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@@ -26,7 +26,7 @@ lessons:
 
 ---------------------------------------------
 
-Stockage demo pour coordonnées non orthogonales.
+Stockage demo pour coordonnées non orthogonales dans un espace euclidien.
 
 figure à faire
 
@@ -171,7 +171,104 @@ $`u_1v^1+u_2v^2 = u\,v\,\dfrac{\cos(a)\cos(\theta)}{\cos(a)}`$
 
 $`u_1v^1+u_2v^2 = u\,v\,\cos(\theta)`$
 
-Les choses se mettent en place pour tout ce niveau 4... je commence à voir une organisation..
+C'est une propriété intéressante si l'on considère les vecteurs géométriques $`\overrightarrow{OU}`$ et $`\overrightarrow{OV}`$. On a un lien avec le produit scalaire de ces deux vecteurs.
+
+Maintenant, il y a un gros morceau pour expliquer comment construire la base duale, ce qu'elle représente, pour exprimer un vecteur en base naturelle (avec ses composantes contravariantes) et en base duale (avec ses composantes covariantes). deux façons de voir les choses... Expliquer aussi les termes covariant et contravariant.
+
+
+##### Stockage pour métrique
+
+_Note : la métrique, lien entre l'invariant distance et les variations des coordonnées, n'est pas encore identifiée au produit scalaire des vecteurs de la base naturelle associée aux coordonnées. Ci-dessous, on montre qu'on peut toujours choisir une métrique symétrique par rapport à ses deux indices._
+
+* Une métrique est symétrique par rapport à ses deux indices.   
+<br>
+**$`\mathbf{\large g_{ab}=g_{ba}}`$**    
+<br>
+   A priori un peu inutile tout ce qui suit ici. Pertinence à revoir...   
+   <br>
+   * Toute **métrique non symétrique** (NS) **$`\mathbf{g_{ab}^{NS}}`$** permet la *définition de deux composantes* :   
+*$`\mathbf{g_{ab}^{S}}=\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}+\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}`$*, et    
+*$`\mathbf{g_{ab}^{AS}}=\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}`$*    
+<br>
+    * la composantes *$`\mathbf{g_{ab}^{S}}`$* est *symétrique* (S) par rapport à ses deux indices $`a\text{ et }b`$, ce qui signifie que cette composante $`\mathbf{g_{ab}^{S}}`$ garde sa valeur par permutation de ses deux indices :   
+      $`\mathbf{g_{ab}^{S}-g_{ba}^{S}}`$
+      $`=\left(\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}+\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}\right)-\left(\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}+\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}\right)`$   
+      $`\hspace{0,8 cm}=\require{cancel}\color{brown}{
+      \xcancel{
+      \dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}
+      }}+
+      \color{blue}{
+      \xcancel{
+      \dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}
+      }}`$*$`\mathbf{=0}`$*   
+      
+      **$`\Longrightarrow\mathbf{g_{ab}^{S}=g_{ba}^{S}}`$**   
+       
+     et la composante *$`\mathbf{g_{ab}^{AS}}`$* est *anti-symétrique* (AS) par rapport à ses deux indices $`a\text{ et }b`$, ce qui signifie que cette composante $`\mathbf{g_{ab}^{AS}}`$ change de signe lorsque ses deux indices sont permutés :   
+      $`\mathbf{g_{ab}^{AS}+g_{ba}^{AS}}`$
+      $`=\left(\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}\right)+\left(\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}\right)`$   
+      $`\hspace{0,8 cm}=\require{cancel}\color{brown}{
+      \xcancel{
+      \dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}
+      }}+
+      \color{blue}{
+      \xcancel{
+      \dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}
+      }}`$*$`\mathbf{=0}`$*   
+      
+      **$`\Longrightarrow\mathbf{g_{ab}^{AS} = -\,g_{ba}^{AS}}`$**   
+     <br>
+
+    * Toute métrique non symétrique (NS) $`\mathbf{g_{ab}^{NS}}`$ *égale la somme de  sa composante symétrique $`\mathbf{g_{ab}^{S}}`$ et de sa composante anti-symétrique  $`\mathbf{g_{ab}^{AS}}`$* :   
