!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
! *Thème* :<br>
! *Electrostatique / Démonstration du théorème de Gauss, forme intégrale et forme locale*<br>
! Guide pour établir les 3 parties : main, overview, beyond<br>
!
! (_précède le thème : Electrostatique : Application du théorème de Gauss, forme intégrale et forme locale._)
ÉNONCÉS DU THÉORÈME DE GAUSS<br> ( appliqué à l' ÉLECTROSTATIQUE )
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*Domaine de validité* :
Électrostatique et Électromagnétisme.
_Attention : Les expressions ci-dessous ne sont valables que dans le système international d'unité $`SI`$, anciennement $`MKS`$._
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*FORME INTÉGRALE*
La flux du vecteur champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ à travers toute surface fermée $`S`$ est égal à la charge électrique totale $`Q_{int}`$ (en valeur algébrique) située à l'intérieur de $`S`$ , multiplié par la constante électrique $`\epsilon_0`$ :
En tout point de l'espace, la divergence du champ électrique $`div\,\overrightarrow{E}`$ est égal à la densité volumique de chrage en ce point $`\rho`$ divisée par la constante électrique $`\epsilon_0`$ :
\- densité volumique de charge $`\rho`$ : $` C\;m^{-3}`$<br>
\- $`\epsilon_0=8,85418782\cdot 10^{-12}\;SI`$
#### Quel est l'intérêt du théorème de Gauss intégral ?
* Le théorème de Gauss est un théorème très général.
* Il *permet d'établir l'équation de conservation* de toute grandeur physique.
* Dans la limite ou une surface de Gauss tend vers 0, il *permet de définir la notion de divergence* qui quantifie une propriété locale de tout champ vectoriel :<br>
$`\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss aura une expression locale.
* Cette notion de divergence est l'*une des trois notions essentielles* (avec le gradient et le rotationnel) *pour décrire les lois de la physique* au niveau universitaire. <!--, et notamment les équations de Maxwell qui décrivent l'électromagnétisme.-->
* Il *permet de calculer les champs électrostatique $`\overrightarrow{E}`$ et gravitationnel $`\mathcal{\overrightarrow{G}}`$* lorsque les distributions de charge et de masse présentent des invariances et symétries, en remplaçant des calculs qui seraient extrêmement complexes.
#### Quels sont les concepts nécessaires pour comprendre le théorème de Gauss ?
* **Théorème** = *peut être démontré*.
* La démonstration nécessite de connaître les concepts de :<br>
\- *angle solide*.<br>
\- *surface ouverte et surface fermée*.<br>
\- *flux* à travers une surface.<br>
\- *force centrale décroissante en $`1/r^2`$*.<br>
\- *théorème de superposition*.<br>
\- *divergence* d'un champ vectoriel.<br>
#### Qu'est-ce qu'un angle solide ?
##### Que représente-t-il ?
* L’**angle solide** est une notion qui permet de définir et quantifier la *portion d’espace*<br>
\- sous laquelle un observateur voit depuis un point O une surface S dans cet espace.<br>
\- *contenue à l’intérieur d’un faisceau de demi-droites* d'origine $`O`$.
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##### Comment le définir ?
* L’angle solide $`\Omega`$ est défini comme la surface $`\Sigma`$ obtenue par projection de la surface $`S`$ sur la sphère de centre $`O`$ et de rayon $`R`$, divisé par le rayon $`R`$ élevé au carré.<br>
<br>**$`\mathbf{\Omega=\dfrac{\Sigma}{R^2}}`$**
* Ainsi exprimé, l’angle solide est une *grandeur physique sans dimension*. La valeur numérique de l’angle solide ainsi obtenue est l’angle solide exprimé en *stéradian (sr)*.
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##### Comment le calculer en pratique ?
*Angle solide élémentaire $`d\Omega`$*
* Si le point $`O`$ et une surface élémentaire orientée $`\overrightarrow{dS}`$ de l’espace sont donnés, alors : <br>
<br>Lorsque la surface est ouverte, deux sens sont possibles pour l’orientation des $`\overrightarrow{dS}`$, qui conditionnent le signe de l’angle solide.
