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!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
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<!--MétaDonnée : ... -->
#### Relativité restreinte N4 : cohérence
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*Transformations de Lorentz*
Deux référentiels $`\mathscr{R}`$ et $`\mathscr{R}'`$
Évènement : notion de point matériel de la mécanique newtonienne, étendu à l'espace temps. caractérisé par sa position dans l'espace et par son instant dans le temps.
Dans chaque référentiel :
* la durée entre deux évènements est mesurée à l'aide d'une horloge immobile dans le référentiel. L'horloge est basé sur un processus physique cyclique, dont un cycle définit l'unité de temps ou l'un de ses multiples ou sousmultiples.
* la distance entre deux points de l'espace est mesurée à un même instant $`t`$ à l'aide d'une règle rigide immobile dans le référentiel. La longueur de la règle rigide définit l'unité de longueur ou l'un de ses multiples ou sousmultiples.
Et un évenèment $`M`$ est répéré par
* sa date $`t`$, durée $`t-t_0`$ entre l'instant $`t_E`$ de l'évènement $`E`$ et l'instant $`t_O`$ d'un autre évènement $`T_O`$ pris comme origine de l'axe des temps, soit $`t_O=0`$.
* sa position, donnée par :
* sa distance $`OM`$, qui est la longueur entre l'évènement $`M`$ et un évènement $`O`$ pris comme origine des 3 axes $`Oz`$, $`Oy`$ et $`Oz`$ non colinéaires, soit $`O=(0,\,0,\,0)`$.
* sa direction à partir de l'origine $`O`$, donnée par ses trois coordonnées prises sur chacun des axes, soit $`M=(x,\,y,\,z)`$.
Un même évènement $`M`$ est observé dans deux référentiels différents.
Ces référentiels utilisent
* des horloges identiques et une même unité de temps pour mesurer les durées entre deux évènements.
* des règles rigides identiques et une même unité de longueur pour mesurer les distances entre deux évènements.
Dans chacun de ces référentiels il est repéré par ses coordonnées spatio-temporelles :
* $`(t,\,O,\,x,\,y,\,z)`$ dans $`\mathscr{R}`$.
* $`(t',\,O',\,x',\,y',\,z')`$ dans $`\mathscr{R}'`$.
Nous pouvons choisir les coordonnées spatiales $`( O,\,x,\,y,\,z)`$ et $`( O',\,x',\,y',\,z')`$ telles que :
* le mouvement de translation (uniforme rectiligne) de $`\mathscr{R}'`$ observé dans $`\mathscr{R}`$ soit selon $`x`$
* les axes $`Ox`$ et $`O'x'`$ coïncident à l'instant $`t_0=t_0'`$ pris pour origines des temps
dans les deux systèmes de coordonnées spatiaux-temporels $`( O,\,x,\,y,\,z)`$ et
$`( O',\,x',\,y',\,z')`$.
transformation des coordonnées d'espace et de temps entre deux référentiels inertiels (= galiléens) cartésiens.
Référentiel $`\mathscr{R}=(t,\,x,\,y,\,z)`$.
Référentiel $`\mathscr{R}'=(t',\,x',\,y',\,z')`$
avec $`\mathscr{R}'`$ en mouvement de translastion (uniforme rectiligne) à la vitesse
Nous pouvons choisir les coordonnées spatiales $`( x,\,y,\,z)`$ et $`( x',\,y',\,z')`$ telles que le mouvement de translation (uniforme rectiligne) de $`\mathscr{R}'`$ observé dans $`\mathscr{R}`$ soit selon $`x`$
alors
Loi de transformation de Lorentz des positions spatio-temporelles.
exprimée avec :
* $`\beta=\dfrac{V}{c}`$ : vitesse relative (donc sans dimension) par rapport à $`c`$.
$`0\le\beta\lt1`$ pour un objet matériel, $` \beta=1`$ pour la lumière dans le vide dans tout référentiel.
* $`\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\dfrac{1}{\\beta-2}}=(1-\beta^2)^{-1}`$ : facteur de Lorentz.
$`0\le\gamma\lt infty`$ pour un objet matériel.
$`\begin{\pmatrix{
\gamma & -\gamma\,\beta & 0 & 0 \\
-\gamma\,\beta & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}`$
Pour des axes quelconques :
$`\overrightarrow{OM}(t)=\overrightarrow{r}(t)`$
Si $`\overrightarrow{V}_{\mathscr{R}'/\mathscr{R}}=$`\overrightarrow{V}=V\,\overrightarrow{u_V}`$,
avec $`V=\Vert\overrightarrow{V}\Vert`$
et $`\overrightarrow{u_V}=\dfrac{\overrightarrow{V}}{\Vert\overrightarrow{V}\Vert}`$.
Le vecteur position $`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{r}`$ peut s'écrire comme la somme de deux composantes vectorielles, l'une parallèle à $`\overrightarrow{V}`$ notée
$`\overrightarrow{r}_{parallel}`$ et l'autre perpendiculaire notée $`\overrightarrow{r}_{perp}`$