+**$`\mathbf{g_{ab}^{S}+g_{ab}^{AS}}`$**$`\;=\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}+\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}+\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}`$   
+$`\hspace{1,6 cm}=\require{cancel}\color{brown}{\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}}\color{blue}{+\xcancel{\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}}}\color{brown}{+\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}}\color{blue}{-\xcancel{\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}}}`$    
+**$`\mathbf{\hspace{1,6 cm}=g_{ab}^{NS}}`$**    
+<br>
+
+   * La *métrique* associée à un système de coordonnées **détermine l'invariant élémentaire $`ds`$**, et donc son carré $`ds^2`$ en chaque point $`M`$ :    
+   <br>
+   **$`\mathbf{ds^2_M}`$** $`\;\color{blue}{=\mathbf{g_{ab\,M}}}\,dx^a dx^b`$.    
+   <br>
+   ce qui se réécrit *avec les composantes symétriques et anti-symétriques* de la métrique :   
+   <br>
+     $`ds^2_M=;\color{blue}{\mathbf{g_{ab\,M}^S}}\,dx^a dx^b+;\color{blue}{\mathbf{g_{ab\,M}^{AS}}}\,dx^a dx^b`$.    
+  en se souvenant que cette égalité est écrite en convention d'Einstein.
+
+   *  En écriture traditionnelle *avec le signe somme*, elle s'écrit :   
+  <br>
+  $`\displaystyle ds^2_M=\color{blue}{\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=1}^{n}}\left[g_{ab\,M}^S\,dx^a dx^b+g_{ab\,M}^{AS}\,dx^a dx^b\right]`$
+  
+  <br>
+   *  **Pour tout couple $`\mathbf{(a_0, b_0)}`$** de valeurs particulières **avec $`\mathbf{a_0\ne b_0}`$** des indices appartenant à la somme $`\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=1}^{n}`$, *le couple $`(b_0, a_0)`$ appartient aussi à la somme $`\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=1}^{n}`$*. Ainsi le carré de l'invariant se réécrit :   
+  <br>
+    $`\displaystyle ds^2_M=\color{brown}{\sum_{a=1}^n \mathbf{g_{aa\,M}^{AS}}}\,(dx^a)^2+ \color{blue}{\sum_{a=2}^n \sum_{b\lt a} (\mathbf{g_{ab\,M}^{AS} + g_{ba\,M}^{AS}})}\,dx^x dx^a`$
+
+  <br>
+   *   *Pour tout couple $`\mathbf{(a, b)}`$* d'indices, l'antisymétrie de la composante $`g_{ab}^{AS}`$ par rapport à ses indices entraîne :   
+   <br>
+   $`\left.\begin{array}{l}
+   g_{ab}^{AS}= - g_{ba}^{AS} \\
+   b = a
+   \end{array}\right\}\Longrightarrow\; g_{aa}^{AS}=- g_{aa}^{AS}=0`$
+   **$`\displaystyle\Longrightarrow\;\sum_{a=1}^n \mathbf{g_{aa\,M}^{AS}\,(dx^a)^2=0}`$**   
+   <br>
+      $`\left.\begin{array}{l}
+   g_{ab}^{AS}= - g_{ba}^{AS} \\
+   b \ne a
+   \end{array}\right\}\Longrightarrow\; g_{ab}^{AS}+g_{ba}^{AS}=0`$
+   $`\color{blue}{\displaystyle\Longrightarrow\;\sum_{a=2}^n \sum_{b\lt a} (\mathbf{g_{ab\,M}^{AS} + g_{ba\,M}^{AS})\,dx^x dx^a=0}}`$
+   
+   <br>
+    * Ainsi **la composante antisymétrique $`\mathbf{g_{aa\,M}^{AS}}`$** de la métrique *ne contribue pas à l'invariant élémentaire $`\mathbf{ds}`$* :   
+**$`\displaystyle\mathbf{ds^2_M}`$**$`\;=\displaystyle\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=1}^{n}\,g_{ab\,M}^{NS}\,dx^a dx^b`$.    
+  $`\require{cancel}\displaystyle\hspace{1 cm}=\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=1}^{n}\left[g_{ab\,M}^S\,dx^a dx^b+\color{blue}{\xcancel{g_{ab\,M}^{AS}\,dx^a dx^b}}\right]`$   
+   **$`\displaystyle\hspace{1 cm}\mathbf{=\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=1}^{n}\,g_{ab\,M}^S\,dx^a dx^b}`$**   
+   <br>
+Seule la composante symétrique $`g_{ab\,M}^S`$ contribuant à l'invariant élémentaire $`ds`$, et la composante symétrique se déduisant facilement de toute métrique $`g_{ab\,M}^{NS}`$,   
+ *nous ne considérerons dans la suite que des* **métriques symétriques** que nous écrirons simplement **$`\mathbf{g_{ab}}`$**.   
+
+
+
 