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*Angle solide $`\Omega`$*
* Si le point $`O`$ et une surface orientée $`S`$ de l’espace sont donnés, alors : <br>
* **surface fermée** : *frontière délimitant un volume intérieur et un espace extérieur*.<br>
$`\Longrightarrow`$ par convention :<br>
\- les éléments vectoriels de surface **$`\overrightarrow{dS}`$** sont **orientés de l'intérieur vers l'extérieur**.<br>
\- l'*intégration* sur une surface fermée utilise le **symbole $`\oiint_S...\,dS`$**
* **surface ouverte** : *n'est pas la frontière d'un volume*.<br>
$`\Longrightarrow`$ :<br>
\- l'*orientation* des éléments vectoriels de surface **$`\overrightarrow{dS}`$** doit être choisie parmi les **deux sens possibles**.<br>
\- l'*intégration* sur une surface fermée utilise le symbole **$`\displaystyle\iint_S...\,dS`$**.
#### Qu'est-ce que le flux d'un champ vectoriel à travers une surface ?
##### Flux élémentaire d'un champ vectoriel
* Le **flux élémentaire $`d\Phi_X`$** d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ est le flux de $`\overrightarrow{X}`$ à travers un élément vectoriel de surface $`\overrightarrow{dS}`$.
* Par définition, $`d\Phi_X`$ est le *produit scalaire $`\overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$* :
##### Flux d'un champ vectoriel à travers une surface
* $`\Phi_X=\int d\Phi_X`$
* flux à travers une *surface ouverte* : **$`\displaystyle\mathbf{\Phi_X=\iint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**.
* flux à travers une *surface fermée* : **$`\displaystyle\mathbf{\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**.
#### Qu'est-ce qu'un champ de force centrale décroissante en $`1/r^2`$ ?
* **Force centrale** : force d'interaction à distance, toujours *dirigée en direction de sa source élémentaire*.<br>
(élémentaire = considérée comme °ponctuelle* à l'échellle d'observation).
* **Force décroissante en $`1/r^2`$** : force d'interaction à distance, dont *l'intensité décroit comme le carré de la distance* à sa source ponctuelle.
* **Expression générale** *d'un champ de force centrale décroissante en $`1/r^2`$* :<br>
<br>**$`\mathbf{\overrightarrow{X}=K\cdot x\cdot\dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM^3}}\quad`$**, avec :<br>
<br>\- $`O`$ : point où se situe la source élémentaire.<br>
\- $`x`$ : grandeur physique qui caractérise la sensibilité de la source élémentaire à l'interaction X.<br>
\- $`M`$ : point où est exprimé le champ de la force.<br>
\- $`K`$ : constante réelle qui dépend du système d'unités.<br>
\- $`OM=||\overrightarrow{OM}||`$.<br>
<br>et *dans le repère sphérique $`(O,\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$* :<br>
!!! \-expression du champ gravitationnel créé à une distance $`r`$ d'une source élémentaire de masse $`m`$ située en !!! $`O`$, G est la constante universelle de gravitation.<br>
!!! \-expression du champ électrique créé à une distance $`r`$ d'une source élémentaire de charge électrique $`q`$ immobile en $`O`$, $`\varepsilon_0`$ est la permittivité électrique du vide, encore appelée constante électrique.
!!! </details>
#### Quelle propriété particulière possède le flux d'un champ de force centrale décroissante en $`1/r^2`$ ?
Flux d'un champ de force centrale en $`1/r^2`$ à travers une surface fermée
* Depuis le point $`O`$ situé à l'intérieur de la surface fermée $`S`$, l'angle solide $`\Omega_S`$ sous lequel est vue $`S`$ est de $`4\pi`$ stéradians : $`\Omega_S=2\pi\;\text{sr}`$
**$`\Longrightarrow`$ Le flux $`\Phi_X`$ à travers toute surface fermée qui contient pas la source de $`X`$ est nul* :<br>
* La présence ou non d'autre sources n'influence pas le champ $`\overrightarrow{X}_{tot}`$ créé chaque une source élémentaire. Donc le champ total $` X`$ créé par une distribution de sources élémentaires est la somme des champs $`X`$ créé par chacune des sources élémentaires.
* $`\Longrightarrow`$ :<br>
\- pour une *distribution discrète de sources* : **$`\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\sum_i \overrightarrow{X}_i}`$**.<br>
\- pour une *distribution continue de sources* : **$`\displaystyle\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\int d\overrightarrow{X}}`$**.<br>
#### Que devient le flux à travers une surface fermée contenant plusieurs sources de champ ?
* Soit **$`S`$** une **surface fermée** dans l'espace démilitant un *volume $`\tau`$*.
