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12.temporary_ins/90.electromagnetism-in-vacuum/10.maxwell-equations/20.overview/cheatsheet.en.md

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-title: The Maxwell's equations
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+title: Équations de Maxwell , fondement de l'électromagnétisme
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+routable: true
 visible: false
+lessons:
+    - slug: maxwell-equations
+      name: LINÉAIRE - les équations de Maxwell
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+    - 
+       slug: electromagnetic-waves-propagation-from-vacuum-to-isotropic-media
+       name: PARALLÈLE : Propagation des ondes EM, du vide aux milieux matériels isotropes
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+    -
+        slug: maxwell-equations-in-EM-learning-pattern
+        name: SITUATION : Les équations de Maxwell dans l'électromagnétisme
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+    -   
+        slug: combinaison-operators-for-electromagnetism
+        name: OUTIL-MATH : Combinaison d'opérateurs pour l'électromagnétisme
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-<!--
-lessons:
-    - slug: 
-      order: 
--->      
 
-!!!! *LESSON  UNDER  CONSTRUCTION :* <br>
-!!!! Published but invisible: does not appear in the tree structure of the m3p2.com site. This course is *under construction*, it is *not approved by the pedagogical team* at this stage. <br>
-!!!! Working document intended only for the pedagogical team.
+<!--MétaDonnée : ... -->
+
+<!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
+$`\def\speed{\mathscr{v}}`$
+$`\def\dens{\large{\varrho}\normalsize}`$
+$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
+$`\def\soiint{\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
+$`\def\Ltau{\large{\tau}\normalsize}`$
+$`\def\Sopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$
+$`\def\Sclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
+$`\def\Ssclosed{\mathscr{S}_{\scriptsize\bigcirc}}`$
+$`\def\PSopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$
+$`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
+
+!!!!  <details>
+!!!! <summary> Cours en construction, non validé à ce stade </summary>  
+!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.   
+!!!!  Ce cours est en phase très préliminaire, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.   
+!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
+!!!! </details>
+
+Attention !!! En période très préliminaire d'élaboration et de construction !
+
+##### Randonnée montagne :&nbsp; _physique_
+
+---------------------------
+
+### Les équations de Maxwell
+
+<br>
+
+RÉSUMÉ
+: ---
+
+  *Domaine de validité* :
+  
+  Très général. Dans le vide, et même dans la matière si l'échelle d'observation n'est pas mésoscopique,
+  mais atomique.   
+  Attention toutefois, une description plus exacte de la matière à l'échelle atomique 
+  requiert l'utilisation de la physique quantique.
+   
+   _Attention : Les expressions ci-dessous ne sont valables que dans le système international d'unité $`SI`$, anciennement $`MKS`$._
+   
+   ---
+   
+  *Forme locale des équations de Maxwell*
+  
+  * En tout point de l'espace et à tout instant :   
+  <br>
+  $`\left\{\begin{array}{l}
+  div \overrightarrow{E} = \dfrac{\dens}{\epsilon_0}\quad \small{(Maxwell-Gauss)}\\
+  div \overrightarrow{B} = 0\quad \small{(Maxwell-flux)}\\
+  \overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\quad\small{(Maxwell-Faraday)}\\
+  \overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\quad\small{(Maxwell-Ampère)}
+  \end{array}\right.`$  
+    <br>
+   avec $`\dens`$ densité volumique de charge   
+   &nbsp;&nbsp; et $`\overrightarrow{j}`$ vecteur densité volumique de courant.
+   
+   * $`\Longrightarrow`$ la conservation de la charge :   
+     $`div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}=0`$
+
+   * $`\Longrightarrow`$ la propagation dans le vide   
+     de l'onde électromagnétique (EM), partie variable du champ électromagnétique :     
+     <br>
+     $`\left\{\begin{array}{l}
+     \Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}\\  
+     \Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}
+     \end{array}\right.`$    
+     <br>
+     à la célérité $`c=299 792 458 m\,s^{-1}\approx 3\times 10^8 m\,s^{-1}`$,   
+     constante fundamentale de la nature.   
+ 
+   * $`\Longrightarrow`$ le champ EM contient de l'énergie,   
+     en densité volumique :   
+     $`\small{\dens}`$$`\; = \dfrac{\epsilon_0\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{E}}{2}+\dfrac{\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{B}}{2\mu_0}`$
+
+   * $`\Longrightarrow`$ tout $`\overrightarrow{dS}`$ reçoit la puissance EM :
+     $`d\mathcal{\overrightarrow{\Pi}}_{EM}=\overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}`$   
+     avec $`\overrightarrow{\Pi}=\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}`$ vecteur de Poynting.
+
+   * $`\Longrightarrow`$ le champ EM cède de l'énergie à la matière par effet Joule :  
+     $`\mathcal{P}_{cédée} = \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$   
+     
+   * $`\Longrightarrow`$ toute particule chargée accélérée génère une onde électromagnétique.   
+
+<br>
+
+#### Quel fut le travail de Maxwell ?
+
+* *Jusqu'au milieu du XIVème siècle*, **électricité, magnétisme et optique** étaient étudiés dans des *domaines scientifiques distincts*. 
+
+* Cependant l'*observation de phénomènes naturels et d'expériences de laboratoire* montrèrent une
+**interaction incomprise entre électricité, magnétisme,** voire **optique**.
+    * naturel : la foudre peu charger des objets métalliques, aimante le fer, créé un éclair.
+    * expériences :   
+      \- un courant dévie l'aiguille d'une boussole.   
+      \- le déplacement d'un aimant créé un courant.
+
+* Bon mathématicien, **Maxwell** fait *synthèse des résultats expérimentaux* de son époque
+qui se résume en 4 équations, les *équations de Maxwell*.
+
+* Ces 4 équations **unifient électricité, magnétisme et optique** au sein de l'électromagnétisme,   
+  et élargissent l'optique à un *monde nouveau : les ondes électromagnétiques*.
