Update cheatsheet.fr.md

12.temporary_ins/20.magnetostatics-vacuum/40.ampere-theorem-applications/30.cylindrical-current-distributions/10.rectilinear-current/20.ampere-local/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -216,3 +216,136 @@ P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}})\; \text{plan d
 #### Y-a-t'il des lieux où $`\overrightarrow{B}`$ est déjà totalement déterminé par les symétries et invariances ?
 
 à faire
+
+
+#### Quelle expression du rotationnel de  $`\overrightarrow{B}`$ choisir ?
+
+<!--A ADAPTER AU CHAMP MAGNETIQUE-----------
+* L'étude se réalise dans le repère cylindrique  $`(O, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, z)`$
+
+* $`\Longrightarrow`$ nous choisissons l'*expression en coordonnées cylindriques* de du rotationnel  :   
+<br>
+**$`\mathbf{div\overrightarrow{E}=
+\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{\partial\,\rho}
++\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\,E_{\varphi}}{\partial\,\varphi}
++\dfrac{\partial\,E_z}{\partial\,z}}`$**
+--------------------------------------------->
+
+#### Qu'implique la direction de $`\overrightarrow{E}`$ ?
+
+<!--A ADAPTER AU CHAMP MAGNETIQUE-----------
+
+* L'étude des symétries de la distribution de charge implique en tout point de l'espace :    **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+* $`\Longrightarrow`$ les autres composantes de champ *$`\mathbf{E_{\varphi} \text{ et } E_z}`$ sont nulles* en tout point de l'espace :
+<br>
+$`\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}+0\,\overrightarrow{e_{\varphi}}+0\,\overrightarrow{e_z}`$
+  **$` \Longrightarrow\left\{
+\begin{array}{l}
+\mathbf{E_{\varphi}=0} \\
+\mathbf{ E_z=0}
+ \end{array}
+ \right.`$**
+ 
+* Si $`\mathbf{E_{\varphi}=E_z=0}`$ en tout point de l'espace $`\mathscr{E}`$, alors leur valeur nulle ne varie pas d'un point à un autre point voisin par translation élémentaire $`dz`$ ou variation élémentaire d'angle $`d\varphi`$. Donc *les dérivées partiellles de $`\mathbf{E_{\varphi}\text{ et }E_z}`$ par rapport à $`\mathbf{z\text{ et }\varphi}`$ sont nulles*.   
+$`\mathbf{\forall M \in \mathscr{E}\, , E_{\varphi}=E_z=0}`$
+  **$` \Longrightarrow\left\{
+\begin{array}{l}
+\mathbf{\dfrac{\partial E_{\varphi}}{\partial\varphi}=0 \;\;\text{ et } \;\;\dfrac{\partial E_{\varphi}}{\partial z}=0} \\
+\mathbf{\dfrac{\partial E_z}{\partial\varphi}=0 \;\;\text{ et } \;\;\dfrac{\partial E_z}{\partial z}=0}
+ \end{array}
+ \right.`$**
+ 
+* $`\Longrightarrow`$ l'expression de *la divergence de $`\overrightarrow{E}`$ se simplifie* en tout point de l'espace :   
+**$`\mathbf{div\overrightarrow{E}}`$**
+$`\require{\cancel}=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{\partial\,\rho}
++\xcancel{\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\,E_{\varphi}}{\partial\,\varphi}}
++\xcancel{\dfrac{\partial\,E_z}{\partial\,z}}`$
+**$`\mathbf{\quad\quad=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{\partial\,\rho}}`$**
+--------------------------------------------->
+
+#### Qu'impliquent les invariances de  $`\overrightarrow{E}`$ ?
+
+<!--A ADAPTER AU CHAMP MAGNETIQUE-----------
+
+* L'étude des invariances de la distribution de charge implique en tout point de l'espace :   **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(\rho)}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{E_\rho}`$** 
+
+* Dans l'espression $`\dfrac{\partial\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{\partial\,\rho}`$, le terme **$`\rho\,E_{\rho}(\rho)`$** est une **fonction de la seule coordonnée $`\rho`$**. l'opérateur de *dérivée partielle* $`\dfrac{\partial}{\partial\,\rho}`$ peut être *remplacée par* l'opérateur de *dérivée totale* $`\dfrac{d}{d\rho}`$.
+
+* $`\Longrightarrow`$  la divergence de $`\overrightarrow{E}`$ se réécrit :   
+**$`\mathbf{div\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{d\rho}}`$**
+
+--------------------------------------------->
+
+#### Comment remonter à l'expression de $`\overrightarrow{E}`$ ?
+
+<!--A ADAPTER AU CHAMP MAGNETIQUE-----------
+
+* $`div\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{d\rho}`$ permet l'*écriture de la différentiel $`d\left(\rho\,E_{\rho}\right)`$* de la fonction $`\rho\,E_{\rho}`$ sous la forme :   
+<br>
+**$`\mathbf{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)=\rho\,div\overrightarrow{E}\cdot d\rho}`$**
+
+* L'*intégration de $`d\left(\rho\,E_{\rho}\right)`$ entre $`\rho=0`$ et $`\rho_M`$*, $`M=M(\rho_M\,,\varphi_M\,, z_M)`$ étant un point quelconque de l'espace donne :   
+<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)=\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)-0\times E_{\rho}(0)}`$**
+
+* **par raisons de symétries**, *$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ est nul sur l'axe $`\mathbf{Oz}`$*,     
+$`\overrightarrow{E}(\rho=0) = \overrightarrow{0} \Longrightarrow 0 \times E_{\rho}(0)=0`$,    
+(il suffisait de montrer que le champ garde une valeur finie en $`\rho=0`$)  
+<br>
+$`\quad\Longrightarrow`$ **$`\displaystyle\mathbf{\rho_M\,E_{\rho}=\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}`$**
+
+* Nous obtenons alors, *en tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,,\varphi_M\,, z_M)}`$*,    
+<br>
+**$`\left\{\begin{array}{l}
+\mathbf{\rho_M=0\Longrightarrow \overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}} \\
+\mathbf{\displaystyle\rho_M\gt 0 \Longrightarrow \overrightarrow{E}=\dfrac{1}{\rho_M}\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}}
+\end{array}\right.`$**
+
+--------------------------------------------->
+
+#### Comment faire le lien avec la distribution de charges puis en déduire $`\overrightarrow{E}`$ ?
+
+<!--A ADAPTER AU CHAMP MAGNETIQUE-----------
+
+<br>
+
+<!--A ADAPTER AU CHAMP MAGNETIQUE-----------
+---------------------
+
+#### **1 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en volume
+
+##### Description de $`\dens`$ :
+
+
+<br>
+
+---------------------
+
+#### **2 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé non uniformément en volume
+
+##### Description de $`\dens`$ :
+
+* Prenons l'**exemple** de la distribution :
+
+**$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
+&= \\
+&= \\
+&= 0
+\end{array}\right.`$**   
+
+
+<br>
+
+---------------------
+
+#### **3 -** Cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ 
+
+<br>
+
+---------------------
+
+#### **4 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en surface
+
+--------------------------------------------->
+