* Si $`S`$ contient en un point $`P_1`$ une **unique source $`x_1`$** créant une champ vectoriel $`\overrightarrow{X_1}`$ central décroissant en $`1/r^2`$, le flux $`\Phi_{X_1}`$ de $`\overrightarrow{X_1}`$ à travers $`S`$ s'écrit :<br>
* Si les sources **$`x_1`$ et $`x_2`$ existent simultanément**, alors le *théorème de superposition* dit qu'en tout point de l'espace, le champ électrostatique total $`\overrightarrow{X}`$ est la somme des champs $`\overrightarrow{X_1}`$ et $`\overrightarrow{X_2}`$ :<br>
* Ce résultat *se généralise facilement* à tout nombre entier de sources discrètes $`x_i`$ ou à une distribution continue de densité volumique $`\rho_x(\overrightarrow{r})`$<br>
#### Que dit le théorème de Gauss intégral en électrostatique ?
##### L'interaction électrostatique
* La **charge électrique**, de symbole **$`q`$**, est la grandeur physique $`x`$ qui *caractérise la sensibilté d'un corps à l'interaction électrostatique* (et plus généralement l'interaction électromagnétique).
* La charge $`q`$ peut être **négative ou positive**.
* La **force d'interaction électrostatique** $`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}`$ qu'exerce une particule de charge $`q_1`$ immobile en $`M_1`$ sur une autre particule de charge $`q_2`$ située en $`M_2`$ s'écrit :<br>
* Lorsque les charges sont réparties sur une surface $`S`$ (2D $`\Longleftrightarrow`$ une épaisseur 1D est négligée) avec une *densité surfacique de charge $`\mathbf{\sigma}`$* :<br>
* Lorsque les charges sont réparties sur un fil $`\Gamma`$ (1D $`\Longleftrightarrow`$ une section 2D est négligée) avec une *densité linéïque de charge $`\mathbf{\lambda}`$* :<br>
#### Que dit le théorème de Gauss intégral en gravitation ?
##### L'interaction gravitationnelle
* La **masse**, de symbole **$`m`$**, est la grandeur physique $`x`$ qui *caractérise la sensibilté d'un corps à l'interaction gravitationnelle*.
* La masse $`m`$ de la matière est *toujours positive*.
* La **force d'interaction gravitationnelle de Newton** $`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}`$ qu'exerce un corps de masse $`m_1`$ en $`M_1`$ sur un autre corps de masse $`m_2`$ située en $`M_2`$ s'écrit :<br>
C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$.
* Dans le cadre de la physique classique, le **champ gravitationnel $`\mathcal{\overrightarrow{G}}`$** créé en tout point $`M`$ de l'espace par un corps de masse $'m`$ situé un point $`O`$ s'écrit :<br>
* Soit une *distribution de masses* dans l'espace.
***Théorème de Gauss** :<br>
Le flux $`\Phi_{\mathcal{G}}`$ du vecteur champ de gravitation $`\mathcal{\overrightarrow{G}}`$ à travers toute *surface fermée $`S`$* de l'espace
est égal à la *masse totale $`m_{int}`$ contenue à l'intérieur de $`S`$* multiplié par $`4\pi\,G`$, où $`G`$ est la constante la constante universelle de la gravitation.<br>
_Champ électrique créé par 3 charges ponctuelles immobiles situées dans plan de représentation du champ
électrostatique._
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* Dans les *cas simples*, **l'oeil humain repère immédiatement** les points ou les lignes de champ électrique convergent ou divergent, qui localisent *les causes du champ électrostatique* dans le plan d'observation.
* Le **théorème de Gauss intégral** précise, lors d'un flux non nul du champ électrostatique
à travers une surface fermée, la somme totale des charges contenues à l'origine de ce flux,
mais *ne permet pas la localisation précise des charges* du champ électrostatique.
* Il **doit exister une propriété locale** (à l'échelle mésoscopique, donc apparaissant ponctuelle
à la résolution de l'observation) qui en tout point de l'espace *relie le champ électrostatique
à sa cause élémentaire locale*.
#### Une idée pour relier une propriété locale du champ électrostatique à sa cause ?
* Dans la **démonstration du théorème de gauss** (partie principale), *aucune échelle de taille n'est précisée*
pour le choix de la surface fermée de Gauss, et donc du volume intérieur qu'elle définit.