 
 ##### Variété
@@ -405,60 +502,14 @@ $`\Longrightarrow`$ en tout point de la variété *sont connues ou calculables*
     * les coefficients *$`\mathbf{g_{ab}}`$* de la métrique associée aux coordonnées $`x^a`$ et $`x^b`$,
     * les dérivées partielles *$`\mathbf{\dfrac{\partial \,g_{ab}}{\partial x^c}}`$* de cette métrique,
 
+* **$`\mathbf{\large g_{ab}=g_{ba}}`$**   
 
-* **$`\mathbf{\large g_{ab}=g_{ba}}`$**    
-<br>
-En effet, quelques soient le système de coordonnées et en tout point M, la métrique associée à ces coordonnées peut être choisie symétrique :
-    * Toute **métrique non symétrique** (NS) **$`\mathbf{g_{ab}^{NS}}`$** permet la *définition de deux métriques* :   
-*$`\mathbf{g_{ab}^{S}}=\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}+\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}`$*, et    
-*$`\mathbf{g_{ab}^{AS}}=\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}`$*    
-<br>
-    * la métrique *$`\mathbf{g_{ab}^{S}}`$* est *symétrique* (S) :   
-      $`\mathbf{g_{ab}^{S}-g_{ba}^{S}}`$
-      $`=\left(\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}+\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}\right)-\left(\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}+\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}\right)`$   
-      $`\hspace{0,8 cm}=\require{cancel}\color{brown}{
-      \xcancel{
-      \dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}
-      }}+
-      \color{blue}{
-      \xcancel{
-      \dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}
-      }}`$*$`\mathbf{=0}`$*   
-      
-      **$`\Longrightarrow\mathbf{g_{ab}^{S}=g_{ba}^{S}}`$**   
-       
-     et la métrique *$`\mathbf{g_{ab}^{AS}}`$* est *anti-symétrique* (AS) :  
-      $`\mathbf{g_{ab}^{AS}+g_{ba}^{AS}}`$
-      $`=\left(\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}\right)+\left(\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}\right)`$   
-      $`\hspace{0,8 cm}=\require{cancel}\color{brown}{
-      \xcancel{
-      \dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}
-      }}+
-      \color{blue}{
-      \xcancel{
-      \dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}
-      }}`$*$`\mathbf{=0}`$*   
-      
-      **$`\Longrightarrow\mathbf{g_{ab}^{AS} = -\,g_{ba}^{AS}}`$**   
+* Nous ne considérons que des *variétés sans torsion*, donc telles que :     **$`\mathbf{\large\Gamma_{ab}^{\,c}=\Gamma_{ba}^{\,c}}`$**
 
-    * Toute métrique non symétrique (NS) $`\mathbf{g_{ab}^{NS}}`$ *égale la somme de  sa composante symétrique $`\mathbf{g_{ab}^{S}}`$ et de sa composante anti-symétrique  $`\mathbf{g_{ab}^{AS}}`$* :   
-**$`\mathbf{g_{ab}^{S}+g_{ab}^{AS}}`$**$`\;=\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}+\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}+\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}`$   
-$`\hspace{1,6 cm}=\require{cancel}\color{brown}{\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}}\color{blue}{+\xcancel{\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}}}\color{brown}{+\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}}\color{blue}{-\xcancel{\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}}}`$    
-**$`\mathbf{\hspace{1,6 cm}=g_{ab}^{NS}}`$**    
+------------------
 
-   * La métrique associée à un système de coordonnées détermine en chaque point $`M`$ l'invariant élémentaire $`ds`$ : 
-   $`ds^2_M=g_{ab\,M}\,dx^a\,dx^b`$.   
-   Or seule la composante symétrique de la métrique contribue à déterminer $`ds`$, la composante anti-symétrique n'y participe pas :   
-   $`ds^2_M=g_{ab\,M}\,dx^a\,dx^b = `$. 
+Ici, calcul d'un coefficient de connexion particulier en relation directe avec la figure. Refaire les figures.
    