+
+![](Maxwell-equation-fr.png)
+_Maxwell modifie deux des équations de l'électrostatique et de la magnétostatique en
+introduisant des termes de couplage entre E et B,
+et révolutionne ainsi la physique._
+
+#### Pourquoi disons-nous "équations" et pas "théorèmes" de Maxwell ?
+
+* Les **4 équations de Maxwell** *ne sont pas démontrées*, donc elles ne constituent pas des théorèmes.
+* Elles sont *posées et supposées vraies*, ce **sont des postulats**.
+
+
+<!-----------------
+#### Pourquoi ces équations fondent l'électromagnétisme ?
+
+#### Quel est le domaine de validité de ces équations ?
+------------------>
+
+<br> 
+
+------------
+
+<br>
+
+#### Que sont ces 4 équations de Maxwell ?
+
+##### Sous forme locale 
+_(fondamental, connaître)_
+
+* Deux **expressions de la divergence** des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ *inchangées par rapport au cas stationnaire* (électrostatique et magnétostatique) :
+
+   * **$`\large{\mathbf{div \overrightarrow{E} = \dfrac{\dens}{\epsilon_0}}}`$** &nbsp;&nbsp;&nbsp;(éq. *Maxwell-Gauss*).
+
+   * ** $`\large{\mathbf{div \overrightarrow{B} = 0}}`$** &nbsp;&nbsp;&nbsp;(éq. *Maxwell-flux*).
+
+
+* Deux **expressions du rotationnel** des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ qui *changent et couplent les champs $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ et $`\mathbf{\overrightarrow{B}}`$* :
+
+   * **$`\large{\mathbf{\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}}}`$**   
+   &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(éq. *Maxwell-Faraday*).
+
+   * **$`\large{\mathbf{\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}}}`$**   
+   &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(éq. *Maxwell-Ampère*).
+
+* où :
+   * $`\dens=\dens^{3D}`$ est la densité volumique de charge. 
+   * $`\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}^{3D}`$ est le vecteur densité volumique de courant. 
+
+------------------
+
+* Et ces équations *réécrites avec l'opérateur nabla : $`\mathbf{\nabla}`$ *
+
+   * **$`\mathbf{\nabla\cdot\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens}{\epsilon_0}}`$**
+
+   * **$`\mathbf{\nabla\cdot\overrightarrow{B}=0}`$**
+
+   * **$`\mathbf{\nabla\land\overrightarrow{E}= -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}}`$**
+
+   * **$`\mathbf{\nabla\land\overrightarrow{B}= \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}}`$**
+
+
+------------------
+
+
+##### Sous forme intégrale
+_(savoir redémontrer)_
+
+
+* Elles **se déduisent des équations locales**, avec l'aide :
+   * du *théorème d'Ostrograsky* :   
+   $`\forall \overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})`$ : 
+   *$`\displaystyle\iiint_{\Ltau} div\;\overrightarrow{X} \cdot d\tau = \displaystyle 
+\oiint_{S\leftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$*
+   * du *théorème de Stokes* :   
+   $`\forall \overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})`$ : 
+   *$`\displaystyle\iint_{S} \;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot dS 
+= \displaystyle \oint_{\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dl}`$*.
+
+* **Maxwell-Gauss** :   
+     
+  À tout instant t, et pour tout volume $`\tau`$ :
+
+   * $`\forall \overrightarrow{r}, div \overrightarrow{E} = \dfrac{\dens}{\epsilon_0}`$
+  $`\Longrightarrow \iiint_{\Ltau} div \overrightarrow{E}\,d\tau = \iiint_{\Ltau}\dfrac{\dens}{\epsilon_0}\,d\tau`$   
+
+   * $`\left.\begin{array}{l}
+\iiint_{\Ltau} div \overrightarrow{E}\,d\tau = \iiint_{\Ltau}\dfrac{\dens}{\epsilon_0}\,d\tau \\
+\iiint_{\Ltau} div\;\overrightarrow{E} \cdot d\tau = \displaystyle 
+\soiint_{S\leftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}
+\end{array}\right\}`$
+$`\Longrightarrow`$
+**$`\mathbf{\displaystyle \quad\oiint_{S\leftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}
+= \dfrac{1}{\epsilon_0} \cdot \iiint_{\Ltau} \rho \cdot d\tau = \dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}}`$**
+
+------------
+
+* **Maxwell-flux** :
+
+     
+  À tout instant t, et pour tout volume $`\tau`$ :
+  
+     * $`\forall \overrightarrow{r}, div \overrightarrow{B} = 0`$
+  $`\Longrightarrow \iiint_{\Ltau} div \overrightarrow{B}\,d\tau = 0`$   
+
+   * $`\left.\begin{array}{l}
+\iiint_{\Ltau} div \overrightarrow{B}\,d\tau = 0 \\
+\iiint_{\Ltau} div\;\overrightarrow{B} \cdot d\tau = \displaystyle 
+\soiint_{S\leftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}
+\end{array}\right\}`$
+$`\Longrightarrow`$
+**$`\mathbf{\displaystyle \quad\oiint_{S\leftrightarrow\Ltau} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}= 0}`$**
+
+-----------------
+
+* **Maxwell-Faraday** :
+
+     
+  À tout instant t,   
+  et pour toute surface $`S`$ ouverte et orientée, fixe et indéformable, qui s'appuie sur un contour $`\Gamma`$ 
+  d'orientation compatible avec celle de $`S`$ selon la règle de la main droite :
+
+   * $`\forall \overrightarrow{r}, \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}`$
+  $`\Longrightarrow \iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(-\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot\overrightarrow{dS}\Big)`$  
+<br>   
+
+   * $`\left.\begin{array}{l}
+\iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(-\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot\overrightarrow{dS}\Big) \\
+\text{Newton : espace et temps indépendants,} \\
+\text{ordre dérivation/intégration n'importe pas}
+\end{array}\right\}`$
+$`\Longrightarrow`$
+$`\iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = -\dfrac{d}{dt}\Big(\iint_S\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}\Big)`$   
+<br>   
+
+   * $`\left.\begin{array}{l}
+\iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} = -\dfrac{d}{dt}\Big(\iint_S\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}\Big) \\
+\iint_{S} \;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E} \cdot dS = \oint_{\,\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}
+\end{array}\right\}`$
+$`\Longrightarrow`$
+**$`\begin{array}{l}
+  &nbsp; \\
+ \mathbf{\displaystyle\quad\oint_{\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}= -\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}}
+\end{array}`$**   
+<br>   
+   *  Cette équation joue un *rôle important pour les phénomènes d'induction*.    