* $`\Longrightarrow`$ idée 1 : faire tendre la surface fermée vers une
**surface fermée mésoscopique qui entoure chaque point** de résolution de l'espace,
le *flux* ainsi calculé sera une *propriété locale du champ*.
* $`\Longrightarrow`$ idée 2 : la *charge déduite du théorème de Gauss* est la charge **située à l'intérieur du volume mésoscopique** délimité par cette surface de Gauss, c'est ainsi une charge *locale*.
* Cette idée est à la **base de la notion de divergence** d'un champ vectoriel.
#### Comment est définie la divergence d'un champ vectoriel X ?
* Soit $`dS`$ un élément de surface fermée qui délimite un élement de volume $`d\tau`$ contenu dans un voisinage de tout point de l'espace.<br>
<br>La **divergence de $`\overrightarrow{X}`$**, *définie en tout point de l'espace*, est le flux $`d\Phi_X`$ de $`\overrightarrow{X}`$ à travers $`dS`$, divisé par le volume $`d\tau`$ :<br>
La champ de divergence de X est un **champ scalaire** : $`div\;\overrightarrow{X}\in\mathbb{R}`$
* Le **valeur absolue de la divergence $`\mathbf{|\,div\;\overrightarrow{X}\,|}`$** indique l'*intensité du champ $`\overrightarrow{X}`$* ce point.<br>
( $`div\;\overrightarrow{X}=0`$ indique un champ qui ne converge ni ne diverge en ce point)
* Le **signe de $`\mathbf{div\;\overrightarrow{X}}`$** indique si la *vergence du champ $`\mathbf{\overrightarrow{X}}`$* en ce point.<br>
\-**$`\mathbf{div\;\overrightarrow{X}<0}`$**$`\quad\Longleftrightarrow\quad`$ le champ *$`\mathbf{\overrightarrow{X}}`$ diverge*.<br>
\-**$`\mathbf{div\;\overrightarrow{X}>0}`$**$`\quad\Longleftrightarrow\quad`$ le champ *$`\mathbf{\overrightarrow{X}}`$ converge*.<br>
#### Comment se détermine son expression en coordonnées cartésiennes ?
* Soit un **élément de volume $`d\tau=dx\,dy\,dz`$** centré en tout point $`M`$ de l'espace.
* Soit **$`\overrightarrow{X_M}`$** le **champ vectoriel au point $`M`$** dû à l'ensemble de ses sources dans l'espace.
* Le **flux $`\Phi_X`$** de *$`\overrightarrow{X}`$ à travers la surface fermée $`dS`$* délimitant $`d\tau`$ est la somme des flux de $`\overrightarrow{X}`$ à travers chacune des six faces élémentaires constituant $`dS`$.
* Les *déplacements et surfaces* en jeu étant *infinitésimals*, au premier ordre et *pour chacune des faces* :<br>
le **champ électrique moyen = champ au centre de la face**.<br>**$`\mathbf{\quad\quad=\overrightarrow{X_M}\pm\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{X}}{\partial x_i}\right|_M\cdot\dfrac{dx_i}{2}}`$**,<br>
champ $`\overrightarrow{X}`$ en $`M`$ plus son taux de variation $`\dfrac{\partial \overrightarrow{X}}{\partial x_i}`$ fois le déplacement élémentaire $`\pm\dfrac{dx_i}{2}`$, positif ou négatif selon le sens du déplacement en direction de l'axe $`Ox_i`$.
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* La somme des flux sur deux faces opposées selon $`Ox_i`$ donne
* Le flux total $`\Phi_X`$ à travers les six faces de l'élément de volume donne $`\left(\left.\dfrac{\partial X_x}{\partial x}\right|_M+\left.\dfrac{\partial X_y}{\partial y}\right|_M+\left.\dfrac{\partial X_z}{\partial z}\right|_M\right)\cdot dx\,dy\,dz`$.
* Le produit $`dx\,dy\,dz`$ étant le volume élémentaire $`d\tau`$, selon sa définition l'*expression de la divergence de $`\overrightarrow{X}`$ en coordonnées cartésiennes* s'écrit en tout point de l'espace :<br>
#### Qu'est-ce que le théorème de Green-Ostrogradsky, et comment le visualiser ?
* Soit une **surface fermée $`S`$** dans l'espace *en présence d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$*.
* Soit **$`\Phi_X`$** le *flux de $`\overrightarrow{X}`$* à travers la surface fermée $`S`$.
