivalentes,   
@@ -172,3 +284,12 @@ et introduire le phénomène d'influence qui est au programme un peu plus tard,
 
 
 
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