+      _La quantité_ $`\oint_{\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}`$ 
+      _d'appelation historique imparfaite "force électromotrice (fem)", homogène à une tension, est à l'origine d'un courant_
+      _électrique traversant le contour $`\Gamma`$ si celui-ci représente un circuit conducteur._
+     
+
+---------------
+
+* **Maxwell-Ampère** :
+
+  À tout instant t,   
+  et pour toute surface $`S`$ ouverte et orientée, fixe et indéformable, qui s'appuie sur un contour $`\Gamma`$ 
+  d'orientation compatible avec celle de $`S`$ selon la règle de la main droite :
+<br>
+
+$`\forall \overrightarrow{r}, \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}`$
+  $`\Longrightarrow`$$` \iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(\mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)\cdot\overrightarrow{dS}`$  
+<br>
+   
+$`\left.\begin{array}{l}
+\iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS} = \iint_S\Big(\mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)\cdot\overrightarrow{dS} \\
+\text{Newton : espace et temps indépendants},\\
+\text{ordre dérivation/intégration n'importe pas}
+\end{array}\right\}`$
+$`\Longrightarrow`$
+$`\iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS}`$$`\; = \mu_0\iint_S \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS} +
+ \mu_0 \epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$   
+<br>
+   
+$`\left.\begin{array}{l}
+\iint_S \overrightarrow{rot} \,\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dS} = \mu_0\iint_S \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS} +
+ \mu_0 \epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS} \\
+\iint_{S} \;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{B} \cdot dS = \oint_{\,\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}
+\end{array}\right\}`$
+$`\Longrightarrow`$
+
+**$`&nbsp;\mathbf{\displaystyle\;\,\oint_{\,\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}}`$
+$`\;\mathbf{\displaystyle= \mu_0\iint_S \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS} +\mu_0 \epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**
+
+<br> 
+
+------------
+
+<br>
+
+#### Pourquoi parlons-nous de champ électromagnétique ?
+
+* Les 2 équations de couplage de $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ impliquent 
+que **variables, $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ ne peuvent exister l'un sans l'autre**.
+
+* Le terme *$`\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\ne 0`$ implique $`\overrightarrow{E}\ne \overrightarrow{0}`$*
+* Le terme *$`\dfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\ne 0`$ implique $`\overrightarrow{B}\ne \overrightarrow{0}`$*
+ 
+<br> 
+
+------------
+
+<br>
+
+#### Que disent les équations de Maxwell sur la conservation de la charge ?
+
+##### Loi de conservation de la charge électrique
+
+* Dans la matière, les **charges électriques** sont portées par les *électrons* et
+les *protons* des noyaux atomiques. *En physique classique*, ces particules existent, 
+et elles **ne peuvent ni surgir du vide, ni disparaître**.
+
+* Ainsi le **principe de conservation de la charge** électrique peut se résumer en une phrase :   
+<br>
+! *Dans tout volume de l'espace et pendant une durée donnée, la charge électrique*
+! *qui entre dans ce volume moins la charge électrique*
+! *qui en sort est égale à la variation de la charge dans le volume.* 
+<br>
+Cela se traduit en *écriture mathématique* par l'**expression intégrale**:   
+<br>
+Pour toute surface fermée $`S`$ délimitant un volume macroscopique $`\Ltau`$,   
+<br>
+**$`\mathbf{\oiint_{S\leftrightarrow\Ltau}\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS}+\iiint_{\Ltau}\dfrac{\partial\dens}{\partial t}\cdot d\tau=0}`$**   
+<br>
+qui s"énonce :   
+<br>
+! *Le flux du vecteur densité de courant volumique à travers une surface fermée,*
+! *est égal à la dérivée temporelle de la charge totale contenue à l'intérieur de cette surface fermée.*
+
+![](charge-conservation-law-L1200.jpg)
+
+* Cette égalité étant vérifiée quelque-soit le volume d'intégration, c'est que 
+  l'égalité porte sur les intégrandes eux-mêmes.   
+  $`\Longrightarrow`$ la loi de conservation a aussi une **expression locale**, valide en tout point de l'espace, qui s'écrit :   
+<br>
+**$`\mathbf{div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}=0}`$**   
+
+<br><br>
+
+![](charge-conservation-1-L1200.jpg)
+
+<br>
+
+##### Etude des équation de Maxwell
+
+* **Partons de** la combinaison d'opérateurs remarquable, valable pour tout champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$,
+   qui s'énonce     
+  *" La divergence du rotationnel d'un champ vectoriel est toujours nulle. "* :    
+  <br>
+  $`\forall \overrightarrow{X}\big(\overrightarrow{r},t\big)\;,`$*$`\quad \mathbf{div\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{X}\big)=0}`$*.   
+  <br>
+  et appliquons là au champ d'induction magnétique  $`\overrightarrow{B}`$ :    
+  <br>
+  **$`\mathbf{div\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}\big)=0}`$**.
+
+* La *loi de Maxwell-Ampère*   
+  *$`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}=\mu_0\,\overrightarrow{j} + \mu_0\epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}`$*   
+  permet d'écrire :     
+  <br>
+  **$`\mathbf{div\Big(\mu_0\,\overrightarrow{j} + \mu_0\epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)=0}`$**
+
+* En divisant les termes de droite et de gauche par $`\mu_0`$, l'équation se simplifie :   
+  <br>
+  $`div\Big(\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)=0`$
+
+* L'équation contient déjà $`\overrightarrow{j}`$, je cherche à faire apparaître $`\dens`$.   
