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@@ -584,6 +584,121 @@ $`\quad G=\dfrac{\text{intervalle de temps}}{\underbrace{\text{nombre de divisio
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+<br>
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+! *Le MODELE "TOLÉRANCE-PERSISTANCE"*
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+<!---#### Le modèle tolérance-peristence de Lokta Volterra
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+##### Qu'est-ce que modèle "tolérance-persistance" ?
+
+* Le modèle de **Lotka-Volterra** est le *premier modèle proie-prédateur, le plus simple*, proposé
+  dès 1925 (Alfred J. Lotka <sub>[1]</sub>) et 1926 (Vito Volterra <sub>[2]</sub>).   
+  <br>
+  [1] _Lotka, A.J. Elements of physical biology. Elem. Phys. Biol. 1926, 82, 341–343._   
+  [2] _Volterra, V. Variazioni e fluttuazioni del numero d’individui in specie animali conviventi._
+      _In Memoire della Real Accademia Nazionale._
+dei Lincei II; Rome, Italy, 1926; pp. 31–113
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+<br>
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+##### De combien de variables décrit-il l'évolution?
+
+* Le modèle "proie-prédateur" concerne un couple de variables réelles liées 
+  **$`\mathbf{\big(\,(X_1(t)\,,X_2(t)\,\big)\,\in\,\mathbb{R}_+^2}`$**   
+  <br>
+  Dans l'interprétation du modèle, elles **peuvent représenter** :
+   * la *valeur réelle d'une grandeur physique* continue à l'instant $`t`$.
+   * un *nombre entier d'entités* au sein d'un système à l'instant $`t`$,   
+     seules les valeurs entières prenant alors un sens.
+
+<br>
+
+##### Quels sont ses domaines d'application ?
+
+Les modèles tolérance-persistance du plus simple à ses développements ultérieurs, peuvent servir
+à comprendre et modéliser de nombreux phénomènes couvrant des **disciplines très diverses**.
+
+* *Micro-biologir* : dynamique d'espèces en compétition.
+* ... (liste non limitative)
+
+Il suffit de reconnaître dans les **équations et paramètres** des modèles une *description possible*
+*d'un phénomène* observé, qu'il soit naturel ou culturel.
+
+<br>
+
+##### Quelles sont les hypothèses fondatrices ?
+
+<br>
+Les variables **$`X_1(t)`$ et $`X_2(t)`$** jouent des *rôles symétriques*.   
+L'une représente ... et l'autre ....
+
+<br>
+**Variable $`X_1(t)`$**
+
+* Elle représente .
+* **hypothèse** : *nourriture en quantité illimitée*.   
+   * $`\Longrightarrow`$ **en absence de prédateur** rien ne s'oppose à un taux de croissance 
+      *$`\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+`$ proportionnel à $`X_1`$*, le nombre de proies,   
+     conduisant à une croissance exponentielle.   
+     <br>
+     **$`\large{\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^+ \,=\,+\, C_1\, X_1(t)}\quad`$**, avec *$`C_1 \gt 0`$*.
+
+<br>
+
+**Variable $`X_2(t)`$**
+
+* Elle représente .
+* **hypothèse** : ...,   
+     conduisant à une décroissance exponentielle.   
+     <br>
+     **$`\large{\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}^- \,=\,-\, D_2\, X_2(t)}\quad`$**, avec *$`D_2 \gt 0`$*.
+
+<br>
+
+**Interaction entre $`X_1(t)`$ et $`X_2(t)`$**
+
+* **hypothèses** : 
+   * ...   
+  <br>
+  Cela entraîne :   
+
+   * ...
+
+<br>
+
+##### Quelle est l'expression mathématique de ce modèle ?
+
+* Le taux de variation temporelle de chacune des variables est la somme de sa composante
+      croissante et sa composante décroissante.   
+  <br>
+      ...
+
+* Les *hypothèses du modèle se traduisent par* le système d'équations différentielles :   
+  <br>
+      **$`\large{\left\{\;\begin{array}{l}
+      \left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\,(\;\mu_1 - c_{1\rightarrow 2}\,)\,X_1(t)\;+\;c_{2\rightarrow 1}\;X_1(t)\,X_2(t)\\
+      \\
+      \left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\,(\,\mu_2 - c_{2\rightarrow 1}\,)\,X_1(t)\;+\;c_{1\rightarrow 2}\;X_1(t)\,X_1(t)
+      \end{array}\right.}`$**    
+  <br>
+      avec *$`(\mu_1\,,\mu_2\,,c_{1\rightarrow 2}\,,c_{2\rightarrow 1})\in\mathbb{R}_+^4`$*.
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+<br>
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