---
title: 'nouveau cours : principal'
---

nouveau cours : principal

#### Classification des lentilles

A simple lens is a volume made with a transparent substance of refractive index $n$, that present a symetry of revolution around an axis called the optical axis of the lens. This volume is bound by two polished surfaces that can be both curved, or one curved and the other plane. The curved surfaces which have to 

#### Lentille épaisse : 2 dioptres sphériques centrés successifs.

Considérons le système optique $SO$ constitué par deux dioptres sphériques de symétries de révolution partageant un même axe de révolution. 

Le premier dioptre $DS_1$ traversé par la lumière a pour sommet $S_1$ et pour centre de courbure $C_1$, et sépare le milieu (_où se propage la lumière incidente_) d'indice de réfraction $n1$ du milieu situé entre les deux dioptres d'indice de réfraction $n$. Le deuxième dioptre $DS_2$ traversé par la lumière à la suite du premier sépare donc le milieu intermédiaire d'indice de réfraction $n$ du milieu final d'indice de réfraction $n_2$, et a pour sommet $S_2$ et pour centre de courbure $C_2$. L'espacement entre les deux dioptres est caractérisé par la distance  algébrique $\overline{S_1S_2}$. L'orientation de l'axe optique étant choisie positive selon le sens de propagation de la lumière, la distance algébrique $\overline{S_1S_2}$ est positive ($\overline{S_1S_2}>0$.

Le **système centré $SO$** que constitue la lentille épaisse dans son environnement (_ses deux milieux de part et d'autre_) et ses conditions d'utilisation (_le sens considéré de propagation de la lumière à travers la lentille_) est donc **caractérisé par** :
* l'*ordre de traversée* de ces deux dioptres par la lumière, de $DS_1$ vers $DS_2$.
*  *les trois indices de réfraction $n_1$, $n$ et $n_2$* caractérisant respectivement le milieu de propagation de la lumière incidente sur le premier dioptre du système, le milieu intermédiaire commun aux deux dioptres et le milieu de propagation de la lumière transmise par le système.
*  la *distance $\overline{S_1S_2}$* qui spécifie l'espacement entre les deux dioptres. 

Dans le cadre de l'optique paraxiale (_optique Gaussienne_), ce système optique est quasi-stigmatique et il donne les rayons de lumière issus du point objet $B$ un point image unique $B'$. La **position du point objet $B$ par rapport au système optique** est *déterminée par* :
* la *distance algébrique* **$\overline{AS_1}$** entre la projection $A$ du point objet $B$ sur l'axe optique et le sommet $S_1$ du premier dioptre $DS_1$.
* l'*élévation algébrique* **$\overline{AB}$** du point B par rapport à l'axe optique (_en choisissant préalablement un sens positif d'orientation commun à toute droite perpendiculaire à l'axe optique_).

Nous allons établir, en fonction des grandeurs caractéristiques du système étudié, la relation de conjugaison qui permet de calculer la position du point $A'$, projection orthogonale du point image $B'$ sur l'axe optique, puis l'expression du grandissement transversal pour ce point objet $B$ qui permettra de calculer l'élévation algébrique du point image $B'$. Pour cela, décomposons l'action du système optique en considérant les actions successives des deux dioptres qui le constituent :

Le premier dioptre $DS_1$ forme de l'objet ponctuel initial $B$ une image ponctuelle $B_{int}$. Cette image intermédiaire $B_{int}$ devient objet pour le second dioptre $DS_2$ qui en forme une image ponctuelle finale $B'$. Le point $B'$ est donc l'image ponctuelle de l'objet ponctuel $B'$ par le système optique centré $SO$ formé par les deux dioptres successifs $DS_1$ et $DS_2$.