+  Pour cela, je cherche à faire apparaître $`div\,\overrightarrow{j}`$ pour ensuite utiliser la loi de maxwell-Gauss.   
+  <br>
+  $`div\,\overrightarrow{j} + div\Big(\epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)=0`$
+
+<!--------------------
+L'espace et le temps étant découplés en physique classique, l'ordre de différentiation
+et intégration n'importe pas si elles s'appliquent l'une à des coordonnées spatiales
+et l'autre au temps. Ainsi :
+
+$`div\,\overrightarrow{j} +
+\dfrac{\partial}{\partial t}\Big(\epsilon_0\, div\,\overrightarrow{E}\Big)=0`$
+
+ce qui permet d'écrire,
+
+$`div\,\overrightarrow{j} + \dfrac{\partial\dens}{\partial t}=0`$
+
+Je reconnais là la loi de conservation de la charge.
+----------------------->
+
+* Dans le cadre de la *physique classique, espace et temps sont indépendants*, 
+l'ordre de dérivation par une variable spatiale et une variable temporelle n'importe pas :   
+<br>
+*$`\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right) =\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)`$*    
+    * L'opérateur divergence n'est constitué que de dérivées partielles de variables d'espace.
+    * $`\dfrac{\partial}{\partial t}`$ est une dérivée partielle de la variable temps.
+
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;*$`\Longrightarrow\quad div\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)= \dfrac{\partial}{\partial t}\left(div\right)`$*.   
+
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Nous obtenons :   
+
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;**$`\mathbf{div\,\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial}{\partial t}\left(div\,\overrightarrow{E}\right)=0}`$**
+
+
+* En utilisant la *loi de Maxwell-Gauss $`div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens}{\epsilon_0}`$*   
+  <br>
+nous obtenons l'**équation de conservation locale de la charge** électrique en régime variable (donc toujours vérifiée) :   
+<br>
+**$`\mathbf{div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}=0}`$**
+
+
+! *Les équations de Maxwell contiennent et impliquent la conservation de la charge électrique.*
+
+
+
+<!--Plutôt pour partie principale--------------------
+
+* Il faut faire apparaître les distributions de charge $`\dens^{3D}`$ et de vecteur  densité de courant volumique $`\overrightarrow{j}^{3D}`$.    
+Pour cela nous utilisons la loi de Maxwell-Ampère    
+* $`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}`$   
+<br>
+$`div\big(
+\mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}
+\big)=0`$
+
+* Simplifions en divisant de chaque côté par la constante magnétique $`\mu_0`$ :   
+<br>
+$`div\,\big(
+\;\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}
+\big)=0`$
+
+* Dans le cadre de la physique classique, espace et temps sont indépendants, l'ordre de dérivation par une variable spatiale et une variable temporelle n'importe pas :   
+
+$`\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right) =\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right) `$    
+    * L'opérateur divergence n'est constitué que de dérivées partielles de variables d'espace.
+    * $`\dfrac{\partial}{\partial t}`$ est une dérivée partielle de la variable temps.
+$`\Longrightarrow\quad div\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)= \dfrac{\partial}{\partial t}
+\left(div\right)`$.   
+Nous obtenons :   
+<br>
+$`div\,\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial}{\partial t}
+\left(div\,\overrightarrow{E}\right)=0`$
+
+* En utilisant la loi de Maxwell-Gauss $`div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens^{3D}}{\epsilon_0}`$ nous obtenons l'équation de conservation locale de la charge électrique en régime variable (donc toujours vérifiée) :   
+<br>
+$`div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens^{3D}}{\partial t}=0`$
+--------------------->
+
+* Nous pouvons *intégrer cette égalité locale* sur un volume $`\tau`$ quelconque :   
+<br>
+$`\displaystyle\iiint_{\Ltau} \Big(div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}\big)\,d\tau=0`$   
+<br>
+*$`\displaystyle\iiint_{\Ltau} div\,\overrightarrow{j}\,d\tau+\iiint_{\Ltau}\dfrac{\partial \dens}{\partial t}\,d\tau=0`$*
+
+* Le *théorème d'Ostrogradski* (= théorème *de la divergence*) précise que pour tout champ 
+$`\overrightarrow{U}`$ vectoriel et pour tout volume $`\tau`$,    
+*$`\displaystyle\iiint_{\Ltau} div\,\overrightarrow{U}\,d\Ltau=\oiint_S \overrightarrow{U}\cdot dS`$*,   
+$`S`$ étant la surface fermée que délimite le volume $`\tau`$.   
+<br>
+*Appliqué au premier terme* de l'égalité, nous obtenons :   
+<br>
+**$`\displaystyle\oiint_S \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS} + \iiint_{\Ltau}\dfrac{\partial \dens}{\partial t}\,d\tau=0`$**.  
+
+* En remarquant de nouveau qu'*espace et temps sont indépendants en physique classique*, l'ordre de dérivation ou intégration par une variable spatiale et une variable temporelle n'importe pas :    
+<br>
+**$`\displaystyle\oiint_S \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS} +\dfrac{\partial}{\partial t} \left(\iiint_{\Ltau}\dens \,d\tau\right)=0`$**.    
+
+* En constatant que *$`\displaystyle\iiint_{\Ltau}\dens^{3D} \,d\tau`$ est la charge totale $`Q_{int}`$* 
+contenue dans le volume $`\tau`$, nous obtenons l'**expression intégrale de la loi de conservation** de la. charge :   
+<br>
+**$`\mathbf{\displaystyle\oiint_S \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS} +\dfrac{dQ_{int}}{dt}=0}`$**.    
+
+<br> 
+
+------------
+
+<br>
+
+#### Le champ électromagnétique peut-il céder de l'énergie à la matière ?