-   
-   * Par choix, *toute métrique considérée sera symétrique* :         
-   *$`\Longrightarrow\mathbf{\;g_{ab}=g_{ba}}`$*,
-
-
-
-
-<br>
 Calculons d'abord les coefficients $`\dfrac{\partial \,g_{ab}}{\partial x^c}`$ dans le cadre d'une variété de dimension 2 : 
 
 * **$`\mathbf{\dfrac{\partial \,g_{11}}{\partial x^2}}`$**$`\;=\dfrac{\partial \left(\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_1}\right)}{\partial x^2}`$   
@@ -474,10 +525,84 @@ $`\hspace{0,8 cm}=
 $`\left.\;+\;\Gamma_{12}^{\;2}\;\overrightarrow{e_2}\cdot\overrightarrow{e_1}\right)`$    
 <br>
 **$`\mathbf{\hspace{0,8 cm}=
+2 \left(\Gamma_{12}^{\;1}\;g_{11}\;+\;\Gamma_{12}^{\;2}\;g_{21}\right)}`$**
+
+* **$`\mathbf{\dfrac{\partial \,g_{22}}{\partial x^1}}`$**$`\;=\dfrac{\partial \left(\overrightarrow{e_2}\cdot\overrightarrow{e_2}\right)}{\partial x^1}`$   
+<br>
+$`\hspace{0,8 cm}=2\times\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}}{\partial x^1}\right|_{\mathscr{P}}\cdot\overrightarrow{e_2}`$   
+<br>
+$`\hspace{0,8 cm}=
+2\times \left(\Gamma_{21}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}+\Gamma_{21}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}\right)\cdot\overrightarrow{e_2}`$   
+<br>
+$`\hspace{0,8 cm}=
 2 \times
-\left(\Gamma_{12}^{\;1}\;g_{11}\;+\;\Gamma_{12}^{\;2}\;g_{21}\right)}`$**
+\left(\Gamma_{21}^{\;1}\;\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}\right.`$
+$`\left.\;+\;\Gamma_{21}^{\;2}\;\overrightarrow{e_2}\cdot\overrightarrow{e_2}\right)`$    
+<br>
+**$`\mathbf{\hspace{0,8 cm}=
+2 \left(\Gamma_{21}^{\;1}\;g_{12}\;+\;\Gamma_{21}^{\;2}\;g_{22}\right)}`$**
+
+---------
+Ici, calcul d'un coefficient de connexion particulier en relation directe avec la figure. Refaire les figures.
+<br>
+
+**$`\mathbf{g^{11}\,\dfrac{\partial \,g_{11}}{\partial x^2}+g^{12}\,\dfrac{\partial \,g_{22}}{\partial x^1}}`$**   
+$`\begin{align*}\hspace{1,0 cm} &\;\\
+&=\quad g^{11}\times 2 \left(\Gamma_{12}^{\;1}\;g_{11}+\;\Gamma_{12}^{\;2}\;g_{21}\right) \\
+&\quad +g^{12}\times 2 \left(\Gamma_{21}^{\;1}\;g_{12}+\;\Gamma_{21}^{\;2}\;g_{22}\right)
+\end{align*}`$
+
+Utilisons les égalités *$`\mathbf{\Gamma_{21}^{\;1}=\Gamma_{12}^{\;1}}`$*
+et $`\Gamma_{21}^{\;2}=`\Gamma_{12}^{\;2}`$,   
+$`\begin{align*}\hspace{1,0 cm} &\;\\
+&=\quad g^{11}\times 2 \left(\Gamma_{12}^{\;1}\;g_{11}\;+\;\Gamma_{12}^{\;2}\;g_{21}\right) \\
+&\quad +g^{12}\times 2 \,\left(\mathbf{\color{blue}{\Gamma_{12}^{\;1}}}\;g_{12}\;+\;\mathbf{\color{blue}{\Gamma_{12}^{\;2}}}\;g_{22}\right)
+\end{align*}`$
+
+Regroupons les termes de façon différente,    
+$`\begin{align*}\hspace{1,0 cm} &\;\\
+&=\quad 2 \,\Gamma_{12}^{\;1}\left(\mathbf{\color{blue}{g^{11} g_{11}+g^{12} g_{21}}}\right) \\
+&\quad +2 \,\Gamma_{12}^{\;2}\left(\mathbf{\color{blue}{g^{11} g_{12}+g^{12} g_{22}}}\right)
+\end{align*}`$
+
+Réécrivons *avec le signe somme*, pour cette variété de dimension $`n=2`$,    
+$`\displaystyle
+\hspace{1,0 cm}=\left( 2\,\Gamma_{12}^{\;1}\color{blue}{\sum_{a=1}^{n} \mathbf{g^{1a} g_{a1}}}\right) +\left(2\,\Gamma_{12}^{\;2}\color{blue}{\sum_{a=1}^{n} \mathbf{g^{1a} g_{a2}}}\right)`$
+
+puis en *notation d'Einstein*,        