La **relation de conjugaison** genérale $`\dfrac{n_{fin}}{\overline{SA_{ima}}}-\dfrac{n_{ini}}{\overline{SA_{obj}}}=\dfrac{n_{fin}-n_{ini}}{\overline{SC}}`$ et l'**expression du grandissement transversal** générale $`\overline{M_T}=\dfrac{n_{ini}\cdot\overline{SA_{ima}}}{n_{fin}\cdot\overline{SA_{obj}}}`$ des dioptres sphériques, *appliquées au* **dioptre sphérique particulier $DS_1$** donnent :

* **$`\dfrac{n}{\overline{S_1A_{int}}}-\dfrac{n_1}{\overline{S_1A}}=\dfrac{n-n_1}{\overline{S_1C_1}}`$** (équ. 1a)

* **$`\overline{M_T}=\dfrac{n_1\cdot\overline{S_1A_{int}}}{n\cdot\overline{S_1A}}`$** (équ. 1b)

Maintenant que la lumière à traversée le premier dioptre $DS_1$, est s'apprête à, franchir le second dioptre $DS_2$. Du point de vue du $DS_2$, les rayons incidents initiés par le point objet $B$ semblent prevenir du point intermédiaire $B_{int}$. $B_{int}$ point image pour le dioptre $DS_1$ devient point objet pour le dioptre $DS_2$.

La **relation de conjugaison** et l'**expression du grandissement transversal** générales des dioptres sphériques, *appliquées au* **dioptre sphérique particulier $DS_2$** donnent :

* **$`\dfrac{n_2}{\overline{S_2A'}}-\dfrac{n}{\overline{S_2A_{int}}}=\dfrac{n_2-n}{\overline{S_2C_2}}`$** (équ. 2a)

* **$`\overline{M_T}=\dfrac{n\cdot\overline{S_2A'}}{n_2\cdot\overline{S_2A_{int}}}`$** (équ. 2b)

Pour relier les positions de l'objet initial et de son image finale à travers le système optique, représentées par les distances algébriques $S_1A$ et $S_2A'$, j'additionne entre eux les membres de droite des équations (équ.1a) et (équ.2a), j'aditionne entre eux les membres de gauche de ces mêmes équations, pour obtenir l'égalité suivante :

$`\dfrac{n}{\overline{S_1A_{int}}}-\dfrac{n_1}{\overline{S_1A}}+\dfrac{n_2}{\overline{S_2A'}}-\dfrac{n}{\overline{S_2A_{int}}}$ $=\dfrac{n-n_1}{\overline{S_1C_1}}+\dfrac{n_2-n}{\overline{S_2C_2}}`$

Je réorganise les élements de cette équation en gardant :
* au premier membre les éléments caractérisant les conditions extérieures d'utilisation du système optique : $n_1$ et $n_2$ (_indices des milieux de part et d'autre de $SO$_), $\overline{S_1A}$ et $\overline{S_2A'}$ (_positions de l'objet et de l'image par rapport aux faces d'entrée et de sortie de la lentille_).
* au second membre les éléments caractérisant le système optique lui-même : $n-n_1$ et $n-n_2$ (_indices de réfraction différentiels entre matériau constituant la lentille et les milieux extérieurs_), $\overline{S_1C_1}$ et $\overline{S_2C_2}$ (_rayons de courbures algébriques des faces d'entrée et de sortie de la lentille _), $\overline{S_2A_{int}}$ et $\overline{S_1A_{int}} $(position de l'image intermédiaire par rapports aux sommets de la lentille).

et j'obtiens la **relation de conjugaison du système optique** : *lentille épaisse utilisée dans les 2 milieux extérieurs considérés* :

$\dfrac{n_2}{\overline{S_2A'}}-\dfrac{n_1}{\overline{S_1A}}$$
\:=\:\dfrac{n-n_1}{\overline{S_1C_1}}+\dfrac{n_2-n}{\overline{S_2C_2}}+\dfrac{n}{\overline{S_2A_{int}}}-\dfrac{n}{\overline{S_1A_{int}}}$