+
+##### Puissance cédée à un porteur de charge
+
+* La **sensibilité** d'une particule **à l'interaction électromagnétique** se quantifie
+par le paramètre appelé *charge* électrique de la particule.   
+
+* La force qui décrit l'*action d'un champ électromagnétique $`\big(\overrightarrow{E}\,,\overrightarrow{B}\big)`$* 
+sur une particule de charge $`q`$ est la **force de Lorentz** d'expression :   
+<br>
+**$`\overrightarrow{F}_{\,Lorentz}=q\Big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}\Big)`$**<br>
+<br>
+&nbsp;&nbsp;où $`\overrightarrow{\speed}`$ est le vecteur vitesse de la particule dans le référentiel d'inertie de l'observation.
+
+* *Lors d'un déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$* de la particule dans le champ électromagnétique
+$`\big(\overrightarrow{E}\,,\overrightarrow{B}\big)`$, le **travail de la force de Lorentz** s'écrit :   
+<br>
+**$`d\mathcal{W}_{\,Lorentz}=\overrightarrow{F}_{Lorentz}\cdot\overrightarrow{dl}`$**,   
+<br>
+soit   
+<br>
+$`\begin{align}
+d\mathcal{W}_{\,Lorentz}&=q\Big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}\Big)\cdot\overrightarrow{dl}\\
+&\\
+&= q\Big(\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}\Big)+ q\Big(\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}\Big)\\
+&\\
+&= q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl} + q\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big) \\
+\end{align}`$   
+<br>
+où $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)`$ est le produit mixte de la séquence des trois vecteurs.
+
+* Les *vecteurs $`\overrightarrow{\speed}`$ et $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{\speed}\,dt`$* étant *colinéaires*, le produit mixte 
+est nul :   
+<br>
+*$`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$*,
+
+!!!! 
+!!!! <details markdown=1>
+!!!! <summary>Rappels sur le produit mixte</summary>
+!!!! Le produit mixte de trois vecteurs $`\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c}`$, noté $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})`$
+!!!! est défini par :    
+!!!! $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})=(\vec{a}\land\vec{b})\cdot\vec{c}`$.   
+!!!! Il est alors facile de démontrer qu'il est invariant par permutation circulaire des 3 vecteurs :
+!!!! $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})=(\vec{b}\,,\vec{c}\,,\vec{a})=(\vec{c}\,,\vec{a}\,,\vec{b})`$.
+!!!! C'est donc un nombre réel, dont la valeur absolue s'identifie au volume du parallélépipéde 
+!!!! créé les trois vecteurs $`\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c}`$.
+!!!!
+!!!! Dans le cas étudié, deux vecteurs au moins du produit mixte $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)`$
+!!!! sont colinéaires car $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{\speed}\,dt`$.
+!!!! Je peux dès lors m'assurer que ce produit mixte est nulle,    
+!!!! * soit en remarquant que trois vecteurs dont deux sont colinéaires s'inscrivent dans un même plan (2D)   
+!!!! et donc le volume (3D) construit par ces trois vecteurs est nul : 
+!!!! $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$   
+!!!! * soit en utilisant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire,    
+!!!! $`\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=\Big(\overrightarrow{dl},\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B}\Big)`$
+!!!! $`=dt\times\Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B}\Big)`$
+!!!! et en remarquant que le produit vecoriel de deux vecteurs colinéaires est nul :
+!!!! $`\big\Vert\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{\speed}\big\Vert=\big\Vert\overrightarrow{\speed}\big\Vert\cdot\big\Vert\overrightarrow{\speed}\big\Vert\cdot \sin 0=0`$
+!!!! $`\Longrightarrow \overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{\speed}=\overrightarrow{0}`$   
+!!!! $`\Longrightarrow \Big(\overrightarrow{\speed},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$
+!!!! </details>
+!!!! 
+
+* $`\Longrightarrow`$ le **travail de la force de Lorentz** se simplifie :   
+<br>
+**$`d\mathcal{W}_{\,Lorentz} = q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}`$**
+
+! *Remarque :*
+!
+! La *force magnétique $`\overrightarrow{F}_{\,magn.}=q\,\overrightarrow{\speed}\land\overrightarrow{B}`$*, 
+! par nature perpendiculaire au vecteur vitesse $`\overrightarrow{\speed}`$ et donc au vecteur déplacement 
+! élémentaire $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{\speed}\,dt`$ en tout point de la trajectoire de la particule
+! de charge $`q`$, *ne travaille pas* :
+!
+! $`\mathbf{d\mathcal{W}_{\,magn} = \overrightarrow{F}_{magn}\cdot \overrightarrow{dl}=0}`$
+!
+! *Le travail de la force de Lorentz se limite au travail de la force électrique* :
+!
+! $`\mathbf{d\mathcal{W}_{\,Lorentz} = d\mathcal{W}_{\,élec} =q\,\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}}`$
+
+* La **puissance élémentaire cédée par le champ** à cette particule s'écrit :   
+<br>
+**$`\mathbf{\mathcal{P}_{cédée} = \dfrac{d\mathcal{W}_{\,Lorentz}}{dt} = q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}}`$**
+
+##### Puissance cédée dans un matériau avec un seul type porteur de charge
+
+* Si le **milieu matériel** contient *$`n`$ porteurs identiques de charge $`q`$ par unité de volume*,
+alors un volume élémentaire $`d\tau`$ contient $`n\,\tau`$ porteurs de charge 
+et la **puissance élémentaire cédée** par le champ électromagnétique s'écrit :   
+<br>
+**$`d\mathcal{P}_{cédée} = \mathcal{n}\,\big( q\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\big)\,d\tau`$**
+
+* Exprimée *avec la densité volumique de charge $`\dens=\mathcal{n}\,q`$* :   
+<br>
+$`d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\mathcal{n}\, q\big)\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\,d\tau = = \dens\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}\,d\tau`$
+
+* Exprimée *avec le vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}=\dens\,\overrightarrow{\speed}`$*, en remarquant que 
+$`\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed}=\overrightarrow{\speed}\cdot\overrightarrow{E}`$ :   
+<br>
+**$`d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau`$**
+
+##### Puissance cédée dans un matériau avec un seul type porteur de charge
+
+* Lorsqu'un matériau contient **plusieurs types de porteurs de charges $`q_i`$** 
+en *concentrations $`n_i* et animées de *vitesses de dérives $`\overrightarrow{v_d\,i}`$* :   
+<br>
+$`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} = \sum_{i=1}^p \big(\mathcal{n}_i\,q_i\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed_i}\big)\,d\tau`$   
+<br>
+$`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} = \sum_{i=1}^p \dens_i\,d\tau\,\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\speed_i}`$   
+<br>
+$`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} =  \sum_{i=1}^p\overrightarrow{j_i}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$   
+<br>
+*$`d\mathcal{P}_{cédée} = \overrightarrow{j}_{total}\cdot\overrightarrow{E}\,d\tau`$*
+
+* En posant plus simplement *$`\overrightarrow{j}_{total}=\overrightarrow{j}`$* :     
+<br>
+**$`\large{\mathbf{d\mathcal{P}_{cédée} = \big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau}}`$**
+
+* La *puissance cédée* par le champ électromagnétique *dans un volume $`\tau`$* s'appelle **$`\large{\text{Effet Joule}}`$**   
+<br>
+**$`\large{\displaystyle\mathbf{\mathcal{P}_{cédée} = \iiint_{\Ltau}\big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau}}`$**
+
+<br> 
+
+------------
+
+<br>
+
+#### Le champ électromagnétique contient-t-il de l'énergie ?
+
+* Si le *champ électromagnétique* peut céder de l'énergie à la matière, c'est que lui-même il **contient de l'énergie**.
+
+* Un champ électromagnétique $`\big(\overrightarrow{E}\,,\,\overrightarrow{B}\big)`$ s'étendant dans l'espace, 
+  l'énergie contenue dans le champ est décrite par 
+  une **densité volumique d'énergie électromagnétique $`\dens_{énergie-EM}^{3D}`$** définie en chaque point de l'espace.
+
+* A partir des équations de Maxwell, on montre avec une combinaison d'opérateur adéquate (à faire) que cette
+  densité volumique $`\dens_{énergie-EM}^{3D}`$ *possède deux composantes* :   
+   * une *composante électrique $`\;\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}`$*
+   * une *composante magnétique $`\;\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{B^2}{2 \mu_0}`$*.
+   
+* Ainsi, en tout point de l'espace :   
+  <br>
+  **$`\large{\mathbf{\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}}}`$**
+
+
+* L'énergie électromagnétique $`\mathcal{E}_{EM}`$ contenue **dans un volume $`\tau`$** s'exprime :   
+  <br>
+  **$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{E}_{EM}=\iiint_{\Ltau} \left(\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2 \mu_0}\right) d\tau}}`$**
+
+<br>
+
+------------
+
+<br>
+
+#### Pourquoi parlons-nous d'ondes électromagnétiques ?
+
+##### Equation d'onde
+
+* Pour un *champ vectoriel $`\overrightarrow{U}(\overrightarrow{r},t)`$*, l'**équation d'onde de d'Alembert** s'écrit :   
+<br>
+**$`\Delta \overrightarrow{U} - \dfrac{1}{\speed^2} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{U}}{\partial\; t^2}=0`$**   
+
+* L'expression de l'*opérateur Laplacien vectoriel $`\Delta`$* en fonction des opérateurs $`grad`$, $`div`$ et $`rot`$ est :   
+<br>
+*$`\Delta =\overrightarrow{grad} \left(div\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\right)`$*
+
+* L'**idée** est de *calculer pour chacun des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$* 
+l'expression de *son Laplacien*, pour voir si une identification avec l'équation d'onde est
+réalisée.
+
+
+##### Etude de la composante $`\overrightarrow{E}`$ du champ électromagnétique.
+
+
+* Pour **établir l'expression $`\;\;\Delta \overrightarrow{E}`$**, je calcule 
+$`\;\;\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)\;\;`$ puis 
+$`\;\;\overrightarrow{grad} \left(div \overrightarrow{E}\right)\;\;`$ *à partir des équations
+de Maxwell*.
+
+
+*  $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
+\overrightarrow{rot} \,\left( -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)`$   
+<br>
+En physique classique, espace et temps sont découplés. Les coordonnées spatiales
+et la coordonnée temporelle sont indépendantes. L'ordre de dérivation ou intégration entre 
+des coordonnées spatiales et la coordonnés temporelle n'importe pas, donc :   
+<br>
+$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
+-\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}\right)`$   
+<br><br>
+$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
+-\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\mu_0\;\overrightarrow{j} +
+\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)`$
+<br><br>
+*$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$*
+<br><br>
+
+* *$`\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\dens}{\epsilon_O} \right)`$*
+
+<br>
+
+
+* La reconstruction de 
+$`\Delta \;\overrightarrow{E} =\overrightarrow{grad} \left(div\;\overrightarrow{E}\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)`$
+donne :   
+<br>
+$`\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\dens}{\epsilon_O} \right) + \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
+\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$   
+<br>
+ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde :   
+<br>
+**$`\mathbf{\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
+\overrightarrow{grad}\left(\dens \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}}`$**   
+<br>
+_(équation de propagation du champ électrique)_
+
+##### Etude de la composante $`\overrightarrow{B}`$ du champ électromagnétique.
+
+* Une *étude de forme identique* (proposée en autotest dans la partie beyond) me conduirait 
+pour le champ magnétique  $`\overrightarrow{B}`$ à l'équation de propagation :   
+<br>
+**$`\mathbf{\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}
+{\partial t^2}=-\mu_0\;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{j}}`$**   
+<br>
+_(équation de propagation du champ magnétique)_
+
+##### Propagation d'une onde électromagnétique dans la matière
+
+* L'étude part des équations de Maxwelle et des deux équations   
+<br>
+$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
+\overrightarrow{grad}\left(\dens \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}`$   
+<br>
+$`\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}
+{\partial t^2}=-\mu_0\;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{j}`$   
+<br>
+et fait l'objet de tout un **développement dans un chapitre ultérieur**.
