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12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/40.gauss-theorem-applications/25.cylindrical-charge-distributions/20.gauss-local/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -310,6 +310,9 @@ $`\Longrightarrow`$ **différentes distributions de charge sont étudiées** *da
 \rho\gt R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)= 0
 \end{array}\right.`$**   
 
+
+##### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$ avec une intégrale définie
+
 <!------------
 * Nombre de sous-espaces complémentaires à prendre en compte : 2
    * sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}_0`$ et tel que $`\rho\le R`$.
@@ -377,6 +380,64 @@ E_{\rho}(\rho_M)=\dfrac{R^2\,\dens_0^{3D}}{2\,\epsilon_0\,\rho_M}
 \Longrightarrow`$
 **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{R^2\,\dens^{3D}_0}{2\,\epsilon_0\,\rho_M}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
+
+<br>
+##### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$ avec une intégrale indéfinie
+
+Attention, cette fin d'exo 1, avec intégrale indéfinie, est en cours de rédaction.   
+L'affichage du calcul peut être erronée à ce stade.
+
+<br>
+**$`\large\text{Pour  }\mathbf{0\lt \rho_M\le R}`$** :    
+donc à l'*intérieur du cylindre chargé* mais hors axe de révolution :   
+<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)=\int d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}`$**     
+<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{\hspace{2.6cm}=\int \dfrac{\rho\,\dens_0^{3D}}{\epsilon_0}\,d\rho}`$**   
+<!---br>
+$`\displaystyle\hspace{2.6cm}=\dfrac{\dens_0^{3D}}{\epsilon_0}\int \rho\,d\rho`$--->
+<br>
+$`\displaystyle\hspace{2.6cm}=\dfrac{\dens_0^{3D}}{\epsilon_0}\, \dfrac{\rho^2}{2}\,+\,Cst_1`$   
+<br>
+**$`\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)\;=\dfrac{\rho_M^2\,\dens_0^{3D}}{2\epsilon_0}`$**   
+<br>
+où *$`Cst_1`$* est une *constante d'intégration* que tu détermineras plus trad.
+<!----------br>
+*$`{\rho_M}`$ étant strictement supérieur à 0*, nous obtenons *au final* :   
+<br>
+$`\left.\begin{array}{l}
+\overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
+E_{\rho}(\rho_M)=\dfrac{\rho_M\,\dens_0^{3D}}{2\epsilon_0}
+\end{array}\right\}
+\Longrightarrow`$
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho_M\,\dens^{3D}_0}{2\,\epsilon_0}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+<br------------>
+
+<br>
+**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M\gt R}`$** :    
+donc à l'*extérieur du cylindre chargé* :   
+<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)=\int d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}`$**     
+<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{\hspace{2.6cm}=\int \dfrac{\rho\,\dens_0^{3D}}{\epsilon_0}\,d\rho}`$**   
+<br>
+$`\displaystyle\hspace{2.6cm}=\dfrac{\dens_0^{3D}}{\epsilon_0}\int_{\rho=0}^{R}\rho\,d\rho
++\int_{R}^{\rho_M}0\,d\rho`$   
+<br>
+$`\displaystyle\hspace{2.6cm}=\dfrac{\dens_0^{3D}}{\epsilon_0}\,\bigg[ \dfrac{\rho^2}{2} \bigg]_0^{R}`$   
+<br>
+$`\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)\;=\dfrac{R^2\,\dens_0^{3D}}{2\epsilon_0}`$   
+<br>
+*$`{\rho_M}`$ étant strictement supérieur à 0*, nous obtenons *au final* :   
+<br>
+$`\left.\begin{array}{l}
+\overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
+E_{\rho}(\rho_M)=\dfrac{R^2\,\dens_0^{3D}}{2\,\epsilon_0\,\rho_M}
+\end{array}\right\}
+\Longrightarrow`$
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{R^2\,\dens^{3D}_0}{2\,\epsilon_0\,\rho_M}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+
 <br>
 
 ---------------------
@@ -393,6 +454,7 @@ E_{\rho}(\rho_M)=\dfrac{R^2\,\dens_0^{3D}}{2\,\epsilon_0\,\rho_M}
 \rho\gt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho)= 0
 \end{array}\right.`$**   
 
+
 <br>
 **$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M = 0}`$** :    
 L'étude des symétries nous a permis d'affirmer précédemment que :