## Colección de elementos del curso: conceptos, vocabulario y ecuaciones / Collection d'éléments de cours : Concepts, vocabulaire et équations / Collection of Course Elements: Concepts, Vocabulary and Equations
##### Vectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space
[ES] 3 caracteristicas : norma, dirección y sentido ? <br>
[FR] 3 caractéristiques : norme, direction et sens <br>
[EN] 2 characteritics : magnitude (or length) and direction.
ATENCIÓN / ATTENTION / BE CAREFUL :
[ES] matemáticamente, la palabra "dirección / direction / direction" no tiene el mismo significado en francés y español, y en inglés.
[FR] mathématiquement, le mot dirección / direction / direction" n'a pas le même sens en français et espagnol, et en anglais.
[EN] mathematically, the word "dirección / direction / direction" does not have the same meaning in French and Spanish, and in English.
##### Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics.
*[ES] Los *vectores* pueden representar *diferentes cantidades físicas*. <br>
_ejemplo: vector de velocidad del punto M, y la fuerza que se aplica al punto M._<br>
[FR] Les *vecteurs* peuvent représenter des *grandeurs physiques différentes*.<br>
_exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M._<br>
[EN] The *vectors* can represent *different physical quantities*. <br>
_example: velocity vector of point M, and the force that applies to point M._
*[ES] Las *normas* de vectores correspondientes a diferentes cantidades físicas _(ejemplo:
velocidad y fuerza)_ se expresan en *diferentes unidades* _(respectivamente: $`ms^{-1}`$ y $`N`$)_.
Ellos *no se pueden comparar*.<br>
[FR] Les *normes* de vecteurs correspondant à des grandeurs physiques différentes _(exemple :
vitesse et force)_ s’expriment dans des **unités différentes** _(respectivement : $`m.s^{-1}`$
et $`N`$)_. Elles *ne peuvent pas être comparées*.<br>
[EN] The *magnitudes* of vectors corresponding to different physical quantities _(example: speed
and force)_ are expressed in *different units* _(respectively: $`ms^{-1}`$ and $`N`$)_.
They *cannot be compared*.
##### Vectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors
*[ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si tienen *igual dirección*.<br>
[FR] Deux *vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$* sont **colinéaires** s’ils ont la *même direction* :<br>
[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **collinear** if they lie on the *same line or parallel lines* :<br>
<br>Il existe alors un nombre réel $`\alpha`$ tel que l’on peut écrire $`\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$<br>
" $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont colinéaires" $`\Longleftrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
*[ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si non tienen *igual dirección*.<br>
[FR] Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **non colinéaires** s’ils ont des *directions différentes*.<br>
[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **non collinear** if they lie on *non parallel lines* :<br>
<br>Pour tout nombre réel $`\alpha`$ on peut écrire $`\overrightarrow{A} \ne \alpha\cdot\overrightarrow{B}`$.<br>
"$`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont non colinéaires" $`\Longleftrightarrow \forall\; \alpha\in\mathbb{R}`$$`\quad\overrightarrow{A} \ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
Fig "mechanics-vectors-collinear.png" ready for use.
#### addition et soustraction de vecteurs
#### vecteurs lié&s, vecteurs libres
#### Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space
##### en un plano $`\mathcal{P}`$ / dans un plan $`\mathcal{P}`$ / in a plane $`\mathcal{P}`$
* Definición / Définition :<br>
[ES]**2 vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ pertenecientes a un plano $`\mathcal{P}`$, no nulos, no colineales y ordonados**
en una secuencia $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forman una *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de este plano.<br>
[FR]**2 vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ appartenant à un plan $`\mathcal{P}`$, non nuls, non colinéaires et ordonnés**
dans une suite $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forment une *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de ce plan.<br>
[EN] ...
* Propiedad / Propriété :<br>
[ES] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ es una base de un plano $`\mathcal{P}`$, entonces cualquier *vector $`\vec{V}`$* de
$`\mathcal{P}`$ se descompone *de forma única* en una **combinación lineal***de los vectores de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.<br>
[FR] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ est une base d'un plan $`\mathcal{P}`$, alors tout *vecteur $`\vec{V}`$* de $`\mathcal{P}`$
se décompose de *façon unique* en une **combinaison linéaire***des vecteurs de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.<br>
[EN] ...
* Écriture mathématique :<br>
"$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})`$ est une base de $`\mathcal{P}`$"
Fig "mechanics-vector-base-plane_L1200.gif" ready for use.
##### en un espacio vectorial $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ / dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$ / in a vector space $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$
*[ES] En matemáticas, una **secuencia** es un *conjunto ordenado de elementos*, llamados sus "términos".
y que están *indexados por números naturales*.<br>
[FR] En mathématiques, une **suite** est un *ensemble ordonné d'éléments*, appelés ses "termes"
et qui sont *indexées par les entiers naturels*.(le terme "n-uplet" n'est pas bon ...)<br>
[EN] In mathematics, a **sequence** is an *ordered set of elements*, called its "terms"
and which are *indexed by natural numbers*.
*[ES]*$`n`$ vectores ordenados* en una secuencia $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forman
una **base de un espacio vectorial** $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ si *cualquier vector* de este
espacio se descompone de *manera única en una combinación lineal* de los vectores $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.<br>
[FR]*$`n`$ vecteurs ordonnés* dans une suite $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forment
une **base d'un espace vectoriel** $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$, si *tout vecteur* $`\vec{V}`$
de cet espace $`\mathcal{E}`$ se décompose de *façon unique* en une *combinaison linéaire* des vecteurs
$`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.<br>
[EN]*$`n`$ ordered vectors* in a sequence $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ form a
**basis of a vector space** $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$ if *any vector* of this space decomposes in
*a unique way* into a *linear combination* of the vectors $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.
* "$`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ est une base de $`\mathcal{E}`$"$`
##### Producto escalar de dos vectores en una base ortonormal del espacio / Prduit scalaire de deux vecteurs 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Scalar product of 2 vectors in an orthonormal basis
"$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée.
##### Cálculo del ángulo entre 2 vectores en una base ortonormal del espacio / Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Calculation of the angle between 2 vectors in an orthonormal basis
Plano euclidiano / plan euclidien / euclidian space : $`n=3`$ :
grandeurs physique : rang 1 axial : moment d'un force, vitesse angulaire, champ magnétique...<br>
grandeurs physique : rang 2 polaire : contrainte, déformation, ...<br>
propriété physique : rang 1 polaire : effet pyroélectrique, ...<br>
propriété physique : rang 2 polaire : dilatation themique, ...<br>
propriété physique : rang 3 polaire : effet piézoélectrique, ...<br>
propriété physique : rang 4 polaire : élasticité, rigidité, ...<br>
Physique relativiste :<br>
tenseur de courbure, tenseur énergie-impulsion, ...
##### Componentes de un producto vectorial en base ortonormal / Composantes d'un produit vectoriel dans une base orthonormée / Components of a vector product in an orthonormal basis
$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée
##### Componentes de un producto mixto en base ortonormal / Composantes d'un produit mixte dans une base orthonormée / Components of a triple product in an orthonormal basis
$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée
