@@ -179,47 +179,60 @@ Nous prenons un **élément de courant $`I\cdot\overrightarrow{dl}_P`$ en un poi
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@@ -179,47 +179,60 @@ Nous prenons un **élément de courant $`I\cdot\overrightarrow{dl}_P`$ en un poi
\- dans une première étape, de calculer le champ magnétique $`\overrightarrow{dB_M}`$ créé par $`I\cdot\overrightarrow{dl}_P`$ au point $`M`$.<br>
\- dans une première étape, de calculer le champ magnétique $`\overrightarrow{dB_M}`$ créé par $`I\cdot\overrightarrow{dl}_P`$ au point $`M`$.<br>
\- dans une seconde étape seront intégrés l'ensemble des $`\overrightarrow{dB_M}`$ créés par tous les élement de courant constituant le courant dans le fil, pour conduire au champ mégnétique $`\overrightarrow{B_M}`$ total.
\- dans une seconde étape seront intégrés l'ensemble des $`\overrightarrow{dB_M}`$ créés par tous les élement de courant constituant le courant dans le fil, pour conduire au champ mégnétique $`\overrightarrow{B_M}`$ total.
* Il faut ensuite **choisir le bon repère de l'espace** dans lequel la description mathématique de la situation et les calculs seront simples :<br>
* Il faut ensuite **choisir le bon repère de l'espace** dans lequel la description mathématique de la situation et les calculs seront simples :<br>
* Un **fil rectiligne infini** est *invariant par rotation d'angle $`\varphi`$* quelconque et *par translation $`z`$* quelconque, si nous choissisons un **repère cylindrique $`(O, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ dont l'axe $`Oz`$ est l'axe du fil**, comme repère de l'espace.
* Un **fil rectiligne infini** est *invariant par rotation d'angle $`\varphi`$* quelconque et *par translation $`z`$* quelconque, si nous choissisons un **repère cylindrique $`(O, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ dont l'axe $`Oz`$ est l'axe du fil**, comme repère de l'espace.
* Nous choisirons de positionner l'**origine $`O`$** du repère au *point de projection orthogonale du point $`M`$ sur le fil*. Ainsi le point $`M`$ de coordonnées cylindriques $`(\rho, \varphi, z)`$ est suité à la distance $`\rho_M`$ du fil.
* Nous choisirons de positionner l'**origine $`O`$** du repère au *point de projection orthogonale du point $`M`$ sur le fil*. Ainsi le point $`M`$ de coordonnées cylindriques $`\rho; \varphi, z)`$ est suité à la distance $`z`$ du fil.
* L'avantage de cette position de l'origine $`O`$ est que **les trois points $`(P, O, M)`$** forment un **triangle rectangle** en $`O`$.<br>
* L'avantage de cette position de l'origine $`O`$ est que **les trois points $`(P, O, M)`$** forment un **triangle rectangle** en $`O`$.<br>
Ainsi *les distances $`z`$, $`\rho`$ et $`d=||\,\overrightarrow{PM}\,||`$* qui interviendront dans le calcul de $`\overrightarrow{dB_M}`$, sont aussi les longueurs d'arête de ce triangle rectangle. Elles vérifient **$`d^2=\rho^2+z^2`$** et les **relations trigonométriques simples d'un triangle rectangle**.
Ainsi *les distances $`z`$, $`\rho`$ et $`d=||\,\overrightarrow{PM}\,||`$* qui interviendront dans le calcul de $`\overrightarrow{dB_M}`$, sont aussi les longueurs d'arête de ce triangle rectangle vérifient **$`d^2=\rho^2+z^2`$** et les **relations trigonométriques simples d'un triangle rectangle**.
* L'élément de courant $`I\cdot\overrightarrow{dl_P}`$ et un point $`M`$ définissent un plan $`\mathcal{P}`$. Le produit vectoriel $`I\cdot\overrightarrow{dl_P}\wedge\overrightarrow{PM}`$ est un vecteur perpendiculaire à ce plan. La **règle d'orientation de l'espace de la main droite***permet de connaître le sens du champ magnétique*.<br>
L'élément de courant $`I\cdot\overrightarrow{dl_P}`$ et un point $`M`$ définissent un plan $`\mathcal{P}`$. Le produit vectoriel $`I\cdot\overrightarrow{dl_P}\wedge\overrightarrow{PM}`$ est un vecteur perpendiculaire à ce plan. La **règle d'orientation de l'espace de la main droite***permet de connaître le sens du champ magnétique*.
<br>Dans le cas d'un courant filaire rectiligne, tous les éléments de courant constitutifs sont situés dans le même plan $`\mathcal{P}`$ et conduiront à des champs magnétiques élémentaires qui pointeront dans une même direction et un même sens. Ainsi en chaque point de l'espace, l'orientation et le sens du champ magnétique total peuvent être connus.<br>
<br>Bien sûr, cette remarque n'est pas nécessaire, les calculs directs redonneront ce résultats, mais cette remarque *permet de vérifier la véracité du calcul* sur ce point.
! Dans le cas d'un courant filaire rectiligne, tous les éléments de courant constitutifs et le point $`M`$ sont situés dans un même plan $`\mathcal{P}`$. Ils conduiront en ce point $`M`$ à des champs magnétiques élémentaires qui pointeronts dans une même direction et un même sens. Ainsi en chaque point de l'espace, l'orientation et le sens du champ magnétique total peut être connu.
! Bien sûr, cette remarque n'est pas nécessaire, les calculs directs redonneront ce résultats, mais cette remarque *permet de vérifier la véracité du calcul* sur ce point.
* Il faut maintenant **paramétrer le problème**, introduire les *grandeurs physiques intermédiaires utiles* à notre perception du problème. Ainsi nous portons sur la figure :
* Il faut maintenant **paramétrer le problème**, introduire les *grandeurs physiques intermédiaires utiles* à notre perception du problème. Ainsi nous portons sur la figure :
<br>**$`\mathbf{\overrightarrow{dH}_M=\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{dz}{d^2}\cdot\cos\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}}\quad`$**, soit **$`\quad\mathbf{\overrightarrow{dB}_M=\dfrac{\mu_0\;I}{4\pi}\cdot\dfrac{dz}{d^2}\cdot\cos\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
* Dans cette étude, lorsque l'élément de courant se déplace le long du fil, les trois variables **$`z`$, $`d`$ et $`\alpha`$ varient de façon non indépendantes**, elles sont liés. Il faut donc **choisir l'une d'elle comme variable d'intégration**. Nous avons la *liberté de choix*, il en résultera simplement des calculs plus ou moins difficiles, un résultat d'écriture plus ou moins smple, un éclairage particulier sur l'interprétation finale. Pour montrer cela, nous choisirons successivement $`z`$, puis $`\alpha`$.
* Dans cette étude, lorsque l'élément de courant se déplace le long du fil, les trois variables **$`z`$, $`d`$ et $`\alpha`$ varient de façon non indépendantes**, elles sont liés. Il faut donc **choisir l'une d'elle comme variable d'intégration**. Nous avons la *liberté de choix*, il en résultera simplement des calculs plus ou moins difficiles, un résultat d'écriture plus ou moins smple, un éclairage particulier sur l'interprétation finale. Pour montrer cela, nous choisirons successivement $`z`$, puis $`\alpha`$.
*_Choix de $`z`$ comme variable d'intégration_*
à faire
_*Choix de $`\alpha`$ comme variable d'intégration*_
_*Choix de $`\alpha`$ comme variable d'intégration*_
...
@@ -243,6 +259,8 @@ _*Choix de $`\alpha`$ comme variable d'intégration*_
...
@@ -243,6 +259,8 @@ _*Choix de $`\alpha`$ comme variable d'intégration*_
* Il faut exprimer $`dz`$ et $`d`$ en fonction de $`\alpha`$. Le triangle $`(P,O,M)`$ étant rectangle en $`O`$, nous avons :
* Il faut exprimer $`dz`$ et $`d`$ en fonction de $`\alpha`$. Le triangle $`(P,O,M)`$ étant rectangle en $`O`$, nous avons :
* Le fil étant rectiligne, il s'inscrit dans un plan $`\mathcal{P}`$ contenant le fil lui-même est le point $`M`$. Dès lors, un observateur au point $`M`$ peut quantifier par un angle $`\hat{A}`$ le champ sous lequel il voit le fil.<br>
* Le fil étant rectiligne, il s'inscrit dans un plan $`\mathcal{P}`$ contenant le fil lui-même est le point $`M`$. Dès lors, un observateur au point $`M`$ peut quantifier par un angle $`\hat{A}`$ le champ sous lequel il voit le fil.<br>
<br>Un fil infini vu depuis tout point $`M`$ est vu sous un angle $`\hat{A}=\pi`$ qui correspond aux valeurs limites $`\alpha_1=-\dfrac{\pi}{2}`$ et $`\alpha_2=+\dfrac{\pi}{2}`$. Il est nécessaire ici de considérer l'angle $`\alpha`$ en valeur algébrique. Tout élément de courant $`I\cdot dz_P`$ du fil est observé dans une direction du plan $`\mathcal{P}`$ caractérisée par son angle $`\alpha_P\in\, \left]-\dfrac{\pi}{2},+\dfrac{\pi}{2}\right[`$.
<br>Un fil infini vu depuis tout point $`M`$ est vu sous un angle $`\hat{A}=2\pi`$ qui correspond aux valeurs limites $`\alpha_1=-\dfrac{\pi}{2}`$ et $`\alpha_2=+\dfrac{\pi}{2}`$. Il est nécessaire ici de considérer l'angle $`\alpha`$ en valeur algébrique. Tout élément de courant $`I\cdot dz_P`$ du fil est observé dans une direction du plan $`\mathcal{P}`$ caractérisée par son angle $`\alpha_P\in\, ]-\infty\,,+\infty\,[`$
!! *Pour aller plus loin :*<br>
!! *Pour aller plus loin :*<br>
!! Il serait facile de calculer le champ magnétique créé par un fil rectiligne d'extrémités C et D parcouru par un courant $`I`$. Si ces extrémités sont observées dans des directions $`\alpha_C`$ et $`\alpha_D`$, le calcul du champ magnétique total serait simplement $`\overrightarrow{H}=\int_{\alpha_C}^{\alpha_D} d\overrightarrow{H}`$ (avec $`\alpha_C<\alpha_D`$).
!! Il serait facile de calculer le champ magnétique créé par un fil rectiligne d'extrémités C et D parcouru par un courant $`I`$. Si ces extrémités sont observées dans des directions $`\alpha_C`$ et $`\alpha_D`$, le calcul du champ magnétique total serait simplement $`\overrightarrow{H}=\int_{\alpha_C}^{\alpha_D} d\overrightarrow{H}`$ (avec $`\alpha_C<\alpha_D`$).
* Par intégration, l'expression du champ magnétique créé par un fil infini en tout point de l'espace (à l'exception des points situés sur le fil lui-même) est :<br>
* Par intégration, l'expression du champ magnétique créé par un fil infini en tout point de l'espace (à l'exception des points situés sur le fil lui-même) est :<br>