+$`\hspace{1,0 cm}= 2 \,\Gamma_{12}^{\;1}\, \mathbf{\color{blue}{g^{1a} g_{a1}}} + 2 \,\Gamma_{12}^{\;2}\, \mathbf{\color{blue}{g^{1a} g_{a2}}}`$
+
+La *propriété $`\mathbf{g^{ba}\,g_{ac}=\delta^b_c}`$* de toute métrique exprimée en notation d'Einstein simplifie l'expression :   
+*$`g^{11}\,\dfrac{\partial \,g_{11}}{\partial x^2}+g^{12}\,\dfrac{\partial \,g_{22}}{\partial x^1}`$*
+$`\;=2 \,\Gamma_{12}^{\;1} \,\underbrace{\color{blue}{\mathbf{\delta^1_1}}}_{\color{brown}{\mathbf{=\,1}}} + 2 \,\Gamma_{12}^{\;2} \,\underbrace{\color{blue}{\mathbf{\delta^1_2}}}_{\color{brown}{\mathbf{=\,0}}}`$
+**$`\mathbf{\;=2\,\Gamma_{12}^{\;1}}`$**
+
+Et nous obtenons au final l'expression du coefficient $`\mathbf{\Gamma_{12}^{\;1}}`$ en fonction des coefficients de la métrique et de leurs dérivées partielles :   
+**$`\mathbf{\Gamma_{12}^{\;1}=\dfrac{1}{2}\left(g^{11}\,\dfrac{\partial \,g_{11}}{\partial x^2}+g^{12}\,\dfrac{\partial \,g_{22}}{\partial x^1}\right)}`$** 
+
+@@@@@@@@@@@@@@@@@
+
+
+
+$`\mathbf{\dfrac{\partial \,g_{21\,M}}{\partial x^1}}`$**$`\;=\dfrac{\partial \left(\overrightarrow{e_2}_M\cdot\overrightarrow{e_1}_M\right)}{\partial x^1}`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}_M}{\partial x^1}\right|_{\mathscr{P}_M}\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+$`\;+\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^1}\right|_{\mathscr{P}_M}\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=
+\left(\Gamma_{21}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}_M+\Gamma_{21}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}_M\right)\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+$`\;+\left(\Gamma_{11}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}_M+\Gamma_{11}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}_M\right)\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=
+\Gamma_{21}^{\;1}\;\overrightarrow{e_1}_M\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+$`\;+\;\Gamma_{21}^{\;2}\;\overrightarrow{e_2}_M\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+$`\;+\;\Gamma_{11}^{\;1}\;\overrightarrow{e_1}_M\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+$`\;+\;\Gamma_{11}^{\;2}\;\overrightarrow{e_2}_M\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+
+**$`\mathbf{\hspace{0,8 cm}=
+\Gamma_{21}^{\;1}\;g_{11}\;+\;\Gamma_{21}^{\;2}\;g_{21}}`$
+$`\mathbf{\;+\;\Gamma_{11}^{\;1}\;g_{12}\;+\;\Gamma_{11}^{\;2}\;g_{22}}`$**
 
-à faire ...
 
 @@@@@@@@@@@@@@@@@@
 
@@ -485,7 +610,9 @@ Faire les autres coefficients.
 
 Ici, c'était pour une variété de dimension 2, pour coller à la vision géométrique limité des figures.   
 Il faudra donner l'expression générale des    
-$`\Gamma_{ab}^{\;c}=\dfrac{1}{2}\,g^{ad}\,\left(\dfrac{\partial \,g_{dc}}{\partial x^b}+ \dfrac{\partial \,g_{bd}}{\partial x^c}- \dfrac{\partial \,g_{bc}}{\partial x^d}\right)`$
+$`\Gamma_{ab}^{\;c}=\dfrac{1}{2}\,g^{ad}\,\left(\dfrac{\partial \,g_{dc}}{\partial x^b}+ \dfrac{\partial \,g_{bd}}{\partial x^c}- \dfrac{\partial \,g_{bc}}{\partial x^d}\right)`$   
+...   
+avant ou après l'étude du coeffcient particulier ?
 
 Dans la partie principale, l'idée est de faire l'inverse, donner la démonstration générale puis d'en déduire les expressions dans le cas où la variété est de dimension 2.