+
+
+##### Propagation d'une onde électromagnétique dans le vide
+
+ * L'*espace vide* est caractérisé par une absence de charges, fixes ou en mouvement. 
+ La densité volumique de charge $`\dens_{vide}`$ de même que le vecteur densité volumique de courant
+ $`\overrightarrow{j}_{vide}`$ ont une valeur nulle dans tout l'espace vide,   
+ <br>
+ *$`\dens_{vide}=0\quad\text{et}\quad\overrightarrow{j}_{vide}=\overrightarrow{0}`$*.
+ 
+ * Dès lors, la propagation de l'onde électromagnétique dans le vide s'exprime sous la forme
+ du système de **deux équations de d'Alembert** :   
+ <br>
+**$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$**   
+<br>
+**$`\Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$**
+
+!!!! *Attention* :   
+!!!!
+!!!! Les *équations de Maxwell impliquent la propagation du champ électromagnétique*.
+!!!!
+!!!! *Mais,*
+!!!!
+!!!! Les *deux équations d'onde pour les champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$
+!!!! n'impliquent pas les équations de Maxwell*.
+!!!!
+!!!! Tout champ $`\overrightarrow{E}`$ qui vérifie 
+!!!! $`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$
+!!!!
+!!!! et tout champ $`\overrightarrow{B}`$ qui vérifie
+!!!! $`\Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$
+!!!!
+!!!! ne décrivent la propagation d'une onde électromégnétique que si  $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$
+!!!! vérifient les équations de Maxwell.
+
+
+##### Célérité de la vitesse de la lumière dans le vide
+
+* L'identification des équations de propagation des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$
+avec l'équation d'onde de d'Alembert montre que *le champ électroimagnétique se propage à la célérité*   
+<br>
+*$`\large{\mathscr{v}=\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon_0\,\mu_0}}}`$*
+
+* La *célérité de la lumière dans le vide*, notée *$`\mathbf{c}`$* est une **constante fondamentale** de l'univers, et sa valeur exacte est :  
+<br>
+*$`\large{c=299 792 458 m\,s^{-1}\approx 3\times 10^8 m\,s^{-1}}`$*
+
+!! *Pour aller plus loin* :   
+!!
+!! Les équations de propagation des ondes électromagnétiques, établies ici dans le cadre
+!! de la physique classique,   
+!! prévoient que les ondes électromagnétiques se propagent dans le vide à la célérité
+!! $`c=1/\sqrt{\epsilon_0\,\mu_0}`$, célérité constante indépendante du mouvement de l'observateur.   
+!!
+!! ceci est en contradiction avec la loi d'addition des vitesses en mécanique classique, qui
+!! résulte des transformations de Galilée.
+!!
+!! $`\Longrightarrow`$ pendant la seconde moitié du $`19^{ème}`$ siècle, le travail de physiciens fut
+!! d'essayer de modifier les équations de Maxwell pour les rendre compatibles avec la physique classique.   
+!!
+!! Mais ce fut l'inverse qu'il fallait faire : modifier la mécanique de Newton, base de la physique classique,
+!! pour la rendre compatible avec les équations de Maxwell.
+!!
+!! Ce travail inverse fut celui d'Albert Einstein, qui publia en 1905 un article intitulé   
+!! "Sur l'électrodynamique des corps en mouvement",   
+!! qui fut la naissance de la théorie de la Relativité restreinte, qui bouleverse notre conception
+!! de l'espace et du temps.
+!!
+!! Plus tard, en 1915, Einstein soumet un article intitulé   
+!! "Les fondements de la théorie de la Relativité Générale"   
+!! qui bouleverse notre conception du rapport entre l'espace-temps et son contenue en matière et énergie.
+!!
+!! *Physique Newtonienne* :   
+!! espace + temps + matière + énergie.   
+!!
+!! *Physique relativiste au sens restreint* :   
+!! espace-temps + matière-énergie ($`E=m\,c^2`$).   
+!!
+!! *Physique relativiste au sens général* :   
+!! espace-temps-matière-énergie.   
+
+<br>
+
+-------
+
+<br>
+
+#### Qu'est-ce que le spectre électromagnétique ?
+
+
+* **Maxwell** émet l'hypothèse que *la lumière* visible, dont on venait de mesurer la vitesse à partir
+ de l'observation astronomique du mouvement des satellites de Jupiter, *est une onde électromagnétique*.   
+<br>
+$`\Longrightarrow`$ la lumière n'est qu'une toute petite partie des ondes électromagnétiques.   
+<br>
+$`\Longrightarrow`$ tout un *monde nouveau de "lumières"* se révèle, appelé **spectre électromagnétique**.   
+
+![](astro-electromagnetic-spectrum-N4_1_fr_L1200.jpg)
+
+* En particulier, **la connaissance de l'univers** résultait *avant Maxwell* de la seule observation du *domaine visible*,
+
+![](ciel-visible-bsp_L1200.jpg)
+
+* s'étend *maintenant* à *l'ensemble du spectre électromagnétique*.
+
+![](ciel-images-bsp_L600_transparence.gif)
+
+<br>
+
+------
+
+<br>
+
+#### Qu'est-ce que le vecteur de Poynting ?
+
+
+* L'**onde électromagnétique contient de l'énergie**
+   * avec *en chaque point de l'espace* une **densité volumique d'énergie $`\dens_{énergie-EM}^{3D}`$**,   
+    \- avec une *composante électrique $`\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{\epsilon_0\,E^2}{2}`$*,   
+    \- avec une *composante magnétique $`\dens_{énergie-EM}^{3D}=\dfrac{B^2}{2 \mu_0}`$*.