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* Le **volume $`\tau`$** que délimite la surface $`S`$ *se décompose* mentalement en *éléments de volume $`d\tau`$*.
* Le champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ produit un **flux élémentaire $`d\Phi_X`$** à travers chaque *$`d\tau`$* délimités par des élements de surface fermée $`dS`$.
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* En coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphérique, **chaque élément de surface fermée $`dS`$** associé à un élément de volume $`d\tau`$ qui n'est pas situé en surface du volume $`\tau`$ se décompose en *6 éléments de surface ouverte $`d\Sigma_{int, i}`$* situés *à l'intérieur* du volume $`\tau`$ : <br>
**$`\mathbf{dS=\sum_{i=1}^6 d\Sigma_{int,i}}`$**
***A l'intérieur du volume $`\tau`$**, tout élément de surface ouverte $`d\Sigma_{int}`$ appartient à 2 élément de volume $`d\tau_1`$ et $`d\tau_2`$. Selon l'élément de volume considéré, un même élément de surface ouverte intérieure *$`\mathbf{d\Sigma_{int}}`$ est représenté par les vecteurs $`\overrightarrow{\Sigma}_{int,1}`$ ou $`\overrightarrow{\Sigma}_{int,2}`$* qui sont opposés :<br>
* $`\Longrightarrow`$ les flux élémentaires *$`\mathbf{d\Phi_{int,1}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{int,1}}`$* et *$`\mathbf{d\Phi_{int,2}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{int,2}}`$* correspondants <!--du champ $`\overrightarrow{X}`$ à travers un même élément de surface $`d\Sigma_i`$ considéré du point de vue des deux éléments de volume $`d\tau_1`$ et $`d\tau_2`$ auxquels il appartient--> sont opposés : <br>
* $`\Longrightarrow`$ le **flux $`\mathbf{\Phi_{int}}`$** de $`\overrightarrow{X}`$ *à travers l'ensemble des $`\overrightarrow{d\Sigma_i}`$ situés***à l'intérieur** d'un volume (les $`d\Sigma_i`$ appartenant à la frontière extérieure du volume étant exclus) est **nul** :<br>
* Tout **élément de volume $`d\tau`$ en contact avec l'extérieur***possède un élément de surface $`d\Sigma_{ext}`$*. qui appartient à la frontière entre l'intérieur du volume et l'extérieur.
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* Tout élément de surface $`d\Sigma_{ext}`$ n'appartient qu'à un unique élement de volume $`d\tau`$ du volume $`\tau`$ :<br>
$`\Longrightarrow`$ lui est associé un **unique élément vectoriel de surface $`\overrightarrow{d\Sigma}_{ext}`$***orienté de l'intérieur vers l'extérieur*.
* $`\Longrightarrow`$ le *flux élémentaire correspondant $`d\Phi_{ext}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{ext}`$*<!--du champ $`\overrightarrow{X}`$ à travers un même élément de surface $`d\Sigma_i`$ considéré du seul point de vue de l'élément $`d\tau`$--> est en général non nul : <br>
* L'ensemble des $`d\Sigma_{ext}`$ est la surface fermée $`S`$ délimitant le volume $`\tau`$ :<br>
$`S=\oiint d\Sigma_{ext}`$
* $`\Longrightarrow`$ le **flux $`\mathbf{\Phi_{ext}}`$** de $`\overrightarrow{X}`$ à travers l'ensemble des $`\overrightarrow{d\Sigma_{ext}}`$ est le flux $`\mathbf{\Phi_X}`$ de $`\overrightarrow{X}`$ à travers la surface fermée $`S`$ délimitant le volume $`\tau`$ :<br>
#### Quelle est l'expression du théorème de Gauss local en électrostatique ?
* En électrostatique : $`K=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}`$, où $`\rho`$ est la densité volumique de charge (exprimée en $`C\,m^{-3}`$ dans le système international d'unités)
**Théorème de Gauss local* : **$`\large\mathbf{div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}}`$**
#### Quelle est l'expression du théorème de Gauss local en gravitation ?
* En gravitation newtonnienne : $`K=-\;G`$ , où $`\rho`$ est la densité volumique de masse (exprimée en $`kg\,m^{-3}`$ dans le système international d'unités)
**Théorème de Gauss local* : **$`\large\mathbf{div\,\mathcal{\overrightarrow{G}}=-\,4\pi\,G\,\rho}`$**