+   * qui **se déplace dans le vide** *à la vitesse $`c`$*. 
+
+   
+   
+* Le **vecteur de Poynting** traduit ce fait, et permet le *calcul de l'énergie* d'une onde électromagnétique
+  incidente *sur une surface quelconque par seconde*.
+ 
+* Le **vecteur de Poynting**, définit en chaque point de l'espace, est *défini par* la relation :   
+<br>
+   *$`\large{\mathbf{d\mathcal{P}=\overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}}}`$*   
+<br>
+où $`d\mathcal{P}`$ est la *puissance élémentaire* de l'onde électromagnétique
+*rayonnée à travers l'élément de surface* $`\overrightarrow{dS}`$.
+
+![](poynting-vector-1_L1200.jpg)
+
+* Son **expression** en fonction des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ est :   
+  <br>
+  **$`\large{\mathbf{\overrightarrow{\Pi}=\dfrac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{\mu_0}}}`$**
+
+* *Unité SI* : **$`\mathbf{W\,m^{-2}}`$**
+
+! *Remarque 1* :   
+!
+! Le déplacement d'une charge $`(unité SI : C)`$ contenue dans un volume élémentaire
+! $`d\tau\quad (SI : ! m^3)`$ de densité volumique de 
+! charge $`\dens_{charge}^{3D}\quad (SI : C\,m^{-3})`$ à une vitesse 
+! $`\overrightarrow{\mathscr{v}_d}\quad (SI : m\,s^1)`$ :   
+! * permet de définir un vecteur densité de courant (électrique) volumique 
+! $`\overrightarrow{j}_{courant}^{3D}=\dens_{charge}^{3D}\,\mathscr{v}_d\,,\quad (SI : A\,m^{-2})`$,
+!  * et ainsi permet de calculer l'intensité élémentaire $`dI\quad (SI : A = C\,s-{-1})`$ du courant qui traverse
+! tout élément de surface 
+! $`\overrightarrow{dS}\quad (SI : m^2)`$,   
+! $`dI= \overrightarrow{j}_{courant}^{3D}\cdot\overrightarrow{dS}`$,   
+!
+! de même,  
+! 
+! le déplacement de l'énergie $`(unité SI : J)`$ de l'onde électromagnétique contenue 
+! dans un volume élémentaire $`d\tau\quad (SI : ! m^3)`$ de densité volumique d'énergie
+! $`\dens_{énergie_EM}^{3D}`$ à la célérité $`c`$ :   
+! * permet de définir l'équivalent d'un vecteur densité de puissance de l'onde électromagnétique 
+! , appelé *vecteur de Poynting* et noté *$`\overrightarrow{\Pi}\quad (SI : J\,s^{-1}\, m^{-2}=W\, m^{-2}=`$,
+! * ce qui permet de calculer la puissance élémentaire $`d\mathcal{P}\quad (SI : W)`$ de l'onde EM qui traverse tout élément de surface 
+! $`\overrightarrow{dS}`$,   
+! $`d\mathcal{P}= \overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}`$.   
+
+! *Remarque 2* :   
+!
+! *L'expression du vecteur de Poynting* en fonction du champ électrique et du champ magnétique de l'onde,
+! ainsi que *sa signification*, sont *plus faciles à retenir* si l'on choisit de l'exprimer 
+! *en fonction du champ d'excitation magnétique $`\overrightarrow{H}`$*.  
+!
+! *__Dans le vide__ (et uniquement dans le vide)* :   
+!  Le champ magnétique est aussi bien décrit par le champ d'induction 
+! $`\overrightarrow{B}`$ qui intervient dans la force de Lorentz qui induit les effets, 
+! que par le champ d'excitation magnétique $`\overrightarrow{H}`$.  
+! Ces deux champs sont proportionnels, le rapport de proportionnalité étant la constante magnétique $`\mu_0`$ :   
+! <br>
+! $`\overrightarrow{B}=\mu_0\,\overrightarrow{B}\quad\text{(dans le vide)}`$
+!
+! L'expression dans le vide du vecteur de Poynting est alors :   
+! <br>
+! $`\overrightarrow{\Pi}=\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{H}`$
+!
+! En se souvenant 
+! * de l'électrostatique que l'unité SI de $`\overrightarrow{E}`$ est le $`V\,m^{-1}`$,   
+! * de la magnétostatique que l'unité SI de $`\overrightarrow{H}`$ est le $`A\,m^{-1}`$,   
+! * de l'étude des circuits que $`\mathcal{P}\,(W) = U\,(V)\times I\,(A)`$,   
+!
+! alors l'*unité SI du vecteur de Poynting* apparaît facilement comme le *$`V\,A\,m^{-2}= W\,m^{-2}`$*
+! 
+! Dans le système international de mesure, le Vecteur de Poynting s'exprime en *Watt par mètre carré*.
+!
+! La *grandeur physique du vecteur de Poynting* est une *puissance par unité de surface*.
+
+
+<br>
+
+------
+
+<br>
+
+#### Comment calculer le puissance traversée par une surface d'aire et d'orientation quelconque ?
+
+* Elle se calcule simplement par l'expression :   
+<br>
+**$`\displaystyle\large{\mathbf{\mathcal{P}=\iint_S \overrightarrow{\Pi}\cdot\overrightarrow{dS}}}`$**  
+
+
+#### Comment émettre une onde électromagnétique ?
+
+* Il suffit d'**accélérer une particule chargée**.
+
+<!---------------------
+#### Comment capter la puissance d'une onde électromagnétique ?
+
+Quelques idées très synthétiques.   
+Pour des ressources transverses et classiques, liens en parallèles
+---------------------->
+
 
-<!--MetaData : ... -->
 
-!  *Theme* :<br>
-! *The Maxwell's equations*<br>
-! Guide to establishing the 3 parts: main, overview, beyond.
 
--------------------
 
 
-![](Maxwell-equation-es.jpg)
 
 
-![](general-scheme-electromagnetism-vacuum-2-L1200.jpg)
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